Как найти супремум онлайн

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется ограниченным сверху, если существует число $b$ такое, что $$forall,xin X to xle b.$$ При этом говорят, что число $b$ ограничивает множество $X$ сверху.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется ограниченным снизу, если существует число $a$ такое, что $$forall,xin X to xge a.$$ При этом говорят, что число $a$ ограничивает множество $X$ снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

Определение. Верхней гранью непустого множества $Xsubsetmathbb{R}$ называется число $b$, удовлетворяющее условиям:

• $forall,xin X to xle b$;
• $forall,b'<b to exists,xin X: x > b’$ 
  ($forall,varepsilon>0 to exists,xin X: x > b – varepsilon$).

Определение. Нижней гранью непустого множества $Xsubsetmathbb{R}$ называется число $a$, удовлетворяющее условиям:

• $forall,xin X to xge a$;
• $forall,a’> a to exists,xin X: x < a’$ 
  ($forall,varepsilon>0 to exists,xin X: x < a + varepsilon$).

Верхняя и нижняя грани множества $X$ обозначаются символами $sup X$, $inf X$ соответственно.

Теорема (единственности). Числовое множество не может иметь больше одной верхней грани.

Доказательство. Допуская противное, предположим, что каждое из чисел $b$ и $b’$ ($bne b’$) является верхней гранью множества $X$. Пусть, для определённости, $b’ < b$. Но тогда $b’$ не является верхней гранью множества $X$.

Получили противоречие.Теорема доказана.

Замечание. Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней грани. Теорема утверждает, что если верхняя грань существует, то она единственна. Значительно более глубокой является теорема о существовании верхней грани.

Теорема (о существовании верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет верхнюю грань.

Доказательство. Пусть $A$ — непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество $B$, элементами которого являются все числа $b$, ограничивающие множество $A$ сверху. Тогда $$ forall,ain A, forall,bin B to ale b. $$ Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого $cinmathbb{R}$ $$ forall,ain A, forall,bin B to ale cle b. $$ Покажем, что $exists,sup A = c$.

Первое условие из определения верхней грани выполнено для $c$ в силу того, что $$ forall,ain A to ale c.$$ Покажем, что выполняется и второе.

Пусть $c'<c$. Тогда $c’notin B$, так как $$forall,bin B to cle b.$$ Следовательно, $c’$ не ограничивает множество $A$ сверху, то есть $$exists,xin A: x > c’,$$так что второе условие также выполнено.

Следовательно, $c=sup A$, и теорема доказана.

Определение. Расширенным множеством действительных чисел $overline{mathbb{R}}$} называется множество $$ overline{mathbb{R}} = mathbb{R}cup{-infty}cup{+infty}. $$ То есть элементами множества $overline{mathbb{R}}$ являются все действительные числа и еще два символа: ${-infty}$, ${+infty}$.

В множестве $overline{mathbb{R}}$ не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка. Для двух элементов $a,binoverline{mathbb{R}}$ в случае $a,binmathbb{R}$ отношение порядка то же, что в $mathbb{R}$. В других же случаях оно определено так: $$forall,ainmathbb{R} to {-infty}<a,quad a<{+infty};qquad{-infty}<{+infty}.$$

Рассматривая множество $Xsubsetmathbb{R}$ как подмножество расширенного множества действительных чисел ($Xsubsetoverline{mathbb{R}}$), можно обобщить понятие $sup X$. Это обобщающее определение будет отличаться от приведенных выше лишь тем, что в качестве $b$ можно брать не только число, но и элемент ${+infty}$.

Тогда получим, что для непустого неограниченного сверху числовогомножества $X$ $$sup X = +infty.$$ 

Учитывая предыдущую теорему, получаем, что всякое непустое числовое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел $overline{mathbb{R}}$ верхнюю грань.

Замечание. Все изложенные выше утверждения очевидным образом переносятся на понятие нижней грани.