Как найти сумму тангенсов в треугольнике

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В школе каждый из Вас обязательно встречался с теоремами синусов и косинусов. Вот их формулировки, если кто забыл:

Но кто из Вас слышал о теореме тангенсов, ведь она же напрашивается по аналогии! И действительно, такая формулировка существует, а сейчас покажу Вам её простой вывод! Поехали!

Использовать будет теорему синусов. Положим:

А теперь рассмотрим такое выражение:

Используем известные формулы суммы и разности синусов:

И получаем в два счета выражение, которое и называется теоремой тангенсов:

Впервые теорема была получена в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси.

Кроме того её называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу уже в XV веке.

Тангенсы – вообще интересная шутка. Вы знаете, например, что сумма тангенсов углов треугольника равна их произведению? Я об этом обязательно расскажу!

Спасибо за внимание! Ставьте “Нравится” этой статье и подписывайтесь на канал!

Читайте также:

• Золотое сечение и банковские карты: правда или миф ?
• TELEGRAM и Facebook – там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое .

Ниже в табличном виде представлены формулы сумм основных тригонометрических функций.

Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).

Обратные функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).

Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.

Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.

Основные формулы сложения в тригонометрии

Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.

1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

– вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

– умножаем косинус первого угла на синус первого;

– складываем получившиеся значения.

Графическое написание формулы выглядит так: sin (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β

2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α-β)=sin α·cos β+sin α·sin β

3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β

4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β

5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: tg (α+β)=tg α+tg β1-tg α·tg β

6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот:  tg (α-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: ctg (α+β)=-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β

8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс ctg (α-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β.

Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ±(плюс-минус) и ∓(минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:

sin (α±β)=sin α·cos β±cos α·sin βcos (α±β)=cos α·cos β∓sin α·sin βtg (α±β)=tg α±tg β1∓tg α·tg βctg (α±β)=-1±ctg α·ctg βctg α±ctg β

Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.

Мы можем взять любые углы α и  β, и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.

Доказательства формул сложения

Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, – формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.

Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O) углы α и β . Тогда угол между векторами OA1→ и OA→2 будет равняться (α-β)+2π·z или 2π-(α-β)+2π·z (z – любое целое число). Получившиеся вектора образуют угол, который равен α-β или 2π-(α-β), или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:

Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:

cos ((α-β)+2π·z)=cos (α-β)cos (2π-(α-β)+2π·z)=cos (α-β)

Итог: косинус угла между векторами OA1→ и OA2→ равняется косинусу угла α-β, следовательно, cos (OA1→ OA2→) = cos (α-β).

Далее мы переходим к самому доказательству формулы косинуса разности.

Вспомним определения синуса и косинуса: синус – функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A1 и A2 имеют координаты (cos α, sin α) и (cos β, sin β).

Получим следующее:

OA1→=(cos α, sin α) и OA2→=(cos β, sin β)

Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.

Длины векторов равны 1, т.к. у нас единичная окружность.

Разберем теперь скалярное произведение векторов OA1→ и OA2→. В координатах оно выглядит так:

(OA1→,OA2)→ = cos α·cos β+sin α·sin β

Из этого мы можем вывести равенство:

cos (α-β) = cos α·cos β+sin α·sin β

Таким образом, формула косинуса разности доказана.

Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α+β=α-(-β). У нас есть:

 cos (α+β)=cos (α-(- β))==cos α·cos (-β)+sin α·sin (-β)==cos α·cos β+sin α·sin β

Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:

вида sin (α+β)=cos (π2(α+β)). Так
sin (α+β)=cos (π2(α+β))=cos ((π2-α)-β)==cos (π2-α)·cosβ+sin (π2-α)·sin β==sin α·cos β+cos α·sin β

А вот доказательство формулы синуса разности: 

sin (α-β)=sin (α+(-β))=sin α·cos (-β)+cos α·sin (-β)==sin α·cos β-cos α·sin β
Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.

Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:

tg (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin βcos α·cos β-sin α·sin β

У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α·cos β, учитывая что cos α≠0 и cos β≠0, получаем:
sin α·cos β+cos α·sin βcos α·cos βcos α·cos β-sin α·sin βcos α·cos β=sin α·cos βcos α·cos β+cos α·sin βcos α·cos βcos α·cos βcos α·cos β-sin α·sin βcos α·cos β

Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin αcos α+sin βcos β1-sin αcos α·sin βcos β=tg α+tg β1-tg α·tg β.
У нас получилось tg (α+β) = tg α+tg β1-tg α·tg β. Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.

Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:

tg (α-β)= tg (α+(-β))=tg α+tg (-β)1-tg α·tg (-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
ctg (α+β)=cos (α+β)sin (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin βsin α·cos β+cos α·sin β==cos α·cos β-sin α·sin βsin α·sin βsin α·cos β+cos α·sin βsin α·sin β=cos α·cos βsin α·sin β-1sin α·cos βsin α·sin β+cos α·sin βsin α·sin β==-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β
Далее:
ctg (α-β)=ctg (α+(-β))=-1+ctg α·ctg (-β)ctg α+ctg (-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β

Примеры сложения с помощью тригонометрических формул

В этом пункте мы рассмотрим, как применить эти сложные на вид вычисления на практике. Их можно использовать:

– при преобразовании тригонометрических выражений;

– для вычисления точных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, которые отличаются от основных (0, π6, π4, π3, π2);

– для доказательства других тригонометрических формул, например, формулы двойного угла.

Разберем задачи с использованием формул сложения.