Как найти сумму ряда с нуля

35

Вычисление
суммы сходящегося числового ряда.

Прежде чем приступить к решению задач
дадим основные определения.

Определение 1.Пусть
последовательность действительных
чисел. Выражение вида:

называется числовым рядом.

Сумму
первых
слагаемых называют
-ой
частичной суммой
ряда и обозначают:

К примеру,

Частичные суммы ряда
образуют бесконечную числовую
последовательность.

Выражение само по себе определенного смысла не
имеет, потому что действие сложения
производится над конечным числом
слагаемых. Этот смысл выражению предстоит
приписать нам самим.

Введем понятие суммы ряда.

Определение 2.Суммойчислового
ряданазывается предел последовательности
частичных сумм ряда,
если этот предел существует и конечен:

.

Числовой ряд при этом называется
сходящимся.

В противном случае, т.е. если
равен бесконечности или не существует,
то

ряд называется расходящимся.

Определение 3.Пусть дан ряд.

Ряд
,
полученный из исходного отбрасываниемпервых членов называется

остатком ряда
.

Можно доказать, что если
,
то ряд сходится (существует конечная
сумма)
и наоборот: остатоксходящегося
ряда стремится к нулю с увеличением
номера.

Основной целью теории числовых
рядов является установление факта
сходимости или расходимости тех или
иных рядов и вычисление суммы сходящихся
рядов. При этом найти точное значение
суммы ряда удается далеко не всегда. В
этом случае используются методы
приближенного вычисления суммы
ряда.
Существует довольно много
приемов, позволяющих устанавливать
сходимость или расходимость рядов.
Такие приемы называются признаками
сходимости. К рассмотрению некоторых
из них мы и приступаем.

Теорема (необходимый признак
сходимости числового ряда
).

Если ряд
сходится,
то его общий член стремиться к нулю,
т.е.

.

Из необходимого признака следует,
что если
-ый
член ряда не стремиться к нулю, то ряд
расходиться. Именно это утверждение
удобно использовать для решения задач.

Отметим, что необходимый признак
не является достаточным, т.е. если
,
то о сходимости ряда ничего сказать
нельзя: он может быть как сходящимся,
так и расходящимся.

Задача №1.Исследовать ряд на
сходимость.

Решение.

.

Используя необходимый признак сходимости,
делаем вывод о том, что ряд расходиться,
поскольку
-ый
член ряда не стремиться к нулю.

Ответ: ряд
расходится.

.

Задача №2.Исследовать ряд на
сходимость.

Решение.Общий член ряда

,

.

Следовательно, ряд расходиться по
необходимому признаку. Здесь для
вычислений использовали первый
замечательный предел:
.

Ответ: ряд расходится.

Задача №3.Исследовать ряд на
сходимость.

Решение.

,

не существует. Ряд расходится по
необходимому признаку.

Ответ: ряд расходится.

Приведем пример ряда, для которого
необходимый признак не дает ответа о
его сходимости:

Задача №4. Исследовать ряд на
сходимость.

Решение.

.

Необходимый признак для данного ряда
выполняется, поэтому он может быть или
сходящимся, или расходящимся. Докажем,
что этот ряд на самом деле расходится.
Оценим частичную сумму ряда
снизу:

.

Таким образом,

и.

Тогда по определению суммы ряда имеем:

.

Ответ: ряд расходится.

Задача №5.Исследовать ряд на
сходимость.

Решение.Воспользуемся необходимым
признаком и найдем предел-го
члена ряда:

,

.

Ответ: ряд расходится.

В предыдущих задачах нашей целью
было установить сам факт существования
суммы ряда. Рассмотрим задачи, в которых
удается вычислить точное значение суммы
ряда.

Пусть дан числовой ряд
,
составленный из членов геометрической
прогрессии. Здесь
первый член прогрессии,
знаменатель прогрессии. Если знаменатель
прогрессии удовлетворяет условию,
то прогрессия называется бесконечно
убывающей, а ряд, составленный из членов
такой прогрессии, сходится, причем
сумма ряда равна:

.

Задача №6.Найти сумму ряда.

Решение.

Этот ряд составлен из членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
.

Сумма ряда равна:

.

Ответ:
.

Задача №7. Найти сумму ряда.

Решение.

.

Здесь первый член геометрической
прогрессии
,
знаменатель.
Тогда.

Ответ:
.

Задача №8.Найти сумму ряда.

Решение.

. Для этого ряда
.

Находим сумму:

.

Ответ:
.

Задача №9. Найти сумму ряда.

Решение.Для того чтобы найти сумму
этого ряда, представим общий член ряда
в виде суммы дробей:

.

Найдем неизвестные коэффициенты
следующим образом:

,

отсюда

.

При
из
последнего равенства получаем.

При
.

Таким образом

.

Найдем
-ую
частичную сумму ряда:

.

После сокращения противоположных
слагаемых получим

,

откуда

.

Ответ:
.

Соседние файлы в папке Ряды

  • #
  • #
  • #

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = frac{A}{2n+1} + frac{B}{2n+3} = frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \ n^1: &3A+B=1 end{cases}Rightarrow begin{cases} A=frac{1}{2} \ B=-frac{1}{2} end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2} frac{1}{2n+1} – frac{1}{2} frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) $$

$$ a_2 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) $$

$$ a_3 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) $$

$$ a_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Замечание

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Итого, получаем:

$$ S_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) + … $$

$$ … + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9} … + $$

$$ + … frac{1}{2n-1} – frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+1} – frac{1}{2n+3} bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=lim_{ntoinfty} S_n = lim_{ntoinfty} frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

$$ = frac{1}{2} lim_{ntoinfty} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{6} $$

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если существует конечный предел $S=lim_{ntoinfty}S_n$, то его называют суммой ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ и сам ряд именуют сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд называют расходящимся.

Если понятие “частичная сумма” вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $lim_{ntoinfty}S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

  1. Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
  2. Найти $lim_{ntoinfty}S_n$ (если он существует).

Если конечный $lim_{ntoinfty}S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=frac{P(n)}{Q(n)}$, вполне подходит такой алгоритм:

  1. Разложить дробь $frac{P(n)}{Q(n)}$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
  2. Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
  3. Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
  4. Используя результат предыдущего пункта, найти $lim_{ntoinfty}S_n$.

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Пусть общий член ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ можно представить в виде $u_n=b_{n+1}-b_n$. Если существует конечный предел $lim_{ntoinfty}b_n=b$, то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом частичная сумма ряда равна $S_{n}=b_{n+1}-b_1$, а сумма ряда $S=b-b_1$.

Доказательство этого свойства может быть интересно не всем читателям, поэтому я скрою его под примечание.

Доказательство свойства: показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^{n+1}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=\=(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+ldots+(-1)^{n+1}=1-1+1-1+ldots+(-1)^n.
$$

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

begin{aligned}
& S_2=1-1=0;\
& S_4=1-1+1-1=0;\
& S_6=1-1+1-1+1-1=0;\
& S_8=1-1+1-1+1-1+1-1=0.
end{aligned}

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу “n – чётное число” можно записать так: $n=2k$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1=2$, $n=2cdot 2=4$, $n=2cdot 3=6$, $n=2cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_{2k}=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

begin{aligned}
& S_1=1;\
& S_3=1-1+1=1;\
& S_5=1-1+1-1+1=1;\
& S_7=1-1+1-1+1-1+1=1.
end{aligned}

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу “n – нечётное число” можно записать так: $n=2k-1$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1-1=1$, $n=2cdot 2-1=3$, $n=2cdot 3-1=5$, $n=2cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_{2k-1}=1$.

Формально равенство $S_{2k-1}=1$ можно доказать с помощью формулы $S_{2k}=S_{2k-1}+u_{2k}$. Так как $S_{2k}=0$, то $S_{2k-1}+u_{2k}=0$, т.е. $S_{2k-1}=-u_{2k}$. Так как $u_{2k}=(-1)^{2k+1}=left((-1)^2right)^kcdot (-1)^1=-1$, то $S_{2k-1}=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $lim_{ntoinfty}S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k}=lim_{ktoinfty}0=0.
$$

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k-1}=lim_{ktoinfty}1=1.
$$

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм ${S_n}$ имеет две подпоследовательности: ${S_{2k-1}}$ и ${S_{2k}}$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность ${S_n}$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Пример №2

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(3n+1)$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=4+7+10+13+ldots+3n+1.
$$

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

$$
4+7+10+13+ldots+3n+1=frac{4+3n+1}{2}cdot n=frac{3n+5}{2}cdot{n}.
$$

Итак, $S_n=frac{3n+5}{2}cdot n$. Найдем $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{3n+5}{2}cdot nright)=+infty.
$$

Так как $lim_{ntoinfty}S_n=+infty$, то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Почему я пишу именно $frac{2}{3cdot 5}$, а не $frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $lim_{ntoinfty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}right),
$$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}=frac{Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$
2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1).
$$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$
2=2An+3A+2Bn+B;\
2=(2A+2B)n+3A+B.
$$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$
left{begin{aligned}
& A+B=0;\
& 3A+B=2.
end{aligned}right.
$$

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

$$
3cdot (-B)+B=2;; -2B=2; ; B=-1.
$$

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}$, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2n+1}+frac{-1}{2n+3}=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Итак, $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

begin{aligned}
& u_1=frac{2}{3cdot 5}=frac{1}{3}-frac{1}{5};\
& u_2=frac{2}{5cdot 7}=frac{1}{5}-frac{1}{7};\
& u_3=frac{2}{7cdot 9}=frac{1}{7}-frac{1}{9};\
& u_4=frac{2}{9cdot 11}=frac{1}{9}-frac{1}{11}.
end{aligned}

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Сумма

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны “увидеть” (как любят писать некоторые авторы – “легко увидеть”), что слагаемые сокращаются. А если мы “увидим” не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство формулы $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$: показатьскрыть

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются “вычёркиванием” сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

$$
u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}
=frac{-1}{2n+3}-frac{-1}{2n+1}
$$

Обозначим $b_n=frac{-1}{2n+1}$, тогда $b_{n+1}=frac{-1}{2(n+1)+1}=frac{-1}{2n+3}$. Таким образом, $u_{n}=b_{n+1}-b_{n}$. При этом $lim_{ntoinfty}b_n=0$. Согласно упомянутому свойству, ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом его сумма равна $S=0-b_1=frac{1}{3}$. Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

$$
S_n
=b_{n+1}-b_1
=frac{-1}{2n+3}-left(-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
$$

Мы получили ранее, что $u_k=frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right).
$$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$
S_n
=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}=\
=frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+1}-left(frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+3}right).
$$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}.
$$

Теперь преобразуем выражения $frac{1}{2k+1}$ и $frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Приведём, например, дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Выражение в знаменателе дроби $frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$
frac{1}{2k+3}=frac{1}{2k+2+1}=frac{1}{2(k+1)+1}.
$$

И сумму $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Если равенство $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показатьскрыть

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Заметьте, что суммы $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}$ и $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен $n+1$. Если $k=n+1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{2n+3}$. Прибавляя и вычитая из первой суммы $frac{1}{2n+3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}-frac{1}{2n+3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}
$$

Для второй суммы $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если $k=1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{3}$. Прибавляя и вычитая $frac{1}{3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}+frac{1}{3}-frac{1}{3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}
$$

С учётом полученных результатов, выражение для $S_n$ примет такой вид:

$$
S_n
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}
=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=\

=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}=\

=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Напомню, что мы приводили дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $frac{1}{2k+1}$ в виде $frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показатьскрыть

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Находим предел $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Ответ: $S=frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Содержание:

Числовые ряды:

При решении ряда математических задач, в том числе и в приложениях математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых. Из теории действительных чисел известно лишь, что означает сумма любого конечного числа чисел. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числа Числовые ряды - основные понятия с примерами решения называются членами ряда, а член Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияобщим или Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-м членом ряда.

Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член Числовые ряды - основные понятия с примерами решеният.е. задана функция Числовые ряды - основные понятия с примерами решения натурального аргумента. Например, ряд с общим членомЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения имеет вид

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное решение.

Пример:

Найти в простейшей форме общий член ряда:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Нетрудно убедиться, что для ряда а) общий член Числовые ряды - основные понятия с примерами решения а для ряда б) Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Сумма п первых членов ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения называется Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-й частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Число Числовые ряды - основные понятия с примерами решения называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример:

Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е. ряда, составленного из членов геометрической профессии

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Необходимо установить, при каких значениях знаменателя профессии Числовые ряды - основные понятия с примерами решения ряд (13.4) сходится и при каких — расходится.

Из школьного курса алгебры известно, что сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения первых членов геометрической профессии, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-я частичная сумма ряда при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения равна Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Возможно несколько случаев:

1) если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. ряд сходится и его сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

2) если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения следовательно, Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и ряд расходится;

3) если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд (13.4) примет видЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения его Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-я частичная сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решеният.е. ряд расходится;

4) если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд (13.4) примет вид Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения четном и Числовые ряды - основные понятия с примерами решения — при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения нечетном, следовательно, Числовые ряды - основные понятия с примерами решения не существует, и ряд расходится.

Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияпри Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и расходится при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример:

Найти сумму ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-я частичная сумма ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияУчитывая, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Отсюда Числовые ряды - основные понятия с примерами решеният.е. сумма ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясходится и имеет сумму Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то и ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (полученный умножением данного ряда на число Числовые ряды - основные понятия с примерами решения) также сходится и имеет сумму Числовые ряды - основные понятия с примерами решения.

2. Если ряды Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясходятся и их суммы соответственно равны Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то и ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения(представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств пределов числовых последовательностей.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

Пусть в сходящемся ряде (13.1) отброшены Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов (в принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число). Покажем, что полученный ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

имеющий частичную сумму Числовые ряды - основные понятия с примерами решения также сходится.

Очевидно, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Отсюда следует, что при фиксированном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения конечный предел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. А это и означает, что ряд (13.7) сходится. ■

Ряд (13.7), полученный из данного отбрасыванием его первых Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов, называется Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-м остатком ряда.

Если сумму Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-го остатка ряда обозначить через Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

то сумму ряда (13.1) можно представить в виде

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

В результате мы подошли к свойству 4.

4. Для того чтобы ряд (13.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Это свойство вытекает из теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций (см. § 6.3).

Установить сходимость (расходимость) ряда путем определения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и вычисления Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (как это сделано в примерах 13.2, 13.3) возможно далеко не всегда из-за принципиальных трудностей при нахождении Числовые ряды - основные понятия с примерами решения(суммировании Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов ряда). Проще это можно сделать на основании признаков сходимости, к изучению которых мы переходим.

Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена Числовые ряды - основные понятия с примерами решения при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения равен нулю, т.е.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияВыразим Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-й член ряда через сумму его Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Так как ряд сходится, то Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Поэтому

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №1

Проверить выполнение необходимого признака для ряда (13.6).

Решение:

Выше было доказано, что ряд (13.6) сходится, и действительно Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. необходимый признак сходимости выполняется. ►

Следствие. Если предел общего члена ряда (13.1) при Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияне равен нулю, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд расходится.

Предположим противное, т.е. ряд (13.1) сходится. Но в этом случае из приведенной выше теоремы следует Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что противоречит условию, заданному в следствии, т.е. ряд (13.1) расходится. ■

Пример №2

Исследовать сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится. ►

Замечание. Следует подчеркнуть, что рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда. Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то из этого еще не следует, что ряд сходится.

В качестве примера рассмотрим ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

называемый гармоническим.

Необходимый признак сходимости выполнен: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Докажем, что, несмотря на это, гармонический ряд расходится.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияВначале получим вспомогательное неравенство. С этой целью запишем сумму первых Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов ряда:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Найдем разность

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим, равным Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияпридем к вспомогательному неравенству

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Предположим противное, т.е. что гармонический ряд сходится, тогда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и, переходя к пределу в неравенстве (см. § 6.5), получим, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится. ■

В следующих двух параграфах рассмотрим достаточные признаки сходимости.

Ряды с положительными членами

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1; б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияа) Пусть частичные суммы рядов 1 и 2 соответственно равны Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. По условию ряд 2 сходится, следовательно, существует Числовые ряды - основные понятия с примерами решениятак как члены ряда 2 положительны. Рассмотрим последовательность частичных сумм Числовые ряды - основные понятия с примерами решения ряда 1. Эта последовательность является: возрастающей (так как с ростом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения увеличивается сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения положительных слагаемых) и ограниченной (так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения в силу условия (13.11), т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения).

Следовательно, на основании признака существования предела (см. § 6.5) последовательность Числовые ряды - основные понятия с примерами решения имеет предел, т.е. ряд 1 сходится.

б) Применим метод доказательства от противного. Предположим, что ряд 2 сходится. Тогда согласно первой части теоремы сходится и ряд 1, что противоречит предположению; т.е. ряд 2 расходится. ■

Замечание. Так как сходимость ряда не изменяется при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие (13.11) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Достаточно, чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера Числовые ряды - основные понятия с примерами решения или чтобы имело место неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения где Числовые ряды - основные понятия с примерами решения — некоторое целое число.

Пример №3

Исследовать сходимость ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (его знаменатель Числовые ряды - основные понятия с примерами решения).

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияи вообще Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то на основании признака сравнения ряд сходится. ►

Пример №4

Исследовать сходимость ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на расходимость ряда). Так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и вообще Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (ибо Числовые ряды - основные понятия с примерами решеният.е. члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, то на основании признака сравнения ряд расходится. ►

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

сходится при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения расходится при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения здесь же отметим, что при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения расходимость ряда (13.12) следует из признака сравнения, так как в этом случае члены ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения больше соответствующих членов гармонического рядаЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения а в частном случае при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходимость ряда (13.12) может быть доказана сравнением этого ряда со сходящимся (13.6)).

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (13.11), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т.п.). В ряде случаев более простым оказывается предельный признак сравнения.

Теорема (предельный признак сравнения)

Теорема (предельный признак сравнения). Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения — ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов Числовые ряды - основные понятия с примерами решениято ряды одновременно сходятся либо расходятся.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияТак как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то по определению предела числовой последовательности (см. § 6.1) для любого Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясуществует такой номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решениявыполняется неравенство

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Если ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится, то сходится ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и в силу признака сравнения будет сходиться рядЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения аналогично, если сходится ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясходится ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и сходится Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Таким образом, из сходимости одного ряда следует сходимость другого. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается аналогично. 

Пример №5

Исследовать сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническимЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения (выбор такого ряда для сравнения может подсказать то, что при больших Числовые ряды - основные понятия с примерами решения). Так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения то данный ряд, так же как и гармонический, расходится. ►

Весьма удобным на практике является признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера)

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения с положительными членами существует предел отношения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-го члена к Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-му члену Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияТогда, если Числовые ряды - основные понятия с примерами решениято ряд сходится; если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд расходится; если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

 Из определения предела последовательности следует, что для любогоЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения существует такой номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения 1) Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Выберем Числовые ряды - основные понятия с примерами решения настолько малым, что число

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Последнее неравенство будет выполняться для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, т.е. для Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения

Получили, что члены ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения меньше соответствующих членов геометрического ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясходящегося при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Следовательно, на основании признака сравнения этот ряд сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения отличающийся от полученного на первые Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов.

2) Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Возьмем Числовые ряды - основные понятия с примерами решения настолько малым, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Тогда из условия Числовые ряды - основные понятия с примерами решения следует, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияпоэтому предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. не выполнен необходимый признак сходимости, и ряд расходится. ■

Пример №6

Исследовать сходимость рядов:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

а) Так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения то по признаку Даламбера ряд сходится.

б) Так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то по признаку Даламбера ряд расходится. ►

Замечание 1. Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд расходится.

Замечание 2. Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то, как отмечалось выше, признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сходимости.

Теорема (интегральный признак сходимости)

Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть дан рядЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения члены которого положительны и не возрастают, т.е.Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияа функция Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, определенная при Числовые ряды - основные понятия с примерами решениянепрерывная и невозрастающая и

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Тогда для сходимости ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Рассмотрим ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Его Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-й частичной суммой будет

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Сходимость ряда (13.14) означает существование предела последовательности его частичных сумм (13.15), т.е. сходимость несобственного интеграла Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияпоскольку Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияВ силу монотонности функции Числовые ряды - основные понятия с примерами решения на любом отрезке Числовые ряды - основные понятия с примерами решения или, учитывая (13.13),

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Интегрируя (13.16) на отрезкеЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения получим

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

откуда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Если ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится, то по признаку сравнения рядов в силу первого неравенства (13.17) должен сходиться ряд (13.14), а значит, и несобственный интеграл Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Обратно, если сходится J/(jc)c&, т.е. ряд (13.14), то согласно тому же признаку сравнения на основании второго неравенства (13.17) будет сходиться ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения а следовательно, и данный ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №7

Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияФункция Числовые ряды - основные понятия с примерами решения при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (а значит, и при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Имеем Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Итак, данный ряд сходится при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и расходится при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Ряды с членами произвольного знака

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и предел его общего члена при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения равен нулю, т.е.Числовые ряды - основные понятия с примерами решениято ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения.

 Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Эта последовательность возрастающая (так как с ростом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения увеличивается число положительных слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения можно представить в виде

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

откуда следует, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения). На основании признака существования предела (см. § 6.5) последовательность Числовые ряды - основные понятия с примерами решения имеет предел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Попутно заметим, что, переходя к пределу в неравенстве Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияполучим, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Очевидно, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения поэтому, учитывая необходимый признак сходимости ряда,

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Итак, при любом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (четном или нечетном) Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. ряд сходится. Рис. 13.1 иллюстрирует сходимость Числовые ряды - основные понятия с примерами решения к числу Числовые ряды - основные понятия с примерами решения слева при четном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и справа при нечетном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. ■

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Из рис. 13.1 вытекает еще одна оценка для суммы Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница: при любом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №8

Исследовать сходимость ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и предел общего члена Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то по признаку Лейбница ряд сходится. ►

Замечание. В теореме Лейбница существенно не только условие Числовые ряды - основные понятия с примерами решения но и условие Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Так, например, для ряда ,

Числовые ряды - основные понятия с примерами решениявторое условие нарушено и, хотя Числовые ряды - основные понятия с примерами решения ряд расходится. Это видно, если данный ряд представить (после попарного сложения его членов) в виде Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

т.е. «удвоенного» гармонического ряда.

Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

По формуле (13.9) сумму сходящегося ряда можно представить как сумму Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов ряда и суммы Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-гo остатка ряда, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Полагая приближенно Числовые ряды - основные понятия с примерами решения мы допускаем погрешность, равную Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Так как при четном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-й остаток знакочередующегося ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения представляет ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, то его сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения не превосходит первого члена Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Так как при нечетном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения для Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-го остатка рядаЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения его сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то, очевидно, что при любом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №9

Какое число членов ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?

Решение:

По условию Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Учитывая следствие теоремы Лейбница (13.18), запишем более сильное неравенствоЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения или Числовые ряды - основные понятия с примерами решения откуда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и Числовые ряды - основные понятия с примерами решения или Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. необходимо взять не менее 31 члена ряда. ►

Знакопеременные ряды. Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решения знакопеременный ряд (13.1), в котором любой его член Числовые ряды - основные понятия с примерами решения может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (13.1)

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

сходится, то сходится и данный ряд.

 Обозначим Числовые ряды - основные понятия с примерами решения суммы абсолютных величин членов данного ряда (13.1), входящих в него со знаком «плюс» и «минус».

Тогда частичная сумма данного ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения а ряда, составленного из абсолютных величин его членов, Числовые ряды - основные понятия с примерами решения По условию ряд (13.19) сходится, следовательно, существует конечный предел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Последовательности Числовые ряды - основные понятия с примерами решения являются возрастающими (так как с увеличением Числовые ряды - основные понятия с примерами решения увеличиваются Числовые ряды - основные понятия с примерами решения) и ограниченными

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения значит, существуют пределы Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. ряд (13.1) сходится. ■

Следует отметить, что обратное утверждение неверно. Ряд (13.19) может расходиться, а ряд (13.1) сходиться. Например, ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов Числовые ряды - основные понятия с примерами решения(гармонический ряд) расходится.

Поэтому введем следующие определения.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Таким образом, рассмотренный выше ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения— абсолютно сходящийся, а ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения условно сходящимся.

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся — в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Возьмем, например, ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияПереставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Перепишем ряд в виде:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Пример №10

Найти сумму ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения доказав его сходимость.

Решение:

Очевидно, что общий член ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Представим сумму Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов ряда в виде Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Так как при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения последовательность Числовые ряды - основные понятия с примерами решения имеет конечный предел, то ряд сходится, и его сумма

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №11

Исследовать сходимость ряда:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

а) Проверим выполнение необходимого признака сходимости, найдя предел общего члена:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Для вычисления предела отношения двух бесконечно больших функций натурального аргумента правило Лопиталя непосредственно применять нельзя, ибо для таких функций не определено понятие производной. Поэтому применяя теорему о «погружении» дискретного аргумента Числовые ряды - основные понятия с примерами решения в непрерывный Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, получим Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

следовательно, ряд расходится.

б) Очевидно, что задан ряд с положительными членами, так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения ибо аргумент синуса Числовые ряды - основные понятия с примерами решения при любом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Так как члены данного ряда меньше членов сходящегося геометрического ряда со знаменателем

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения(ибо при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения), то данный ряд сходится.

в) Представим общий член ряда в виде

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияПрименим предельный признак сравнения, сравнив данный ряд со сходящимся «эталонным» рядом (13.12) при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Так как предел отношения общих членов двух рядов

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения

есть конечное число, не равное нулю, то данный ряд, так же как и «эталонный», сходится.

г) Применим признак Даламбера, заметив, что общий член ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения имеет вид Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Тогда Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияи Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. данный ряд сходится.

д) Применим признак Даламбера:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Проверим выполнение необходимого признака (с этого можно было начать исследование): Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. необходимый признак выполнен, но вопрос о сходимости ряда по-прежнему не решен.

Применим признак сравнения в более простой предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решеният.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина (Числовые ряды - основные понятия с примерами решения или Числовые ряды - основные понятия с примерами решения) наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов (см. § 13.3). Применим, наконец, признак сравнения в обычной форме. Сравним данный ряд с тем же гармоническим рядом, у которого отброшен первый член:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияТак как члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения и вообще

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения что вытекает из очевидного неравенства Числовые ряды - основные понятия с примерами решения), то данный ряд расходится. ►

Пример №12

Исследовать сходимость ряда:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

а) Предел общего члена ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения так как знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель колеблется, принимая значения 1 (при четном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения) и —1 (при нечетном Числовые ряды - основные понятия с примерами решения). Следовательно, необходимый признак сходимости не выполнен, и ряд расходится.

б) Так как члены знакочередующегося ряда, начиная со второго, убывают по абсолютной величине —

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

и предел общего члена Числовые ряды - основные понятия с примерами решения (это можно установить, например, с помощью правила Лопиталя), то по признаку Лейбница ряд сходится. Ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, умноженного на Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Следовательно, данный ряд условно сходящийся.

в) Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, так как его члены меньше членов сходящегося ряда (13.12) при Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияследовательно, данный ряд сходится и притом абсолютно. ►

Определение ряда и его сходимость

Пусть

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

бесконечная последовательность чисел.

Определение 27.1.1. Выражение

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

называется числовым рядом, а элементы последовательности Числовые ряды - основные понятия с примерами решениячленами ряда.

Поскольку выражение (27.1.2) рассматривается как единое целое, то для задания ряда необходимо задать каждый его член Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Обычно член ряда задается как некоторая функция от своего номера. Аналитическое выражение этой функции называют общим членом ряда. Например, общим членом ряда геометрической прогрессии Числовые ряды - основные понятия с примерами решения является Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Припишем теперь определенный смысл выражению (27.1.2), т.е. введем определение.

Определение 27.1.2. Сумма n первых членов ряда (27.1.2) Числовые ряды - основные понятия с примерами решения называется n-ой частичной суммой этого ряда.

Ясно, что первая, вторая, третья и т.д. частичные суммы ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

составляют бесконечную последовательность: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Определение 27.1.3. Ряд (27.1.2) называется сходящимся, если последовательность Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияего частичных сумм имеет конечный предел:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Значение S этого предела называется суммой ряда (27.1.2). Ряд (27.1.2) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм предела не имеет (например, если члены последовательности возрастают по модулю неограниченно).

Содержание теории числовых рядов состоит в установлении сходимости или расходимости тех или иных рядов и в вычислении сумм сходящихся рядов.

В принципе можно доказывать сходимость или расходимость каждого ряда, а также вычислять сумму сходящегося ряда, опираясь непосредственно на определения сходимости и суммы. Для этого в каждом случае составляется аналитическое выражение для n- ой частичной суммы ряда и находится предел этого выражения при возрастании n.

Пример:

Для ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения-я частичная сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, и предел ееЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, поэтому этот ряд сходится и его сумма равна 1.

Пример:

Последовательность вида

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

называется геометрической прогрессией, где а – первый член, а

q – её знаменатель; выражение Числовые ряды - основные понятия с примерами решения называется общим членом геометрической прогрессии.

Числовой рядЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения члены которого являются членами геометрической прогрессии, называется геометрическим рядом со знаменателем q .

Если в прогрессии (27.1.3) имеется только конечное число членов, то прогрессия называется конечной; в противном случае, если за каждым членом прогрессии следует ещё хотя бы один член, то прогрессия называется бесконечной.

В случае конечной прогрессии Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияможно говорить о сумме всех её членов Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, которую можно назвать n- ой частичной суммой геометрического ряда.

Известно, что при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, эта сумма равна Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Из определения 27.1.3 следует, что суммой геометрического ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

называется предел её частичных сумм Числовые ряды - основные понятия с примерами решения при неограниченном возрастании n:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Так как а и q от n не зависят, то последнюю формулу представим в виде:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то предел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения равен нулю, и мы получаем

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, т.е. при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения прогрессия (27.1.5) сходится. Следователь-

но, сходится и ряд (27.1.4). Если же Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то предел справа в равенстве (27.1.5) не существует и, следовательно, ряд (27.1.4) расходится.

Итак, мы привели примеры, в которых исследование сходимости рядов проводили, применяя определение 27.1.3., т.е. вычисляли частичные суммы и находили предел их последовательностей. Ясно, что в общем случае, составление аналитического выражения для n- ой частичной суммы трудный вопрос. Кроме того, при исследовании рядов нередко значения сумм не представляют интереса, т.к. нужно определить только сходится ряд или нет. Поэтому представляют интерес методы анализа рядов, когда не требуется вычислять суммы рядов. Далее перейдем к изложению таких методов.

Свойства сходящихся рядов

Пусть дан ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Определение 27.2.1. Ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияназывается n-м остатком ряда (27.2.1.)

Очевидно, m- я частичная суммаn -го остатка ряда равна разности Числовые ряды - основные понятия с примерами решениячастичных сумм самого ряда. Кроме того, Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, откуда, переходя к пределу по m при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, получим Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Предел слева есть сумма исходного ряда, а предел справа-сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения его n – го остатка: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Ясно, что из существования предела в левой части равенства следует существование другого предела в правой части и наоборот. Поэтому если сходится один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. Точно так же из сходимости ряда следует сходимость каждого его остатка. Кроме того, справедлива следующая теорема.

Теорема 27.2.1. Если ряд (27.2.1) сходится, то сумма его n-го остатка с ростом n стремится к нулю.

Доказательство. Выше показано, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Так как это равенство справедливо для любого n, то мы можем перейти в нем по n к пределу:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Но для сходящегося ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, поэтому Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Рассмотрим теперь свойства сходящихся рядов, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами.

Теорема 27.2.2. Если ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

имеет сумму S, то ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

полученный из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число a, имеет сумму aS.

Доказательство. Обозначим последовательность частичных сумм ряда (27.2.2) Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Тогда последовательность частичных сумм ряда (27.2.3) очевидно будет иметь вид:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. И поэтому Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Так как ряд

(27.2.2) сходится, то Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясуществует и, следовательно, существует предел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения ив силу этого же равенства он равен aS.

Теорема 27.2.3. Если ряды

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясходятся, а их суммы соответственно равныЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, то и рядЧисловые ряды - основные понятия с примерами решенияназываемый суммой данных рядов, также сходится и его сумма равна сумме сумм данных рядов Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, другими словами, сходящиеся ряды можно почленно складывать.

Доказательство. Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения . Тогда n -ая частичная сумма Числовые ряды - основные понятия с примерами решения ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения будет равнаЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения и так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения существуют, то

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения существует и равенЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, т.е.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Следствие. Разность двух сходящихся рядов-ряд сходящийся.

Теорема 27.2.4. Свойства сходимости или расходимости ря-,ki не нарушается, если в ряде исключить или приписать к нему любое конечное число членов.

Доказательство. ПустьЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения два ряда, причём второй получается из первого исключением первых двух членов. Тогда, если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения – n-я частичная сумма первого ряда, а Числовые ряды - основные понятия с примерами решения – n-я частичная сумма второго ряда, то, очевидно, что

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Из этого равенства следует, что, если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения имеет предел, то Числовые ряды - основные понятия с примерами решения также имеет предел. Ясно, что эти пределы будут различны, а, именно Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Если же Числовые ряды - основные понятия с примерами решения не имеет предела, то Числовые ряды - основные понятия с примерами решения также не имеет предела. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Теорема 27.2.5. (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Доказательство. Пусть ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится и его сумма равна S. Из определения n -ой частичной суммы следует, что общий член ряда можно представить в виде разности и-ой частичной суммы и (n-1)-ой частичной суммы: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Переходя к пределу в этом равенстве, получим утверждение теоремы:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Отметим, что условие (27.2.4) не является достаточным, т.е. общий член может стремиться к нулю, но ряд все же может быть расходящимся. Но если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд будет расходящийся.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №13

Исследуем на сходимость гармонический ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Вначале находим предел общего члена: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Нетрудно, однако, показать, что сумма n первых членов гармонического ряда беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8,… членов:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения так что в k – ой группе будет Числовые ряды - основные понятия с примерами решения членов. Fx л и в каждой групп заменим все члены последним, то получим ряд:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сумма n первых членов которого, равнаЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, очевидно, стремится к Числовые ряды - основные понятия с примерами решения :

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Но сумма n первых членов заданного гармонического ряда больше суммы n первых членов преобразованного ряда, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Тогда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что означает, чтоЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения следовательно, гармонический ряд расходится.

Пример №14

Найти формулу для общего члена ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

считая, что каждый его последующий член определяется по тому же закону, по которому образованы записанные члены, и найти ею сумму.

Решение:

Каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель равен произведению двух последовательных натуральных чисел Числовые ряды - основные понятия с примерами решения . Следовательно, искомая формула общего члена ряда имеет вид:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Для вычисления суммы ряда составим n -ую частичную сумму:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Представим выражение для общего члена в виде разности:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

тогда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Переходя к пределу, получаем сумму ряда:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №15

Исследовать сходимость ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Общий член ряда определяется формулой Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Вычислим предел модуля общего члена:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Так как предел общего члена не стремится к нулю, то ряд расходится.

Признаки сходимости числовых знакоположительных рядов

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами. Существует много приёмов, называемых признаками сходимости, позволяющих установить сходимость или расходимость числовых рядов Так мы познакомились с методом исследования сходимости ряда на основании выяснения имеет ли предел последовательность частичных сумм. Стремление к нулю члена ряда по мерс роста его номера также является признаком сходимости, хотя только необходимым. Ниже мы приведём ряд достаточных признаков сходимости.

Признаки сравнения

Теорема 27.3.1. (I признак сравнения). Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

и

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

два ряда, причём члены первого ряда, начиная с некоторого номера k , не превосходят соответствующих членов второго

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Тогда из сходимости ряда (27.3.2) следует сходимость ряда (27.3.1), а из расходимости ряда (27.3.1) следует расходимость ряда (27.3.2).

Доказательство. Так как исключение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (теорема 27.2.4.), то достаточно доказать теорему для случая когда неравенства (27.3.3) выполняются для k = 1.

Пусть Числовые ряды - основные понятия с примерами решения последовательности частичных сумм рядов (27.3.1) и (27.3.2) соответственно. Это возрастающие последовательности, так как члены рядов неотрицательные числа. В силу неравенств (27.3.3), имеем Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пусть ряд (27.3.2) сходится. Тогда сходится соответствующая последовательность частичных сумм ряда (27.3.2), т.е.Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Поскольку выполняются неравенства (27.3.3), то члены последовательности частичных сумм ряда (27.3.1) удовлетворяют неравенствуЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения для всех т. Следовательно, последовательность Числовые ряды - основные понятия с примерами решения возрастает и ограничена: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Поэтому, в силу признака Больцано-Всйсрштраса, последовательность частичных сумм ряда (27.3.1) сходится. По определению 27.1.3, сходится и ряд (27.3.1).

Пусть теперь ряд (27.3.1) расходится. Это значит, что его частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, в силу неравенств (27.3.3), неограниченно возрастают и частичные суммы ряда (27.3.2), что означает, что этот ряд расходится. 

Пример №16

Пусть дан ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Исследуем его сходимость.

Решение:

Необходимый признак выполняется, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Для исследования сходимости заданного ряда применим 1 признак

сравнения (теорему 27.3.1). Сравним заданный рядЧисловые ряды - основные понятия с примерами решенияс гармоничсским рядом Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Так как выполняются неравенстваЧисловые ряды - основные понятия с примерами решениято ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решениярасходится, потому что расходится гармонический ряд.

Пример №17

Исследовать сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Очевидно, что предел общего члена при возрастании т стремится к нулю.

Сравним данный ряд, общий член которого Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияс гармоническим рядомЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения который сходится, так как Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Поскольку Числовые ряды - основные понятия с примерами решения для Числовые ряды - основные понятия с примерами решения т.е. выполняются неравенства (27.3.3), то на основании первого признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд также сходится.

Теорема 27.3.2. (II признак сравнения). Если для рядовЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения иЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения отношение общих членов Числовые ряды - основные понятия с примерами решения стремится к некоторому положительному и конечному пределу:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

то ряды Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Предельное соотношение (27.3.4), в силу определения Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияозначает, что, начиная с некоторою номера N ,

выполняется неравенствоЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения. Это неравенство равносильно неравенству:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Обозначив Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, неравенство (27.3.5) запишется в виде:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Предположим, что ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится. Поскольку выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то, из первого признака сравнения, следует сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения в силу теоремы 27.2.2, и ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения . Если же ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решениярасходится, то расходится и ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения по теореме 27.2.2. Тогда, поскольку выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, расходится и ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения в силу I признака сравнения. Аналогично рассуждая можно показать, что из сходимости ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения следует сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения по I признаку сравнения с использованием теоремы 27.2.2. 13Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Последовательность Числовые ряды - основные понятия с примерами решения называется сходящейся, если существует такое вещественное число а , что для любого положительного числа Числовые ряды - основные понятия с примерами решения найдется номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения такой, что для всехЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №18

Исследовать сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Очевидно, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Поэтому, воспользуемся признаком сравнения, сравнив заданный ряд с гармоническим. Найдем предел отношения общих членов исследуемого ряда и гармонического:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Теорема 27.3.2 выполняется, поэтому из расходимости гармонического ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияследует расходимость исследуемого ряда.

Признаки Д’Аламбсра и Коши

Иногда вместо признаков сравнения оказываются полезными некоторые специальные признаки сходимости ряда. Отметим среди них признаки Д’Аламбсра и Коши, непосредственно получающиеся из признаков сравнения, если в качестве ряда сравнения взять соответствующим образом выбранную геометрическую прогрессию.

Теорема 27.3.3. (признак Д’Аламбера). Если для ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

с положительными членами существует такой номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, начиная с которого, т.е. при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, отношение последующего члена к предыдущему удовлетворяет неравенству: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то ряд (27.3.6) сходится. Если же существует номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, начиная с которого, т.е. при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения отношение последующего члена к предыдущему больше единицы:Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд (27.3.6) расходится.

Доказательство. Пусть 0 Числовые ряды - основные понятия с примерами решения q Числовые ряды - основные понятия с примерами решения 1 и пусть существует такой номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. выполняется неравенство:Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияПерепишем это неравенство в виде: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Тогда, начиная с номера Числовые ряды - основные понятия с примерами решения буду последовательно выполнятся неравенства:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, являясь суммой член геометрической прогрессии со знаменателем Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, сходите Из неравенств (27.3.7) следует, что по I признаку сравнения, сходится и ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решениязначит и весь ряд (27.3.6

т.к. на сходимость ряда не влияет исключение конечного числа е^ членов.

Если же существует такое Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что выполняется неравенствЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то, переписав его в виде Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, можно для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, последовательно записать следующие неравенство

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Так как по предположению Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то n-ный член ряда будучи ограниченным снизу положительной постоянной не стремится к нулю. Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, и поэтому ряд (27.3.6) расходится. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Следствие 1. Пусть существует предел отношения последующего члена ряда (27.3.6) к предыдущему равный r :

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Тогда, еслиЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд (27.3.6) сходится: если же Числовые ряды - основные понятия с примерами решения то ряд (21.3.6) расходится.

Доказательство. Воспользовавшись определением предела, для фиксированного Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, можно утверждать, что начиная с некоторого номера Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, все отношения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения будут отличатся от значения предела r на число Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Рассмотрим правую часть двойного неравенства: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения . Тогда сославшись на доказанную теорему 27.3.3, в случае если r Числовые ряды - основные понятия с примерами решения1, получаем сходимость ряда. Рассматривая левую часть неравенства

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения , получаем расходимость ряда приr > 1. Следствие доказано.

Пример №19

Рассмотрим ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, сходимость которого исследуем, используя признак Даламбера, т.е. следствие 1.

Решение:

Выпишем вначале значения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Затем вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Так как этот предел меньше 1, то, в силу следствия 1, данный ряд сходится.

Заметим, что при исследовании сходимости ряда обычно (как правило, но не всегда) применяют следствие 1 из теоремы 27.3.3.

Теорема 27.3.4. (признак Kouiu). Если для ряда

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

с положительными членами, начиная с некоторого номера Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решениядля всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то ряд (27.3.6) сходится. Если же существует такой номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, начиная с которого выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть существует такой номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, что при всехЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Тогда, возводя обе части неравенства в степень n, получим Числовые ряды - основные понятия с примерами решения. Так как сходится геометрический ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то на основании признака сравнения, получаем, что ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится. Если же существует номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, такой что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то ясно, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, и значитЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения (не выполняется необходимый признак сходимости), поэтому ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решениярасходится.Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Следствие 2. Пусть существует предел корня n -ой степени из n-го члена ряда (27.3.9):

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Тогда, если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то ряд (27.3.9) сходится, если жеЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, то ряд (27.3.9) расходится.

Доказательство. Из определения предела следует, что для фиксированного Числовые ряды - основные понятия с примерами решения существует номер Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, начиная с которого выполняется неравенство Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Это неравенство равносильно неравенствуЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения. Из правой части неравенства следуетЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, поскольку Числовые ряды - основные понятия с примерами решениясколь угодно малое число. Тогда из теоремы 27.3.4, получаем сходимость ряда (27.3.9). Рассматривая левую часть неравенстваЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, получимЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения и еслиЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения, то из теоремы 27.3.4 следует расходимость ряда (27.3.9). Следствие доказано.

Пример №20

Рассмотрим ряд Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, сходимость которого исследуем по признаку Коши, т.е. применим следствие 2.

Решение:

Выпишем значение n-го члена ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения н вычислим предел корня n -ой степени: Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Так как этот предел меньше 1, то, согласно следствию 2, ряд сходится.

Замечание. Если пределы (27.3.8) и (27.3.10) равны 1, то для исследования сходимости ряда (27.3.9) нужно применять другие признаки, с которыми можно ознакомиться в [3].

Интегральный признак сходимости

Рассмотрим признак, достоинство которого состоит в исключительно высокой его чувствительности. Этим признаком проводится исследование сходимости там, где сформулированные признаки Д’Аламбсра и Коши «не работают».

Каждый член числового ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения можно рассматривать как значение функции f от его номера:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Эта функция определена пока только для целых положительных значений аргумента. Поэтому, доопределив значение функции f для всех нецелых значений аргумента, больших единицы, мы сможем, говорить о функции f(x), принимающей значения для любого Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и при х = n, равные членам числового ряда. Теорема 27.3.5. Пусть дан ряд

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

члены которого положительны и не возрастают Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Если функция f, определённая для всех Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, неотрицательна и монотонно убывает, то ряд (27.3.11) сходится или расходится тогда и только тогда, когда сходится или

расходится интеграл Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Доказательство. Пусть члены ряда (27.3.11) удовлетворяют условиям теоремы. Изобразим их графически, откладывая по оси Ох независимую переменную, а по оси Оу – соответствующие значения Числовые ряды - основные понятия с примерами решения . Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

При таком графическом изображении сумма n первых членов ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решенияпредставляет сумму площадей описанных прямоугольников, которая заключает внутри себя площадь, ограниченной кривой Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, осью Ох и прямыми Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и поэтому будет выполняться неравенство:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

С другой стороны, криволинейная трапеция содержит сумму площадей вписанных прямоугольников, которая равна Числовые ряды - основные понятия с примерами решения Поэтому, выполняется неравенство:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Из (27.3.12) и (27.3.13) следует неравенство:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Предположим, что несобственный интеграл Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится. Это означает, что Числовые ряды - основные понятия с примерами решения является конечным числом. Тогда из неравенства (27.3.14) следует, что последовательность частичных сумм Числовые ряды - основные понятия с примерами решения возрастающая и ограничена при всех n. Тогда в силу теоремы: “возрастающая последовательность, ограниченная сверху, сходится”, числовой ряд (27.3.11) сходится. Если же несобствснный интегралЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения расходится, т.е. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то из неравенства (27.3.12) следует, что последовательность частичных суммЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения не ограничена. Тогда в силу определения 27.1.3 ряд будет расходящимся. Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Пример №21

Исследовать сходимость ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Применим интегральный признак. Рассмотрим функцию Числовые ряды - основные понятия с примерами решения которая положительна и убывает при х> 2, и исследуем сходимость несобственного интеграла:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и рядЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения в силу инте1рального признака Коши.

Замечание. Исследовать сходимость данного ряда при помощи следствий 1 и 2 не представляется возможным, так как соответствующие пределы равны 1.

Пример №22

Исследовать сходимость ряда Дирихле

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

Решение:

Если Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, то общий член ряда Числовые ряды - основные понятия с примерами решения не стремится к нулю. На основании следствия из необходимого признака сходимости, следует расходимость ряда Дирихле при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения.

Пусть а > 0, тогда необходимый признак, очевидно, выполняется. Применим интегральный признак Коши. Введем функцию

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения, которая положительная и не возрастает при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения и исследуем сходимость несобственного интегралаЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения

Вычислим определенный интеграл, записанный под знаком предела:

Числовые ряды - основные понятия с примерами решения

ЕслиЧисловые ряды - основные понятия с примерами решения существует и равен Числовые ряды - основные понятия с примерами решения а при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения указанный предел не существует.

Таким образом, при a>1 несобственный интеграл Числовые ряды - основные понятия с примерами решения сходится, следовательно, сходится и ряд Дирихле, а при Числовые ряды - основные понятия с примерами решения несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд Дирихле.

  • Знакопеременные ряды
  • Степенные ряды
  • Элементы матричного анализа
  • Уравнение линии
  • Несобственные интегралы
  • Дифференциальные уравнения первого порядка
  • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
  • Системы дифференциальных уравнений

Добавить комментарий