Как найти сумму углов выпуклого двенадцатиугольника

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

  • Все категории
  • экономические
    43,658
  • гуманитарные
    33,653
  • юридические
    17,917
  • школьный раздел
    611,962
  • разное
    16,905

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Маргарита Корнеева
18 июня, 02:57


0

Сумма градусных мер углов выпуклого n-угольника находится по формуле:

180 * (n – 2).

Следовательно найдем сумму углов выпуклого двенадцатиугольника, то есть в формулу 180 * (n – 2) подставим вместо переменной n число 12 и получим:

180 * (12 – 2) = 180 * 10 = 1 800 градусов.

Ответ: 1 800 градусов.

  • Комментировать
  • Жалоба
  • Ссылка

В геометрии многоугольниками называют плоские замкнутые фигуры, состоящие из нескольких прямых отрезков. Суммарная длина всех сторон называется периметром.

Поговорим подробнее о видах многоугольников и их характеристиках.

Определение

Многоугольник — это замкнутая ломаная линия.

Многоугольник — это простое понятие: Если в замкнутой ломаной линии соседние стороны имеют общую точку и любые две стороны не являются продолжением друг друга, то фигура называется многоугольником.

Пример многоугольников

При изучении темы, что такое многоугольники, применяются следующие термины:

  • Вершины многоугольника.
  • Стороны замкнутой ломаной.
  • Углы, образованные между смежными сторонами.
  • Отрезки между несмежными вершинами называются диагоналями.
  • Сумма длин всех сторон фигуры является периметром.
  • Внутренние углы между соседними сторонами. Число углов равно числу сторон и вершин.

Наименования данных фигур зависят от количества сторон:

  • Треугольник – это 3 стороны.
  • Четырехугольник имеет 4 стороны.
  • Пятиугольник – это 5 сторон и пр.

Все фигуры имеют буквенные обозначения, необходимо правильно проставлять их при вершинах.

Например, обозначение пятиугольника ABCDE будет выглядеть так:

Пример пятиугольника

В этом пятиугольнике вершинами являются точки: A, B, C, D и E.

Отрезки: AB, BC, CD, DE и EA являются сторонами пятиугольника.

Виды многоугольников

Различают несколько видов этих фигур: выпуклые, вогнутые, правильные и неправильные.

Какие многоугольники называются выпуклыми и невыпуклыми (вогнутыми)? Чтобы определить, какой многоугольник называется выпуклым, достаточно знать его определение.

Если стороны, при продолжении до прямой линии, не пересекают плоскость, то это выпуклый многоугольник.

Выпуклый и вогнутый многоугольники

Определение невыпуклого многоугольника: если при продолжении сторон прямые линии пересекают плоскость фигуры, то она является вогнутой.

Что такое правильные многоугольники

Выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называются правильными.

На рисунке показан правильный многоугольник.

пример правильного многоугольника

Как найти периметр многоугольника и определить диагонали

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон.

Пример нахождения периметра многоугольника

Для четырехугольника ABCD периметр будет равен сумме его сторон: AB + BC + CD + DA.

Пример

Задание: Длина одной стороны четырехугольника ABCD равна 3 см. Требуется найти
периметр четырехугольника.

Решение: AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 12 см.

Диагональю многоугольника является отрезок, который соединяет вершины противоположных углов.

Например, отрезок AD будет являться диагональю фигуры ABCDEF:

Пример диагонали

Свойство треугольников: если треугольник не имеет углов с общими сторонами, диагональ он иметь не может.

Если из вершин провести несколько диагоналей, то они разделят фигуру на несколько треугольников:

Пример треугольника внутри многоугольника

Количество треугольников будет на 2 меньше, чем число сторон:

Если t — количество треугольников, а n — количество сторон, то формула будет выглядеть так: t = n – 2.

Разделение многоугольника диагоналями на несколько треугольников помогает быстро найти площадь.

Чтобы найти площадь многоугольника, нужно разделить его на треугольники, затем найти их площадь и сложить полученные результаты.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Научимся находить сумму углов выпуклого четырёхугольника, не только внешних, но и внутренних. Но сначала определим, какие углы называются внутренними углами выпуклого многоугольника.

Внутренним называется угол между смежными сторонами.

Например, ∠ABC является внутренним для ABCDEF.

Пример внутреннего угла

Внешним называют угол между стороной фигуры и линейным продолжением близлежащего отрезка.

Например, ∠LBC является внешним углом для ABCDEF.

Пример внешнего угла

Правило: сумма углов выпуклого многоугольника всегда равно числу его сторон. Это определение относится ко всем углам.

Это значит, чтобы найти количество углов, достаточно посчитать количество всех его сторон. Значит сумма углов четырехугольника будет равна четырем.

Сумма внутренних углов

Правило для нахождения суммы углов гласит: чтобы найти сумму всех внутренних углов выпуклого многоугольника, нужно умножить уменьшенное на 2 количество его сторон на 180°.

Обозначения выглядят следующим образом:

  • сумма углов – s;
  • число сторон – n;
  •  два прямых угла (2 · 90 = 180°) – 2d.

Формула многоугольника для нахождения суммы углов: s = 2d · (n – 2).

Найти сумму углов также можно с помощью деления фигуры на треугольники. Она будет равна сумме углов всех треугольников (180° · n).

Пример:

Сумма внутренних углов

Если у фигуры 4 треугольника, то сумму всех углов находим по следующей формуле: s = 2d (n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Это означает, что сумма внутренних углов – это постоянная величина, которая зависит от количества его сторон.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Сумма внешних углов

Определение: Сумму всех внешних углов многоугольника находим по формуле: s = 4d.

Где:

  • s — сумма внешних углов;
  • 4d — четыре прямых угла (4 · 90 = 360°).

Сумма смежных (внутреннего и внешнего) углов, лежащих при вершине, равна 180° · (2d).

Например, ∠1 и ∠2:

Сумма внешних углов

Если имеется n вершин, то сумма внутренних и внешних и углов будет равна 2dn.

Пример

Задание: Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

Решение: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180° (n -2).

Если имеется 12 вершин, то сумма всех углов будет рассчитываться следующим образом: 2 · 90 · (12 – 2) = 1800°.

Зная основные формулы и определения для многоугольников, можно легко справиться с любой задачей.

Вычислите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

На этой странице сайта, в категории Геометрия размещен ответ на вопрос
Вычислите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся
5 – 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по
интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории,
чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы
расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос,
который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс
позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы – вершинами многоугольника.

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Выпуклый многоугольник

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Невыпуклый многоугольник

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Теорема 1

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

[(n-2)cdot {180}^0]

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).

Рисунок 3.

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

[(n-2)cdot {180}^0]

Теорема доказана.

«Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник» 👇

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Определение 5

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Четырехугольник

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Выпуклые четырехугольники

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Теорема 2

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

[(n-2)cdot {180}^0]

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

[left(4-2right)cdot {180}^0={360}^0]

Теорема доказана.

Примеры задач

Пример 1

Определить сумму углов выпуклого девятиугольника, семиугольника и двенадцатиугольника.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой $1$. Получим:

Сумма углов выпуклого пятиугольника равняется

[left(5-2right)cdot {180}^0=3cdot {180}^0={540}^0]

Сумма углов выпуклого девятиугольника равняется

[left(9-2right)cdot {180}^0=7cdot {180}^0={1260}^0]

Сумма углов выпуклого двенадцатиугольника равняется

[left(12-2right)cdot {180}^0=10cdot {180}^0={1800}^0]

Пример 2

Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равняется ${1620}^0$.

Решение.

Используя формулу задачи $1$, имеем

[left(n-2right)cdot {180}^0={1620}^0] [n-2=9] [n=11]

Ответ: $11$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 12.05.2023

Добавить комментарий