Смежные углы в геометрии
15 июня 2022
Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.
В этом уроке:
- Что такое смежные углы
- Основное свойство смежных углов
- Биссектрисы смежных углов
- Тренировочные задачи
Это довольно простая, но очень важная тема.
1. Что такое смежные углы
Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$
Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.
Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).
Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:
А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:
Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых
образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.
2. Основное свойство внешних углов
У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:
Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов
[angle AMB=angle AMN+angle BMN]
Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому
[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]
Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.
Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.
Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:
- $angle ABC={36}^circ $.
- $angle ABC={121}^circ $.
Решение
1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:
Тогда $x=180-36=144$.
2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:
Тогда $x=180-121=59$.
Немного усложним задачу.
Задача 2. Найдите смежные углы, если:
- один из них на 68° больше другого.
- один из них в 5 раз больше другого.
- их градусные меры относятся как 5 : 4.
Решение.
1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.
Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:
[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]
Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.
2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.
Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому
[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]
Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.
3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.
Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:
[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]
Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.
3. Биссектрисы смежных углов
Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:
Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:
Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому
[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]
Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.
Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.
Решение. Изобразим все углы на рисунке:
Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно
[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]
Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому
[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]
Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.
Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.
Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.
С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.
Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.
Смотрите также:
- Что такое вертикальные углы
- Перпендикулярные прямые — определение и свойства
- Правила комбинаторики в задаче B6
- Метод координат в пространстве
- Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
- Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 6 октября 2021 года; проверки требуют 5 правок.
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие дополняют друг друга до прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол, а сумма их угловых величин смежных всегда равна градусов.
Таким образом, величина угла, являющимся смежным для угла величиной градусов, будет равна градусов.
Так, например, для угла карп градусов смежный угол составляет градусов (см. рисунок).
Тригонометрические соотношения[править | править код]
Синусы смежных углов равны. Их косинусы и тангенсы равны по величине, но имеют противоположные знаки (за исключением неопределённых значений).
См. также[править | править код]
- Угол
- Прилежащие углы
- Дополнительные углы
- Треугольник
Ссылки[править | править код]
- Никитин Н. Н. Геометрия. Смежные углы.
- Animated demonstration
- Angle definition pages
Смежные углы
Определение
Смежные углы — это два угла, у которых есть общая вершина и одна сторона, а две другие стороны являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.
Свойства и виды смежных углов в геометрии
- Так как две стороны смежных углов образуют прямую линию, то вместе они составляют развернутый угол. Его градусная мера составляет 180^circ. Следовательно — сумма смежных углов тоже равна (180^circ.)
- Если две прямые пересекаются, то они образуют две пары смежных углов: (angle1) и (angle2), (angle3) и (angle4), а также (angle1) и (angle3), ( angle2) и (angle4). При этом объединение пар, которые обозначены обозначениями 1 и 4, 2 и 3, представляют из себя вертикальные углы, а значит — они равны. Поэтому рассматривать можно только одну из пар смежных углов, другая окажется идентична по всем показателям.
- У смежных углов одинаковые синусы.
- Для косинусов и тангенсов тоже распространяется равенство, но их значения противоположны по знаку.
- Чтобы построить смежный угол уже заданному, требуется продлить одну из сторон существующего угла дальше вершины.
Примечание
В паре, если один угол тупой, то по правилу другой обязательно острый.
Если один из углов является прямым, то второй тоже прямой.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти, чему равна сумма
Сумма смежных углов всегда составляет 180 градусов.
Отсюда следует формула:
(anglealpha+anglebeta=180^circ)
(anglealpha=180^circ-anglebeta)
(anglebeta=180^circ-anglealpha)
Примеры решения задач
Задача №1
Дано: (anglealpha) и (anglebeta) — смежные, (anglebeta=60^circ).
Найти: чему равен (anglealpha).
Решение
Так как углы смежные, значит:
(anglealpha+anglebeta=180^circ.)
(anglealpha=180^circ-anglebeta.)
(anglealpha=180^circ-60^circ=120^circ.)
Ответ: (;anglealpha=120^circ).
Задача №2
Дано: ( anglealpha) и (anglebeta) — смежные, (anglealpha) на (30^circ) больше, чем (anglebeta.)
Найти: чему равны (anglealpha) и (anglebeta.)
Решение
Допустим,( anglebeta=x), тогда (anglealpha=x+30^circ.)
Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то получаем уравнение, которое выглядит, как:
(x+x+30^circ=180^circ)
(2x=180^circ-30^circ)
(2x=150^circ)
(x=75^circ)
Значит, величина (anglebeta=75^circ.)
Чтобы найти (anglealpha), нужно выполнить стандартные вычисления согласно теореме о сумме:
(anglealpha=180^circ-anglebeta=180^circ-75^circ=105^circ.)
Ответ: (anglealpha=105^circ.)
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Смежные углы и их свойства.
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой.
Смежные углы (понятие и определение)
Свойства смежных углов
Вертикальные углы, прямой угол, развернутый угол, смежные углы, тупой угол
Смежные углы (понятие и определение):
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол.
Рис. 1. Смежные углы
∠ α, ∠ β – смежные углы
В свою очередь, развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180°.
Поэтому сумма величин смежных углов составляет 180 градусов.
Из этого следует, что величина угла β, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180° – α) градусов.
β = 180 – α .
Свойства смежных углов:
1. Сумма величин смежных углов равна 180 градусам.
2. При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов.
Рис. 2. Смежные углы
∠ α, ∠ β; ∠γ, ∠δ – смежные углы,
∠ α = ∠γ; ∠ β = ∠δ
3. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол. Такие углы равны между собой.
Рис. 3. Смежные углы
∠ α = ∠ β = 90°
4. В паре смежных углов один угол всегда тупой, а другой – острый либо оба угла являются прямыми.
5. Синусы смежных углов равны.
sin α = sin β
6. Косинусы и тангенсы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.
cos α = – cos β,
tg α = – tg β
Квадрат
Овал
Остроугольный треугольник
Полукруг
Прямой угол
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Смежные углы
Трапеция
Тупой угол
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Коэффициент востребованности
2 729
Смежные углы образуются при проведении луча из произвольной точки прямой. Тогда эта произвольная точка оказывается вершиной угла, луч – общей стороной смежных углов, а прямая от которой проведен луч – двумя оставшимися сторонами смежных углов. Смежные углы могут быть как одинаковыми в случае перпендикуляра, так и отличатся при наклонном луче. Легко понять, что сумма смежных углов равна 180 градусов или попросту прямой линии. По другому этот угол можно объяснить простым примером – вы сперва шли в одном направлении по прямой, потом передумали, решили вернуться назад и развернувшись на 180 градусов отправились по той же прямой в обратном направлении. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Татьяна Ьеглова 10 лет назад Два угла называются смежными, если у них есть общие вершина и одна сторона, а две другие стороны составляют прямую линию. Сумма смежных углов равна 180 градусам. . На рисунке углы АОВ и ВОС являются смежными. chipmunk 9 лет назад Смежные углы -это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны в целом образуют прямую линию. Сумма двух смежных углов всегда равна 180 градусам. К примеру, если один угол 60 градусов, то второй обязательно будет равен 120 градусам (180-60). Пример: Углы АОС и ВОС являются смежными углами, потому что соблюдается все условия характеристики смежных углов: 1.ОС -общая сторона двух углов 2.АО -сторона угла АОС, ОВ -сторона угла ВОС. Вместе эти стороны образуют прямую линию АОВ. 3.Угла два и сумма их равна 180 градусов. Oleg74 7 лет назад Вспоминая школьный курс геометрии, про смежные углы мы можем сказать следующее: у смежных углов – одна сторона общая, а другие две стороны принадлежат одной прямой, то есть находятся на одной прямой. Если по рисунку , то углы СОВ и ВОА – это смежные углы, сумма которых всегда равна 180 °, так как они разделяют развернутый угол, а развернутый угол всегда равен 180 °. Тагетес 8 лет назад Итак, что же такое смежный угол? Определение:
Далее: сумма смежных углов, в силу такого своего свойства – 180 градусов И небольшой видео урок, где толково показано про смежные углы, вертикальные углы, плюс про перпендикулярные прямые, которые являются частным случаем смежных и вертикальных углов Ирина КВ 10 лет назад Из курса геометрии, (насколько я помню за 6 класс) смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами, сумма смежных углов равна 180°. Каждый из двух смежных углов, дополняет другой до развернутого угла. Пример смежных углов: неугомонная 7 лет назад Смежные углы понятие легкое в геометрии. Смежные углы, угол плюс угол дают 180 градусов в общей сумме. Два смежных угла – это будет один развернутый угол. Есть еще несколько свойств. Со смежными углами задачи решать и теоремы доказывать легко. Андрей0817 7 лет назад Два угла размещённые на одной прямой и имеющие одну вершину называются смежными. Иначе – если сумма двух углов на одной прямой равна 180 градусам и одна сторона у них общая, то это смежные углы. 1 смежный угол + 1 смежный угол = 180 градусов. Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а вторая является одной линией. Смежные углы – это углы, зависящие друг от друга. То есть если общую строну слегка повернуть, то один угол уменьшится на сколько-то градусов и автоматически второй угол увеличится на столько же градусов. Это свойство смежных углов позволяет в Геометрии решать различные задачи и осуществлять доказательства различных теорем. Общая же сумма смежных углов всегда равна 180 градусов. Сashshi 10 лет назад Смежные углы это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам. А вообще все это очень легко находится в гугле или учебнике геометрии. NatashaU 7 лет назад Смежными называются углы имеющие общую вершину, одну общую сторону, а другие стороны являются продолжением друг друга и образуют развернутый угол. Замечательным свойством смежных углов является – сумма этих углов всегда равна 180 градусам. Даксплячи Учлинзайх 7 лет назад Углы с общей вершиной и одной общей стороной в геометрии называются смежными Сумма смежных углов равна 180 градусов Нужно отметить тот факт, что у смежных углов синусы равны Что бы узнать больше про смежные углы – читайте вот здесь Знаете ответ? |