Как найти сумму ряда с рекурсией – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Improve Article

Save Article

Like Article

Read

Discuss

Improve Article

Save Article

Like Article

Given an integer n, the task is to find the sum of the series 1¹ + 2² + 3³ + ….. + nⁿ using recursion.

Examples:

Input: n = 2
Output: 5
1¹ + 2² = 1 + 4 = 5

Input: n = 3
Output: 32
1¹ + 2² + 3³ = 1 + 4 + 27 = 32

Approach: Starting from n, start adding all the terms of the series one by one with the value of n getting decremented by 1 in each recursive call until the value of n = 1 for which return 1 as 1¹ = 1.

Below is the implementation of the above approach:

C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long int

ll sum(int n)

{

if (n == 1)

return 1;

else

return ((ll)pow(n, n) + sum(n - 1));

}

int main()

{

int n = 2;

cout << sum(n);

return 0;

}

Java

class GFG {

static long sum(int n)

{

if (n == 1)

return 1;

else

return ((long)Math.pow(n, n) + sum(n - 1));

}

public static void main(String args[])

{

int n = 2;

System.out.println(sum(n));

}

Python3

def sum(n):

if n == 1:

return 1

else:

return pow(n, n) + sum(n - 1)

n = 2

print(sum(n))

C#

using System;

class GFG {

static long sum(int n)

{

if (n == 1)

return 1;

else

return ((long)Math.Pow(n, n) + sum(n - 1));

}

public static void Main()

{

int n = 2;

Console.Write(sum(n));

}

PHP

<?php

function sum($n)

{

if ($n == 1)

return 1;

else

return (pow($n, $n) + sum($n - 1));

}

$n = 2;

echo(sum($n));

?>

Javascript

<script>

function sum(n)

{

if (n == 1)

return 1;

else

return (Math.pow(n, n) + sum(n - 1));

}

var n = 2;

document.write(sum(n));

</script>

Time Complexity: O(nlogn), for using pow function for numbers 1 till N.

Auxiliary Space: O(n) for recursive stack space.

Last Updated :
22 Sep, 2022

Like Article

Save Article

Источник

WejusT1k

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

Вычисление суммы ряда используя рекурсию

14.02.2015, 21:26. Показов 6746. Ответов 13

Метки нет (Все метки)

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите написать програму для вычисления сумы ряда используя рекурсию
Я только понял как посчитать факториал (2*N+1)! используя рекурсию, а вот как сумму ряда запрограммировать так и не понял

C++

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
 
long double fact(int C)
{
    if(C < 0) // если пользователь ввел отрицательное число
        return 0; // возвращаем ноль
    if (C == 0) // если пользователь ввел ноль,
        return 1; // возвращаем факториал от нуля
    else // Во всех остальных случаях
        return C * fact(C - 1); // делаем рекурсию.
}
 
int main()
{
    int N,x;
    double sum;
    setlocale(0,""); // Включаем кириллицу
    cout << "Введите число для вычисления факториала: ";
    cin >> N;
    int C=2*N+1;
    cout << "Факториал для числа " << C << " = " << fact(C) << endl << endl; // fact(С) - функция для вычисления факториала.
    system("pause");
    return 0;
 
}

Сума ряда выглядит так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sum frac{{-1}^{N}*{x}^{2}}{N*(2*N+1)!}$

Добавлено через 5 минут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sum frac{{-1}^{N+1}*{x}^{2}}{N*(2*N+1)!}$
Чучуть формулу не так написал, вот она

183 / 167 / 53

Регистрация: 27.01.2013

Сообщений: 788

14.02.2015, 21:51

сумма = элемент + сумма_без_элемента

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

14.02.2015, 21:53

[ТС]

saden, а можете это в коде записать, а то я не понял(

Эксперт PHP

4845 / 3857 / 1599

Регистрация: 24.04.2014

Сообщений: 11,316

14.02.2015, 21:55

WejusT1k, какой диапозон суммирования

WejusT1k

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

14.02.2015, 22:00

[ТС]

Jewbacabra,
диапозон в условии не дан, значит любой который мы введем с клавиатуры, только 0 нужно исключить
Вот я уже даже часть кода написал, только факториал не могу запилить туда

C++

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
 
long double fact(int C)
{
    if(C < 0) // если пользователь ввел отрицательное число
        return 0; // возвращаем ноль
    if (C == 0) // если пользователь ввел ноль,
        return 1; // возвращаем факториал от нуля
    else // Во всех остальных случаях
        return C * fact(C - 1); // делаем рекурсию.
}
long double function(int N,int x)
{
    
    double result;
    double eps=0.00000001;
    if(N <= 0 ) return 0; 
    result = pow(-1,N+1)*pow(x,2) / N(КАК СЮДА ВТУЛИТЬ ФАКТОРИАЛ?);
    if((N == 0) || (result<eps))
        return result;
    else
        return result + function(N - 1,x);
}
 
int main()
{
    int N,x;
    setlocale(0,""); // Включаем кириллицу
    cout << "Введите число для вычисления факториала: ";
    cin >> N;
    cout<<"Введите х n";
    cin>>x;
    int C=2*N+1;
    cout<<"Результат "<<function(N,x)<<"n";
    cout << "Факториал для числа " << C << " = " << fact(C) << endl << endl; // fact(N) - функция для вычисления факториала.
    system("pause");
    return 0;
 
}

Эксперт PHP

4845 / 3857 / 1599

Регистрация: 24.04.2014

Сообщений: 11,316

14.02.2015, 22:05

Цитата
Сообщение от WejusT1k
Посмотреть сообщение

только факториал не могу запилить туда

а это не нужно.
Достаточно выразить a(n+1) через a(n)

saden

183 / 167 / 53

Регистрация: 27.01.2013

Сообщений: 788

14.02.2015, 22:14

C++

double sum(int n)
{ double an = //член ряда, лениво набирать
if(an<1e-6) return an;//граничная точность счета
else return an+sum(n+1);
}

Добавлено через 2 минуты
факториал уже набран в начале темы.
чем не подходит?

Добавлено через 6 минут
забыл про х

C++

1
2
3

double sum(double x,int n=1)//значение по умолчанию позволит делать вызов просто как sum(0.01)
{ ...
}

WejusT1k

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

14.02.2015, 22:38

[ТС]

saden,

C++

1	else return an+sum(n+1);

я вот не понял этой строчки я ввожу с клавиатуры n=100 , суму оно начнет считать с n а потом увеличивать на 1?

Добавлено через 9 минут
Jewbacabra,
я вот сижу так и не могу понять, как сделать, может поможете в написании кода?

Jewbacabra

Эксперт PHP

4845 / 3857 / 1599

Регистрация: 24.04.2014

Сообщений: 11,316

14.02.2015, 22:55

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
double rec_sum(double acc, double last, double eps, int i) {
    double next = last * -i / (2 * (i+1) * (i+1) * (2*i+3));
    if (abs(next) < eps) {
        return acc;
    } else {
        return rec_sum(acc+next, next, eps, i+1);
    }
}
 
double sum(double x) {
    return rec_sum(-x*x/6, -x*x/6, 1.0e-6, 2);
}
 
int main() {
    int x;
    cin >> x;
    cout << sum(x);
    return 0;
}

сделал для суммы, где -1^N. Для -1^N+1 домножить результат на -1

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

14.02.2015, 23:04

[ТС]

Jewbacabra, что то я туплю, даже не понимаю что это за программа

Эксперт PHP

4845 / 3857 / 1599

Регистрация: 24.04.2014

Сообщений: 11,316

14.02.2015, 23:11

Лучший ответ Сообщение было отмечено WejusT1k как решение

Решение

WejusT1k, посмотри в этой теме. Большая коллекция решенных задач
Там решается через цикл, но его легко можно переделать в рекурсию, а основная идея та же

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

15.02.2015, 01:35

[ТС]

Jewbacabra, через цикл я уже давно сделал, вот только что и с рекурс разобрался,спасибо большое за помощь)

Добавлено через 1 час 23 минуты
Думал что разобрался, но все таки нет, кто нибудь помогите и напишите полный код , буду очень благодарен(

Добавлено через 50 минут
Кто-нибудь помогите пожалуйста

saden

183 / 167 / 53

Регистрация: 27.01.2013

Сообщений: 788

15.02.2015, 08:33

C++

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
 
long double fact(int C)
{
    if(C < 0) // если пользователь ввел отрицательное число
        return 0; // возвращаем ноль
    if (C == 0) // если пользователь ввел ноль,
        return 1; // возвращаем факториал от нуля
    else // Во всех остальных случаях
        return C * fact(C - 1); // делаем рекурсию.
}
 
double sum(double x,double eps=1e-6,int n=1)//значение по умолчанию позволит делать вызов просто как sum(0.01)
{  double an = pow(-1,n+1)*pow(x,2) /n/fact(2*n+1);
if(an<eps) return an;//граничная точность счета
else return an+sum(x,eps,n+1);
}
 
int main()
{
    double x;
    double sum;
    setlocale(0,""); // Включаем кириллицу
    cout << "Введите число x: ";
    cin >> x;
 
    cout << "Сумма для числа " << x << " = " <<  sum(x) << endl << endl; //sum(x,1e-7) - расчет с другой точностью, sum(x,1e-7,10) - начало счета с 10 элемента
    system("pause");
    return 0;
 
}

0 / 0 / 2

Регистрация: 13.12.2014

Сообщений: 18

15.02.2015, 11:45

[ТС]

В чем ошибка?

Добавлено через 15 секунд
saden, Помогите пожалуйста

Добавлено через 4 минуты
saden, Большое спасибо, я разобрался) там просто когда объявляли sum, то мы объявили её как переменную а не функцию

Источник

Например: от 1 до 5 // 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

задан 18 апр 2019 в 11:09

Можно так

/**
 * Функция находит сумму последовательности чисел используя рекурсию
 * @param begin начало
 * @param end конец
 */
const sequenceSum = (begin, end) => {
        
    if(begin == 0 && end == 0){
        return 0;
    }else if(begin == end){
        return begin;
    }else if(begin > end){
        return NaN;
    }    
    return begin + sequenceSum(begin + 1, end);            
};

console.log('Сумма чисел: ', sequenceSum(1,5)); // 15

ответ дан 18 апр 2019 в 11:12

Существует особый вид рекурсии – хвостовая рекурсия. Такая функция в некоторых случаях эффективнее обычной рекурсивной функции.

const sumOfSequences = (begin, end) => {
  const iter = (counter, acc) => {
    if (counter === end) {
      return acc + counter;
    }
    return iter(counter + 1, acc += counter);
  };

  return iter(begin, 0);
};

console.log(sumOfSequences(1, 10200));

ответ дан 18 апр 2019 в 11:55

Рекурсия

function sum(num) {
    if (num == 0) {
      return 0;
    } else {
      return (num + sum(num - 1));
    }
}

console.log(sum(5)); // 15

ответ дан 18 апр 2019 в 11:21

AlexyAlexy

9032 золотых знака8 серебряных знаков19 бронзовых знаков

const sequenceSum = (begin, end) => {
  if (begin > end) {
    return NaN;
  } else if (begin === end) {
    return begin;
  } else {
    return begin + sequenceSum(begin + 1, end) /*Функция будет вызвана столько раз, пока begin === end */
  }
}

ответ дан 25 янв 2022 в 15:24

Евгений КолмакЕвгений Колмак

4732 золотых знака3 серебряных знака13 бронзовых знаков

Источник

Сумма ряда

Для начала рассмотрим
пример суммирования первых n
членов арифметической прогрессии. Хотя
такую сумму можно легко вычислить с
помощью конечной формулы, мы всё же
посмотрим, как это будет выглядеть на
Прологе в виде рекурсии.

Пример 6.
Для
вычисления суммы объявим предикат
sum/3,
в котором входными аргументами является
первый член ряда From
и количество суммируемых членов Count.
Третий аргумент Summa
является выходным. Шаг рекурсии для
простоты равен 1.

class predicates

sum : (integer From, unsigned Count, integer Summa)
procedure (i,i,o).

Рекурсивный
предикат будет содержать два предложения:

clauses

sum(_,0,0):- !.

sum(V,Count,Summa) :- sum(V+1,Count-1,Summa1),
Summa=Summa1+V.

Первое предложение
является условием окончания рекурсии
и содержит условие Count=0,
для которого значение суммы равно нулю
Summa=0.
Это означает, что если ряд не содержит
членов, то его сумма равна нулю.

Второе предложение
собственно суммирует значения членов
ряда с помощью предиката Summa=Summa1+V.
Этот предикат можно выразить словами
так: “сумма n
членов ряда равна сумме n-1
членов ряда плюс n-й
член ряда”. Основной особенностью такой
рекурсии является то, что суммирование
производится после рекурсивного вызова,
другими словами – на выходе из рекурсии.

Программа
имеет
следующий
код:

implement main

open core, console

constants
className = “com/visual-prolog/main”.
classVersion = “$JustDate: $$Revision: $”.

class predicates
sum : (integer From, unsigned Count, integer Summa)
procedure (i,i,o).

clauses
classInfo(className, classVersion).

sum(_,0,0):- !.
sum(V,Count,Summa) :- sum(V+1,Count-1,Summa1),
Summa=Summa1+V.

run():-
   init(),
   sum(1,3,Summa),
   write(Summa),
   write(“nПрограмма завершена”),
   _=readchar().

end implement main

goal

mainExe::run(main::run).

Запустив программу
можно увидеть ответ, равный шести.
Действительно, сумма первых трёх членов
ряда 1+2+3 равна шести. Замечание:
предикат sum/3
в этом примере можно записать более
лаконично:

sum(_,0,0):- !.

sum(V,Count,Summa1+V) :- sum(V+1,Count-1,Summa1).

Однако в такой
записи не очевидно то, что вычисления
производятся на выходе из рекурсии.

Задание 9.
Модифицировать предикат из примера 6
в предикат-функцию со следующим
объявлением:

class predicates

sum : (integer From, unsigned Count, ) -> integer Summa
procedure (i,i,o).

Пример 7.
Суммирование значений членов ряда можно
производить и перед рекурсивным вызовом,
другими словами – на входе в рекурсию.
Для этого в предикат sum/3
надо добавить ещё один входной аргумент
Temp,
в котором мы будем сохранять текущую
сумму. Назовём
новый
предикат
sum1/4
и
объявим
его
так:

class predicates

sum1 : (integer From, unsigned Count, integer Temp,
integer Summa)
procedure (i,i,i,o).

При вызове этого
предиката аргумент Temp
должен быть равен нулю, так как он
является текущей суммой.

sum1(_,0,Summa,Summa) :- !.

sum1(N,Count,Temp,Summa) :-

sum1(N+1,Count-1,Temp+N,Summa).

Полный текст
программы выглядит так:

implement main

open core, console

constants
className = “com/visual-prolog/main”.
classVersion = “$JustDate: $$Revision: $”.

class predicates

sum1 : (integer From, unsigned Count, integer Temp,
integer Summa) procedure (i,i,i,o).

clauses

classInfo(className, classVersion).

sum1(_,0,Summa,Summa) :- !.

sum1(N,Count,Temp,Summa) :-

sum1(N+1,Count-1,Temp+N,Summa).

run():-
init(),

sum1(1,3,0,Summa1),write(“Ответ=”,Summa1),nl,

write(“nПрограмма завершена”),

_=readchar().

end implement main

goal

mainExe::run(main::run).

Результат работы
программы будет конечно же таким, как
и в примере 6.

Пример 8.
Этот пример демонстрирует различия
между двумя способами вычисления суммы
ряда: с одной стороны сумму можно
подсчитать на выходе из рекурсии, как
это сделано в примере 6; с другой
стороны – на входе в рекурсию, как это
сделано в примере 7. Второй способ
расходует стек немного быстрее, чем
первый. Для демонстрации размера
используемой памяти применяется предикат
memory::getUsedStack(),
который возвращает размер используемого
стека. Вызывая этот предикат перед
рекурсивным вызовом и после рекурсивного
вызова можно наглядно увидеть расход
памяти на каждом витке цикла:

implement main

open core, console

constants
className = “com/visual-prolog/main”.
classVersion = “$JustDate: $$Revision: $”.

class predicates
sum : (integer From, unsigned Count, integer Summa)
procedure (i,i,o).
sum1 : (integer From, unsigned Count, integer Temp,
integer Summa) procedure (i,i,i,o).

clauses
classInfo(className, classVersion).

sum(_,0,0) :- write(“Дно Stack=”,memory::getUsedStack(),” Summa=0″),
nl,!.
sum(V,Count,Summa1+V) :-

   write(“Вызов Stack=”,memory::getUsedStack()),nl,
   sum(V+1,Count-1,Summa1),
   writef(“Возврат Stack=%   Summa=%+%=%”,
memory::getUsedStack(),Summa1,V,Summa1+V),nl.

sum1(_,0,Summa,Summa) :-

write(“Дно Stack=”,memory::getUsedStack(),
” Summa=”,Summa),nl,!.
sum1(N,Count,Temp,Summa) :-

   writef(“Вызов Stack=%   Summa=%+%=%”,
memory::getUsedStack(),Temp,N,Temp+N),nl,
   sum1(N+1,Count-1,Temp+N,Summa),
   write(“Возврат Stack=”,memory::getUsedStack()),nl.

run():-
   init(),
   sum(1,3,Summa),write(“Ответ=”,Summa),nl,nl,
   write(“——————————“),nl,nl,
   sum1(1,3,0,Summa1),write(“Ответ=”,Summa1),nl,
   write(“nПрограмма завершена”),
   _=readchar().

end implement main

goal

mainExe::run(main::run).

Результаты работы
этой программы демонстрируют различия
между двумя способами рекурсий. Предикат
sum/3
демонстрирует вычисления на выходе из
рекурсии, а предикат sum1/4
– перед входом в рекурсию.

Задание 10.
Разработать программу, вычисляющую
сумму первых пяти случайных чисел,
возвращаемых функцией Random=math::random(Max).
Подсказка:
0 <= Random < Max.

Соседние файлы в папке Лабораторные работы

#

22.05.2015701.38 Кб18words.txt
#
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Понятия не имею, что за смешанный способ вам нужен, но сумму этого ряда можно найти два раза взяв производную.

Пусть f(x) – ваш ряд. Тогда f'(x) = sum (-1)^n x^(2n-2) / (2n+1)

Чтобы совсем избавиться от знаменателя надо бы, чтобы степень была 2n+1. Можно этого добиться, домножив все на x^3. Потом можно опять взять производную.

(x^3 f'(x))’ = sum (-1)^n x^2n = sum (-x^2)^n = 1/(1+x^2)

Теперь назад проинтегрировав это можно получить:
x^3 f'(x) = arctg(x)+C

При x=0 слева 0 – значит C=0.

f'(x) = arctg(x) / x^3

Отсюда можно найти f'(x): Зайдите на wolframalpha и введите integrate arctg(x)/x^3 dx (не могу дать прямую ссылку с запросом на wolfram, потому что мат-фильтр почему-то срабатывает на ссылку и не дает отправить ответ).

Чтобы найти константу, придется подставить, например, x=1 и найти сумму ряда a_n = (-1)^n/(4N^2-1). Это какой-то известный сходящийся рад, похоже. Опять, посмотрите на wolframalpha, введите там sum (-1)^n/(4*n^2-1), n=0 to infinity. В итоге получится, что там константа тоже 0.

Вот и получится, что f(x) =- (x^2 * arctan(x) + arctan(x) + x) / (2x^2)

Источник

C++

Java

Python3

C#

PHP

Javascript

Вычисление суммы ряда используя рекурсию

Решение

Сумма ряда

Вам также может понравиться

Как найти площадь шестиугольника через диагональ

Как найти подружку для собаки

Как найти номера телефона с которого звонили

Добавить комментарий Отменить ответ