Как найти сумму углов n угольника равна

Теорема о сумме углов многоугольника выражает сумму углов евклидова многоугольника через число его сторон.

Формулировка[править | править код]

Сумма внутренних углов плоского -угольника равна ${displaystyle 180^{circ }{cdot }(n-2)}$ .

Замечания[править | править код]

Теорема следует из существования триангуляции многоугольника без дополнительных вершин и теоремы о сумме углов треугольника.
- Существование триангуляции очень просто доказывается для выпуклых многоугольников, в случае невыпуклых многоугольников оно не вполне очевидно.

Утверждение теоремы эквивалентно тому, что сумма ориентированных внешних углов многоугольника равна ±360°.

Вариации и обобщения[править | править код]

Задача о триангуляции многоугольника.
Теорема о сумме углов треугольника — важный частный случай теоремы.
Теорема о повороте кривой — дифференциальногеометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника.
Формула Гаусса — Бонне — аналогичный результат для искривлённых поверностей.

Литература[править | править код]

§ 82 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].

Многоугольники

По числу сторон

Одноугольник
Двуугольник
Треугольник
Четырёхугольник
Пятиугольник
Шестиугольник
Семиугольник
Восьмиугольник
Девятиугольник
Десятиугольник
Одиннадцатиугольник
Двенадцатиугольник
Тринадцатиугольник
Четырнадцатиугольник
Пятнадцатиугольник
Шестнадцатиугольник
Семнадцатиугольник
Восемнадцатиугольник
Девятнадцатиугольник
Двадцатиугольник
Двадцатиодноугольник^[de]
Двадцатидвухугольник^[en]
Двадцатитрёхугольник^[en]
Двадцатичетырёхугольник
Двадцатипятиугольник^[ko]
Двадцативосьмиугольник^[en]
Тридцатиугольник
Тридцатидвухугольник^[en]
Сорокаугольник^[de]
Сорокадвухугольник^[en]
Пятидесятиугольник^[en]
Пятидесятиодноугольник^[de]
Шестидесятиугольник^[en]
Шестидесятичетырёхугольник^[en]
Семидесятиугольник^[en]
Восьмидесятиугольник^[en]
Девяностоугольник^[en]
Стоугольник^[en]
Тысячеугольник^[en]
Десятитысячеугольник^[en]
Стотысячеугольник^[hu]
Миллионоугольник
Бесконечноугольник

Правильные

Выпуклые	Треугольник Квадрат Пятиугольник Шестиугольник Семиугольник Восьмиугольник Девятиугольник Четырнадцатиугольник Семнадцатиугольник 257-угольник 65537-угольник 4294967295-угольник
Звёздчатые	Пентаграмма Гексаграмма Гептаграмма Октаграмма (Звезда Лакшми) Эннеаграмма Декаграмма^[en] Эндекаграмма^[en] Додекаграмма^[en]

Треугольники

Равнобедренный
Правильный
Прямоугольный

Четырёхугольники

Вписанный
Описанный
Внеописанный
Параллелограмм
Антипараллелограмм
Прямоугольник
Золотой прямоугольник
Ромб
Ромбоид
Трапеция
Дельтоид
Квадрат
Единичный квадрат
Ламберта
Саккери

См. также

Список многоугольников^[en]
Принадлежность точки многоугольнику
Теорема Бойяи — Гервина
Теорема Брахмагупты
Теорема Гаусса — Ванцеля
Формула Пика
Теорема о сумме углов многоугольника
Соотношение Бретшнайдера

Источник

Загрузить PDF

Многоугольник – это любая замкнутая фигура с тремя и более сторонами, которые представляют собой прямые отрезки. Каждая вершина многоугольника содержит как внутренний, так и внешний угол (изнутри и снаружи фигуры, соответственно). Для решения разных геометрических задач полезно знать, как соотносятся эти углы. В частности, необходимо уметь вычислять сумму внутренних углов многоугольника. Это можно сделать по формуле или через разбиение многоугольника на треугольники.

1
2
Найдите число сторон многоугольника. Помните, что у многоугольника должно быть не менее трех сторон.
- Например, если дан шестиугольник, то число сторон равно 6.
3

Подставьте число сторон в формулу. Найденное значение подставьте в формулу вместо . Помните, что – это число сторон многоугольника.
4

Вычислите сумму углов. Для этого из числа сторон вычтите 2, а затем результат умножьте на 180. Вы получите суммe внутренних углов многоугольника (в градусах).

Реклама

1
Нарисуйте многоугольник, сумму углов которого нужно вычислить. У многоугольника может быть сколько угодно сторон (но не менее трех), и он может быть правильной или неправильной формы.
- Например, нужно вычислить сумму внутренних углов шестиугольника. Нарисуйте шестиугольник.
2
Выберите любую вершину. Обозначьте ее как A.
- Вершина – это точка, в которой сходятся две стороны многоугольника.
3
Соедините точку А с определенными вершинами многоугольника. Линии, соединяющие вершины, не должны пересекаться. Так вы разобьете многоугольник на треугольники.
- Выбранную вершину не нужно соединять со смежными ей вершинами, так как они соединены сторонами многоугольника.
- Например, в случае шестиугольника выбранную вершину нужно соединить с тремя другими вершинами, чтобы получить 4 треугольника.
4
Умножьте число треугольников на 180. Так как сумма углов треугольника равна 180, умножив количество треугольников на 180, вы найдете сумму внутренних углов многоугольника.
- В нашем примере шестигранник разбивается на 4 треугольника. Таким образом, , то есть сумма внутренних углов шестиугольника равна 720 градусов.
Реклама

Советы

Проверьте ответ при помощи транспортира, измерив каждый угол вручную. Для этого аккуратно нарисуйте прямые стороны многоугольника.

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Транспортир (по желанию)
Ручка
Ластик
Линейка

Об этой статье

Эту страницу просматривали 38 347 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Теорема

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

Дано:

$[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}]$

— выпуклый n -угольник.

Доказать:

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = {180^o}(n - 2)]$

Доказательство:

1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = angle O{A_1}{A_2} + angle O{A_2}{A_1} + ... + ]$

$[ + angle O{A_{n - 1}}{A_n} + angle O{A_n}{A_{n - 1}}.]$

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

$[angle {A_1}O{A_2} + angle {A_2}O{A_3} + ... + angle {A_{n - 1}}O{A_n} = {360^o},]$

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = {180^o} cdot n - {360^o} = {180^o}(n - 2).]$

Что и требовалось доказать.

2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = {180^o}(n - 2).]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Чему равна сумма углов многоугольника?

В евклидовой геометрии сумма углов плоского n-угольника равна 180°(n–2). В частности:

сумма углов треугольника — 180°;
сумма углов четырехугольника — 360°;
сумма углов пятиугольника — 540°;
сумма углов шестиугольника — 720°;
сумма углов семиугольника — 900°;
сумма углов восьмиугольника — 1080°.

Доказательство данной теоремы для случая выпуклого n-угольника

В случае n=3 мы имеем дело с треугольником.

Сумма углов треугольника

всегда равна 180°. В случае n>3 нужно провести из любой вершины многоугольника диагонали ко все несмежным вершинам. Таких диагоналей будет n–3, и они разобью многоугольник на n–2 прилегающих друг к другу треугольников. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n–2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n–2). Теорема доказана.

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n–2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.

Источники:

ru.wikipedia.org — Википедия: Теорема о сумме углов многоугольника (с доказательством)
ru.wikipedia.org — Википедия: Теорема о сумме углов треугольника (с доказательством)
profmeter.com.ua — Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Дополнительно на Геноне:

Чему равна сумма углов треугольника?

Последнее редактирование ответа: 23.10.2011

Оставить отзыв

Оставить отзыв

Вы можете написать свои замечания к ответу, предложения об улучшении или просто поблагодарить автора. Комментарий, после проверки, увидят автор и редактор ответа. Будьте, пожалуйста, вежливыми. Спасибо!

Если Вы хотите получить уведомление об
исправлении ответа укажите свой e-mail:

Неправильный формат адреса электронной почты

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов
Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d(n – 2),

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d(n – 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

s = 4d,

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n – 2):

s = 2dn – 2d(n – 2) = 2dn – 2dn + 4d = 4d.

Источник

Формулировка[править | править код]

Замечания[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Литература[править | править код]

Советы

Что вам понадобится

Похожие статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Чему равна сумма углов многоугольника?

Оставить отзыв

Похожие вопросы

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов

Сумма внешних углов

Добавить комментарий Отменить ответ

Формулировка[править | править код]

Замечания[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Литература[править | править код]

Советы

Что вам понадобится

Похожие статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Чему равна сумма углов многоугольника?

Оставить отзыв

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://www.genon.ru/img/pohozhie-voprosy.png" width="19" height="19" alt />Похожие вопросы

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов

Сумма внешних углов

Вам также может понравиться

Как найти автомобили капсулы времени

Психологи как найти деньги

Как найти основание равностороннего треугольника по высоте

Добавить комментарий Отменить ответ

Похожие вопросы