Как найти сумму трех дробей

Чтобы сложить смешанные числа, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем сложить как обыкновенные дроби.
Часто удобней вначале сложить целые части, а затем дробные части, избегаю преобразования в неправильную дробь.

Пример Сложить смешанные числа сложение смешанных дробей 8 3/20 на 11 9/30

показано как находить сумму смешанных чисел 8 3/20 плюс 11 9/30

Сократим дробь дробь 27/60 с помощью нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя
и деления полученного числа на числитель и знаменатель, НОД(27,60)=3,
получим сократим дробь 27/60, получим 9/20.

Пример Найти сумму смешанных чисел сложить смешанные числа 5 7/8 и 2 5/12

найти сумму смешанных чисел 5 7/8 и 2 5/12.

В результате сложения также получим смешанное число.

Сложение нескольких дробей

Пример Сложить 3 дроби сложить 3 дроби 3/8, 1/12 и 5/14

показано как найти сумму трех дробей 3/8, 1/12 и 5/14.

Сложение обыкновенных и десятичных дробей

Пример Найти сумму найти сумму дроби 5/6 и десятичной дроби 0.75

Для сложения десятичных и обыкновенных дробей нужно преобразовать их к одному формату. В данном примере преобразуем десятичную дробь
0.75 в обыкновенную дробь преобразуем 0.75 в дробь 3/4.

нахождение суммы дроби 5/6 и десятичной дроби 0.75.

Определение и основное свойство дроби:

Определение:

Частное (отношение) двух алгебраических выражений, записанное при помощи черты деления, называется алгебраической дробью. Например, выражения

Алгебраические дроби

суть алгебраические дроби. При этом делимое называется числителем, а делитель — знаменателем. Например, алгебраическая дробь

Алгебраические дроби

имеет числителем число Алгебраические дроби а знаменателем число Алгебраические дроби

Основное свойство алгебраической дроби. Величина алгебраической дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же число, не равное нулю. Это свойство следует из того, что частное не меняется при умножении (или делении) делимого и делителя на одно и то же число, не равное нулю.

Основное свойство дроби записывается в виде формул:

Алгебраические дроби

где

Алгебраические дроби

Несократимые и сократимые дроби

Если наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби равен единице, то дробь называется несократимой. Например: .

Алгебраические дроби

суть несократимые дроби.

Если же наибольший общий делитель числителя и знаменателя отличен от единицы, то дробь называется сократимой. Например:

Алгебраические дроби

суть сократимые дроби.

Если числитель или знаменатель дроби отдельно или одновременно являются многочленами, то для решения вопроса о сократимости или несократимости этой дроби необходимо эти многочлены предварительно разложить на целые неприводимые множители, если это возможно. Например, дробь Алгебраические дроби сократима, так как после разложения числителя и знаменателя на множители она принимает вид

Алгебраические дроби

Если числитель и знаменатель дроби разделить на их наибольший общий делитель, то получится . несократимая дробь, тождественно равная данной дроби.

Примеры сокращения дробей:

Алгебраические дроби

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на какой-нибудь их общий множитель.

Полученная после этого новая дробь будет тождественно равна первоначальной дроби. Например,

Алгебраические дроби

(Здесь дробь сокращена только на общий множитель b.)

Алгебраические дроби

(Здесь дробь сокращена только на За.)

Примечание:

Выражение Алгебраические дроби по форме дробное, но по существу целое, так как оно тождественно равно выражению 5аb. Однако между выражениями Алгебраические дроби и 5ab имеется еще и другое различие, а именно выражениеАлгебраические дроби при а = 0 смысла не имеет, тогда как выражение 5ab при а = 0 имеет смысл, так как принимает определенное значение нуль.

Перемена знаков у членов дроби

Если числитель и знаменатель дроби заменить величинами, им противоположными, то значение дроби не изменится, так как эта операция равносильна умножению числителя и знаменателя на одно и то же число —1. Например,

Алгебраические дроби

Если числитель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Например:

Алгебраические дроби

Если знаменатель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Например:

Алгебраические дроби

Примечание. Так как а — b и b — а являются величинами противоположными, то Алгебраические дроби всегда представляет собой минус единицу, если только Алгебраические дроби

Если же а = b , то выражение обращается в Алгебраические дроби и потому смысла не имеет.

Наименьшее общее кратное

Из арифметики известно, что наименьшим общим кратным произведений

Алгебраические дроби

является произведение

Алгебраические дроби

По аналогии с этим наименьшим общим кратным произведений

Алгебраические дроби

будет выражение

Алгебраические дроби

Наименьшим общим кратным произведений

Алгебраические дроби

будет

Алгебраические дроби

Наименьшим общим кратным произведений

Алгебраические дроби

будет

Алгебраические дроби

Чтобы составить наименьшее общее кратное нескольких многочленов, следует сначала эти многочлены разложить на неприводимые множители.

Примеры:

1. Найти наименьшее общее кратное многочленов

Алгебраические дроби

Очевидно, что

Алгебраические дроби

Искомым наименьшим кратным будет

Алгебраические дроби

2. Найти наименьшее общее кратное многочленов

Алгебраические дроби

Очевидно, что

Алгебраические дроби

Искомым наименьшим кратным будет

Алгебраические дроби

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с. одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, оставив знаменатель без изменения.

Примеры:

Алгебраические дроби

Сложение дробей с одночленными знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с различными одночленными знаменателями, надо:

  1. Составить наименьшее кратное знаменателей всех дробей и принять его за общий знаменатель.
  2. Найти дополнительный множитель для каждой дроби.
  3. Сумму произведений дополнительных множителей на соответствующие числители разделить на общий знаменатель.

Примеры:

Алгебраические дроби

Рассмотрим еще такой пример:

Алгебраические дроби

Здесь общий знаменатель

Алгебраические дроби

Дополнительный множитель для Алгебраические дроби

Поэтому получим:

Алгебраические дроби

Сложение дробей, среди знаменателей которых встречаются многочлены

Чтобы сложить дроби, среди знаменателей которых встречаются многочлены, сначала эти многочлены следует разложить на неприводимые множители. Далее надо поступать, как и при сложении дробей с одночленными знаменателями.

Примеры:

Алгебраические дроби

Найти сумму трех дробей:

Алгебраические дроби

где а и b и с различные числа, отличные от нуля. Искомую сумму найдем двумя способами.

1-й способ. Общим знаменателем всех трех дробей будет произведение

Алгебраические дроби

Множитель (b—а) не следует включать в общий знаменатель, так как его абсолютная величина такая же, как и абсолютная величина множителя (а — b). По такой же причине не включается и множитель (с — b).

Дополнительными множителями будут:

для первой дроби Алгебраические дроби
для второй Алгебраические дроби так как Алгебраические дроби

для третьей Алгебраические дроби так как Алгебраические дроби

Поэтому

Алгебраические дроби

Преобразуем числитель последней дроби:

Алгебраические дроби

Таким образом, сумма данных трех дробей будет равна

Алгебраические дроби

или Алгебраические дроби так как

Алгебраические дроби

2-й способ. Найдем сперва сумму первых двух дробей:

Алгебраические дроби

Преобразуем числитель этой дроби:

Алгебраические дроби

Теперь искомая сумма трех заданных дробей будет:

Алгебраические дроби

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы вычесть из одной дроби другую с тем же знаменателем, надо вычесть числитель второй дроби из числителя первой и подписать общий знаменатель.

Например:

Алгебраические дроби

Вычитание дробей в более сложных случаях выполняется аналогично тому, как и сложение.

Пример:

Алгебраические дроби

Преобразуем числитель полученной дроби:

Алгебраические дроби

Таким образом, алгебраическая сумма данных четырех дробей будет равна дроби

Алгебраические дроби

которая после сокращения примет вид

Алгебраические дроби

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, надо произведение их числителей разделить на произведение знаменателей.

Например:

Алгебраические дроби
Алгебраические дроби

Если среди числителей и знаменателей дробей имеются многочлены, то эти многочлены целесообразно разложить на множители и лишь после этого совершать операцию умножения дробей.

Например:

Алгебраические дроби

Само собой разумеется, что при умножении дроби Алгебраические дроби на дробь Алгебраические дроби разлагать многочлены не требуется, так как они сокращаются непосредственно.

Взаимно обратные выражения

Определение. Два алгебраических выражения называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Например, выражения а и Алгебраические дроби взаимнообратны. Также взаимно обратны выражения 2ах и Алгебраические дроби

Если данное выражение Алгебраические дроби то ему обратным будет (а + b).

Если данное выражение — a, то ему обратным будетАлгебраические дроби

Если данное выражение Алгебраические дроби то обратным будет Алгебраические дроби

Если данноe число 1, то ему обратным будет тоже 1.

Нуль обратного себе числа не имеет.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую или одно выражение на другое, достаточно первую дробь или первое выражение умножить на величину, обратную второй дроби или второму выражению.

Таким образом, деление дробей или алгебраических выражений сводится к умножению.

Алгебраические дроби

Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей

Пример:

Чтобы упростить лучшим способом дробь

Алгебраические дроби

умножим ее числитель и знаменатель на ху. В результате получим Алгебраические дроби Выражение ху есть наименьшее кратное знаменателей всех дробей, находящихся в числителе и знаменателе.

Чтобы упростить дробь

Алгебраические дроби

умножим ее числитель и знаменатель на выражение

Алгебраические дроби

В результате получим:

Алгебраические дроби

т. е. Алгебраические дроби или — а. Очевидно, что

Алгебраические дроби

Общее преобразование рациональных выражений

Сколь бы сложным ни было даyное выражение, если оно рационально, т. е. содержит лишь действия сложения, вычитания, умножения и деления, то его всегда можно преобразовать так, что в результате получится либо целое выражение, либо несократимая дробь, числитель и знаменатель которой суть целые выражения. Например, выражение

Алгебраические дроби

тождественно равно выражению Алгебраические дроби

Выражение

Алгебраические дроби

тождественно равно выражению Алгебраические дроби

Выражение

Алгебраические дроби

тождественно равно выражению

Алгебраические дроби

Во втором примере в результате преобразования получилось целое выражениеАлгебраические дроби, а в двух остальных — несократимые дроби

Алгебраические дроби

В качестве примера на применение общих преобразований рациональных выражений покажем, что из равенства

Алгебраические дроби

если а, b, c не равны между собой и отличны от нуля, вытекает равенство

Алгебраические дроби

Решение:

Из данного равенства следует:

Алгебраические дроби

или после раскрытия скобок и переноса всех членов в левую часть:

Алгебраические дроби

или последовательно

Алгебраические дроби

Алгебраические дроби

что и требовалось доказать.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби

Выражение

Алгебраические дроби

называется рациональной дробью.

Если Алгебраические дроби, то эта дробь называется неправильной; в противном случае, т. е. когда Алгебраические дроби, она называется правильной.

Например, рациональные дроби

Алгебраические дроби

являются неправильными.

Рациональные дроби

Алгебраические дроби

являются правильными.

Выделение целой части

Пусть требуется выделить целую часть неправильной рациональной дроби, например дробиАлгебраические дроби

Разделим многочлен Алгебраические дроби на многочлен Алгебраические дроби

Алгебраические дроби

Получили частное Алгебраические дроби и остаток Алгебраические дроби

Делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток. Поэтому

Алгебраические дроби

Разделив левую и правую части этого тождества на Алгебраические дробиполучим

Алгебраические дроби

Выражение Алгебраические дроби называется целой частью дроби Алгебраические дроби выражение же Алгебраические дроби есть правильная дробь.

Таким образом, неправильная рациональная дробь

Алгебраические дроби

оказалась представленной в виде суммы многочлена Алгебраические дроби и правильной дроби Алгебраические дроби .

Изложенное преобразование применимо ко всякой неправильной рациональной дроби.

В курсе высшей математики встречаются задачи, для решения которых необходима операция выделения целой части неправильной рациональной дроби.

Примеры:

1. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби

Алгебраические дроби

т. е. представить эту дробь в виде алгебраической суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби.

Отв. Алгебраические дроби

2. Выделить целую часть дроби

Алгебраические дроби

3. Выделить целую часть дроби

Алгебраические дроби

Отв. Алгебраические дроби

О символах Алгебраические дроби и Алгебраические дроби

1. О символе Алгебраические дроби

Символ Алгебраические дроби по своей форме напоминает степень. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова, т. е. как произведение, составленное из одинаковых множителей, невозможно. Бессмысленно сказать, что число а умножается само на себя нуль раз. С этой точки зрения выражение Алгебраические дроби ие имеет смысла. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда их показатели одинаковые, то нам достаточно принять по условию символ Алгебраические дроби, где Алгебраические дроби, равным единице.

Итак, примем по определению, что Алгебраические дроби, если только Алгебраические дроби.
Тогда Алгебраические дроби

Выражение же Алгебраические дроби остается лишенным смысла. Теперь мы можем писать

Алгебраические дроби

где Алгебраические дроби. И эта запись будет вполне оправдана. В самом деле, левая часть есть единица, так как делимое и делитель равны между собой и отличны от нуля. Правая часть согласно принятому определению также есть единица.

2. О символе Алгебраические дроби

Символ Алгебраические дроби также имеет форму степени. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно говорить, что число а умножается само на себя отрицательное число раз. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда показатель степени делимого меньше показателя степени делителя, достаточно принять Алгебраические дроби, где Алгебраические дроби, равным Алгебраические дроби

Итак, примем по определению, что Алгебраические дроби, где Алгебраические дроби.

Тогда

Алгебраические дроби

Теперь мы можем писать

Алгебраические дроби

где Алгебраические дроби.

И эта запись будет вполне оправданной. В самом деле, левая часть есть Алгебраические дроби, т. е. Алгебраические дроби правая же, по принятому нами определению, также есть Алгебраические дроби.

3. Действия над символами Алгебраические дроби и Алгебраические дроби

Хотя символы Алгебраические дроби и Алгебраические дроби не являются степенями в первоначальном смысле этого слова, однако оказывается, что над ними можно производить действия по тем же самым правилам, которые были установлены для степеней с натуральными показателями. В самом деле, докажем, например, что равенство

Алгебраические дроби

является верным.

Алгебраические дроби

что и требовалось доказать.

Также легко убедиться в справедливости и такого равенства

Алгебраические дроби

Действительно,

Алгебраические дроби

Все это позволяет нам символы Алгебраические дроби и Алгебраические дроби называть степенями.

Символ Алгебраические дроби называется степенью с нулевым показателем, символ Алгебраические дроби— степенью с отрицательным показателем.

Теперь мы можем равенство

Алгебраические дроби

где Алгебраические дроби, считать справедливым при любых целых значениях букв тип.

Примеры:

Очевидно, что

Алгебраические дроби

Алгебраические дроби

Алгебраические дроби и их решение

Если алгебраическое выражение, составленное из букв и чисел, содержит, кроме трех первых действий— сложения, вычитания и умножения, — также еще и деле­ние (на буквенное выражение), то такое выражение называют дробным. Примером могут служить выражения: Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби.

Если последнее действие, указываемое выражением, есть деление, то такое выражение называется просто «дробью (алгебраической дробью). При этом, если, кроме этого последнего действия, делений больше производить не нужно, дробь называется простой, в противном случае — сложной. Так, среди преды­дущих примеров только последний нельзя назвать дробью (это сумма двух дробей); предпоследний есть сложная дробь, четыре предыдущих — простые дроби.

К сложным дробям мы обратимся несколько позднее; сначала же будем заниматься только простыми.

Простая алгебраическая дробь есть отношение двух целых алгебраических выражений, являющихся числи­телем и знаменателем дроби.

Мы знаем, что существует число, которое ни в коем случае не может быть знаменателем дроби: это — нуль; поэтому, если знаменатель про­ стой алгебраической дроби оказывается тождественное равным нулю, то сама дробь не имеет смысла ни при каких значениях входящих букв. Примером служит дробь
Алгебраические дроби. Очень часто встречается другой случай, когда знаменатель дроби тождественно не равен нулю, однако обращается в нуль при некоторых значениях входя­щих букв. При этих значениях букв дробь «теряет смысл» — не имеет никакого числового значения. По­ этому, написав дробь, всегда подразумевают, что числовые значения, придаваемые входящим буквам, таковы, что не обращают знаменатель в нуль.

Иногда это отмечают и в явной форме: например, Алгебраические дроби.

В дальнейшем, говоря о данной дроби, мы всегда будем подразумевать, что буквам даются лишь такие значения, которые не обращают знаменатель в нуль. Что касается числителя дроби, то исключать из рассмотрения те случаи, когда он обращается в нуль, излишне. Напомним, что если числитель дроби равен нулю, то и сама дробь равна нулю. Обратно, если дробь равна нулю, то непременно числитель равен нулю. Итак, простая алгебраическая дробь обращается в нуль при тех и только при тех значениях входящих букв, при которых ее числитель обращается в нуль.

Из арифметики отлично известно основное свойство дроби (частного); дробь (частное) не изменяется, если числитель (делимое) и знаменатель (де­литель) умножить или разделить на одно и то же число Алгебраические дроби. Например, дробь Алгебраические дроби не изменяется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на Алгебраические дроби: Алгебраические дроби.

Число Алгебраические дроби может также быть дробным: если, допустим, Алгебраические дроби равно Алгебраические дроби,то умножить на Алгебраические дроби — значит сначала умножить на Алгебраические дроби и затем разделить на Алгебраические дроби. Оно может быть и отрицательным: при умножении числителя и зна­менателя на отрицательное число знаки числителя и знаменателя меняются, а знак дроби остается неиз­менным. Оно не может быть только равным нулю: понятно — почему.

В виде формулы основное свойство дроби записы­вается следующим образом: Алгебраические дроби (1).

Основное свойство дроби можно выразить следую­щими словами; если некоторое выражение входит множителем в числитель и в знаменатель алгебраи­ческой дроби, то при условии, что оно не равно нулю, можно на него «сократить» данную дробь: значение дроби при этом не меняется. И, напротив, можно умножить числитель и знаменатель алгебраической дроби на произвольное выражение при условии, что оно не обращается в нуль.

Примечание:

Равенство (1), выражающее основное свойство дроби, считается тождеством, несмотря на то, что его левая часть теряет смысл при Алгебраические дроби, и на то, что обе его части теряют смысл при Алгебраические дроби.

Вообще за равенством двух алгебраических выражений при­нято сохранять наименование тождества и в том случае, если одно из этих выражений или оба теряют смысл при некото­рых исключительных значениях входящих букв. Такое расширен­ное понимание тождества, между прочим, позволяет относить сокращение дроби на буквенное выражение к числу тождествен­ных преобразований.

Руководствуясь основным свойством дроби, можно сокращать алгебраическую дробь (как и арифметиче­скую) на буквенные или числовые множители, входя­щие одновременно в ее числитель и в ее знаменатель.

Если таких множителей нет, дробь называют несократимой.

Например, дробь Алгебраические дроби можно сократить на Алгебраические дроби: Алгебраические дроби.

Левая и правая часть равенства тождественно равны (хотя левая теряет смысл при Алгебраические дроби, и обе — при Алгебраические дроби).

Мы переходим дальше к изучению действий над алгебраическими дробями — сложения, вычитания, умножения и деления. Выполнить одно из этих действий над данными простыми дробями — значит не только соединить эти дроби соответственным знаком, но также и произвести над полученным выражением тождественные преобразования, целью которых являет­ся представить это выражение в виде простой дроби (или целого выражения). Производя действия над дробями, стараются вместе с тем сокра­щать дробь на общие множители числителя и знаме­нателя.

При изучении действий над дробями мы начнем с более легких — умножения и деления, а затем перейдем к более трудным — сложению и вычита­нию. Те случаи, когда какие-нибудь из данных выраже­ний оказываются целыми, мы не будем рассматривать отдельно, так как всякое целое выражение можно представить в виде дробного, именно, подписывая под ним в качестве знаменателя единицу.

Умножение и деление дробей

Правило умножения арифметических дробей выражается формулой: Алгебраические дроби (*) и словами может быть прочитано следующим образом: произведение двух дробей равно дроби, у которой числи­тель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Написанная выше формула справедлива не только в том случае, если входящие буквы имеют целые положительные значения, но и в том случае, если эти зна­чения — дробные; она справедлива также и в том слу­чае, если некоторые из входящих букв имеют отрица­тельные значения. Значение нуль, конечно, исключено для знаменателей, но не исключено для числителей.

Но раз равенство (*) имеет место при всех значе­ниях входящих букв (кроме тех исключительных, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль), то оно является тождеством.

Таким образом, правило умножения алгебраических дробей выражается той же формулой и формулируется теми же словами, что и правило умножения арифме­тических дробей.

В алгебре вместо того, чтобы вычесть некоторое число, можно прибавить число, противоположное по знаку: Алгебраические дроби.

Таким же образом вместо того, чтобы разделить на некоторое число (не равное нулю), достаточно умножить на величину, обратную этому числу: Алгебраические дроби.

Действительно, следуя правилу умножения, мы по­лучаем: Алгебраические дроби.

Так как величина, обратная дроби Алгебраические дроби есть дробь Алгебраические дроби , то правило деления дроби на дробь (подобное арифметическому) дается формулой: Алгебраические дроби (2).

Чтобы разделить на дробь, достаточно умножить на величину, ей обратную («разделить на числитель и умножить на знаменатель).

Сложение и вычитание дробей

Сложить две алгебраические дроби означает — пред­ставить их сумму в виде одной алгебраической дроби; то же — для вычитания.

Если данные дроби имеют один и тот же знамена­тель, то, чтобы сложить их — в алгебре, как и в ариф­метике, — достаточно составить дробь с тем же зна­менателем и с числителем, равным сумме числителей: Алгебраические дроби.

Это — распределительный закон деления, справед­ливый при любом Алгебраические дроби , не равном нулю.

Если же складываемые дроби имеют различные знаменатели, то в алгебре, как и в арифметике, необ­ходимо предварительно привести дроби к общему зна­менателю. При этом пользуются основным свойством дроби — основным тождеством (*) , в котором мы теперь поменяем местами правую и левую части: Алгебраические дроби.

Желая сложить две дроби Алгебраические дроби и Алгебраические дроби , мы всегда можем умножить числитель и знаменатель первой дроби на Алгебраические дроби, а числитель и знаменатель второй — на Алгебраические дроби. и тогда получим: Алгебраические дроби, дальше достаточно сложить числители: Алгебраические дроби. Итак, мы получаем тождество: Алгебраические дроби (3).

Подобным же образом, ссылаясь на распреде­лительный закон деления и на основное свойство дроби, выведите общую формулу вычитания дробей: Алгебраические дроби (4).

При действиях с дробями часто приходится пользо­ваться важным частным случаем основного свойства дроби (*) Алгебраические дроби именно, тем случаем, когда Алгебраические дроби равно Алгебраические дроби. В этом слу­чае мы получаем: Алгебраические дроби.

Таким образом, значение дроби не меняется при одновременном изменении знаков числителя и знаме­нателя.

Так как Алгебраические дроби, то можно заключить: при изменении знака только числителя или только знаменателя знак дроби ме­няется.

Отсюда следует: если мы меняем знак знаменате­ля, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак, или числителя или самой дроби; если мы меняем знак числителя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изме­нить знак или знаменателя или самой дроби. Например,Алгебраические дроби.

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

В арифметике указывается правило для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких целых чисел.

Пусть даны числа Алгебраические дроби, Алгебраические дроби и Алгебраические дроби. Разложим их на простые множители: Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби.

Составим новое число из данных чисел следующим образом: возьмем каждый встречающийся множитель в наименьшей из степеней, в которых он встре­чается, и затем перемножим: Алгебраические дроби.

Полученное число Алгебраические дроби есть НОД данных чисел: ча­стные от деления этих чисел на Алгебраические дроби уже не имеют общих делителей, отличных от Алгебраические дроби.

Составим другое число из данных чисел, отбирая каждый встречающийся множитель в наибольшей из степеней, в которых он встречается, и перемножая: Алгебраические дроби. Полученное число Алгебраические дроби есть НОК данных чисел; частные от деления числа Алгебраические дроби на эти числа уже не имеют общих делителей, отличных от Алгебраические дроби.

Таким же образом можно составлять НОД и НОК алгебраических одночленных выражений с целыми коэффициентами, обращаясь при этом с буквами как с це­лыми числами (хотя буквы могут иметь какие угодно, в том числе и дробные, значения). Так, если даны выражения Алгебраические дроби, Алгебраические дроби и Алгебраические дроби, то их наибольший общий делитель равен Алгебраические дроби, а их наи­меньшее общее кратное равно Алгебраические дроби . После деления данных выражений на их НОД получаются частные Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, уже не имеющие общих множителей. После деления НОК на данные числа получаются частные Алгебраические дроби, Алгебраические дроби и Алгебраические дроби, также не имеющие общих множителей.

Наибольший общий делитель двух чисел может быть полезен в арифметике при сокращении дробей: найдя НОД числителя и знаменателя и сократив на него, мы сразу получаем несократимую дробь. При этом нахож­дение НОД стоит некоторого труда, так как не всегда очевидно с первого взгляда, каковы простые множите­ ли данного числа и в каких степенях они входят.

В алгебре же такого рода применение НОД излишне, так как буквенные множители выписываются явно.

Если, например, дана дробь Алгебраические дроби то НОД числителя и знаменателя равен Алгебраические дроби; сокращая на него, получим Алгебраические дроби . Но и без наибольшего общего делителя можно сократить сначала, например, на Алгебраические дроби, потом на Алгебраические дроби.

Зато в алгебре НОД приносит больше пользы при вынесении за скобку общих множителей много­ членных выражений. Пусть дано выражение Алгебраические дроби.

Мы видим сразу, что НОД всех членов равен Алгебраические дроби, и, вынося его за скобку, получаем: Алгебраические дроби.

Что касается наименьшего общего кратного, то мы увидим дальше, что в алгебре, как и в арифме­тике, оно позволяет значительно упрощать записи при сложении и вычитании дробей.

Более сложные случаи сложения и вычитания дробей

При сложении и вычитании дробей удобно пользо­ваться приемом составления общего знаменателя посредством перемножения знаменателей данных дро­бей только в том случае, если каждые два, попарно взятые, знаменателя не имеют общих — ни буквенных, ни числовых — множителей. В других случаях употреб­ление этого приема, хотя и дает верный результат, однако, ни коим образом не может быть рекомендовано, так как ведет к лишним записям и потере времени. Общее правило таково: в качестве общего знаменателя нескольких дробей следует брать НОК знаменателей всех данных дробей. Предварительно необходимо каждый знаменатель представить как про­ изведение отдельных множителей; в частности, если данный знаменатель — многочлен, нужно общие число­вые и буквенные множители его членов выносить за скобку. Если встречаются многочленные множители, отличающиеся только знаком, то знак нужно менять, пользуясь уже известными приемами.

После того как общий знаменатель найден, необхо­димо выяснить, на какой один и тот же «дополнитель­ный множитель» придется умножить знаменатель и числитель каждой дроби для того, чтобы ее знамена­тель стал равным выбранному общему знаменателю.

Дальше, раз уже дроби приведены к общему знамена­телю, сделать сложение или вычитание не представ­ляет труда.

Пример:

Алгебраические дроби

Произведение знаменателей равно Алгебраические дроби. Однако есть возможность в качестве общего знаменателя взять более простое выражение, именно НОК знаме­нателей, равное Алгебраические дроби. Дополнительным множителем для первой дроби является Алгебраические дроби, для второй Алгебраические дроби, для третьей Алгебраические дроби: Алгебраические дроби, Алгебраические дроби, Алгебраические дроби.

Итак, Алгебраические дроби

Пример:

Алгебраические дроби.

HOK знаменателей равно Алгебраические дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен Алгебраические дроби, для второй Алгебраические дроби. Итак, Алгебраические дроби.

Пример:

Алгебраические дроби

Принимая во внимание, что Алгебраические дроби и что Алгебраические дроби, мы можем переписать дан­ное выражение в следующем виде: Алгебраические дроби.

Теперь ясно, что наименьшее общее кратное зна­менателей равно Алгебраические дроби. Дополнительные мно­жители трех дробей соответственно равны Алгебраические дроби, Алгебраические дроби и Алгебраические дроби. Итак, мы получаем сумму Алгебраические дроби или же, после упрощений в числителе и сокращения на Алгебраические дроби, Алгебраические дроби.

Сложные дроби

Если приходится выполнять деление над выражениями, уже содержащими дроби, то, записывая частное в виде дроби (с чер­той), мы получаем сложную дробь. Для облегчения записи в таких случаях иногда пользуются знаком двоеточия, но смысл получаемого от этого, конечно, не изменяется. Например, если Алгебраические дроби требуется разделить на Алгебраические дроби, то результат можно записать в виде Алгебраические дроби или Алгебраические дроби.

Сложную дробь всегда можно преобразовать в простую. Для этого достаточно выполнить все действия в том порядке, как они указаны: сначала числитель и знаменатель сложной дроби записать в виде простых дробей и затем разделить дробь на дробь, согласно правилу деления. Так, в нашем примере мы получим:Алгебраические дроби

Однако такой способ преобразования сложной дроби в простую практически менее удобен, чем следующий. Пользуясь основным свойством дроби, умножим в нашем примере числитель и знаменатель на Алгебраические дроби; тогда получим прежний результат: Алгебраические дроби.

В качестве множителя, на который умножаются и числитель и знаменатель данной сложной дроби, следует, конечно, выбирать НОК знаменателей всех дробей, содержащихся в числителе и зна­менателе данной дроби.

Всякое дробное алгебраическое выражение содержит лишь ко­нечное число делений. Поэтому, сколько бы ни было «этажей» о сложной дроби, такую дробь всегда можно преобразовать в про­стую, постепенно уничтожая «этажи». Отсюда следует, что дробное алгебраическое выражение всегда может быте представлено в виде отношения двух целых алгебраических выражений.

Все действия с дробями. Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дроби

Выполняя указанные действия над данными, про­стыми или сложными, алгебраическими дробями, мы получаем в результате простую алгебраическую дробь.

Если числители и знаменатели данных дробей — много­члены, расположенные по степеням одной и той же буквы, то числитель и знаменатель дроби, получающейся в результате выполнения действий, также представляют­ся в виде многочленов, расположенных по степе­ням той же буквы.

После этого, если удастся в числителе и знамена­ теле обнаружить общие множители, на них следует сокращать полученную дробь.

Простая дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, называется: правильной, если степень числителя меньше, чем степень знаменателя; неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя.

Если дробь — неправильная, то ее всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления числителя на знаменатель.

Неправильная дробь равна сумме: 1) частного, по­лучающегося при делении числителя на знаменатель, и 2) правильной дроби, у которой числитель равен остатку при этом делении, а знаменатель — знамена­телю данной дроби.

Например, деля многочлен Алгебраические дроби на двучлен Алгебраические дроби, получаем: Алгебраические дроби; значит, Алгебраические дроби.

Описанное выше преобразование напоминает выде­ление целой части из неправильной арифметической дроби; сравните хотя бы с таким примером: Алгебраические дроби

По указанной причине это преобразование назы­вается выделением целой части из неправильной алгебраической дроби.

Вынесение за скобки каких угодно выражении

Заменяя в тождестве Алгебраические дроби (распределительный закон умножения) Алгебраические дроби через Алгебраические дроби и Алгебраические дроби через Алгебраические дроби , мы получим новое тождество Алгебраические дроби выполняя в правой части умножения, затем переставляя множители в левой части и потом меняя местами пра­вую и левую части, мы будем иметь, наконец, новое тождество Алгебраические дроби.

Оно говорит о следующем: любое отличное от нуля
число или алгебраическое выражение можно «вынести за скобки» из какой угодно алгебраической суммы
. Вы­нося некоторое выражение из алгебраической суммы за скобки, нужно каждый член суммы разделить на это выражение.

Пример:

Вынести за скобки Алгебраические дроби из выражения Алгебраические дроби.

Мы получаем:Алгебраические дроби.

Пример:

Из выражения Алгебраические дроби вынести за скобки Алгебраические дроби .

Мы получаем: Алгебраические дроби

В многочленах, расположенных по степеням одной буквы, часто бывает полезно выносить за скобки или старший член или свободный член.

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Multiple Fractions Addition

Arithmetic Operator :

Fractions & Mixed Numbers: 

enter space separated input values

share

feedback

calculator

info

history

</>

loading

Fractions and Mixed Numbers Addition Calculator

getcalc.com’s multiple fractions and mixed numbers addition calculator is an online basic math function tool to find equivalent fraction for addition between two or more fractional numbers with same or different (equal or unlike) denominators, mixed and whole numbers. Users may use this calculator to generate complete workout for the given input values to verify or practice the fractions and mixed numbers addition worksheet problems with step by step calculations. To know or verify the addition between multiple fractions calculation, supply the input values to generate the complete workout with step by step calculation to help elementary or grade school students to solve the worksheet or homework problems efficiently. To use mixed numbers in this fractions addition calculator, users are not required to convert the mixed numbers to its equivalent fractions seperately, instead users can use the mixed numbers directly in the format of X(Y/Z); where X is an integer, Y and Z are the numerator and denominator of the fraction. For example, a mixed number 3 1/2 should be provided as 3(1/2) in the calculator.

More Fraction Calculators

Two or More Fractions Addition and Formula

Multiple Fractions Addition is a basic arithmetic operation which combines two or more fractions together. The below formula is the mathematical representation to add any number of fractions with like or unlike denominators, positive and negative fractions or fractions with whole or mixed numbers. Use this fractions and mixed numbers calculator to verify the results of addition between two or more fractions, mixed numbers and whole numbers.

Formula to add multiple fractions

Fractions, mixed and whole numbers addition formula

How to Find the Sum of Multiple Fractions

For fractions which are having same or equal denominators, the sum of fractions is equals to the sum of numerators divided by the common denominators, while for fractions with unlike, unequal or different denominators, the sum of fractions is calculated by using the LCM (least common multiple) method. Users may refer the below solved examples with step by step calculation to learn how to find the equivalent fraction by adding two, three or more fraction numbers with same or unlike denominators.

  • How to find sum of two, three or more fractions
  • How to find sum of multiple fractions and whole numbers
  • How to find sum of multiple positive and negative fraction numbers.

Adding Three Fractions with Unlike Denominators

The below solved example with step by step calculation or workout may help users to know how to find the equivalent fraction by adding three fractions (with unlike or different denominators) 1/2, 2/3 and 4/5.
Problem
Find the sum of three fractions with unlike or different denominators such as 1/2, 2/3 and 4/5.Step by step workout
step 1 Address formula, input values.
Input values:
1/2,2/3,4/5
1/2+2/3+4/5= ?

step 2 For fractions with different denominators, find the LCM (least common multiple) for all denominators.
30 is the LCM for 2, 3 and 5.

step 3 Multiply LCM 30 with each numerators and denominators
=(1 x 30)/(2 x 30)+(2 x 30)/(3 x 30)+(4 x 30)/(5 x 30)

step 4 Simply the above expression to have same denominators for all fractions.
=15/30+20/30+24/30
=(15 + 20 + 24)/30

step 5 Add all numerators and rewrite it in a single form.
=59/30
1/2+2/3+4/5=59/30

59/30 is the equivalent fraction by adding three fractions 1/2, 2/3 and 4/5.

Adding Three Fractions with Same Denominators

The below solved example with step by step calculation or workout may help users to know how to find the equivalent fraction by adding three fractions (with same or equal denominators) 5/9, 7/9 and 4/9.
Problem
Find the sum of three fractions with same or equal denominators such as 5/9, 7/9 and 4/9.Step by step workout
step 1 Address formula and input values.
Input values:
The given fractions :
5/9,7/9,4/9
5/9+7/9+4/9= ?

step 2 For same denominators, add all the numerators directly and rewrite the fraction as below
=5/9+7/9+4/9
=(5 + 7 + 4)/9
5/9+7/9+4/9= 16/9

16/9 is the equivalent fraction for adding three fractions with same denominators 5/9, 7/9 and 4/9.

Adding Multiple Fractions and Whole Numbers

The below solved example with step by step calculation may help users to know how to find the equivalent fraction by adding multiple fractions (with unlike or different denominators) and whole numbers.
Problem
Find the equivalent fraction for adding 1/2, 1, 5/3, 2, 1/4, 2/5 and 3.

Step by step workout
step 1 Address formula and input values.
Input values:
1/2, 1,5/3, 2 ,1/4,2/5 , 3
1/2 + 1 +5/3 + 2 + 1/4 + 2/5 + 3 = ?

step 2 Convert whole numbers to fractions and rewrite as below
Any whole number or integer is a rational number (quotient of 1), hence the denominators for all whole numbers is 1 and can be written as
1 = 1/1
2 = 2/1
3 = 3/1

step 3 Arrange all the numbers as fractions.

1/2+1/1 + 5/3 + 2/1+ 1/4+2/5+3/1

step 4 Find LCM (least common multiple) for all denominators, if all the denominators are not identical to each other.
60 is the LCM for denominators 2, 1, 3, 1, 4, 5 and 1.

step 5 Multiply LCM 60 with all the numerators and denominators of each fractions
(1 x 60)/(2 x 60) +(1 x 60)/(1 x 60) + (5 x 60)/(3 x 60)+(2 x 60)/(1 x 60)+(1 x 60)/(4 x 60)+(2 x 60)/(5 x 60) +(3 x 60)/(1 x 60)

step 6 Simplify and rewrite the above expression to have the common denominators
30/60+60/60+100/60+ 120/60+25/60+24/60+180/60

step 7 Add all the numerators and simplify
=(30 + 60 + 100 + 120 + 25 + 24 + 180)/60
=539/60
1/2+ 1 +5/3 + 2 + 1/4 + 2/5 + 3 =539/60

539/60 is the equivalent fraction for adding multiple fractions and whole numbers such as 1/2, 1, 5/3, 2, 1/4, 2/5 and 3.

Adding Multiple Positive and Negative Fractions

The below solved example with step by step calculation may help users to know how to find the equivalent fraction by adding multiple positive and negative fractions (with unlike or different denominators).
Problem
Find the equivalent fraction for adding positive and negative fractions 5/6, 1/3, -2/7, 1/6, -4/7 and 4/5.

step 1 Address formula and input values.
Input values:
5/6,1/3,-2/7,1/6,-4/7,4/5
5/6+1/3+-2/7+1/6+-4/7+4/5= ?

step 2 Find the LCM (least common multiple) for all denominators, if all the denominators are not identical to each other.
210 is the LCM for denominators 6, 3, 7, 6, 7, and 5.

step 3 Multiply LCM 210 with all the numerators and denominators of each fractions
(5 x 210)/(6 x 210)+(1 x 210)/(3 x 210)+-(2 x 210)/(7 x 210)+(1 x 210)/(6 x 210)+-(4 x 210)/(4 x 210)+(4 x 210)/(5 x 210)

step 4 Simplify and rewrite above expression to have the common denominators
175/210+70/21060/210+35/210210/210+24/210+168/210

step 5 Add all the numerators and simplify
=(175 + 70 – 60 + 35 – 210 + 24 + 168)/210
=202/210
=101/105
5/6+1/3+-2/7+1/6+-4/7+4/5=202/210

202/210 is the equivalent fraction for adding multiple positive and negative fractions 5/6 + 1/3 + (-2/7) + 1/6 + (-4/7) + 4/5.

Two or More Fractions and Mixed Numbers Addition

The below solved example for addition between two or more fractions, mixed numbers and whole numbers. The fraction numbers include regular, irregular, negative or positive fractions with same or unlike denominators. The below step by step work guides how to find equivalent fraction for adding multiple fractions, mixed and whole numbers 1/2, 1/3, 1/4, 6, 7(1/5), 8(1/6) and 1/7.
Problem
Find the equivalent fraction for adding multiple fractions, mixed and whole numbers 1/2, 1/3, 1/4, 6, 7(1/5), 8(1/6) and 1/7.

Step by step workout
step 1 Address formula and input values.
Input values:
1/2,1/3,1/4, 6 ,71/5, 8 1/6,1/7
1/2+1/3+1/4 + 6 + 71/5+ 8 1/6 +1/7 = ?

step 2 Convert whole numbers to fractions and rewrite as below
6 = 6/1

step 3 Convert mixed fractions to fractions and rewrite as below
7 1/5= ((7 x 5) + 1)/5= 36/5
8 1/6= ((8 x 6) + 1)/6= 49/6

step 4 Arrange all the numbers as fractions.
1/2+1/3 + 1/4 + 6/1+ 36/5+49/6+1/7

step 5 For fractions with different denominators, find the LCM (least common multiple) for all denominators.
420 is the LCM for 2, 3, 4, 1, 5, 6 and 7.

step 6 Multiply LCM 420 with all the numerators and denominators of each fractions
=(1 x 420)/(2 x 420)+(1 x 420)/(3 x 420)+(1 x 420)/(4 x 420)+(6 x 420)/(1 x 420)+(36 x 420)/(5 x 420)+(49 x 420)/(6 x 420)+(1 x 420)/(7 x 420)

step 7 Simplify and rewrite above expression to have the common denominators
=(1 x 210)/420 +(1 x 140)/420+(1 x 105)/420+(6 x 420)/420+(36 x 84)/420+(49 x 70)/420+(1 x 60)/420
=210/420 +140/420+105/420+2520/420+3024/420+3430/420+60/420

step 5 Add all the numerators and simplify
=(210 + 140 + 105 + 2520 + 3024 + 3430 + 60)/420
=9489/420
=3163/140
1/2+1/3+1/4 + 6 + 71/5+ 8 1/6 +1/7 = 3163/140

3163/140 is the equivalent fraction for adding multiple fractions, mixed and whole numbers 1/2 + 1/3 + 1/4 + 6 + 7(1/5) + 8(1/6) + 1/7.

getcalc.com Calculators

Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами

Данный онлайн калькулятор дробей предназначен для сложения, вычитания, деления и умножения между собой обыкновенных дробей. А так же дробей с целой частью и  десятичных дробей.
Основные возможности:

  1. Сложение, вычитание, деление и умножение дробей.
  2. Расчет дробей с подробнейшим решением.
  3. Расчет дробей со степенями, скобками и буквами.
  4. Сокращение дробей.
  5. Поддержка до трех дробей онлайн.
Поставить LIKE и поделиться ссылкой
  • Калькулятор
  • Инструкция
  • Теория
  • История
  • Сообщить о проблеме

Попробуйте новый сайт: Перейти

При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.

Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”

Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции

Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)

Пример 3. Найти наименьшее общее кратное

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно
несократимая дробь.

Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Добавить комментарий