Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу предложить Вам интересную и красивую геометрическую задачку, которую смогут решить все, кто знаком со взаимоотношениями параллельных прямых:
Итак, требуется найти сумму углов пятиконечной звезды. Для удобства обозначим их разными цветами:
В первую очередь перенесем одну из линий звезды параллельно, чтобы она проходила через вершину:
Так мы поступаем еще с одной линией, а затем продолжаем оставшуюся:
Зеленые углы равны как накрест лежащие. Думаю, очень интересная задачка на разогрев по теме! Спасибо за внимание!
- TELEGRAM и Вконтакте– там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
|
Как доказать, что у любой пятиугольной звезды сумма острых углов равна 180 градусов? Я слышал, что надо как-то преобразовать звезду, чтобы превратить ее в треугольник, а сумма углов треугольника равна 180. Для примера на рисунке показана произвольная звезда, и какие углы надо складывать.
бонус за лучший ответ (выдан): 10 кредитов
a + b + c + d + e = X A + B + C + D + E = 3π Каждая вершина пятиугольника определяет треугольник, типа окрашенного. Складываем суммы углов пяти треугольников. Получаем 2Х + 3π = 5π. Откуда Х = π.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
габбас 4 года назад Рассмотрим любой пятиугольник АВСDЕ и соответствующую ему любую пятиконечную звезду A1B1C1D1E1.
(желтым цветом). По теореме о сумме внутренних углов многоугольника (180*(n-2) n – число сторон многоугольника)сумма углов пятиугольника АВСDЕ равна 540 градусов. “Превратим” звезду в треугольник, добавив синий треугольник В1ЕС1. Угол АЕD равен углу В1ЕС1 (как вертикальные углы) и равен (180-(a+d)) градусам. Теперь рассмотрим большой треугольник С1Е1В1, сумма его внутренних углов равна е+c+b+C1EB1 или e+c+b+a+d. Вот и доказали, что e+c+b+a+d = 180 градусам.
Klaire 4 года назад Ну все верно, обозначим вершины АВСДЕ и
внутренние А1В1С1Д1Е1, тогда получим 3 треугольника АСД1 +ЕВС1+АВ1Д это 180+180+180, но в этой системе есть 3 внутренних угла Д1В1С1 и угол А учитывается 2 раза, соответственно из них получился четырехугольник АВ1С1Д1, сумму углов которого надо вычесть из наших треугольников, сумма углов 4-уголиника = 360 , тогда получим 180+180+180-360=180, что и требовалось доказать! Знаете ответ? |
Виталий
Мыслитель
(6091)
15 лет назад
180 градус, естественно,
Решение:
Обозначим за A, B, C, D, E углы звезды. Обойдем контур звезды, начиная с некоторой точки. В вершинах A, B, C, D, E поворачиваем на угол, дополнительный к углу звезды. Всего мы повернули в пяти углах, и общее вращение направляющего вектора составило 2*3600 (так как при обходе мы делаем два полных оборота). Сумма поворотов в каждом угле звезды составляет (1800-A)+(1800-B)+(1800-C)+(1800-D)+(1800-E) = 5*1800-(A+B+C+D+E). Итак, 5*1800-(A+B+C+D+E) = 2*3600, откуда A+B+C+D+E = 1800, что и требовалось доказать.
1800 – это, естественно, 180 градусов
Пользователь удален
Знаток
(443)
15 лет назад
Найти сумму углов произвольной пятиконечной звезды. 1,2,3,4,5-Острые углы звезды. А, В, С, Д, Е-углы пятиугольника внутри звезды. Найти: 1+2+3+4+5-? ,1,2,3,4,5-углы пятиконечной звезды.
Решение: 1+4+Е=180 5+1+С=180 3+4+В=180 Как сумма углов треугольника. 2+5+А=180 2+3+Д=180 Сложим равенства. 2*(1+2+3+4+5)=900-(А+С+В+Д+Е) . А+В+Д+Е+С-сумма углов выпуклого пятиугольника внутри звезды. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 540 градусов. Тогда имеем 1+2+3+4+5=(900-540):2=180
Ответ: 180 градусов
сергей
Просветленный
(23180)
15 лет назад
Попробовал метод Ван Райана. Потом нарисовал две звезды – одну почти как правильный пятиугольник – все пять углов тупые, каждый больше 90градусов, соответственно сумма больше 450 град, никак не 180, а потом “худенькую”, у которой каждый угол стремится к 0, и сумма углов стремится к 0. Обе звезды пятиконечные, знаит сумма углов зависит еще от чего-то. Предлагаю замерить каждый угол транспортиром, а потом все сложить.
Звезда – не пятиугольник.
Алла А. Постникова
Профи
(771)
15 лет назад
Задача, как и её решение содержится в учебнике “Геометрия, 7-9” авторов Смирновых (8 класс).
А Сергшей не до конца понял сути метода, которым воспользовался Ван Райан. Метод шикарнейший. Помогает узнать сумму углов любой геометрической фигуры!
ohotnik za vaginami
Мастер
(1350)
6 лет назад
всё это хрень собачья. сумма углов, какая глупость.
если мерять правильно, то сумма углов ЛЮБОЙ замкнутой фигуры ( выпуклой или НЕ выпуклой ) равна 360 градусов.
почему все меряют именно углы между линиями и суммируют их.
тоесть если у фигуры 3 угла то это равно 180 градусов. а если у фигуры 10 000 углов. что тогда?
будете измерять все углы ( внутренние или внешние ) ???это всё не важно.
сколько бы не было углов ( хоть 2 хоть 2 миллиона ) полный градус фигуры будет всегда равен 360 градусов.
МЕРИТЬ НУЖНО ПРАВИЛЬНО. а именно разность относительно каждого предидущего ребра.
вот к примеру есть точки
x1=0 y1=0,
x2=10 y2=0
x3=20 y2=0
выходит 2 линии. что скажете…. какой угол между ними ?
вы ответите 180 градусов. а вот и не верно.
между ними угол НОЛЬ градусов. потому что фактически это одна линия.
и нигде, во всем гребаном интернете об этом ни слова. мне пришлось долго ломать голову чтобы это понять.
так как нужно было написать програмный код который бы высчитывал одну фигуру из другой (boolean operation)
Название
работы:
«Сумма углов звездчатых многоугольников»
Захаров
Ахмад Курбанович
8 1 класс Муниципальное
образовательное учреждение
«Гимназия №7», город Махачкала, Дагестан,
Россия
Руководитель: Шапошникова Наталья
Владимировна,
учитель математики
Оглавление
1.Введение
………………………………………………………………… 3 – 4
2.Обзор литературы
……………………………………………………… 4 – 7
3.Методы исследования
………………………………………………….. 8 – 10.
4.Результаты и обсуждения
……………………………………………… 11 – 19
5.Выводы и заключение
………………………………………………….. 20 – 21
6.Список литературы
……………………………………………………… 22
7.Приложения
……………………………………………………………… 23 -31
«У каждого
человека свои звезды. Одним – тем, кто странствует, они указывают путь. Для
других это просто маленькие огоньки. Для ученых они – как задача, которую надо
решить…» Антуан де Сен Экзюпери,
«Маленький принц».
1.Введение
В прошлом году работая
над проектом: «Геометрический орнамент», мы узнали много интересного об
орнаментах в мечетях, дали их авторскую классификацию по способу соединения
точек деления окружности: цветочный и звездчатый. Геометрический орнамент,
можно изучать до бесконечности. Красота, таинственность, которую он создает,
притягивает. Появляются новые вопросы, проблемы, тайны, которые хочется
раскрыть.
Когда в седьмом классе на
уроках геометрии мы изучили тему: «Сумма углов треугольника». Возникли вопросы
(проблема): «А чему равна сумма углов пятиугольной звезды? Как найти сумму
углов произвольного звездчатого многоугольника?»
Появилась гипотеза: сумму
углов звездчатых многоугольников можно находить по определенному правилу (формуле).
Цель работы:
с помощью экспериментов определить суммы углов различных звездчатых
многоугольников, выявить закономерности, разработать научное подтверждение
выдвинутой гипотезы.
Для достиженияцели
составлен план научных исследований, который включает в себя методы(задачи)
теоретического и практического исследований.
1. Изучить теоретический
материал: «Звезда – геометрическая фигура»: а) определение звездчатого
многоугольника; б) способы построения звездчатых многоугольников;
2. Провести эксперименты
с различными звездчатыми многоугольниками: измерить углы транспортиром, найти
сумму углов каждой звезды;
3. С помощью программы
Компас 3D-LT V12 построить звездчатые многоугольники и найти сумму их углов.
Программа «Компас 3D» является одной из самых популярных программ,
предназначенных для создания 2D чертежей и 3D моделей. Большинство инженеров
используют именно ее для того, чтобы разрабатывать планы зданий и целых
строительных площадок. Также она широко используется для инженерных расчетов.
4. Систематизировать
данные экспериментов в таблицы;
5.Разработать авторские
способы доказательства утверждений о сумме углов звездчатых
многоугольников;
6. Создать презентацию по
данной теме.
2.Обзор
литературы
Что же такое звезда?
Изученная литература открыто говорит, что звезда — определённый вид
плоских невыпуклыхмногоугольников,
не имеющий, однако, однозначного математического определения. Обычно под
звёздами подразумевают фигуры, напоминающие по форме изображение звезды.
Вот некоторые определения:
1) Определение из
толкового словаря С.А. Ожегова. «Фигура, предмет с треугольными
выступами по окружности пятиугольная, шестиугольная и т. д.» [5]
2) Определение из: ru.wikipedia.org.
«Звездчатый многоугольник»: Звезда — плоская геометрическая
фигура, составленная из треугольных лучей,
исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. По количеству лучей
выделяют трёхконечные, четырёхконечные и т. д. звёзды.[3]
3) Определение из статьи
Беляковой О.Е. «Сумма углов многоугольника»: Звезда – это фигура, образованная
самопересекающимися ломанным [2].
В статье Панковой
Н.А. [4] даются способы построения звездчатых многоугольников.«Первый способ
построения звезды: берётся окружность, на ней ставятся n точек и они
соединяются между собой, при этом каждая точка соединяется с m-ой следующей
точкой, m-степень
звезды. Такая звезда обозначается символом {n/m},
При этом точки
пересечения рёбер между собой внутри окружности не рассматриваются как вершины.
Таким образом, такая звезда имеет n вершин и n рёбер. Второй способ построения
звезды: Построить произвольный выпуклый n-угольник, продолжить его стороны.
Можно продолжать стороны через одну, через две, через три и т. д. до
пересечения».
«Рассмотрим
примеры построения звезд разных степеней. Обозначим степень буквой m.
Возьмем выпуклый семиугольник А1А2А3А4А5А6А7.
Чтобы построить звезду, нужно определенным образом соединить отрезками вершины
этого семиугольника. Каждую вершину будем соединять со второй находящейся от
нее вершиной. В результате получим замкнутую самопересекающуюся ломаную линию,
которая образует звезду вида {7/2}. Существует звезда, где каждая вершина
соединяется с третьей вершиной, т.е. звезда типа {7/3}. Звезда типа {7/4}
совпадает со звездой типа {7/3}, отличаются они только порядком обхода – по
часовой стрелке и против часовой стрелки. Звезда типа {7/5} совпадает со
звездой {7/2}. Звезд типа {7/1} и {7/6} не существует, так как в этом случае
при соединении вершин получается выпуклый семиугольник. Итак, существуют
только два вида семиугольной звезды. Таким образом, звезда типа {n/m}
– звезда, имеющая n углов, полученная
соединением точек через m, или продолжением
сторон выпуклого n – многоугольника
через m».
Все привыкли к тому, что
сумма углов любого треугольника равна 1800. Тот факт, что у любой
пятиконечной звезды (независимо от расположения вершин) сумма углов постоянна и
равна 1800 может показаться удивительным.
Некоторые способы
доказательства теоремы о сумме углов пятиугольной звезды из статьи С.Азлецкого
[1]
Теорема. Доказать, что сумма углов пятиугольной
звезды равна 1800.
1.способ. Приложение VII.
Чертеж 1. Обозначим вершины звезды: А, В, С, К, М, точку пересечения прямых АК
и ВМ буквойЕ, точку пересечения прямых АС и ВМ буквой Т.
<А + <АЕТ + <АТЕ = 1800
(*)(по теореме о сумме углов треугольника).
Рассмотрим
ТМС и ЕВК. По теореме о внешнем угле: <М +<С = <АТЕ;
<В +<К = <АЕТ; Подставим в (*) полученные равенства, получим:<А
+<М +< С + < В +<К = 1800.
2 способ. Приложение VII.Чертеж
2.Пусть ЕК// LM, тогда <1 = <6, <3 =<7. Тогда:<1 + <2
+ <3 + <4 + <5 = <6 + <2 + <7 + <4 + <5 = <L
+ <M + <A = 1800.
3 способ. Приложение VII.Чертеж
3. Начертим окружность. На окружности отметим 5 точек. Соединяем их через одну.
Каждый угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поэтому сумма углов
пятиугольной звезды равна 180 0.
4 способ. Приложение VII.Чертеж
4. Если из суммы углов пяти треугольников NPC,
PQD,
RQE,
AMR,
BMN
вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR,
взятых по два, то получится сумма углов пятиконечной звезды: 180 о *
5 – 360 о *2 = 180 о
В изученной литературе
нет точного определения звезды как геометрической фигуры, нет и формулировки
степени звездчатого многоугольника, поэтому в работе предлагаются авторские
определения этих понятий, основанных на способах построения. Эти определения дают
наглядное представление о звездчатых многоугольниках разных степеней.В
литературе представлены только доказательства для пятиугольного звездчатого
многоугольника. Данная работа представляет авторское доказательство утверждения
о сумме углов звездчатого многоугольникавторой
степени,
оно основано на факте, что любой звездчатый многоугольник внутри себя содержит
выпуклый многоугольник той же угольности и всегда их элементы можно связать,
используя теоремы: о сумме внутренних и внешних углов выпуклого
многоугольника. Также представлено авторское доказательство утверждения о сумме
углов звездчатого многоугольника третьей степени,
оно основано на факте, что любой звездчатый многоугольник третьей степени
внутри себя содержит выпуклый многоугольник той же угольности и звездчатый
многоугольник второй степени той же угольности. Их элементы можно связать,
используя теоремы: 1) о сумме углов выпуклого четырехугольника; 2) о сумме
внутренних углов выпуклого многоугольника той же угольности; 3) о сумме
внутренних углов звездчатого многоугольника той же угольности второй степени.
3. Методы исследования.
Так как точного
определения звезды как геометрической фигуры в литературе нет, нет и
формулировки степени звездчатого многоугольника, можно сформулировать эти
определения по способам построения.
Определение 1(авторское).
Звезда– это невыпуклый многоугольник, который получается соединением не соседних
точек окружности отрезками в определенном порядке (через одну, две, три и так
далее).
Определение 2(авторское).
Звезда – это невыпуклый многоугольник, который получается продолжением не
смежных сторон выпуклого многоугольника в определенном порядке (через одну, две
и так далее) до их пересечения.
Определение
3(авторское). Степенью звездчатого многоугольника
назовем порядковый номер точки (прямой продолжения стороны выпуклого многоугольника),
с которой соединяется отрезком исходная точка (пересекается исходная прямая).
Для
того чтобы ответить на вопрос: «Чему равна сумма углов произвольного
звездчатого многоугольника?», проведены эксперименты: рассмотрены выборки
звездчатых многоугольников разных типов, построенных по авторским определениям,
транспортиром измерены углы этих многоугольников, найдена сумма углов. Такие
же исследования выполнены и с помощью программы «Компас 3D–LTV12»:
построены звездчатые многоугольники и измерены углы.
Первый
эксперимент: Звездчатые пятиугольники. Материал
для эксперимента: произвольная пятиугольная звезда, построенная с помощью
окружности; правильная пятиугольная звезда (все углы и ребра равны),
построенная с помощью деления окружности на 5 равных частей и соединения точек
через одну; две пятиугольные звезды, построенные продолжением сторон выпуклого
пятиугольника через одну до пересечения. Приложение I.
Второй
эксперимент: Звездчатые восьмиугольники второй степени.
Материал
для эксперимента: правильный звездчатый восьмиугольник, построенный с помощью
деления окружности на 8 равных частей и соединением точек через одну и еще 3
произвольных звездчатых восьмиугольника, построенных с помощью продолжения
сторон восьмиугольника через одну до пересечения. Углы измерены
транспортиром. Приложение II.Также
с помощью программы «Компас 3D–LTV12»
построен восьмиугольник второй степени и измерены его углы.
Третий
эксперимент: Звездчатые восьмиугольники третьей степени.Материал
для эксперимента: правильный звездчатый восьмиугольник, построенный с помощью
деления окружности на 8 равных частей и соединением точек через две, 3
произвольных звездчатых восьмиугольника, построенных продолжением сторон
выпуклого восьмиугольника через две до пересечения. Приложение III.
Также с помощью программы «Компас 3D–LTV12»
построен восьмиугольник третьей степени и измерены его углы.
Четвертый
эксперимент: Звездчатые шестиугольники второй степени.Материал
для эксперимента: правильный звездчатый шестиугольник, построенный с помощью
деления окружности на 6 равных частей, произвольный звездчатый шестиугольник,
построенный с помощью окружности, два звездчатых шестиугольника, построенных
продолжением сторон выпуклого шестиугольника. Приложение IV. Также с помощью
программы «Компас 3D–LTV12»
построен шестиугольник второй степени и измерены его углы.
Пятый
эксперимент: Звездчатые семиугольники второй степени.Материал
дляэксперимента: правильный звездчатый семиугольник, построенный с помощью
деления окружности на 7 равных частей, произвольный звездчатый семиугольник,
построенный с помощью окружности, два семиугольника, построенных продолжением
сторон выпуклых семиугольников. Приложение V.
Также с помощью программы «Компас 3D–LTV12»
построен семиугольник второй степени и измерены его углы.
Шестой
эксперимент: Звездчатые семиугольники третьей степени. Материал
для эксперимента: правильный звездчатый семиугольник, построенный с помощью
деления окружности на 7 равных частей, произвольный семиугольник, построенный с
помощью окружности, два произвольных звездчатых семиугольника, образованных
продолжением сторон выпуклого семиугольника. Приложение VI. Также с помощью
программы «Компас 3D–LTV12»
построен семиугольник третьей степени и измерены его углы.
4.
Результаты и обсуждения. Таблица 1.
Результаты эксперимента
для звездчатых пятиугольников
|
Углы |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
58 |
36 |
24 |
97 |
|
2 |
31 |
36 |
31 |
29 |
|
3 |
30 |
36 |
51 |
15 |
|
4 |
30 |
36 |
32 |
24 |
|
5 |
32 |
36 |
45 |
16 |
|
Сумма |
180 |
180 |
183 |
181 |
Гипотеза:
сумма углов пятиугольной звезды равна 180 о
Таблица 2. Результаты эксперимента для
звездчатых восьмиугольников второй степени.
|
Углы |
|
|
|
|
|
1 |
90 |
90 |
98 |
90 |
|
2 |
90 |
69 |
83 |
82 |
|
3 |
90 |
76 |
94 |
91 |
|
4 |
90 |
104 |
60 |
70 |
|
5 |
90 |
94 |
76 |
84 |
|
6 |
90 |
92 |
102 |
128 |
|
7 |
90 |
97 |
101 |
96 |
|
8 |
90 |
98 |
98 |
80 |
|
Сумма |
720 |
720 |
715 |
720 |
Измерение углов звездчатых восьмиугольников
второй степени с помощью программы Компас 3D (n
= 8, m = 2)
∑
= 719о22/
Гипотеза: сумма углов
восьмиугольной звезды второй степени равна 720 о.
Таблица 3. Результаты
эксперимента для звездчатых восьмиугольников третьей степени
|
Углы |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
45 |
30 |
40 |
41 |
|
2 |
45 |
42 |
50 |
57 |
|
3 |
45 |
68 |
44 |
51 |
|
4 |
45 |
68 |
43 |
47 |
|
5 |
45 |
49 |
42 |
40 |
|
6 |
45 |
27 |
53 |
45 |
|
7 |
45 |
40 |
44 |
45 |
|
8 |
45 |
38 |
44 |
34 |
|
Сумма |
360 |
362 |
360 |
360 |
Измерение
углов звездчатых восьмиугольников третьей степени с помощью программы Компас
3D (n = 8, m
= 3)
∑
= 359о 58/
Гипотеза: сумма
углов восьмиугольной звезды, третьей степени, равна 360 о.
Таблица
4. Результаты эксперимента для звездчатых шестиугольников второй степени
|
углы |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
60 о |
41 о |
38 о |
64 о |
|
2 |
60 о |
62 о |
60 о |
67 о |
|
3 |
60 о |
63 о |
28 о |
64 о |
|
4 |
60 о |
64 о |
102 о |
52 о |
|
5 |
60 о |
76 о |
94 о |
54о |
|
6 |
60 о |
53 о |
38 о |
60о |
|
Сумма |
360 о |
359 о |
360 о |
361о |
Измерение
углов звездчатых шестиугольников второй степени с помощью программы Компас
3D (n = 6, m
= 2)
∑
= 359о59/
Гипотеза: сумма
углов шестиугольной звезды равна 360 о.
Таблица 5. Результаты эксперимента для
звездчатых семиугольников второй степени
|
углы |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
77 |
72 |
103 |
69 |
|
2 |
77 |
74 |
65 |
53 |
|
3 |
77 |
64 |
78 |
91 |
|
4 |
77 |
79 |
96 |
102 |
|
5 |
77 |
82 |
64 |
63 |
|
6 |
77 |
82 |
56 |
63 |
|
7 |
77 |
87 |
78 |
100 |
|
Сумма |
539 |
540 |
540 |
541 о |
Измерение углов звездчатых семиугольников
второй степени с помощью программы Компас 3D (n
= 7, m = 2)
∑
= 539о 50/
Гипотеза: сумма углов семиугольной звезды
второй степени равна 540 о.
Таблица 6. Результаты
эксперимента для звездчатых семиугольников третьей степени.
|
Углы |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
29 |
26 |
25 |
26 |
|
2 |
24 |
26 |
27 |
26 |
|
3 |
26 |
26 |
25 |
24 |
|
4 |
25 |
26 |
27 |
23 |
|
5 |
25 |
26 |
26 |
28 |
|
6 |
26 |
26 |
26 |
27 |
|
7 |
26 |
26 |
25 |
26 |
|
Сумма |
182 |
182 |
181 |
180 |
Измерение
углов звездчатых семиугольников третьей степени с помощью программы Компас
3D (n = 7, m
= 3)
∑
=180о
Гипотеза: сумма углов
семиугольной звезды третьей степени приблизительно равна 180 о.
Систематизируем
полученные данные по четности и нечетности углов, по аналогии продолжим таблицу
для большего количества углов. Таким образом, выявлены некоторые закономерности,
что позволяет сделать предположения, что ряд можно продолжить и получить данные
о сумме углов звездчатых многоугольников с большим количеством углов. В
таблицах 7, 8 представлены предполагаемые результаты для десятиугольной,
двенадцатиугольной, четырнадцатиугольной, девятиугольной, одиннадцатиугольной,
тринадцатиугольной звезд.
Таблица 7.
Четное количество углов (n
– количество углов, m
– степень)
|
n |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
|
6 |
360 о |
—– |
—– |
—– |
—- |
|
8 |
720 о |
360 о |
—– |
—– |
—- |
|
10 |
1080 о |
720 о |
360 о |
—– |
—- |
|
12 |
1440 о |
1080 о |
720 о |
360 о |
—- |
|
14 |
1800 о |
1440 о |
1080 о |
720 о |
360 о |
Таблица 8. Нечетное количество углов (n
– количество углов, m
– степень)
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
5 |
180 |
—– |
—– |
—– |
—– |
|
7 |
540 |
180 |
—– |
—– |
—– |
|
9 |
900 |
540 |
180 |
—– |
—– |
|
11 |
1260 |
900 |
540 |
180 |
—– |
|
13 |
1620 |
1260 |
900 |
540 |
180 |
По данным таблицам можно делать вывод не
только о сумме углов многоугольников, но и о существовании звездчатых
многоугольников.
Результаты,
полученные экспериментальным путем, дают возможность предположить, что суммы
углов звездчатых многоугольников имеют фиксированное значение. Докажем это.
Задача. Сумма углов звездчатого
пятиугольника равна 180о (Авторское
доказательство). Приложение VII. Чертеж 5.Построим звездчатый пятиугольник,
используя выпуклый пятиугольник ACEFD.
Продолжим его стороны до пересечения. Сумма внутренних углов пятиугольника
равна 180 о (5-2) = 540 о. Пусть углы пятиугольника равны
α, β, γ, δ, ω. Тогда смежные им углы в полученных треугольниках, равны: 180
о –α, 180 о-β, 180 о-γ, 180 о-δ,180о-ω.Так
как каждый из этих углов входят в полученные треугольники по два раза, то сумму
углов звезды можно вычислить следующим образом: 180 о *5 – 2((180 о–α)
+(180 о – β)+
+(180 о –γ)
+(180 о –δ) + (180 о – ω))=540 о – 5*180
о*2 + 2(α + β + γ +δ + ω)= 180 о.
Данный способ доказательства
можно использовать для нахождения суммы внутренних углов звездчатых
многоугольников, разной угольности, полученных продолжением сторон выпуклых
многоугольников через одну или соединением точек через одну (степень 2). Это
возможно, потому что любой звездчатый многоугольник внутри себя содержит
выпуклый многоугольник той же угольности.
Задача. Сумма углов звездчатого
шестиугольника второй степени равна 360 о.
Доказательство: Если из
суммы углов шести треугольников вычесть сумму внешних углов выпуклого шестиугольника,
взятых по два, то получится сумма углов шестиконечной звезды: 180 о
* 6 – 360 о *2 = 1080 о – 720 о = 360 о.
Задача. Сумма
углов звездчатого семиугольника второй степени равна 540о
Если из суммы углов семи треугольников
вычесть сумму внешних углов выпуклого семиугольника, взятых по два, то
получится сумма углов семиконечной звезды:
180 о * 7 – 360 *2 = 1260
о – 720 о = 540 о. Решения этих задач научно
подтверждают данные экспериментов.
Таким образом, можно
выявить закономерность и получить формулу для суммы любого звездчатого
многоугольника второй степени: 180 о (n
– 4), n
– количество углов звездчатого многоугольника. Проверим полученную формулу для
звездчатого девятнадцатиугольника
второй степени.
На рисунке представлен
такой многоугольник, углы измерены с помощью программы «Компас 3D–LTV12».
Сумма углов приблизительно равна: 2699о 56/. Такой же
результат получим, подставляя данные в формулу: 180 о (n
– 4) = 180 о (19 – 4) = 2700о
Задача. Сумма углов
правильного звездчатого восьмиугольника третьей степени равна 360
о. (Авторское
доказательство). Приложение VIII.Чертеж
6.
Доказательство строится
на факте, что внутри такого звездчатого многоугольника располагаются правильный
выпуклый восьмиугольник и правильный звездчатый восьмиугольник второй степени.
Доказательство. Зная,
что сумма углов выпуклого восьмиугольника равна 1080 о, тогда угол
правильного восьмиугольника 135о. Два угла звездчатого
восьмиугольника, образованного продолжением сторон через одну, равны по 90о.
Итак, <D = 135о (по теореме о вертикальных углах); <B = <C
=90о; сумма углов четырехугольника равна 360о. Тогда
острый угол четырехугольника АВDС равен 360 о – (135 о +
90 о +90 о)=45 о, а сумма всех углов звезды:
45 о*8 = 360 о.
Задача. Сумма углов произвольного
звездчатого восьмиугольника третьей степени равна 360
о (Авторское доказательство)
Доказательство строится
на факте, что внутри такого звездчатого многоугольника располагаются выпуклый
восьмиугольник и восьмиугольник второй степени.Приложение VIII.Чертеж
7. При построении восьмиугольника третьей степени, углы его входят в
четырехугольники. Сумма углов восьми четырехугольников равна: 8 * 360 о
= 2880о. Из нее отнять сумму углов выпуклого восьмиугольника,
входящих по одному в полученные четырехугольники:180о (8 -2)=1080о.
Затем отнять удвоенную сумму смежных углов для звездчатого восьмиугольника
второй степени, входящих по два в эти четырехугольники: 2*(180 о* 8
– 2*360 о) =1440 о.Получаем: 2880 о – (1080
о + 1440 о) = 360 о.
Приложение VIII.
Чертеж 8. По такому плану можно выстроить доказательство для звездчатого
семиугольника третьей степени: от суммы углов четырехугольников, полученных при
построении звезды: 7*360 о = 2520о, нужно отнять сумму
углов выпуклого семиугольника 180° *(7 – 2) = 900°.
Затем отнять сумму смежных углов для звездчатых семиугольников второй степени,
взятых по два при каждой вершине:180 о *14 – 540 о *2 =
2520 о – 1080 о = 1440 о. Получаем: 2520
о – 900 о – 1440 о =180 о.
Выявлена
закономерность. Получаем формулу для суммы любого звездчатого многоугольника третьей
степени:180о(n-6),
n-количество
углов многоугольника. Проверим полученную формулу для звездчатого двадцатиугольника
третьей степени.
На рисунке представлен такой
многоугольник, углы измерены с помощью программы «Компас 3D–LTV12».
Сумма углов равна: 2520о, такой же результат получим, подставляя
данные в формулу:
180
о (n – 6) = 180 о
(20 – 6) = 2520о
Анализируя полученные
формулы: 180 о (n
– 4); 180 о (n – 6), обобщая
полученные результаты с помощью программы Компас «3D–LTV12»,
можно вывести общую формулу для звездчатых многоугольников произвольных
степеней: 180 о(n
– 2*m),
где n
– количество углов, m – степень звездчатого
многоугольника.
n
= 12, m
= 5 n = 15, m
= 6
По формуле: ∑ =180 о(n
– 2*m)=
180 о(12 – 2*5) = 360о
С помощью программы
Компас 3D:
∑ =359о 59/
По формуле:∑ = 180 о(n
– 2*m)
= 180 о(15 – 2*6) = 540о
С помощью программы
Компас 3D:
∑ =36о *15 = 540о
6.Выводы и заключение
1. В результате работы над темой «Сумма
углов звездчатых многоугольников», были предложены: авторские геометрические
определения звезды и определение степени звездчатого многоугольника.
2. В результате работы над темой «Сумма
углов звездчатых многоугольников», нами проведены эксперименты по измерению
углов различных звездчатых многоугольников второй и третьей степеней и
нахождению их суммы. Была выдвинута гипотеза, что сумма углов звездчатых
многоугольников зависит от количества углов (n)
и его степени (m).
3.Получены подтверждения выдвинутой
гипотезы с помощью решения задач для нахождения суммы углов многоугольников второй
и третьей степеней.
4.Разработана авторская методика решения
задач для суммы углов звездчатого многоугольника второй степени. Выведена
формула для вычисления суммы углов звездчатого многоугольника второй степени:
180о(n
– 4), где n – количество углов
многоугольника.
5.Выстроена единая линия доказательства
для звездчатых многоугольников третьей степени, итог формула: 180о (n
–6).
6. Объединяя формулы для звездчатых
многоугольников второй и третьей степеней, можно предложить, формулу для суммы
углов звездчатых многоугольников различных степеней: 1800 (n – 2m),
где n
– количество углов, m– степень.
Получено подтверждение данной формулы на чертежах, выполненных в программе
«Компас 3D–LTV12».
7.Формула ∑= 1800 (n – 2m),
решение задач, рассмотренных в работе, опираясь на известные научные данные;
измерения углов с помощью программы Компас 3D
полностью подтверждают результаты проведенных экспериментов.
Заключение.1.Все
эти сведения позволяют:а) вычислять сумму углов звездчатых многоугольников
разных степеней; б) вычислять углы правильных звездчатых многоугольников; в)
определять возможность построения звездчатых многоугольников различных
степеней;
2. Данную работу со
звездчатыми многоугольниками предполагаю продолжить: найти авторский способ
доказательства формулы: ∑= 1800 (n – 2m),
где n
– количество углов, m – степень
звездчатого многоугольника.
7. Список
использованных источников и литературы
1. Азлецкий С. Десять
решений одной задачи //С. Азлецкий//. Журнал «Математика» – 2001 – №15 – с 6.
2.Белякова О.Е. Сумма
углов многоугольника. [Электронный ресурс] /О.Е.Белякова// Издательский дом
«Первое сентября». Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» 2013/2014
уч.год. Режим доступа: http//1september.ru/
3.Интернет – http://
ru.wikipedia.org.
Звездчатый многоугольник. (Дата обращения:5.09. 2016).
4.Панкова Н.А. Открытое
заседание детского объединения «Эрудит» по теме «Звезда». [Электронный ресурс]
/Н.А. Панкова// Социальная сеть работников образования – 2013 Режим доступа: nsportal.ru
5.Ожегова С.И. Шведова
Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений –
4-е изд., М: Высшая школа,1993. – 944 с.
Приложения
�������
������� ����� ����� ��� �������� ������������������ ������������ ������.
���������
��������� ������� � ������� ���� ������������.
�������
��������� ������� ������ ���������������: A1, A2, A3, A4, A5. ����� M – ����� ����������� �������� A1A4 � A2A5, � N –
�������� A1A3 � A2A5. ����� ���� A1MN – ������� ���� ������������ MA2A4, � ���� A1NM – ������������ NA3A5. ������� ∠A1MN = ∠A2 + ∠A4, ∠A1NM = ∠A3 + ∠A5. �������������,
∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ∠A4 + ∠A5 = ∠A1 + ∠A1MN + ∠A1NM = 180°.
�����
180°.
���������
�� ������� ���������� ������ ���� �������������� ��������� �������.
������� ��������� ������������� ��������� ����� ����. ������� ����� ����� ��� �������� ������������ ������.
��������� � ���������� �������������
| web-���� | |
| �������� | ������� ����� �� ��������� �.�.������� |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| ������ | |
| ����� | 1108 |
| ��������� | |
| �������� | ������ ��.���������� |
| ���/����� | |
| ����� | 09 |
| ���� | 1986 |
| ������ | |
| ����� | 08 |
