Как найти сумму внутренних углов восьмиугольника

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник

Правильный восьмиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного восьмиугольника

Формулы правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре

Шестиугольник

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:

Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник

Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Свойства правильного восьмиугольника:

1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅ = a₆ = a₇ = a₈. 

2. Все углы равны между собой и составляют 135°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = α₆ = α₇ = α₈ = 135°.

Рис. 4. Правильный восьмиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.

Рис. 5. Правильный восьмиугольник

5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.

Рис. 6. Правильный восьмиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.

Формула константы правильного восьмиугольника:

Формула периметра правильного восьмиугольника:

Формулы площади правильного восьмиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:

Формулы стороны правильного восьмиугольника:

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.

Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
7 139

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 апреля 2021 года; проверки требуют 5 правок.

Восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	8
Символ Шлефли	{8}, t{4}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D8)
Площадь
Внутренний угол	135°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный восьмиугольник (или октагон от греч. οκτάγωνο) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8}^[1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

Свойства[править | править код]

• Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
• Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
• Угол правильного восьмиугольника составляет

Формулы расчёта параметров правильного аборта[править | править код]

Пример:

• t — длина стороны восьмиугольника
• r — радиус вписанной окружности
• R — радиус описанной окружности
• S — площадь восьмиугольника
• k — константа, равная

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

• Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

• Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

Через радиус описанной окружности

Через апофему (высоту)

Площадь через квадрат[править | править код]

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

Тогда площадь равна:

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

Ещё одна простая формула площади:

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

Симметрия[править | править код]

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih₈ порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih₄, Dih₂ и Dih₁, а также 4 циклические подгруппы — Z₈, Z₄, Z₂ и Z₁. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 ^[2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный^[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным^[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]

Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта ^[3].

Разрезание правильного восьмиугольника

На 6 ромбов

Тессеракт

Применение восьмиугольников[править | править код]

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии^[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Другие использования[править | править код]

• 

  Зонты часто имеют восьмиугольную форму

• 

  Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг

• 

Производные фигуры[править | править код]

Связанные многогранники[править | править код]

Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

Усечённые гиперкубы

							…
Восьмиугольник	Усечённый куб	Усечённый тессеракт	Усечённый 5-куб	Усечённый 6-куб	Усечённый 7-куб	Усечённый 8-куб

Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

Расширенные гиперкубы

							…
Октаэдр	Ромбокубооктаэдр	Обструганный тессеракт	Обрубленный 5-куб	Пятиогранённый 6-куб	Шестиогранённый 7-куб	Семиогранённый 8-куб

См. также[править | править код]

• Восьмерик
• Восьмиугольное число
• Октаграмма
• Площадь Октогон в Будапеште, Венгрия
• Сглаженный восьмиугольник

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
• Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google Архивная копия от 2 января 2016 на Wayback Machine  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.

Geometry is a mathematical branch that is about the study of shapes. The category of shapes is divided into two viz. flat shapes and solid shapes. Geometry deals with the study of the area, perimeter, volume, and other parameters of these shapes by giving standard formulas.

The article explains the octagon formula which gives the formula of area and perimeter of an octagon. It also comprises sample numerical problems for better understanding.

Octagon

Octagon is a plane shape having eight sides and eight angles. It is a regular polygon of eight sides. Each interior angle of the octagon measures 135° and the sum of all the interior angles of an octagon equals 108°. Similarly, the exterior angle of an octagon is 45 degrees and the sum of all the exterior angles equals 360°.

Octagon consists of 20 diagonals that meet at the center of the figure. All these diagonals have the same length.

Octagon Formula 

The geometry provides separately derived formulas for the calculation of perimeter, area, and diagonals of a regular octagon. The perimeter, area, and diagonal formula of an octagon is collectively known as the Octagon Formula.

To find the number of diagonals of an octagon we use the given formula.

Number of Diagonals = n(n – 3)/2 

8(8 – 3)/2 

20

Where s denotes  side length

And, n denotes the number of sides

A regular polygon generally consists of 20 diagonals. So, the octagon formula is mostly used to calculate the area and perimeter of an octagon. These calculations are carried out by using the length of a side of the octagon.

The area formula of  an octagon is given by

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

Where s is the length of a side

The perimeter formula of an octagon is given by,

The perimeter of the octagon(P) = 8s

Where s is the length of a side.

Sample Problems

Question 1: Find the area and perimeter of an octagon having a side 2cm using the octagon formula.

Solution:

Given:

length of a side of the octagon is 2cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(2)²(1 + √2)

A = 19.31cm²

By using the octagon formula for the perimeter,

Perimeter of the octagon (P) = 8s

P = 8 × 2

P = 16cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 19.31cm² and 16cm respectively.

Question 2: Find the area and perimeter of an octagon having a side of 4cm using the octagon formula.

Solution:

Given:

length of a side of the octagon is 4cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(4)²(1 + √2)

A = 77.25cm²

By using the octagon formula for the perimeter

The perimeter of the octagon (P) = 8s

P = 8 × 4

P = 32cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 77.25cm² and 32cm respectively.

Question 3: Find the area and perimeter of an octagon having a side of 2.5cm using the octagon formula.

Solution:

Given:

length of a side of the octagon is 2.5cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(2.5)²(1 + √2)

A = 30.17cm²

By using the octagon formula for the perimeter

The perimeter of the octagon (P)=8s

P = 8 × 2.5

P = 20cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 30.17cm² and 20cm respectively.

Question 4: A regular octagon is given which has a perimeter equal to 32cm. Find its area using the octagon formula.

Solution:

Given:

The perimeter of the octagon is 32cm.

The perimeter of the octagon(P) = 8s

32 = 8s

s = 4cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(4)²(1 + √2)

A = 77.25cm²

Question 5: A regular octagon is given which has a perimeter of 48cm. Find its area using the octagon formula.

Solution:

Given:

The perimeter of the octagon is 48cm.

The perimeter of the octagon(P) = 8s

48 = 8s

s = 6cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(6)²(1 + √2)

A = 173.82cm²

Question 6: If the perimeter of an octagon is given which is equal to 40cm. Calculate the area of the given octagon.

Solution:

Given:

The perimeter of the octagon is 40cm.

The perimeter of the octagon(P) = 8s

40 = 8s

s = 5cm

By using the octagon formula for the area 

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(5)²(1 + √2)

A = 120.71cm²

Question 7: If an octagon is given having length of 3cm, its area and perimeter be, calculated using the octagon formula?

Solution:

Given:

The side of the octagon is 3cm

By using the octagon formula for the area 

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(3)²(1 + √2)

A = 43.45cm²

By using the octagon formula for the perimeter

The perimeter of the octagon (P) = 8s

P = 8 × 3

P = 24cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 43.45cm² and 24cm respectively.

Last Updated :
01 Feb, 2022

Like Article

Save Article