Как найти сумму вечно убывающей геометрической прогрессии

Как найти сумму вечно убывающей геометрической прогрессии

Формулы для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии

Содержание:

  • Что такое геометрическая прогрессия
  • Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет
  • Сумма первых n членов геометрической прогрессии
  • Как найти q в геометрической прогрессии
  • Примеры решения задач

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число (Xn), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: (X_1, X_2)
,…,(X_n), или ({[X_n]}). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности (f(n)=X_n.)

Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом (b_1), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число (q).

Числа ( b_1) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

(b_n=b_{n-1}cdot q,)

Где (b_n) — (n-й) член прогрессии, (q) — знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия может быть задана рекуррентным соотношением:

(b_1=b,) (b_{n+1}=b_ncdot q,) (nin N,) (bneq0), (qneq0.)

Примечание

Рекуррентное соотношение задается формулой, выражающей (Xn) через предшествующие ему члены последовательности.

Примеры геометрических прогрессий:

  • 1, 2, 4, 8, 16, 32 …; (b_1 = 1), (q = 2;)
  • 1, 3, 9, 27, 81…; (b_1 = 1), (q = 3;)
  • 2, -8, 32, -128, 512…:(b_1 = 2), (q = -4.)

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, рассчитывается как модуль среднего геометрического соседних членов:

(left|b_nright|=sqrt{b_{n-1}cdot b_{n+1}},) (ngeq2, )

или

(b_n^2=b_{n-1}cdot b_{n+1}.)

Если (b_1 > 0) и (q > 1) или (b_1 < 0) и (0 < q < 1), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

Если (b_1 > 0) и 0 < (q < 1) или (b_1 < 0) и (q > 1), то для нее характерно убывание.

Примеры геометрических прогрессий в жизни:

  1. Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
  2. Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  3. Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии.
  4. Начисление процентов по вкладу в банках может осуществляться по простой или сложной схеме: соответственно, проценты начисляются либо по арифметической, либо по геометрической прогрессиям.

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы (|q| <1.)

Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:

(S=frac{b_1}{1-q}.)

Доказательством этой формулы является то, что величина (q^n) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.

Пример такой прогрессии:

1, (frac12,) (frac14,) (frac18), (frac1{16},…)

Если (q=1), то для вычисления суммы (S_n) первых n членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

(S_n=b_1+…+b_n=frac{b_1-b_nq}{1-q}=frac{b_1left(1-q^nright)}{1-q}.)

Если (q≠1), то формула видоизменяется в:

(S_n=b_1n.)

Также для объяснения формулы, введем другое обозначение суммы первых членов прогрессии:

(S_n=b_1+b_2+…+b_n.)

Тогда можно видоизменить формулу нахождения суммы (S_n) первых n членов геометрической прогрессии:

(S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}.)

Как найти q в геометрической прогрессии

Вычисление знаменателя прогрессии (q) осуществляют через выведение из формулы на нахождение общего члена геометрической прогрессии:

(b_n=b_1q^{n-1} )

Отсюда:

(q=frac{b_{n+1}}{b_n}.)

Примеры решения задач

Задача № 1

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 35. Сумма первых 5 членов в 49 раз больше суммы их обратных величин.

Найти знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Решение:

По условиям задачи:

(b_1+b_1q^2=35.,)

(b_1left(1+q+q^2+q^3+q^4right)=49left(frac1{b_1}+frac1{b_1q}+frac1{b_1q^2}+frac1{b_1q^3}+frac1{b_1q^4}right).) (2)

Так как (1+q+q^2+q^3+q^4neq0) (иначе задача теряет смысл), то равенство (2) можно записать в виде:

(b_1^2q^4=49. ) (3)

Из (3) следует, что либо (b_1q^2=7,) либо (b_1q^2=-7.)

Если равно 7, то из (1) находим (b_1=28,) (q^2={textstylefrac14}), откуда (q=pmfrac12 )

Если равно -7, (b_1=42,) (\q^2=-{textstylefrac16}). В этом случае второе условие задачи теряет смысл. 

Конечный результат:

(b_1=28,) (q=pmfrac12. )

Задача № 2

(S_n) — сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Доказать, что: (S_nleft(S_{3n}-S_{2n}right)=left(S_{2n}-S_nright)^2). (1)

Доказательство:

Пусть (b_k — k-й) член, (q)— знаменатель геометрической прогрессии. Тогда:

(S_{m+k}=S_m+b_1q^m+b_1q^{m+1}+…+b_1q^{m+k-1},)

откуда:

(S_{m+k}-S_m=q^mleft(b_1+b_1q+…+b_1q^{k-1}right))

или

(S_{m+k}-S_m=q^mS_k) (2).

Полагая в (2) сначала (m = 2_n,) (k = n), а затем (m = n), (k = n), получаем

(S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}cdot S_n), (S_{2n}-S_n=q^ncdot S_n.) (3)

А из равенств (3) следует равенство (1).

Задача № 3

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4. Сумма возведенных в третью степень ее членов равна 192.

Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Обозначим: (b_1) — первый член, (S) — сумма прогрессии, (q) — знаменатель, (S_1) — сумма возведенных в третью степень ее членов.

Тогда

(S=frac{b_1}{1-q}),( S_1=frac{b_1^3}{1-q^3}.)

Далее получаем

(frac{S^3}{S_1}-frac{1-q^3}{{(1-q)}^3}=frac{4^3}{192}=frac13 )

(3(1+q+q^2)=1-2q+q^2,;qneq1..)
Полученное уравнение, записанное в виде

(2q^2+5q+2=0)

имеет корни (q_1 = −2,) (q_2 = − ½.)

Так как (|q| < 1), отбрасываем первый корень.

Следовательно:

(q=-frac12,;b_1=4(1-q)=6.)

Задача № 4

(S_n)первых трех членов геометрической прогрессии равна 351. (S_n) следующих трех членов равна 13.

Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:

Запишем условия задачи в виде системы уравнений:

(left{begin{array}{l}b_1+b_2+b_3=351,\b_4+b_5+b_6=13end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}b_1+b_1q+b_1q^2=351,\b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=13end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}b_1(1+frac13+frac19)=351,\q=frac13end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{13}9b_1=351,\q=frac13end{array}Leftrightarrowleft{begin{array}{l}b_1=frac{351cdot9}{13}=243,\q=frac13.end{array}right.right..)

Ответ: (b_1=243,;q=frac13.)

Задача № 5

Геометрическая прогрессия содержит четное число членов. Их сумма в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах.

Найти знаменатель прогрессии?

Решение:

Определим, что в прогрессии 2n членов и (S_{2n}) — сумма всех членов, а (S_n^ast) — сумма членов, стоящих на нечетных местах.

Тогда (S_{2n}=frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}.)

И 

(S_n^ast=b_1+b_3+…+b_{2n-1}=b_1+b_1q^2+…+b_1q^{2n-2}=frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}.)

Где (b_1) — первый член прогрессии, а (q ≠ 1) — знаменатель прогрессии.

По условию задачи:

(S_{2n}=3S_n^astRightarrowfrac{b_1(1-q^{2n)}}{`1-q}=3frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}Rightarrow1+q=3Rightarrow q=2.)

Ответ: (q=2. )

Источник

Содержание:

Определение:

Геометрическая прогрессия со знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий

Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Пример №1

Последовательность

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с

первым членом Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решенияи знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №2

Последовательность

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения (здесь Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения). Изобразим четыре первых члена геометрической прогрессии из примера 1 на координатной прямой (рис. 1).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Мы видим, что чем больше номер прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т.е. тем меньше его модуль, и с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,01, то

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,001, то Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения чем больше номер п члена прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения тем меньше Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения этот, модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется еще и так:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремящемся к бесконечности.

Заметим, что если Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решениястремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решениястремящемся к бесконечности.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членомБесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Запишем формулу суммы первых Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения членов этой прогрессии и преобразуем это выражение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Обозначим

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Тогда получим

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Так как Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решениястремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремящемся к бесконечности. Значит, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения (чем больше слагаемых в сумме Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения), тем меньше разница между Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Поэтому число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример №3

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Решение:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Ответ: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Всё о бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Пример:

Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Будем продолжать этот процесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Естественно считать, что сумма Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата.

Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения из Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения слагаемых:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

С возрастанием значения переменной Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения значение выражения Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения становится все меньше и меньше: значение переменной Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения всегда можно подобрать так, что значение выражения Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения считают равной 1.

Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Для таких прогрессий истинно условие Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения со знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения называется число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Это определение объясняется тем, что с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения все меньше отличается от суммы первых Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения членов этой прогрессии. Действительно,

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Поскольку Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, то Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения приближается к нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому сумма Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения приближается к Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Пример №4

Найдем значение суммы Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, а дробная — с помощью цифр Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Теорема 7.

Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде.

Доказательство:

Пусть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — периодическая десятичная дробь, где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — цифры периода. Тогда число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения можно представить бесконечной суммой:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Это означает, что бесконечную периодическую дробь можно рассматривать как сумму Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым

членом Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Теорема 8.

Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде.

Доказательство:

Пусть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — периодическая десятичная дробь, где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — цифры предпериода, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — цифры периода. Тогда число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения можно представить суммой

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

или, с учетом теоремы 7, суммой

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Преобразуем полученное выражение:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

  • Периодические дроби
  • Степень с рациональным показателем
  • Степень с действительным показателем
  • Логарифм – формулы, свойства и примеры
  • Корень n-й степени
  • Тождества с корнями, содержащие одну переменную
  • Действия с корнями нечетной степени
  • Действия с корнями четной степени
Источник

запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…)  Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по  формуле:

S=b11−q=0,81−0,1

.

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

0,81−0,1=0,80,9=89

.

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Источник

Сходящиеся последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

  1. Предел последовательности
  2. Свойства сходящихся последовательностей
  3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
  4. Примеры

п.1. Предел последовательности

Рассмотрим последовательность с $a_n$ = $frac{3n + 1}{n + 1}$ Выделим целую часть у дроби: $$ mathrm{ a_n=frac{(3n+3)-2}{n+1}=frac{3(n+1)}{n+1}-frac{2}{n+1}=3-frac{2}{n+1} } $$ Заполним таблицу:

$$ mathrm{ a_n } $$

$$ mathrm{ 3-frac{2}{2}=2 } $$

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{11}=}\ mathrm{=2frac{9}{11} } end{gather*}

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{101}=}\ mathrm{=2frac{99}{101} } end{gather*}

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{1001}=}\ mathrm{=2frac{999}{1001} } end{gather*}

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{10001}=}\ mathrm{=2frac{9999}{10001} } end{gather*}

Чем больше n, тем ближе an к 3.
Этот факт записывают следующим образом: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=lim_{{n}rightarrowinfty}frac{3n+1}{n+1}=3 } $$ и говорят, что число 3 является пределом последовательности {an}.

Число (mathrm{binmathbb{R}}) называют пределом последовательности {an}, если последовательность {an – b} является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого, меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=bLeftrightarrow forallvarepsilon gt 0 exists N_{varepsilon}inmathbb{N}: ngeq NRightarrow |a_n-b|lt varepsilon } $$

Раскроем модуль из определения: $$ mathrm{ |a_n-b|lt varepsilon Rightarrow -varepsilon lt a_n-bltvarepsilon Rightarrow b-varepsilonlt a_nlt b-varepsilon } $$ Т.е., начиная с некоторого индекса n, все члены последовательности an (бесконечное множество) попадают в интервал (b – ε; b + ε) – этот промежуток называют ε–окрестностью точки b. Вне этого промежутка находится только первые {a1, a2, …, aN} членов последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=0}) последовательность называется бесконечно малой.

Например:
1. Последовательность {an} c (mathrm{ a_n=frac{4n}{n+2}=frac{4(n+2)-8}{n+2}=4-frac{8}{n+2}}) имеет предел (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=4}), значит, является сходящейся.
2. Последовательность {an} c (mathrm{ a_n=4n+2}) при (mathrm{ nrightarrow infty}) также стремится к бесконечности. Предела нет, последовательность расходящаяся.
3. Последовательность {an} c (mathrm{ a_n=frac{1}{n}}) имеет предел (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}frac{1}{n}=0}), т.е. является бесконечно малой.

п.2. Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность имеет предел, то он – единственный.
Свойство 2. Если последовательность имеет предел, то она – ограничена.
Свойство 3. Если все члены последовательности равны a_n=b, то её предел равен b.
Свойство 4. Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}(a_n+b_n)=lim_{{n}rightarrowinfty}a_n+lim_{{n}rightarrowinfty}b_n } $$ Свойство 5. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}(a_ncdot b_n)=lim_{{n}rightarrowinfty}a_ncdot lim_{{n}rightarrowinfty}b_n } $$ Свойство 6. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}left(frac{a_n}{b_n}right)=frac{lim_{{n}rightarrowinfty}a_n}{lim_{{n}rightarrowinfty}b_n} } $$

п.3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию с (mathrm{b_1=1, q=frac12}).
Сумма её первых n членов (см.§27 данного справочника) равна: $$ mathrm{ S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q}=1cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=2left(1-frac{1}{2^n}right)=2-frac{1}{2^{n-1}} } $$ Чем больше будет n, тем меньше будет второе слагаемое (mathrm{frac{1}{2^n-1}}). В пределе (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}frac{1}{2^{n-1}}=0, lim_{{n}rightarrowinfty}S_n=2}). Удивительно, но мы нашли сумму бесконечного количества слагаемых; и эта сумма конечна.
Обобщим результат для любого |q| < 1: $$ mathrm{ S=lim_{{n}rightarrowinfty}S_n=lim_{{n}rightarrowinfty}left(b_1frac{1-q^n}{1-q}right)=frac{b_1}{1-q}cdot lim_{{n}rightarrowinfty}left(1-underbrace{q^n}_{rightarrow 0}right)=frac{b_1}{1-q} } $$

Бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем |q| < 1 называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии конечна и равна: $$ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q} } $$

Например:
Представим периодическую десятичную дробь 0,(16) в виде обыкновенной.
Данную дробь можно записать в виде суммы

0,16161616… = 0,16 + 0,0016 + 0,000016 + …=
= 0,16 + 0,16 · 0,01 + 16 · 0,012+…

Это – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b1 = 0,16, q = 0,01, она равна: (mathrm{S=frac{0,16}{1-0,01}=frac{0,16}{0,99}=frac{16}{99}}), т.е.
(mathrm{0,(16)=frac{16}{99}})

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите число в виде обыкновенной дроби:
а) 2,(3) begin{gather*} mathrm{ 2,(3)=2+(0,3+0,03+0,003+…)=2+(0,3+0,3cdot 0,1+0,3cdot 0,1^2+…) }\ mathrm{ b_1=0,3, q=0,1 }\ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{0,3}{1-0,1}=frac{0,3}{0,9}=frac13, 2,(3)=2+frac13=2frac13 } end{gather*}

б) 5,(17) begin{gather*} mathrm{ 5,(17)=5+(0,17+0,0017+0,000017+…)= }\ mathrm{ =5+(0,17+0,17cdot 0,01+0,17cdot 0,01^2+…) }\ mathrm{ b_1=0,17, q=0,01 }\ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{0,17}{1-0,01}=frac{0,17}{0,99}=frac{17}{99}, 5,(17)=5+frac{17}{99}=5frac{17}{99} } end{gather*}

Пример 2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a) (mathrm{1, frac{1}{sqrt{2}}, frac12,…})
(mathrm{b_1=1, q=frac{1}{sqrt{2}}}) begin{gather*}mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{frac{1}{sqrt{2}}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{2}-1}=frac{sqrt{2}(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}=frac{2+sqrt{2}}{2-1}=2+sqrt{2} } end{gather*}

б) 1,   π – 3,   (π – 3)2, …
b1 = 1,   q = π – 3 begin{gather*} mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{1-(pi-3)}=frac{1}{4-pi} } end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение begin{gather*} mathrm{ 1+2x+x^2-x^3+x^4-x^5+…=frac{13}{6}, text{если} |x|lt 1 } end{gather*} Выделим геометрическую прогрессию: begin{gather*} mathrm{ 3x+(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+…)=frac{13}{6} }\ mathrm{ b_1=1, q=-x, S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{1+x} } end{gather*} Получаем: begin{gather*} mathrm{ 3x+frac{1}{1+x}=frac{13}{6}Rightarrow frac{3x(1+x)+1}{1+x}=frac{13}{6}Rightarrow 6(3x^2+3x+1)=13(1+x)Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 18x^2+5x-7=0 }\ mathrm{ D=5^2-4cdot 18cdot (-7)=25+504=529=23^2, x=frac{-5pm 23}{36}= left[ begin{array}{ l } mathrm{x_1=-frac79} & \ mathrm{x_2=frac12} & end{array}right. } end{gather*} Оба ответа удовлетворяют ограничению |x| < 1.
Ответ: (mathrm{x_1=-frac79; x_2=frac12})

Пример 4. В квадрат со стороной a вписан второй квадрат так, что его вершины являются серединами сторон первого квадрата. А во второй квадрат точно так же вписан третий квадрат, и т.д. Найдите 1) сумму периметров всех квадратов; 2) сумму площадей всех квадратов.
Пример 4
Сторона первого квадрата b1 = a. Сторона второго квадрата равна половине диагонали первого квадрата (mathrm{b_2=frac{1sqrt{2}}{2}=frac{a}{sqrt{2}}}). Сторона третьего квадрата равна половине стороны первого квадрата (mathrm{b_3=frac{a}{2}}), и т.д.
Получаем геометрическую прогрессию со знаменателем (mathrm{q=frac{1}{sqrt{2}}}).
Периметры квадратов линейно зависят от длин сторон: $$ mathrm{ p_1=4a, p_2=4cdotfrac{a}{sqrt{2}}=2sqrt{2}a, p_3=4cdotfrac{a}{2}=2a,… } $$ Для геометрической прогрессии периметров знаменатель будет тем же: (mathrm{q=frac{1}{sqrt{2}}}).
$$ mathrm{ S_p=frac{p_1}{1-q}=frac{4a}{1-frac{1}{sqrt{2}}}=frac{4sqrt{2}a}{sqrt{2}-1}=frac{4sqrt{2}a(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}=frac{4a(2+sqrt{2})}{2-1}=4a(2+sqrt{2}) } $$ Площади квадратов имеют квадратичную зависимость от длин сторон: $$ mathrm{ s_1=a^2, s_2=left(frac{a}{sqrt{2}}right)^2=frac{a^2}{2}, s_3=left(frac{a}{2}right)^2=frac{a^2}{4},… } $$ Для геометрической прогрессии площадей знаменатель будет равен квадрату знаменателя для прогрессии сторон: (mathrm{q_s=q^2=left(frac{1}{sqrt{2}}right)^2=frac12}).
Сумма всех площадей: begin{gather*} mathrm{ S_s=frac{s_1}{1-q_s}=frac{a^2}{1-frac12}=2a^2} end{gather*} Интересно, что сумма площадей всех(!) квадратов внутри самого большого равна площади этого самого большого квадрата.
Ответ: (mathrm{S_p=4a(2+sqrt{2}), S_s=2a^2})

Пример 5*. В окружность радиуса r вписан правильный треугольник, в треугольник вписана другая окружность, в которую снова вписан правильный треугольник, и т.д. Найдите сумму периметров всех треугольников и сумму длин всех окружностей.
Пример 5*
Сторона правильного треугольника, вписанного в первую окружность: (mathrm{a_1=2rcdot sin 60^{circ}=sqrt{3}r}).
Радиус второй окружности, вписанной в первый треугольник: (mathrm{r_2=frac{a_1}{2}tg30^{circ}=frac{a_1}{2sqrt{3}}=frac{sqrt{3}r}{2sqrt{3}}=frac{r}{2}})
Сторона правильного треугольника, вписанного во вторую окружность: (mathrm{a_2=sqrt{3}r_2=frac{sqrt{3}r}{2}}).
Радиус третьей окружности, вписанной во второй треугольник: (mathrm{r_3=frac{r_2}{2}=frac{r}{4}}).
Получаем геометрическую прогрессию для сторон треугольников: $$ mathrm{ a_1=sqrt{3}r, a_2=frac{sqrt{3}r}{2}, a_3=frac{sqrt{3}r}{4}=,…, q=frac12 } $$ и геометрическую прогрессию для радиусов окружностей: $$ mathrm{ r_1=r, r_2=frac{r}{2}, r_3=frac{r}{4},…, q=frac12 } $$ Геометрическая прогрессия для периметров треугольников: $$ mathrm{ p_1=3a_1=3sqrt{3}r, p_2=frac{3sqrt{3}r}{2}, p_3=frac{3sqrt{3}r}{4},…, q=frac12 } $$ Сумма всех периметров: begin{gather*} mathrm{ S_p=frac{p_1}{1-q}=2p_1=6sqrt{3}r} end{gather*} Геометрическая прогрессия для длин всех окружностей: $$ mathrm{ L_1=2pi r_2=2pi r, L_2=pi r, L_3=frac{pi r}{2},…, frac12 } $$ Сумма всех длин окружностей: $$ mathrm{ S_L=frac{L_1}{1-q}=2L_1=4pi r } $$ Ответ: (mathrm{S_p=6sqrt{3}r, S_L=4pi r})

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требуют 37 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b_{1}, b_{2}, b_{3}, ldots (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число q (знаменатель прогрессии). При этом {displaystyle b_{1}neq 0,qneq 0;b_{n}=b_{n-1}q,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2}[1].

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых n членов геометрической прогрессии {displaystyle left{b_{n}right}} называется произведение от b_{1} до b_n, то есть выражение вида {displaystyle prod limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}cdot b_{2}cdot b_{3}cdot ldots cdot b_{n-2}cdot b_{n-1}cdot b_{n}.}
Обозначение: P_{n}.

Описание[править | править код]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

{displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если {displaystyle b_{1}>0} и {displaystyle q>1}, прогрессия является возрастающей последовательностью, если {displaystyle 0<q<1}, — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся[3], при q=1 — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

{displaystyle |b_{n}|={sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов[4].

Примеры[править | править код]

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[5]:8—9.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • pi , pi , pi , pi  — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
  • 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

  • {displaystyle q={dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

  • {displaystyle q={sqrt[{n-k}]{dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

  • Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:
{displaystyle b_{n}=b_{n-1}cdot q}

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

  • Формула общего (n-го) члена:
{displaystyle b_{n}=b_{1}cdot q^{n-1}.}
  • Обобщённая формула общего члена:
{displaystyle b_{n}=b_{k}cdot q^{n-k},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}

Доказательство

{displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

{displaystyle log(b_{n})=log(b_{1}q^{n-1})=log(b_{1})+(n-1)cdot log(q)}
Формула общего члена арифметической прогрессии:
{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot d}.
В нашем случае
a_{1}=log(b_{1}),
d=log(q).

Доказательство

{displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
    {displaystyle P_{k,n}={dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

Доказательство

{displaystyle P_{k,n}=prod _{i=k}^{n}b_{i}={frac {prod _{i=1}^{n}b_{i}}{prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

  • Сумма всех членов убывающей прогрессии:
{displaystyle left|qright|<1}, то {displaystyle b_{n}to 0} при nto +infty , и
{displaystyle S_{n}to {frac {b_{1}}{1-q}}} при nto +infty .

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

  • {displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}
  • {displaystyle S_{n}=sigma _{n}cdot b_{1}b_{n}}

где {displaystyle sigma _{n}} — сумма обратных величин, т. е. {displaystyle sigma _{n}={dfrac {1}{b_{1}}}+{dfrac {1}{b_{2}}}+cdots +{dfrac {1}{b_{n-1}}}+{dfrac {1}{b_{n}}}}.

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

  • Арифметическая прогрессия
  • Арифметико-геометрическая прогрессия
  • Числа Фибоначчи
  • Показательная функция
  • Сумма ряда

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
  2. ↑ Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей, только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны.
  3. ↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  4. ↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
  5. ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивная копия от 19 мая 2017 на Wayback Machine
Источник

Добавить комментарий