Как найти сумму углов треугольника в градусах - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Сумма углов треугольника

Доказательство теоремы:

Нарисуем треугольник. Через одну из его вершин проведем прямую, параллельную противоположной стороне, и найдем на рисунке равные углы.

Угол 1 равен углу BAC, они накрест лежащие. Угол 2 равен углу ACB, они тоже накрест лежащие.

Сумма угла 1, угла ABC и угла 2 составляет развернутый угол.

A развернутый угол равен $180{}^circ$ . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

Заметим, что они похожи друг на друга. Одна и та же задача на тему «Сумма углов треугольника» может встретиться и на ОГЭ, и на ЕГЭ по математике. И уровень сложности заданий по этой теме в ЕГЭ и ОГЭ примерно одинаковый.

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задача 1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.

Получим уравнение:

и найдем x = 17.

Тогда 3x=51 .

Ответ: 51.

Обратите внимание, что это даже не геометрия, а алгебра. Мы составили уравнение и решили его.

Задача 2.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен $98^{circ}$ , а два других равны $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 180-98}{displaystyle 2}=41^{circ}$ .

Ответ: 41.

Задача 3.

На рисунке угол 1 равен $46^{circ}$ , угол 2 равен $30^{circ}$ , угол 3 равен $44^{circ}$ . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол 5.

Он равен $180^{circ}-angle 1-angle 3 = 90^{circ}.$

Тогда $angle 6= 90^{circ}.$

$angle 7=180^{circ}-angle 2-angle 6=60^{circ}.$

Угол 4, смежный с углом 7 равен $120^{circ}.$

Ответ: $120^{circ}.$

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Задача 4.

Углы треугольника относятся как 2:3:4 . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

$2x+3x+4x=180^{circ};$

$9x=180^{circ};$

$x=20^{circ};$

Тогда $2x=40^{circ}.$

Здесь мы тоже составили уравнение и решили его. Так же, как на уроках алгебры.

Ответ: 40.

Задача 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен ${48}^circ$ , угол ABC равен ${41}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle ALC — внешний угол и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, $angle BAL=angle ALC-angle ABL=48{}^circ -41{}^circ =7{}^circ$ .

AL — биссектриса , а это значит, что $angle BAC=2 angle BAL=2cdot 7{}^circ =14{}^circ$ .

По теореме о сумме углов треугольника получаем:
$angle ACB=180{}^circ -41{}^circ -14{}^circ =125{}^circ .$
Ответ: 125.

Задача 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, angle B=61 ${}^circ ,$ angle D=151 ${}^circ .$ Найдите величину угла A. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если соединить точки B и D, получим два равных треугольника. Они равны по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике ABD сумма двух углов
$angle DBA+angle BDA=displaystyle frac{1}{2}left(angle B+angle Dright)=displaystyle frac{1}{2}left(61+151right)=106{}^circ .$
Тогда $angle A=180{}^circ -106=74{}^circ$ , по теореме о сумме углов треугольника.

Ответ: 74.

Задача 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен ${124}^circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности. Значит, — равнобедренный, в нем BO=OC — как радиусы.

$angle AOD=angle BOC=124{}^circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике:

$angle OCB=displaystyle frac{180{}^circ -124{}^circ }{2}=28{}^circ$ .

Ответ: 28.

Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен ${104}^circ$ , угол CAD равен ${5}^circ$ . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD — биссектриса, отсюда следует, что $angle CAD=angle DAB=5{}^circ Rightarrow angle CAB=10{}^circ$ .

Тогда по теореме о сумме углов треугольника $angle B=180{}^circ -104{}^circ -10{}^circ =66{}^circ$ .

Ответ: 66.

Задача 9. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен ${90}^circ$ , угол B равен ${35}^circ$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${90}^circ$ , угол B равен ${35}^circ$ , тогда угол A равен $90{}^circ -35{}^circ =55{}^circ$ .

CD — медиана. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Значит, .

Поэтому треугольник ADC равнобедренный и $angle A=angle ACD=55{}^circ$ .

Ответ: 55.

Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен ${58}^circ$ , биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${58}^circ$ , отсюда по теореме о сумме углов треугольника $angle A+angle B=180{}^circ -58{}^circ =122{}^circ$ .

Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол OAB — это половина угла CAB, угол OBA — это половина угла CBA. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника к треугольнику AOB.

$angle AOB=180{}^circ -displaystyle frac{1}{2}left(angle A+angle Bright)=180{}^circ -61{}^circ =119{}^circ .$

Ответ: 119.

Задача 11. В треугольнике ABC угол A равен ${56}^circ$ , углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BD – высота тогда — прямоугольный,

$angle ABD=90{}^circ -56{}^circ =34{}^circ .$

CE — высота тогда — прямоугольный и $angle BOE=90{}^circ -34{}^circ =56{}^circ$ .

Углы и — смежные, поэтому $angle EOD=180{}^circ -56{}^circ =124{}^circ$ .

Ответ: 124.

Задача 11. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен ${14}^circ$ . Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке вершины треугольника ABC, биссектрису CК и высоту CН. Биссектриса CК делит прямой угол на два угла по $45{}^circ$ . Угол BCН равен разности углов BCК и КCН, то есть $45{}^circ -14{}^circ =31{}^circ$ .

Треугольники BCН и BAC подобны по двум углам. Значит, угол BAC равен углу BCН, то есть $31{}^circ .$

Ответ: 31.

Задача 12. Острые углы прямоугольного треугольника равны ${84}^circ$ и ${6}^circ$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке медиану CМ и высоту CН.

Пусть $angle A=6{}^circ$ и $angle B=84{}^circ$ . Высота CН разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Значит, угол BCН равен углу BAC, то есть ${6}^circ$ .

у которых углы равны т. е. угол C разбился на углы

${84}^circ$ и

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Получили два равнобедренных треугольника, BCМ и ACМ. В треугольнике ACМ углы A и C равны 6 градусов каждый.

Тогда угол МCН между высотой и медианой равен: $90{}^circ -angle ACM- angle BCH=90{}^circ -6{}^circ -6{}^circ =78{}^circ .$

Ответ: 78.

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Задача 13. В треугольнике два угла равны ${57}^circ$ и ${86}^circ$ . Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна $180{}^circ$ , поэтому

третий угол равен $180{}^circ -57{}^circ -86{}^circ =37{}^circ$ .

Ответ: 37.

Задача 14. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34 ${}^circ$ . Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90{}^circ$ . Поэтому второй острый угол равен: $90{}^circ -34{}^circ =56{}^circ$ .

Ответ: 56.

Задача 15.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, $angle ABC=108{}^circ$ . Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Значит, треугольник ABС равнобедренный, и углы при основании AС равны,

т.е. $angle A=angle C=displaystyle frac{180{}^circ -108{}^circ }{2}=36{}^circ$ .

Ответ: 36.

Задача 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, $angle BAC=37{}^circ$ . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BH — высота , тогда — прямоугольный, в нем $angle AHB=90{}^circ$ и $angle BAC=37{}^circ .$ Используя теорему о сумме углов в треугольнике, найдем угол ABH:
$angle ABH=180{}^circ -angle AHB-angle AHB=180{}^circ -90{}^circ -37{}^circ =53{}^circ .$
Ответ: 53.

Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен ${133}^circ$ . Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника AВC при вершине C является смежным углом с углом ACB, а сумма смежных углов равна $180{}^circ$ .

Значит, внешний угол треугольника ABC при вершине C равен: $180{}^circ -133{}^circ =47{}^circ$ .

Ответ: 47.

Задача 18. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и $angle ABC=25{}^circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

— равнобедренный, $angle A=angle C=displaystyle frac{180{}^circ -25{}^circ }{2}=displaystyle frac{155{}^circ }{2}$ .

— вписанный угол и опирается на дугу BC, а — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного опирающегося на ту же дугу, $angle BOC=2angle BAC=155{}^circ$ .

Ответ: 155.

Задача 19. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и angle ABC=123 ${}^circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

— равнобедренный треугольник, отсюда .

— вписанный угол, он опирается на дугу BC, а — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, значит, $angle BOC=2angle BAC=180{}^circ -123{}^circ =57{}^circ$ .

Ответ: 57.

Задача 20. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен ${114}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры, отсюда следует, что — равнобедренный, BO=OC — радиусы.

$angle AOD=angle BOC=114{}^circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике $angle OCB=displaystyle frac{180{}^circ -114{}^circ }{2}=33{}^circ$ .

Ответ: 33.

Задача 21. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен ${75}^circ$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. A это означает, что AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90{}^circ$ , и треугольник ABC – прямоугольный. И если $angle BAC=75{}^circ$ , то второй острый угол этого треугольника равен: $90{}^circ -75{}^circ =15{}^circ$

Ответ: 15.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Сумма углов треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 марта 2023 года; проверки требуют 6 правок.

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии.

Формулировка[править | править код]

Сумма углов любого треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.^[1]

Доказательство[править | править код]

Пусть — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Следствия[править | править код]

В треугольнике не может быть двух тупых или двух прямых углов, потому что тогда сумма углов была бы больше 180°. По той же причине треугольник не может содержать тупой и прямой углы одновременно.
У любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, случай, когда у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов, противоречит предыдущему следствию.
В прямоугольном треугольнике оба угла при гипотенузе — острые.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому тупым может быть только угол, противолежащий основанию.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны (180° — 90°) /2 = 45°.
В равностороннем треугольнике все три угла совпадают и поэтому равны 180° / 3 = 60°.
(Теорема о внешнем угле треугольника) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним^[2].

Вариации и обобщения[править | править код]

Многоугольники[править | править код]

Обобщение для симплексов[править | править код]

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если $L_{{ij}}$ — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

${displaystyle {begin{vmatrix}1&-cos L_{12}&-cos L_{13}&dots &-cos L_{1(n+1)}\-cos L_{21}&1&-cos L_{23}&dots &-cos L_{2(n+1)}\-cos L_{31}&-cos L_{32}&1&dots &-cos L_{3(n+1)}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots &\-cos L_{(n+1)1}&-cos L_{(n+1)2}&-cos L_{(n+1)3}&dots &1\end{vmatrix}}=0}$

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и n+1 вектор в -мерном пространстве всегда линейно зависимы.

В неевклидовых геометриях[править | править код]

Приведённое в этой статье доказательство опирается на определённое свойство параллельных прямых, а именно — утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Доказательство этого утверждения, в свою очередь, использует аксиому параллельности евклидовой геометрии. Можно показать, что любое доказательство теоремы о сумме углов треугольника будет использовать аксиому параллельности, и наоборот — из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вывести аксиому параллельности, если даны остальные аксиомы классической геометрии (абсолютная геометрия)^[3].

Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется:

На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.

Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

Примечания[править | править код]

↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 81.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 421.
↑ Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. — М.: Мир, 1989. — С. 255—256. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.

Литература[править | править код]

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Источник

Сумма углов треугольника равна (180°).

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (KLM) и докажем, что

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(M =)

180°

1. Через вершину (L) параллельно стороне (KM) проведём прямую (a).

2. При пересечении параллельных прямых (a) и (KM) секущей (KL), углы, которые обозначаются (1), будут накрест лежащими углами, а углы, обозначенные (2) — это накрест лежащие углы при пересечении этих же параллельных прямых секущей (ML).

Очевидно, сумма углов (1), (2) и (3) равна развёрнутому углу с вершиной (L), т. е.

∠

(1) (+)

∠

(2) (+)

∠

(3 =)

180°

, или

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(M =)

180°

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

90°

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен

45°

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен

60°

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство

Из равенств

∠

(KML) (+)

∠

(BML=)

180°

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(KML =)

180°

получаем, что

∠

(BML =)

∠

(K) (+)

∠

(L).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

У треугольника (KLM) все углы острые.

У треугольника (KMN) угол (K = 90)

У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.

На рисунке (MN) — гипотенуза, (MK) и (KN) — катеты.

У треугольника (KLM) один угол тупой.

Источник

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим задачи по геометрии за 7 класс. Задачи на применение теоремы о сумме углов треугольника. Они встречаются в 15 задании ОГЭ по математике.

Вспомним теорему о сумме углов треугольника:

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Задача №1

Теорема о сумме углов треугольник. Задание №15 ОГЭ.

Решение

Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. Нам известны два угла в треугольнике. Они равны 72 и 42 градуса. Значит, третий угол равен:

Ответ 66

Задача №2

Решение

Отметив известный угол на чертеже. Необходимо найти внешний угол треугольника, который обозначен красным цветом.

Внешний угол треугольника – называется угол, который смежный с каким-нибудь внутренним углом этого треугольника.

Свойство смежных углов:

Смежный угол треугольника равен 180 градусам.

Рядом с чертежом треугольника сделаем смежные углы.

Теперь найдем угол, смежный с углом в 115 градусов.

Ответ 65

Задача №3

Решение

В треугольнике АВС АВ=ВС, т.е. две стороны равны. Значит треугольник равнобедренный. Третья сторона – основание.

Свойство равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Отметим на чертеже равные углы одинаковыми дугами и известный угол АВС.

Ответ 37

Задача №4

Решение

Прямой угол на чертеже обозначается квадратиком и равен 90 градусов.

Отметим на чертеже все известные углы

Решение задачи через теорему о сумме углов в треугольнике:

Решение задачи через свойство прямоугольного треугольника

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам

Ответ 69

Задача №5

Решение

Отметим на чертеже известные углы. Для того чтобы найти угол АВН, нужно рассмотреть треугольник АВН (прямоугольный с прямым углом АНВ=90). В решении этой задачи можно воспользоваться теоремой о сумме углов треугольника или свойством острых углов прямоугольного треугольника.

Ответ 53

Задача №6

Решение

Отметим на рисунке равные стороны, известные углы и то, что нужно найти.

Так как в треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, то треугольник АВС равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (отмечено синими дугами).

Найдем внутренний угол треугольника при внешнем угле в 125 градусов

Вычислим угол АСВ применив теорему о сумме углов в треугольнике

Задача №7

Решение

Для решения этой задачи, нам необходимо вспомнить, что такое биссектриса и ее свойстве. Об этом было сказано здесь

Коротко: Биссектриса делит угол на две равные части. Отметим на рисунке, какие углы у нас получатся. Разделим углы М и N пополам и отметим это на чертеже.

Найдем градусную меру угла NAM по теореме о сумме углов в треугольнике

Ответ 117.

Задание №8

Решение

Отметим на чертеже известные углы и то, что надо найти.

Для решения необходимо найти еще угол ALB, смежный с углом ALC.

Теперь можно вычислить угол BAL который равен углу LAC по свойству биссектрисы угла треугольника.

Воспользуемся теоремой о сумме углов в треугольнике и вычислим угол ACB

Ответ 16.

Задача №9

Решение

Из первого предложения задачи выясняем, что треугольник ADC – равнобедренный, так как AD=AC. Отметим это на чертеже и вычислим углы при основании треугольника ADC.

Нам необходимо найти градусную меру угла DCB.

Ответ 53,5

Задача №10

Решение

Так как углы А и С известны, то можем найти угол В по теореме о сумме углов в треугольнике.

Так как BD биссектриса в треугольнике ABC, то углы ABD и CBD равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. В треугольнике CHB по свойству острых углов в прямоугольном треугольнике найдем острый угол СВН.

Осталось по задаче найти градусную меру угла DBH.

Ответ 20

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог

Источник

Геометрия

7 класс

Урок №23

Сумма углов треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

Формулирование и доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
Следствия теоремы о сумме углов треугольника.
Классификация треугольников по видам углов.
Формулирование и доказательство теоремы о свойствах прямоугольного треугольника.
Решение задач с применением пройденного материала;
Угловой отражатель.

Тезаурус:

Внешний угол треугольника– это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.

Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.

Сформулируем эту теорему.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: ∆АВС.

Доказать:

∠А+∠В +∠С = 180º

Доказательство:

Проведем через вершину В прямую а ║АС.

∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Что и требовалось доказать.

Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Дано: ∆АВС.

Доказать:

∠4 = ∠1 + ∠2.

∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).

∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.

Что и требовалось доказать.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.

По углам треугольник может быть:

‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);

‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);

‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.

Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

∆АВС– прямоугольный.

∠В = 90°.

АС – гипотенуза.

АВ,ВС – катеты.

Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

Дано:

∆АВС – прямоугольный.

∠В = 90°.

Доказать: ∠А +∠С = 90°.

Доказательство:

∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°

∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°

Что и требовалось доказать.

Решим задачу.

Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.

Дано:

∆АВС – равносторонний

Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.

Доказательство:

Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.

∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.

Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

Угловой отражатель.

Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.

Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.

Разбор заданий тренировочного модуля

1. Чему равна градусная мера углаА, если треугольник АВС прямоугольный?

Решение:

По условию, ∆АВС – прямоугольный → сумма его острых углов равна 90°.

∠А+∠В=90°

∠В = 45° (по рисунку) →∠А + 45° = 90°.

∠А=90° – 45° = 45°.

Ответ: ∠А = 45°.

2. По рисунку найдите угол N треугольника FNA.

Решение:

По рисунку ∠NAP= 140°, этот угол внешний к углу А треугольника FNA→

∠NAP = ∠N +∠F= 140° (т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним).

∠F = 60° (по рисунку).

∠N + 60° = 140°.

∠N = 140° – 60° = 80°.

Ответ:∠N = 80°.

Источник

Сумма углов треугольника

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Формулировка[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Следствия[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Многоугольники[править | править код]

Обобщение для симплексов[править | править код]

В неевклидовых геометриях[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти микро сд на компьютере

Как найти на калькуляторе скобки

Как в игре скайрим найти авгура

Добавить комментарий Отменить ответ