Как найти сумму векторов методом треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Часть математических и физических задач содержит необходимость математических действий с векторами (сложение и вычитание).

Проиллюстрируем сложение. Пусть даны вектора и , попытаемся найти вектор displaystyle vec{c}=vec{a}+vec{b} .

Способ 1. Метод сложения треугольником

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора () и начало второго ( displaystyle vec{b} ) (рис. 1)

Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)

Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора () и конец второго (), является вектором ( displaystyle vec{c} ).

Способ 2. Метод сложения параллелограммом

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора () и начало второго ( displaystyle vec{b} ) (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.

Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)

Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого () и второго () векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ( displaystyle vec{c} ).

Вывод: в ряде задач, где присутствуют несколько однородных векторных физических величин, часто необходимо найти общий вектор (общую скорость, равнодействующую силу, полный вектор магнитной индукции или электрической напряжённости поля). Тогда необходимо сначала сложить вектора, а потом найти модуль получившегося вектора.Чаще всего первый метод используется в кинематике (сложение скоростей). Второй метод часто используют в динамике.

Источник

Сложение векторов по правилу треугольника

Даны векторы

a→

b→

. Если векторы

a→

b→

отложить последовательно друг за другом (начало вектора

b→

попадает в конец вектора

a→

), то вектор суммы

c→

соединяет начало одного вектора с концом второго вектора.

a→+b→=c→

или

AB→+BC→=AC→

Такой приём сложения векторов называется правилом треугольника.

Источник

Сложение векторов

Проиллюстрируем сложение. Пусть даны вектора и , попытаемся найти вектор .

Способ 1. Метод сложения треугольником

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 1)

Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)

Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора ( ) и конец второго ( ), является вектором ( ).

Способ 2. Метод сложения параллелограммом

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.

Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)

Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого ( ) и второго ( ) векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ( ).

Сложение и вычитание векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec – vec = vec <0>)

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec <0>right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec – vec = left( <- , – , – > right) )

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>

Для плоских задач a + b = x + b_x; a_y + b_y>

Для трехмерных задач a + b = x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>

Для n-мерных векторов a + b = 1 + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>

Для плоских задач a – b = x – b_x; a_y – b_y>

Для трехмерных задач a – b = x – b_x; a_y – b_y; a_z – b_z>

Для n-мерных векторов a – b = 1 – b₁; a₂ – b₂; . a_n – b_n>

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

[spoiler title=”источники:”]

http://calcsbox.com/post/slozenie-i-vycitanie-vektorov.html

Сумма и разность векторов

[/spoiler]

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов
- Формула сложения векторов
- Свойства сложения векторов
Разность векторов
- Формула вычитания векторов
Примеры задач

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец – с концом b. При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b.

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c, совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

c_i = a_i + b_i

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b.


Для плоских задач	a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y}
Для трехмерных задач	a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}
Для n-мерных векторов	a + b = {a₁ + b₁; a₂ + b₂; … a_n + b_n}

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (-a) = 0

Примечание: Вектор –a коллинеарен и равен по длине a, но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b, то получится c, причем должно соблюдаться условие: b + c = a

Формула вычитания векторов

c_i = a_i – b_i

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b.


Для плоских задач	a – b = {a_x – b_x; a_y – b_y}
Для трехмерных задач	a – b = {a_x – b_x; a_y – b_y; a_z – b_z}
Для n-мерных векторов	a – b = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; … a_n – b_n}

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов a = {3; 5} и b = {2; 7}.

Решение:
a + b = {3 + 2; 5 + 7} = {5; 12}.

Задание 2
Найдем разность векторов a = {4; 8; -2} и b = {-1; 9; 5}.

Решение:
a – b = {4 – (-1); 8 – 9; -2 – 5} = {5; -1; -7}.

Источник

Определение

Сумма векторов

— это вектор

с координатами c₁=a₁+b₁, c₂=a₂+b₂, то есть

или

$[(overrightarrow {a_1 ;a_2 } ) + (overrightarrow {b_1 ;b_2 } ) = (overrightarrow {a_1 + b_1 ;a_2 + b_2 } ).]$

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

верны свойства:

1) переместительное:

2) сочетательное:

3) свойство прибавления нулевого вектора:

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Доказательство:

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

$[1)overrightarrow a (a_1 ;a_2 ) + overrightarrow b (b_1 ;b_2 ) = (overrightarrow {a_1 + b_1 ;a_2 + b_2 } ),]$

$[overrightarrow b (b_1 ;b_2 ) + overrightarrow a (a_1 ;a_2 ) = (overrightarrow {b_1 + a_1 ;b_2 + a_2 } ) = (overrightarrow {a_1 + b_1 ;a_2 + b_2 } ).]$

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

Аналогично

$[2)overrightarrow a (a_1 ;a_2 ) + (overrightarrow b (overrightarrow {b_1 ;b_2 } ) + overrightarrow c (c_1 ;c_2 )) = ]$

$[= (overrightarrow {a_1 ;a_2 } ) + (overrightarrow {b_1 + c_1 ;b_2 + c_2 } ) = ]$

$[= (overrightarrow {a_1 + b_1 + c_1 ;a_2 + b_2 + c_2 } ),]$

$[(overrightarrow a (a_1 ;a_2 ) + overrightarrow b (overrightarrow {b_1 ;b_2 } )) + overrightarrow c (c_1 ;c_2 ) = ]$

$[= (overrightarrow {a_1 + b_1 ;a_2 + b_2 } ) + overrightarrow c (c_1 ;c_2 ) = ]$

$[= (overrightarrow {a_1 + b_1 + c_1 ;a_2 + b_2 + c_2 } );]$

$[3)overrightarrow a (a_1 ;a_2 ) + overrightarrow 0 (0;0) = (overrightarrow {a_1 + 0;a_2 + 0} ) = (overrightarrow {a_1 ;a_2 } ) = overrightarrow a .]$

Теорема

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

Доказательство:

Для точек A (x₁;y₁), B (x₂;y₂), C (x₃;y₃)

$[overrightarrow {AB} (x_2 - x_1 ;y_2 - y_1 ),]$

$[overrightarrow {BC} (x_3 - x_2 ;y_3 - y_2 ),]$

$[overrightarrow {AC} (x_3 - x_1 ;y_3 - y_1 ).]$

Тогда

$[overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = (overrightarrow {x_2 - x_1 + x_3 - x_2 ;y_2 - y_1 + y_3 - y_2 } ) = ]$

$[= (overrightarrow {x_3 - x_1 ;y_3 - y_1 } ) = overrightarrow {AC} .]$

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

Например,

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

Например,

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

Пример.

Построить сумму векторов

Решение:

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

вектор

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

от общего начала.

Достроим на этих векторах параллелограмм.

Сумма

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

Сложение коллинеарных векторов

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

Источник

Сложение векторов

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Разность векторов. Вычитание векторов

Умножение вектора на число

Сумма и разность векторов