Как найти сумму всех целых значений функции

Василий

Ученик

(166),
закрыт

3 месяца назад

Найдите сумму всех целых значений функции y = f(x), заданной графиком на промежутке (-5; 5)
Да, я знаю ответ, что сумма =11,но я не могу понять как. Как найти эту суммку, я вроде смотрю на точки которые не входят и всё равно не могу понять как вы поняли, что это точки эти точки значения функции −2, −1, 2, 3, 4, 5.Не могли бы вы мне объяснить как найти эти точки

2. Основные элементарные функции

    а) степенная функция .

    б) показательная функция .

    в) логарифмическая функция .

    г) тригонометрические функции 

       y=sinx, y=cosx

       y=ctgx 

    д) обратные тригонометрические функции

        y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x

3. Некоторые алгебраические функции

    а) линейная .

    График функции – прямая линия, проходящая через точки (0, b) и .

    Функция возрастает при a>0, убывает при a<0.

    Частные случаи: y=b – прямая, параллельная оси OX;

    y=ax – прямая, проходящая через начало координат.

    б) квадратичная .

    Точки пересечения с осями координат:

    с осью OX  – (x₁, 0) и (x₂, 0),

    где , D=b²-4ac – корни квадратного трехчлена;

    с осью OY – (0, c).

Пример 1. График какой функции является возрастающим:

    а) ; б) у = х³ – 27; в) y=2^-x?

    Решение:

        Рассмотрим каждую из функций в отдельности:

        а)  – степенная функция. Область определения этой функции: . На всей области определения функция монотонна.

        Возьмём два значения х₁ = 1 и х₂ = 4. Им соответствует у₁ = – 1, у₂ = – 2. Видим, что если х₁ < x₂ , то у₁ > у₂.         Функция убывающая.

        б) у = х³ – 27 – алгебраическая функция. Область определения – множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Возьмём два значения х₁ = 3, х₂ = 4. Им соответствует у₁ = 0, у₂ = 37.

        Видим, что если х₁ < x₂ , то и у₁ < у₂. Функция возрастающая.

        в) y=2^-x – показательная функция. Областью определения является множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Пусть х₁ = 0, х₂ = 1. Им соответствуют у₁ = 1, у₂ = 0,5.

        Видим, что если х₁ < x₂ , то у₁ > у₂. Функция убывающая.

    Ответ: б) у = х³ – 27.

Пример 2. Парабола у = 2х² – (а – 3)х + а + 3 проходит через начало координат. Найдите абсциссу вершины параболы.

    Решение:

        Найдём значение параметра а. Т.к. парабола проходит через начало системы координат, то координаты точки (0; 0) являются корнями уравнения параболы:  0 = 2 ∙ 0² – (а – 3) ∙ 0 + а + 3;  а = – 3. 

        Уравнение параболы примет вид: у = 2х² + 6х.

        Абсцисса вершины параболы находится по формуле: . Получаем .

    Ответ: – 1, 5.

Пример 3. В каких точках график функции f(x) = x² – 3 пересекает прямую у(х) = х – 1?

    Решение:

        Ответом на данный вопрос является решение системы

        х² – 3 = х – 1;  х² – х – 2 = 0;  х₁= – 1, или х₂ = 2. 

        Соответственно, у₁ = – 2, у₂ = 1.

    Ответ: (– 1; – 2), (2; 1).

Пример 4. При каких значениях k прямые – kх + 7у = – 13 и 14у – 3х + 5 = 0 параллельны?

    Решение:

        Две различные прямые у = k₁х + b₁ и у = k₂х + b₂ параллельны, если k₁ = k₂, но при этом b₁ ≠ b₂.

        В обоих уравнениях выразим у через х.

        . Следовательно, . При этом .

    Ответ: при k = – 1,5.

Пример 5. Найти точки пересечения прямой у = 5 + х с осями координат.

    Решение:

        Когда график функции пресекает ось ОХ, значение у = 0.

        Получаем уравнение 5 + х = 0, х = – 5. 

        Когда график функции пересекает ось OY, значение х = 0, т.е. у = 5.

    Ответ: (– 5; 0), (0; 5).

Пример 6. Найти нули функции у = (х + 1)∙(х – 2).

    Решение:

        Решаем уравнение (х + 1)∙(х – 2) = 0.

        х + 1 = 0 или х – 2 = 0; х₁ = – 1, х₂ = 2.

    Ответ: (– 1; 0), (2; 0).

Пример 7. Найти область значений функции .

    Решение:

       Оцениваем последовательно:

       .

    Ответ: .

Пример 8. Найдите сумму целых значений функции у = 3 – 2 sin x.

    Решение:

        Оценим значение 3 – 2 sin x.

        .

        Сумма целых чисел: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

    Ответ: 15.

Пример 9. Найти область определения функции .

    Решение:

        Функция задана аналитически, следовательно, область определения совпадает с областью допустимых значений выражения . 

        х² + х ≠ 0, т.к. на нуль делить нельзя.

        х (х + 1) ≠ 0;  х ≠ 0 или х ≠ – 1.

    Ответ: .

Пример 10. Найдите область определения функции .

    Решение:

        Допустимые значения выражения :

        .

    Ответ: .

Пример 11. Найдите область определения функции .

    Решение:

        Допустимые значения выражения: .

    Ответ: (– 1; + ∞).

Пример 12. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке А(0; 2), проходящая через точку В(2; – 6). Задайте эту функцию формулой.

    Решение:

        Уравнение квадратичной функции у = ах² + bх + с.

        1) точка А является вершиной параболы, следовательно .

          Уравнение примет вид: у = ах² + с.

        2) точка А принадлежит графику, следовательно её координаты удовлетворяют уравнению, т.е. 2 = а ∙ 0 + с; с = 2. 

            Уравнение примет вид: у = ах² + 2.

        3) график проходит через точку В. Её координаты также удовлетворяют уравнению: – 6 = а ∙ 2² + 2, – 8 = 4 ∙ а,          а = – 2.

        Получили уравнение у = – 2х² + 2.

    Ответ: у = – 2х² + 2.

Пример 13. Найдите g (x) , если f (x) = 2x – 3, g (f (x)) = x. Вычислите g (1).

    Решение:

        Так как нужно вычислить g (1), то это значит, что нужно найти x такое, что f (x) = 1.

        2x – 3 = 1, х = 2.

        Следовательно, g (f (x)) = 2, т.е. g (1) = 2.

    Ответ: g (1) = 2.

Пример 14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения кривых y=5^2x, y=5^3x-1 и через точку параболы y=(2x-1)², в которой производная функции, задающей параболу, равна 8.

    Решение:

        1) найдём точку пересечения кривых:

        2) найдём точку параболы, в которой производная равна 8:  

        3) прямая проходит через две точки (1; 25) и (1,5; 4). Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, имеем: 

        – 21х + 21 = 0,5у – 12,5;  – 42х + 42 = у – 25;  у = – 42х + 47.

    Ответ: у = – 42х + 47.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

    1) Вычислите значение функции  в точке х₀ = 1.

    2) Найдите значение функции  при х = 4.

    3) Для функции  вычислите f(-1)-f(1).

    4) Найдите g(f(x)), если  Вычислите g(f(2)).

Найдите области определения функций: 

    5) .

    6) . 

    7) .

    8) .

    9) .

    10) .

    11) .

    12)   

    13) .

    14) y=log₅(x+3).

    15) y=log₅(x²-4).

    16) .

При каких значениях х функции не определены?

    17) .

    18) .

    19) .

    20) .

    21) y=ctgx+tgx.

    22) .

    23) .

Укажите длину интервала области определения для функций: 

    24) .

    25) y=log₄(5x+6-x²)  

    26) y=log₆(x²+3).

Укажите области значения функций:

    27) y=-3sinx.

    28) y=0,7cos3x.

    29) .

Решите задачи:

    30) Сколько натуральных значений может принять функция y=log₂(4-x²) на всей области определения?

    31) Найдите сумму целых значений функции y=3cosx-5.

    32) Укажите функцию, областью значений которой является множество .

   .

    33) Укажите график функции, возрастающей на отрезке [-3; 2]. 

    34) Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.

    1) y=-x^0,5; 2) y=1-e^-x; 3) y=ctg2x; 4) y=|-x|.

    35) Найдите нули функции .

    36) Найдите нули функции  

    37) Найдите наименьшее значение функции f(x)=3^2x-1 на промежутке [-3; 1].

    38) Вычислите координаты точек пересечения графика функции у = – 2х² + 4х + 6 с осью OY.

    39) Вычислите ординату точки пересечения прямой у = 5 – 2х с осью ОY.

    40) Укажите точки пересечения графиков функций у = 2х + 4 и у = – 2х.

    41) В каких точках график функции f (x) = 3x² + 6x пересекает прямую у = 6 – х?

    42) Укажите промежутки возрастания функции y=sin3x на интервале .

    43) Укажите промежутки убывания функции y=-2cosx на интервале .

Повышенный уровень

    44) При каких значениях а графики функций у = 3х – 4х³ и у = а имеют единственную общую точку?

    45) Найдите длину промежутка области значений функции .

    46) Найдите середину промежутка области значений функции y=cosx+|cosx|.

    47) Найдите наибольшее целое значение выражения 2t, где t – число, принадлежащее области значений функции y=cos2x•tg2x.

    48) Найдите наименьшее значение функции .

    49) Укажите наименьшее значение функции y=log₂(x²-4x+12).

    50) Укажите наибольшее значение функции .

    51) Вычислите значение функции y=4•sin7x при , если при функция принимает значение – 2.

    52) Вычислите значение функции y=|tg2x| при , если значение данной функции при  равно 1.

    53) Найдите значение 2sint, где t – сумма точек максимума функции на промежутке .

    54) Укажите наибольшее значение функции y=cos(tgx) на промежутке .

Найдите сумму всех целых значений функции y = f(x) заданной графиком на промежутке ( – 5 ; 5) (см.

Рис. ).

Что и как надо считать?

Подробно желательно.