Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.
Сложение векторов
Формула
Чтобы складывать вектора нужно найти суммы соответствующих координат данных векторов. Например, пусть есть векторы на плоскости $ overline{a} = (x_1;y_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2) $, тогда их сумму можно найти по формуле: $$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2)$$
Если векторы заданы в пространстве тремя координатами $ overline{a} = (x_1;y_1;z_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то выполнить сложение нужно по другой формуле:
$$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2; z_1+z_2) $$
При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов. Стоит отметить, что складывать векторы можно только одинаковой размерности.
Примеры решений
| Пример |
| Даны два вектора $ overline{a} = (1,3) $ и $ overline{b} = (2,4) $. Нужно сложить два вектора. |
| Решение |
|
Итак, как складывать вектора по координатам? К первой прибавляем первую, вторую ко второй: $$ overline{a}+overline{b} = (1+2;3+4) = (3;7) $$ В этой задаче векторы заданы в двумерном пространстве и имеют только две координаты. Если бы координат было бы три, то применять нужно вторую формулу для трехмерной задачи. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ overline{a}+overline{b} = (3;7) $$ |
Содержание:
- Координаты вектора
- Направляющие косинусы
- Сумма двух векторов, заданных координатами
- Умножение вектора на число
- Основное свойство направляющих косинусов
Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении
и длине.
Координаты вектора
Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$
и произвольный вектор $overline{a}$, начало которого совпадает
с началом системы координат (рис. 1).
Определение
Координатами вектора $overline{a}$ называются проекции
$a_{x}$ и $a_{y}$
данного вектора на оси $O x$ и
$O y$ соответственно:
$$a_{x}=Пр_{O x} bar{a}, a_{y}=Пр_{O y} bar{a}$$
Величина $a_{x}$ называется абсциссой вектора
$overline{a}$, а число $a_{y}$
– его ординатой. То, что вектор $overline{a}$ имеет координаты
$a_{x}$ и $a_{y}$,
записывается следующим образом: $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$.
Пример
Запись $overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $overline{a}$
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Сумма двух векторов, заданных координатами
Пусть заданы $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$,
тогда вектор $overline{c}=overline{a}+overline{b}$ имеет координаты
$left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}right)$ (рис. 2).
Определение
Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы $overline{a}=(-3 ; 5)$
и $overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $overline{c}=overline{a}+overline{b}$
Решение. $overline{c}=overline{a}+overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$
Умножение вектора на число
Если задан $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то тогда вектор
$m overline{a}$ имеет координаты
$m overline{a}=left(m a_{x} ; m a_{y}right)$, здесь
$m$ – некоторое число (рис. 3).
Определение
Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное
число.
Пример
Задание. Вектор $overline{a}=(3 ;-2)$.
Найти координаты вектора 2$overline{a}$
Решение. $2 overline{a}=2 cdot(3 ;-2)=(2 cdot 3 ; 2 cdot(-2))=(6 ;-4)$
Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две
точки $Aleft(a_{x} ; a_{y}right)$ и $Bleft(b_{x} ; b_{y}right)$.
Тогда координаты вектора $overline{A B}=left(x_{1} ; y_{1}right)$ находятся по формулам (рис. 4):
$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$
Определение
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат
конца отнять соответствующие координаты начала.
Пример
Задание. Найти координаты вектора $overline{A B}$,
если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$
Решение. $overline{A B}=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$
Направляющие косинусы
Определение
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с
положительными направлениями осей координат.
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для
единичного вектора направляющие косинусы
равны его координатам.
Если в пространстве задан вектор $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то
его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
$cos alpha=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos beta=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos gamma=frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$
Здесь $alpha$, $beta$ и
$gamma$ – углы, которые составляет вектор с положительными
направлениями осей $O x$, $O y$ и
$O z$ соответственно.
Основное свойство направляющих косинусов
Определение
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
1
$cos ^{2} alpha+cos ^{2} beta+cos ^{2} gamma=1$
Если известны направляющие косинусы вектора $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:
$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta$
Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае – если известны направляющие косинусы вектора
$overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:
$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta, a_{z}=|overline{a}| cos gamma$
Читать дальше: длина (модуль) вектора.
Если задана плоскость Oxy с векторами a→=ax, ay и b→=(bx, by), то мы можем разложить их по координатным векторам i→ и j→. Тогда это будет иметь вид a→=ax·i→+ay·j→ и b→=bx·i→+by·j→. Чтобы найти сумму a→ и b→ и произведение a→ на λ, рассмотрим:
a→+b→=ax·i→+ay·j→+bx·i→+by·j→=(ax+bx)·i→+(ay+by)·j→
λ·a→=λ·(ax·i→+ay·j→)=(λ·ax)·i→+(λ·ay)·j→
Это равенство справедливо по свойству операций над векторами.
Разложение векторов – это a→+b→ и λ·a→, представленное в частях неравенства по i→ и j→ координатам. Координаты векторов a→+b→ и λ·a→ равны соответственно (ax+bx, ay+by) и (λ·ax, λ·ay).
Таким же образом a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) записываются как a→+b→=ax·i→+ay·j→+az·k→+bx·i→+by·j→+bz·k→=(ax+bx)·i⇀+(ay+by)·j→+(az+bz)·k→λ·a→=λ·(ax·i→+ay·j→+az·k→)=(λ·ax)·i→+(λ·ay)·j→+(λ·az)·k→
а значит a→+b→=(ax+bx, ay+by, az+bz), λ·a→=(λ·ax, λ·ay, λ·az)
Отсюда делаем вывод, что координаты векторов a→ и b→ равны сумме соответствующих координат векторов a→и b→, координаты произведения вектора a→ на λ приравниваются к соответствующим координатам вектора a→, умноженным на число в заданной системе координат.
При необходимости нахождения координат суммы нескольких векторов, необходимо сложить координаты каждого вектора соответственно. Рассмотрим примеры.
Нужно выполнить сложение a→=(2, 3-13) и b→=(-1,-13). Чему равны координаты произведения вектора a→ на 3.
Решение
Из определения имеем, что сумма векторов равна сумме их координат соответственно, тогда a→+b→=(2+(-1),3-13+(-13))=(1, -13).
Числовое значение умножается на каждую координату: 3·a→=(3·2, 3·3-13)=23,3-33.
Ответ: a→+b→=(1, -13), 3·a→=(23, 3-33)
Заданы векторы a→=(0, 1, -2), b→=(-1, -1, 3), c→=(4, -3, 2) .
Каковы координаты вектора 2·a→+3·(b→-c→)=2·a→+3·b→+(-3)·c→.
Решение
Применяя свойства векторов, получим: 2·a→+3·(b→-c→)=2·a→+3·b→+(-3)·c→.
Подставляем значения координат и получаем: 2·a→+3·b→+(-3)·c→=2·(0,1,-2)+3·(-1,-1, 3)+(-3)·(4,-3, 2)=
=(2·0, 2·1, 2·(-2))+(3·(-1), 3·(-1), 3·3)+((-3)·4,(-3)·(-3)·2)=
=(0, 2, -4)+(-3, -3, 9) + (-12, 9 -6)=
=(0+(-3)+(-12), 2+(-3)+9, -4+9+(-6))=(-15, 8, -1)
Можно решить другим способом.
Обратим внимание на разложение a→, b→ и c→ :
a→=0·i→+1·j→+(-2)·k→=j→-2·k→
b→=(-1)·i→+(-1)·j→+3 ·k→=-i→-j→+3·k→
c→=4·i→+(-3)·j→+2·k→=4·i→-3·j→+2·k→
Исходя из свойств векторов, видим, что: 2·a→+3·(b→-c→)=2·(j→-2·k→)+3·(-i→-j→+3·k→-(4·i→-3·j→+2·k→))==2·j→-4·k→+3·(-5·i→+2·j→+1·k→)=-15·i→+8·j→-k→
Значит, координаты вектора 2·a→+3·(b→-c→) равны (-15, 8, -1).
Ответ: 2·a→+2·(b→-c→)=(-15, 8, -1)
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.
Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$ и произвольный вектор $overline$, начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).
Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.
Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.
Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки $Aleft(a_ ; a_right)$ и $Bleft(b_ ; b_right)$. Тогда координаты вектора $overline=left(x_ <1>; y_<1>right)$ находятся по формулам (рис. 4):
Направляющие косинусы
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.
Здесь $alpha$, $beta$ и $gamma$ – углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей $O x$, $O y$ и $O z$ соответственно.
Основное свойство направляющих косинусов
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Основные сведения о сумме двух векторов
Основные понятия
Направленный отрезок, то есть отрезок, который имеет длину и определенное направление, носит название вектора.
Обозначается буквенным символом со стрелкой над ним:
Сонаправленные векторы — это векторы, направления которых совпадают (одинаковые по направлению).
Противоположно направленные векторы — это векторы, которые направлены в разные стороны.
С векторами можно производить такие операции, как:
Для начала, рассмотрим подробно сложение.
Сложение (сумма) векторов «a + b» — это операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:
Вычитание (разность) векторов «a – b» — это операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:
Сложение векторов может осуществляться по трем правилам:
- Правило параллелограмма. Из произвольной точки необходимо отложить два данных вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, будет суммой заданных векторов.
- Правило многоугольника. Из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее. Когда все векторы отложены, соединим начальную точку с концом последнего вектора и получим сумму нескольких векторов.
- Правило треугольника.
Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника
Правило треугольника заключается в следующем: для того чтобы сложить два сонаправленных вектора, необходимо из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго. Конечный вектор и будет суммой двух векторов.
Чертеж поможет наглядно объяснить правило:
AC — сумма векторов.
Разность векторов a и b является суммой векторов a и -b.
Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах
Кроме геометрического способа сложения (вычитания) векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника), существует способ сложения координат векторов.
Для того чтобы найти координаты суммы двух векторов, нужно сложить их соответствующие координаты по следующей формуле:
Найти сумму векторов a(7;5) и b(3;8)
Найти сумму координат векторов a(-7;2), b(-3;6), c(6;-5)
Примеры решения задач
Найти сумму векторов a(1;2), b(7;9)
Найти разность координат векторов a(4;-6), b(5;-1)
Сумма векторов координаты суммы
Сумма и разность векторов
В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.
Сумма векторов
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.
Геометрическая интерпретация:
Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .
Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.
Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.
Формула сложения векторов
Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .
Для плоских задач
| Для трехмерных задач | Для n-мерных векторов | 
Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие: Формула вычитания векторовЭлементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b . Для плоских задач
Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
Пример — сложение векторов. Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН. Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Угол между результирующей силой и первой силой равен: А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
Он-лайн калькулятор сложения векторов. Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов. Консультации и техническая [spoiler title=”источники:”] http://wika.tutoronline.ru/geometriya/class/9/osnovnye-svedeniya-o-summe-dvuh-vektorov http://b4.cooksy.ru/articles/summa-vektorov-koordinaty-summy [/spoiler] |
В механике существуют два типа величин:
- скалярные величины, задающие некоторое числовое значение – время, температура, масса и т.д.
- векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление – скорость, сила и т.д..
Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты – первую, из второй – вторую и т.д.):
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
- правило параллелограмма
- правило треугольника
- тригонометрический способ
Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма. |
|
 |
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
|
Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника. |
|
 |
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
|
Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом. |
|
 |
Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:
Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:
|
Пример – сложение векторов.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Fрез = [ (5 кН)2 + (8 кН)2 – 2 (5 кН)(8 kН) cos(180o – (80o)) ]1/2
= 10,14кН
Угол между результирующей силой и первой силой равен:
β= arcsin[ (8кН) sin(180o – (80o)) / (10,14кН) ]
= 51o
А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
α = arcsin [ (5 кН) sin(180o – (80o)) / (10,2 кН) ]
= 29o
Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
