Как найти свертку оригиналов

Задача 1.Найти оригинал для изображения

при помощи разложения на простейшие
дроби.

Решение.Разложимна сумму простейших дробей

.

Найдем неопределенные коэффициенты A,
B, C,
D. Так как

,

то, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях
,
получаем

,
,
,
.

Таким образом,

.

Свертка оригиналов.Пустьи– функции-ориентиры и,
.
По определению, сверткой оригиналовназывается интеграл(3.1)

По теореме сложения изображений свертки
оригиналов
соответствует произведение изображений

.

Задача 2.Найти свертку функцийи.

Решение.Имеем

Задача 3.Восстановить оригинал по
изображениюпри помощи свертки.

Решение.Представимкак произведение двух функций и используя
теорему умножения, запишем

.
(см. задачу 2)

4. Решение линейных дифференциальных
уравнений и систем.

Рассмотрим применение правил и теорем
операционного исчисления к решению
линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами и их систем
при заданных начальных условиях.
Предлагаем, что искомое решение, его
производные и правая часть дифференциального
уравнения являются оригиналами.

Схема решения дифференциального
уравнения.

1. Искомая функция, ее производные, входящие
   в данное уравнение, правая часть
   уравнения заменяются их изображениями.
   В результате получается так называемое
   операторное уравнение.

2. Решаем операторное уравнение относительно
   изображения искомой функции.

3. Переходим от изображения искомой
   функции к оригиналу.

Схема решения систем дифференциальных
уравнений такая же.

Задача 1.Решить дифференциальное
уравнение

,
если,

Решение.Пусть– искомое решение.

.

Запишем операторное уравнение

или

.

Находим A, B,
C.
,,.

Итак,

.

Задача 2.Найти решение системы
дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям
,
,
,

Решение.Пусть,
.
Тогда

;
;;.

Преобразованная система имеет вид

Определяем
,
по правилу Крамера

;

Вычислим
получим

Итак,

Вычислим
получим

Тогда

Итак,

Рассмотрим решение дифференциальных
уравнений при нулевых начальных условиях
с использованием интеграла Дюамеля.

Интеграл Дюамеля.

Если
и,
то

(4.1)

или

(4.1^’)

Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффицентами

при
Если

,

то получим

или
,
где–
многочленn-ой степени;

отсюда

(4.2)

Если рассмотреть ещё одно дифференциальное
уравнение, у которого правая часть равна
единице,

то при тех же нулевых начальных условиях
в изображениях получим уравнение

Отсюда
(4.3)

Подставим (4.3) в (4.2), получим

(4.4)

Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для
и учитывая, что,
получаем

(4.5)

Итак, достаточно решить уравнение с
правой частью равной единице, чтобы при
помощи интеграла (4.5) получить решения
при различных правых частях.

Задача 3.

Найти частное решение дифференциального
уравнения, используя интеграл Дюамеля:

(4.7)

Пусть
,
тогда

Получим уравнение для изображения

Отсюда

Возвращаясь к первоначальному уравнению
для
,
Запишем

Следует отметить, что преимущество
операционного метода решения
дифференциальных уравнений состоит в
том, что благодаря этому методу мы
заменяем решение дифференциального
уравнения на решение алгебраического
уравнения, что сильно упрощает вычисление.

Применение
методов операционного исчисления в

задачах
электротехники.

Методы операционного исчисления широко
используются в решениях специальных
задач электротехники.

Задача1.

Включение дополнительного источника
ЭДС в цепь с ненулевыми начальными
условиями.

Рассмотрим электрическую цепь с
ненулевыми начальными условиями (рис.
5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.

рис 5.1

Эта цепь характеризуется тем, что при
отключении ЭДС Е в цепи происходит
арядка конденсатора. После зарядки
конденсатора ток в цепи становится
равным нулю. Требуется найти ток i(t)
после подключения к цепи дополнительной
ЭДС е(t).

По второму закону Кирхгофа (алгебраическая
сумма падения напряжения на сопротивлениях
равна алгебраической сумме действующих
в цепи ЭДС) для момента времени
имеем

,
(5.1)

где
– напряжение на конденсаторе;

(0)
– начальное напряжение на конденсаторе,
обусловленное тем, что конденсатор уже
был ранее заряжен.

Решение.

Применяя к интегро-дифяфференциальному
уравнению (5.1) преобразование Лапласа,
запишем

где
–
начальный ток в цепи. Используя указанные
соотношения, получаем алгебраическое
уравнение в изобржениях

где неизвестной величиной является.
Остальные величины известныИз (5.2) получаем

(5.3)

Рассмотрим конкретный пример. Пусть
Применяя преобразование Лапласа,
получаемследовательно,С учётом этих условий из (5.3) получаем

(5.4)

Замечание.Из полученного решения
(5.4) следует, что,
при,
т.е.Это означает что за некоторое время
конденсатор дополнительно зарядится
и ток станет равным нулю.

Задача 2.

Определить ток в цепи, состоящей из
последовательно соединённых сопротивления
rи конденсатора С, если
в моментt=0 цепь подсоединяется
к источнику ЭДС (рис 5.2) в виде треугольного
импульса (рис 5.3).

рис 5.2
рис 5.3

В задаче задано

Решение.

Используя второй закон Кирхгофа, получим
интегральное уравнение для рассматриваемого
контура

(5.5)

Решение уравнения (5.5) выразим при помощи
интеграла Дюамеля (4.1)

(5.6)

где
– решение вспомогательного уравнения

(5.7)

Применяя преобразование Лапласа, имеем

Уравнение (5.7) преобразуется к
алгебраическому уравнению для нахождения
J(p)

откуда(5.8)

Подставляя найденное решение (5.8)
вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл
Дюамеля (5.6) получаем решение исходного
уравнения (5.5)

.

Пример
контрольной работы по операционному
исчислению

и
комплексным числам.

Вариант 1.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически

6. Решить систему

Вариант 2.

1. Найти изображение функции:

1. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической
форме:

1. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 3.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической форме:

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 4.

1. Найти изображение функции:

1. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

4. Представить в алгебраической
форме:

1. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 5.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а);
б)

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 6.

1. Найти изображение функции:

1. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической
форме:

а)
;
б)

1. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 7.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 8.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;

б)

1. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 9.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 10.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 11.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 12.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 13.

1. Восстановить оригинал по изображению:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

.

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 14.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Вариант 15.

1. Восстановить оригинал по изображению

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:

6. Решить систему

Вариант 16.

1. Найти изображение функции:

2. Решить задачу Коши операторным методом:

3. Найти все значения корней

а)
;

б)

4. Представить в алгебраической форме:

а)
;
б)

5. Восстановить оригинал по изображению

6. Решить систему

Оглавление.

Введение.

1. Комплексные числа.

2. Преобразование Лапласа. Оригинал и
   изображение.

3. Нахождение оригинала по изображению.

4. Решение линейных дифференциальных
   уравнений и систем.

5. Применение методов операционного
   исчисления в задачах электротехники.

6. Пример контрольной работы по операционному
   исчислению и комплексным числам.

7. Литература.

Литература.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные
   уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
   Функции комплексного переменного. М.:
   Наука, 1981, 448с.

2. Сборник задач по математике для втузов.
   Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова.
   М.: издательства физико-математической
   литературы, 2002. 576с.

3. Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко
   Г.Н. Функции комплексного переменного.
   Операционное исчисление. Теория
   устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.

4. Глатенок И.В., Заварзина И.Ф. Теория
   функций комплексного переменного и
   операционное исчисление. М.: Московский
   энергетический институт, 1989. 48с.

31

Преобразование Лапласа и его свойства

Основные определения

1. Оригинал — это комплекснозначная функция действительного аргумента , которая удовлетворяет следующим условиям:

а) при ;

б) на любом конечном отрезке функция имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

в) имеет ограниченный рост, т.е. возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные и , что при .

Замечания 5.1

1. Величина называется показателем роста функции . Для любой ограниченной функции, являющейся оригиналом, можно принять .

2. Обозначим , если пределы существуют и конечны.

3. Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов.

4. В точке разрыва первого рода функция имеет конечные односторонние пределы: .

Пример 5.1

2. Изображение функции — функция комплексного переменного , определяемая равенством

Область существования этой функции определяется областью сходимости интеграла Лапласа, стоящего в правой части равенства (5.1). Исследование интeгpaлa позволяет определить эту область и установить свойства функции . Имеет место следующее утверждение.

Утверждение 5.1. Если функция , является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно в области (рис. 5.1) , где — показатель роста оригинала. Внутри этой области, т.е. на любом замкнутом подмножестве , интеграл сходится равномерно и определяет аналитическую функцию .

Замечания 5.2

1. Утверждение 5.1 аналогично свойствам степенных рядов, сходящихся в круге и равномерно сходящихся внутри этого круга, где сумма ряда является аналитической функцией.

2. Свойство аналитичности изображения имеет важное значение в теории и практике применения преобразования Лапласа, так как позволяет использовать в пространстве изображений методы теории аналитических функций, в частности разложения функций в ряды и теорию вычетов.

3. Совокупность всех изображений называется пространством изображений.

4. Переход, определяющий изображение по оригиналу , называется преобразованием Лапласа:

Запись означает, что оригиналу соответствует изображение .

5. Оригинал по изображению находится с помощью обратного преобразования Лапласа по формуле обращения

где путь интегрирования — любая прямая , параллельная мнимой оси и лежащая правее прямой (рис. 5.1).

Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно. Поэтому на практике пользуются методами, изложенными ранее.

Замечания 5.3

1. Для преобразования Лапласа используются различные обозначения, на пример и , что означает: оригиналу соответствует изображение и изображению соответствует оригинал . В некоторых учебниках вместо аргумента применяется , то есть и .

2. Для компактной записи оригиналов используется единичная ступенчатая функция

где — точка приложения (рис. 5.2). Так как во многих практических задачах аргумент имеет смысл текущего времени, то также называется моментом приложения единичной ступенчатой функции. В системах автоматического регулирования и управления функция рассматривается как типовой входной сигнал.

При функция является функцией Хевисайда:

Тогда, если функция удовлетворяет условиям “б”, “в” в определении оригинала (п. 1), но не удовлетворяет условию “а”, то функция будет оригиналом, так как

Далее под заданной с помощью аналитической формулы функцией , там, где это не вызывает недоразумений, будем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда, а множитель опускать.

3. Функции , являющиеся изображениями, удовлетворяют необходимому условию: если есть изображение, то при . Поэтому функции не являются изображениями. Однако в практических задачах функции типа и другие встречаются. Это требует расширения понятий оригинала и изображения.

Класс оригиналов можно расширить, включив в него функции, которые могут быть не ограничены в окрестности некоторых конечных точек, но такие, что интеграл Лапласа от них, тем не менее, сходится абсолютно в некоторой полуплоскости . К числу таких обобщенных оригиналов относятся степенная функция при и некоторые другие.

4. Во всякой точке , являющейся точкой разрыва функции , правая часть формулы (5.3) равна .

Примеры 5.2-5.3

---

Свойства преобразования Лапласа

Будем предполагать, что рассматриваемые далее функции являются оригиналами. Соответствующие им изображения (при ) обозначим .

1. Линейность. Если — оригиналы, то для любых комплексных чисел , функция также является оригиналом и справедливо равенство

Заметим, что для функции существенно, что все слагаемыс являются оригиналами, так как, например, функция является оригиналом, а слагаемые и не являются.

Справедливо и обратное утверждение: если — изображения, то

Здесь также важно, что слагаемые функции являются изображениями, поскольку из того, что — изображение, не следует, что — изображения. Например, функция является изображением, а слагаемые и не являются.

Примеры 5.4-5.5

2. Подобие (теорема подобия). Для любого из следует

и обратно: .

Пример 5.6

3. Смещение (теорема смещения). При любом комплексном из следует

то есть умножению оригинала на соответствует смещение изображения на .

Пример 5.7

---

Запаздывание оригинала

4. Запаздывание (теорема запаздывания). Для любого из следует

где (рис. 5.3), т.е. запаздыванию оригинала на соответствует умножение изображения на .

Примеры 5.8-5.10

Замечание 5.4. Дельта-функция часто встречается в инженерных приложениях как идеализация импульса конечной длительности. В теории автоматического регулирования и управления δ-функция вместе с единичной ступенчатой являются типовыми входными воздействиями.

Очевидно, изображение дельта-функции не удовлетворяет необходимому условию (п.2 замечаний 5.3). Этот факт свидетельствует о практическом требовании расширения понятия оригинала. Дельта-функция относится к обобщенным функциям и задается соотношением

---

Дифференцирование оригинала

5. Если функции являются оригиналами и , то

где .

Примеры 5.11-5.12

Интегрирование оригинала

Если функция является оригиналом и , то

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .

Пример 5.13

---

Дифференцирование изображения

Если функция является оригиналом и . то

Примеры 5.14-5.15

---

Интегрирование изображения

Если функция является оригиналом, то из следует

Пример 5.16

---

Умножение изображений (теорема Бореля)

Из и следует

т.е. свертке оригиналов соответствует произведение изображений. Функция определяется формулой

и называется сверткой оригиналов и .

Пример 5.17

---

Дифференцирование свертки (интеграл Дюамеля)

10. Согласно свойствам 9 и 5 найдем преобразование Лапласа от производной свертки двух функций:

С другой стороны,

или, применяя правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, имеем

Здесь при дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, применялась формула Лейбница, которая для общего случая имеет вид

Объединяя полученные результаты, можно записать:

Формула (5.17) называется интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля применяется для решения дифференциальных уравнений.

Пример 5.18

---

Теорема о связи “начальных” и “конечных” значений оригинала и изображения

Начальное значение оригинала находится по формуле

Если существует конечный предел , то

Из соотношений (5.18),(5.19) следует, что для нахождения начальных и конечных значений оригинала не требуется знания оригинала, а достаточно иметь соответствующее изображение. На практике соотношение (5.19) применяется, например, для нахождения установившегося значения выходного сигнала в системах автоматического регулирования.

Пример 5.19

---

Нахождение изображения по оригиналу

Для нахождения изображения требуется применить свойства преобразования Лапласа Так, чтобы к функции или ее составляющим можно было применить результаты, содержащиеся в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Таблица основных преобразований Лапласа

Посмотреть

Пример 5.21

---

Нахождение изображений функций, заданных графиком

При решении прикладных задач оригинал часто задан графиком. Это может быть, например, входной сигнал, действующий на систему автоматической регулирования. В этом случае рекомендуется сначала записать аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции (5.4), привести полученное выражение к виду, удобному для применения табл. 5.1 и свойстве преобразования Лапласа.

Пример 5.22

---

Нахождение изображений периодических функций

Во многих приложениях используются оригиналы, являющиеся периодическими функциями.

Пусть — оригинал с периодом (рис. 5.6,в), образованный повторением функции (рис. 5.6,б):

Для нахождения изображения периодической функции следует:
1. Найти изображение функции .
2. Найти изображение по формуле

Пример 5.23.

---

Нахождение оригинала по изображению

Непосредственное применение формулы обращения (5.3) затруднительно, поэтому для нахождения оригинала применяются теоремы разложения и правила преобразования изображения к виду, представленному в табл. 5.1.

Применение теорем разложения

Теорема 5.1 (первая теорема разложения). Если функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням имеет вид , то функция (5.21) является оригиналом, соответствующим изображению .

Теорема 5.2 (вторая теорема разложения). Если изображение является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек лежащих в конечной части плоскости, то

Замечания 5.5

1. Формула (5.21) может быть записана в виде . Задача нахождения оригинала при выполнении условий теоремы сводится к нахождению коэффициентов разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

2. Формула (5.22) принимает наиболее простой вид в случае — рационального изображения, т.е. , где — многочлены степеней /пил соответственно, не имеющие общих корней. Если все полюсы функции простые, то по формуле (4.24) получаем , а формула (5.22) принимает вид

3. Если при выполнении условий п.2 коэффициенты многочлена — лействительные числа, то его комплексные корни, как известно, являются по парно сопряженными. Нахождение суммы вычетов в таких точках можно заме нить нахождением действительной части вычета в одной из них. Действительио, вычет в точке , используя свойства сопряженных чисел, можно записать следующим образом:

Это означает, что вычет в точке есть число, сопряженное вычету в точке , а сумма таких чисел равна их удвоенной действительной части:

Пример 5.24

---

Применение таблицы и свойств преобразования Лапласа

Приведем ряд известных приемов нахождения оригинала.

1. Если изображение отличается от табличного на постоянный множитель, то его следует умножить и одновременно поделить на этот множитель, а затем воспользоваться свойством линейности.

Пример 5.25

2. Изображение, заданное в виде дроби , разлагается на сумму дробей.

Пример 5.26

3. Если знаменатель дроби содержит квадратный трехчлен, то в нем выде ляется полный квадрат: . При этом числитель дроби представляется в виде многочлена от .

Пример 5.27

4. Если оригинал представляет собой правильную рациональную дробь, то следует разложить ее на простейшие дроби и для каждой из полученных дробей найти оригинал.

Примеры 5.28-5.29

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^<-pt>dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^<-3tau>dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

Задача 6. Найти оригинал изображения

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Операционное исчисление с примерами решения и образцами выполнения

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. 
2. f(t)— кусочно-непрерывная при т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
3. Существуют такие числа что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить ), степенные и другие (для функций вида ( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция (не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид она считается оригиналом, если действительные функции являются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде или (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости — показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости .

Докажем первую часть теоремы. Пусть произвольная точка полуплоскости (см. рис. 302).

Учитывая, что находим:

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Решение:

По формуле (78.1) при находим:

т. e. , или, в символической записи,

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

Пример:

Найти изображение функции — любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

Замечание:

Функция является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

— постоянные числа, то

Используя свойства интеграла, находим

Пример:

Найти изображения функций — любое число), с (const),

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Аналогично получаем формулу

Далее, т. е.

Аналогично получаем формулу

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть . Тогда

Смещение (затухание)

т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив , получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

можно записать так:

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Если же понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции и обобщенной единичной функции . Поэтому

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда :

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Изображение функции f(t) будет равно

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если и функции являются оригиналами, то

По определению изображения находим

Итак, Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

Решение:

Пусть Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

Дифференцирование изображения

Если то

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

Пример:

Найти изображения функций

Решение:

Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем т. е.

Продолжая дифференцирование, получим

С учетом свойства смещения получаем

Согласно формуле (78.5), Следовательно,

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Интегрирование оригинала

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция является оригиналом (можно проверить).

Пусть Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

(так как ). А так как

Интегрирование изображения

Если и интеграл сходится, то т. е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Пример:

Найти изображение функции найти изображение интегрального синуса

Решение:

т. е. Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

Умножение изображений

Если то

Можно показать, что функция является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции и обозначается символом , т. е.

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е.

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

Пример:

Найти оригинал функций

Решение:

Следствие:

Если также является оригиналом, то

Запишем произведение в виде

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

Решение:

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Умножение оригиналов

где путь интегрирования — вертикальная прямая (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

6. Дифференцирование изображения

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

Решение:

Следовательно, на основании теоремы 79.1

Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки:

где Следовательно,

Теорема:

Если правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) то функция

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

где — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на :

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Итак, Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на найдем

Подставляя найденные значения в равенство (79.2), получим

Так как по формуле (78.3)

то на основании свойства линейности имеем

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

Можно показать, что если правильная дробь, но корни (нули) знаменателя В(р) имеют кратности соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение является дробно-рациональной функцией от — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

корни знаменателя и, согласно формуле (79.1),

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как

Решение:

— простой корень знаменателя, — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь

на сумму простейших дробей:

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение и так как пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

где — заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.

В этом случае

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при ).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение при условиях

Решение:

Пусть Тогда

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Отсюда Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших но так как корни знаменателя простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

Пример:

Найти решение уравнения

при условии

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

Таким образом, имеем

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

то по теореме запаздывания находим:

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Система операторных уравнений принимает вид

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Применения операционного исчисления

Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами

Пример 1.

Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin &x”’+2x”+5x’=0,\ &x(0)=-1, ,, x'(0)=2, ,, x”(0)=0. end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: begin &x(t) risingdotseq X(p),\ &x'(t) risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p)+1,\ &x”(t) risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)+p-2,\ &x”'(t) risingdotseq p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x”(0)=p^3X(p)+p^2-2p-0. end Справа стоит $0$, изображение для него тоже $0$.

Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: begin p^3X(p)+p^2-2p+2(p^2X(p)+p-2)+5(pX(p)+1)=0. end И найдем из него неизвестное $X(p)$: begin X(p)=-frac. end Используя теоремы, приемы, таблицы операционного исчисления получим оригинал: begin X(p) risingdotseq x(t)=-displaystylefrac15-displaystylefrac45 e^<-t>mbox,2t+displaystylefrac35e^<-t>mbox,2t. end

Пример 2.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x”-2x’-3x=e^<3t>,\ x(0)=x'(0)=0. end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: begin &x(t) risingdotseq X(p),\ &x'(t) risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p),\ &x”(t) risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p), end Справа стоит $e^<3t>$, изображение равно $displaystylefrac<1>$.

Запишем операторное уравнение: begin (p^2-2p-3)X(p)=frac<1>. end Находим $X(p)$: begin X(p)=frac<1><(p-3)^2(p+1)>. end Используя, например, вторую теорему разложения, получим оригинал: begin X(p) risingdotseq displaystylefrac14,te^<3t>-displaystylefrac<1><16>,e^<3t>+displaystylefrac<1><16>,e^<-t>. end

Пример 3.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x”+3x’=mbox,2t,\ x(0)=2, ,, x'(0)=0. end

Пример 4.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x”+x’=e^t,\ x(1)=1, ,, x'(1)=2. end Так как начальные условия даны не при $t=0$, сразу применить теорему о дифференцировании оригинала мы не можем. Поставим вспомогательную задачу для функции $y(t)=x(t+1)$: begin y”+y’=e^,\ y(0)=1, ,, y'(0)=2. end Записываем операторное уравнение begin (p^2Y(p)-p-2)+(pY(p)-1)=displaystylefrac. end

Решаем полученное уравение: begin Y(p)=displaystylefrac<(p-1)(p^2+p)>+displaystylefrac. end begin y(t)=displaystylefrac12e^+left(displaystylefrac<2>-2right)e^<-t>+(3-e). end Со сдвигом на $1$ находим решение исходной задачи: begin x(t)=y(t-1)=displaystylefrac12e^+left(displaystylefrac<2>-2right)e^<-t+1>+(3-e). end

Решение задачи Коши для систем линейных ДУ

Пример 5.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’ = 2x+8, \ &y’ = x+4y+1, \ &x(0)=1,, y(0)=0. \ end right. end

Запишем изображения: begin begin x(t) risingdotseq X(p), & x'(t) risingdotseq p,X(p)-1, \ y(t) risingdotseq Y(p), & y'(t) risingdotseq p,Y(p). end end begin 8 risingdotseq displaystylefrac<8>

, ,, 1 risingdotseq displaystylefrac<1>

. end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < beginpX(p)-1 &= 2X(p)+displaystylefrac<8>

, \ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+displaystylefrac<1>

.\ end right. end

Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. end begin Y(p)=displaystylefrac<2p+6> risingdotseq y(t)=displaystylefrac34-displaystylefrac52,e^<2t>+displaystylefrac74,e^<4t>. end

Пример 6.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’ = 2x+8y, \ &y’ = x+4y+1, \ &x(0)=1,, y(0)=0.\ end right. end

begin begin x(t) risingdotseq X(p), & x'(t) risingdotseq p,X(p)-1, \ y(t) risingdotseq Y(p), & y'(t) risingdotseq p,Y(p),\ 1 risingdotseq displaystylefrac<1>

. &\ end end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < beginpX(p)-1 &= 2X(p)+8Y(p), \ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+displaystylefrac<1>

.\ end right. end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac risingdotseq x(t)=frac49-frac43,t+frac59,e^<6t>. end begin Y(p)=displaystylefrac<2(p-1)> risingdotseq y(t)=-displaystylefrac<5><18>+displaystylefrac13,t+displaystylefrac<5><18>,e^<6t>. end

Пример 7.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’-2x-4y = mbox, t, \ &y’+x+2y = mbox,t, \ &x(0)=0,, y(0)=0.\ end right. end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < begin(p-2)X(p)-4Y(p) &= frac

, \ X(p)+(p+2)Y(p) &= frac<1>.\ end right. end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac<2>

+displaystylefrac<4>-displaystylefrac<2p+3> risingdotseq x(t)=2+4t-2,mbox,t-3,mbox,t. end begin Y(p)=-displaystylefrac<2>+displaystylefrac<2> risingdotseq y(t)=-2t+2,mbox,t. end

Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля

Введем обозначения:
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1,x^<(n-1)>(t)+ldots+a_n,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.

Запишем алгоритм решения.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1,y^<(n-1)>(t)+ldots+a_n,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: begin begin y(t) & risingdotseq Y(p),\ y'(t) & risingdotseq p,Y(p),\ y”(t)& risingdotseq p^2Y(p),\ &cdots\ y^<(n)>(t)& risingdotseq p^nY(p). end end Вспомогательное операторное уравнение запишем в виде: begin Y(p)cdot h(p) = frac<1>

,\ h(p)=p^n+a_1p^+ldots+a_n. end $$Y(p) risingdotseq y(t).$$

2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде begin h(p)=frac<1>. end Тогда $$ X(p) = F(p),pY(p).$$ Для нахождения $x(t)$ необходимо найти оригинал для $pY(p)F(p)$, то есть вычислить интеграл из формулы Дюамеля: $$ p F(p) Y(p) risingdotseq y(0)cdot f(t)+intlimits_0^t f(tau),y'(t-tau),dtau,$$ где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения.

Пример 8.

Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. begin x”+2x’=frac<1><1+e^<2t>>, ,, x(0)=0, ,, x'(0)=0. end Решаем через интеграл Дюамеля в два этапа, как было описано выше.

2. Исходное уравнение в операторном виде: begin (p^2+2p)X(p)=F(p). end Правая часть этого уравнения такая же, как и для вспомогательного. Левую часть $frac<1><1+e^<2t>>$ обозначим $f(t)$, ее изображение $F(p)$. Тогда begin X(p)=frac. end Решая вспомогательное уравнение, мы находили: begin (p^2+2p)Y(p)=frac<1>

,, Rightarrow ,, p^2+2p=frac<1>. end Тогда begin X(p)=frac<frac<1>>=pF(p)Y(p). end

Теперь по формуле Дюамеля получаем: begin X(p)=p F(p) Y(p) risingdotseq x(t)=y(0)cdot f(t)+intlimits_0^t f(tau),y'(t-tau),dtau, end где $y(t)$ – уже найденное решение вспомогательного уравнения: begin begin & y(t)=-frac14+frac12t+frac14 e^<-2t>,\ & y(0)=0,\ & y'(t-tau)=frac12-frac12e^<-2(t-tau)>. end end

Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда

Пример 9

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). begin left < begin&x”+x=eta(t)-eta(t-2), \ &x(0)=0,\ &x'(0)=0. end right. end

Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: begin &x”+x risingdotseq p^2,X(p)+X(p),\ &eta(t)-eta(t-2) risingdotseq frac<1>

-frac>

. end Для правой части, содержащей функцию Хэвисайда, воспользовались теоремой запаздывания.

Находим изображение для $displaystylefrac<1>$ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: begin &frac<1>risingdotseq mbox,t ,, Rightarrow\ &frac<1>risingdotseq intlimits_0^t,mbox,tau,dtau=-mbox,t+1. end Тогда изображение для $displaystylefrac>$ по теореме запаздывания будет равно: begin frac>risingdotseq (-mbox,(t-2)+1)eta(t-2). end

Решение заданного уравнения: begin x(t)= (1-mbox,t)eta(t)-(1-mbox,(t-2))eta(t-2). end

Пример 10

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). begin left < begin&x”+4x=f(t). \ &x(0)=0,\ &x'(0)=0. end right. end

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: begin &f(t)=2teta(t)-4(t-1)eta(t-1)+2(t-2)eta(t-2),\ &F(p)=frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). end Операторное уравнение имеет вид: begin &X(p)(p^2+4)=frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>),, Rightarrow\ &X(p)=frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). end

Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: begin frac<2>=frac<1><2p^2>-frac<2> <4(p^2+4)>risingdotseq frac12t-frac14,mbox,2t. end Для остальных слагаемых воспользуемся теоремой запаздывания: begin X(p)risingdotseq x(t)= frac12left(t-frac12,mbox,2tright)eta(t)-\ -left((t-1)-frac12,mbox,2(t-1)right)eta(t-1)+\ +frac12left((t-2)-frac12,mbox,2(t-2)right)eta(t-2). end

Решение задачи Коши с периодической правой частью

Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда.

Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: begin f_0(t)=begin f(t),& 0 oplaplace/seminar5_2.txt · Последние изменения: 2021/05/28 18:23 — nvr

[spoiler title=”источники:”]

http://lfirmal.com/operacionnoe-ischislenie/

http://vmath.ru/vf5/oplaplace/seminar5_2

[/spoiler]

Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье

с ядром K(t, ξ) = .

Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t,

Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения.

Определение:

Функцией-оригиналом будем называть всякую комплекснозначную функцию f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:

1. f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем на каждом конечном интервале оси t таких точек может быть лишь конечное число;
2. функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при t < 0;
3. при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют числа М > 0 и з такие, что для всех t

Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = s1, то оно будет выполнятся при всяком s2 > s1.

Точная нижняя грань sо всех чисел s, so = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t).

Замечание:

В общем случае неравенство

не имеет места, но справедлива оценка

где ε > 0 — любое. Так, функция f(t) = t, t ≥ 0, имеет показатель роста so =0. Для нее неравенство |t| ≤ М ∀t ≥ 0 не выполняется, но ∀ε > О, ∀t > 0 верно неравенство

Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*).

Пример:

Функция

не удовлетворяет условию (*), но условие (1) выполнено при любом s ≥ 1 и М ≥ 1; показатель роста so = 1. Так что f(t) является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция

не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, sо = +∞. Простейшей функцией-оригиналом является
так называемая единичная функция

Если некоторая функция φ(t) удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение f(t) = φ(t) η(t) уже является функцией-оригиналом.

Для простоты записи мы будем, как правило, множитель η(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t) например, о sin t, cos t, e^t и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2):

Определение:

Пусть f(t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного р = s + iσ, определяемая формулой

где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции f(t); ядро преобразования K(t, р) = e^-pt.
Тот факт, что функция f(x) имеет своим изображением F(p), будем записывать так:

Пример:

Найти изображение единичной функции η(t).

Функция является функцией-оригиналом с показателем роста s0 = 0. В силу формулы (2) изображением функции η(t) будет функция

Если р = s + iσ, то при s > 0 интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим

так что изображением функции η(t) будет функция 1/p. Как мы условились, будем писать, что η(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так:

Теорема:

Для всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста sо изображение F(p) определено в полуплоскости Re p = s > So и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3).

Пусть

Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при s > so. Используя (3), получаем

что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Re р = s > so

Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим

Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2).

Применяя для F'(p) интегрирование по частям, получаем оценку

откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое — при t → + ∞ имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Re р ≥ S1 > So интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом

не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо.

Поскольку производная F'(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Re p = s > sо является аналитической функцией.

Из неравенства (4) вытекает

Следствие:

Если точка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то

Пример:

Найдем еще изображение функции f(t) =, где а = а + iβ — любое комплексное число.

Показатель роста sо функции f(t) равен а.

Считая Rep = s> а, получим

Таким образом,

При а = 0 вновь получаем формулу

Обратим внимание на то, что изображение функции является аналитической функцией аргумента р не только в полуплоскости Re p > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Re p > So функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Re p = So, или на самой этой прямой.

Замечание:

В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции f(t) по Хевисайду, определяемым равенством

и отличаюикмся от шоСражения по Лапласу множителем р.

Свойства преобразования Лапласа

В дальнейшем через f(t), φ(t), … будем обозначать функции-оригиналы, а через F(p), Ф(р), … — их изображения по Лапласу,

Из определения изображения следует, что если f(t) = 9 ∀t, то F(p) = 0.

Теорема единственности:

Если две непрерывные функции f(t) и φ{t) имеют одно и тоже изображение F(p), то они тождественно равны.

Теорема:

Линейность преобразования Лапласа. Если f{t) и φ{t) — функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных а и β

Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение:

— показатели роста функций f(t) и φ(t) соответственно).

На основании этого свойства получаем

т. е. (3)

Аналогично находим, что
(4)

и, далее,
(5) (6)

Теорема подобия:

Если f(t) — функция-оригинал и F(p) — ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > 0

Полагая at = т, имеем

Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем

Теорема:

О дифференцировании оригинала. Пусть f(t) является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть — также функции-оригиналы, — показатель роста функции (k = 0, 1,…, п). Тогда

Здесь под fk(0) (k = 0,1,… , п — 1) понимается правое предельное значение .

Пусть f(t) = F(p). Найдем изображение f'(t). Имеем

Интегрируя по частям, получаем

Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при t → + ∞, т. к. при Re р = s > имеем

подстановка t = 0 дает -f(0).

Второе слагаемое справа в (10) равно pF(p). Таким образом, соотношение (10) принимаетвид

и формула (8) доказана. В частности, если f(0) = 0, то f'(t) = pF(p). Для отыскания изображения запишем

откуда, интегрируя п раз по частям, получим

Пример:

Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin²t.

Пусть f(t) = F(p). Тогда

Но f(0) = О, а f'(0) = 2 sin t cos t = sin 2t = . Следовательно, = pF(p), откуда F(p) =

Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р.

Формула включения. Если f(t) и f'(t) являются функциями-оригиналами, то (11)

В самом деле, f'(<) = р F(p) — f(0). В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при Rе р = s → + ∞. Значит, [pF(p) — f(0)] = 0, откуда вытекает формула включения (11).

Теорема:

О дифференцировании изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (—t) оригинала,

Так как функция F(p) в полуплоскости Rep = s > so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем

Последнее как раз и означает, что

Пример:

Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции .

Как известно, 1 = 1/p. Здесь f(t) = 1, F(p) = 1/p. Отсюда (1/p)’= (-t) • 1, или = t. Вновь применяя теорему 6, найдем

Теорема:

Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р: если f(t) = F(p), то

Положим

Нетрудно проверить, что если f(t) есть функция-оригинал, то и φ(t) будет функцией-оригиналом, причем φ(0) = 0. Пусть φ(t) = Ф(р). В силу (14)

С другой стороны, f(t) =’ F(p), откуда F(p) = рФ(р), т.е. Ф(р) =.

Последнее равносильно доказываемому соотношению (13).

Пример:

Найти изображение функции

В данном случае f(t) = cos t, так что F(p) = . Поэтому

Теорема:

Интегрирование изображения. Если f(t) = F(p) и интеграл сходится, то он служит изображением функции

Действительно,

Предполагая, что путь интегрирования (р, ∞) лежит в полуплоскости Re p ≥ а> so, мы можем изменить порядок интегрирования (t > 0):

Последнее равенство означает, что является изображением функции .

Пример:

Найти изображение функции .

Как известно, sin t = .

Поэтому

Теорема запаздывания:

Если f{t) = F(p), то для любого положительного τ («запаздывания»)

Так как

Положим ξ = t- τ. Тогда dt = d ξ. При t = τ получаем ξ = 0, при t = + ∞ имеем ξ = + ∞.

Поэтому соотношение (16) принимает вид

Пример:

Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис. 5).

Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде:

Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию f1(t) = η(t) для t ≥ 0 (рис. 6 а) и вычтем из нее функцию

Разность f(t) — h(t) будет равна единице для t ∈ [0,1) и -1 для t ≥ 1 (рис. 6 b). К полученной разности прибавим функцию

В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что

Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем

Теорема смещения:

Если f{t) = F(p) для любого комплексного числа ро

В самом деле,

Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию , например,

так что

Свертка функций. Теорема умножения

Пусть функции f(t) и φ(t) определены и непрерывны для всех t. Сверткой (f *φ)(t) этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством

(если этот интеграл существует).

Для функций-оригиналов f(t) и φ(t) операция свертки всегда выполнима, причем
(17)

В самом деле, произведение функций-оригиналов f( τ ) φ(t — τ), как функция от τ, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка 0 ≤ τ ≤ t). Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу (17).

Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна,

Теорема умножения:

Если f(t) = F(p), <p(t) =’Ф(р), то свертка (f * φ)(t) имеет изображение F(p) • Ф(р),

или

Нетрудно проверить, что свертка (f * φ)(t) функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста s* = mах{s1, s2}, где s1, s2 ~ показатели роста функций f(t) и φ(t) соответственно. Найдем изображение свертки,

Воспользовавшись тем, что

Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (при Re р = s > s* такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим

Таким образом, из (18) и (19) находим

— умножению изображений отвечает свертывание оригиналов,

Пример:

Найти изображение функции

Функция ψ(t) есть свертка функций f(y) = t и φ(t) = sin t. В силу теоремы умножения

Задача:

Пусть функция f(t), периодическая с периодом Т, есть функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F[p) дается формулой

Отыскание оригинала по изображению

Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию f(t). изображением которой является F(p).

Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.

Теорема:

Если аналитическая в полуплоскости Rep = s > so функция F(p)

1) стремится к нулю при |р| —» + ∞ в любой полуплоскости Re р = а > So равномерно относительно arg р;

2) интеграл

сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t).

Задача:

Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.

Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений

Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) — дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.

Пример:

Найти оригинал для

Запишем функцию F(p) в виде:

Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем

Пример:

Найти оригинал для функции

Запишем F(p) в виде

Отсюда f(t) = t — sin t.

Использование теоремы обращения и следствий из нее

Теорема обращения:

Если функция f(t) есть функция-оригинал с показателем роста so и F{p) — ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение

где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = s > So и понимается в смысле главного значения, т. е. как

Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) — кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке [0, а] функция-оригинал-с показателем роста so. Рассмотрим функцию φ(t) = , где s>so — любое.

Функция φ(t) удовлетворяет условиям применимости интегральной формулы Фурье, и, следовательно, справедлива формула обращения преобразования Фурье,

(φ(t) ≡ 0 при t < 0). Подставляя в (3) выражение φ(t) = f(t), найдем

где F{p) — преобразование Лапласа функции f(t) при р = s + iξ. Формулу (2) можно переписать в виде

откуда получаем формулу обращения преобразования Лапласа

Как следствие из теоремы обращения получаем теорему единственности.

Теорема:

Две непрерывные функции f(t) и φ(t), имеющие одно и то же изображение F(p), тождественны.
Непосредственное вычисление интеграла обращения (1) обычно затруднительно. Отыскание оригинала по изображению упрощается при некоторых дополнительных ограничениях на F(p).

Теорема:

Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция с полюсами р1, p2….pп. Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) η(t), где

Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция, F(p) = , где А(р), В(р) — многочлены относительно р (взаимно простые), причем степень числителя А(р) меньше степени знаменателя В(р), т. к. для всякого изображения должно выполняться предельное соотношение

Пусть корни знаменателя В(р), являющиеся полюсами изображения F(p), суть р1, р2, …, рп, а их кратности равны r1, r2, …, rп соответственно.

Если число s, фигурирующее в формуле (1), взять большим всех Re pk (k = 1,2,…, п), то по формуле обращения, которая в этих условиях применима, получим

Рассмотрим замкнутый контур ГR (рис.7), состоящий из дуги CR окружности радиуса R с центром в начале координат и стягивающей ее хорды АВ (отрезка прямой Re р = s), и проходимый в положительном направлении, причем радиус R настолько велик, что все полюсы F(p) лежат внутри ГR.

По теореме Коши о вычетах при любом R, удовлетворяющем указанному условию, будем иметь

Второе слагаемое слева в равенстве (5) стремится к нулю при R → ∞. Это следует из леммы Жордана, если в ней заменить р на iz и учесть, что F(p) → 0 при Re p → + ∞. Переходя в равенстве (5) к пределу при R → ∞, мы получим слева

а справа — сумму вычетов по всем полюсам функции F(p)

Замечание:

Воспользовавшись формулой для вычисления вычетов, найдем, что

Если все полюсы p1, р2,…, рn — простые, то

и формула (6) принимает вид

Пример:

Найти оригинал для функции

Функция F(p) имеет простые полюсы р1 = i. p2 = -i. Пользуясь формулой (7), находим

Теорема:

Пусть изображение F(p) является аналитической функцией в бесконечно удаленной точке р = ∞, причем ее разложение в окрестности |р| > R бесконечно удаленной точки имеет вид

Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) η{t), где

Пример:

Приложения преобразования Лапласа (операционного исчисления)

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(1)

(ао, а1, а2 — действительные числа) и требуется найти решение уравнения (1) для t > 0, удовлетворяющее начальным условиям

Будем считать, что f(t) есть функция-оригинал. Тогда x(t) — также функция-оригинал. Пусть

f(t) = F(p), x(t) = X(p).

По теореме о дифференцировании оригинала имеем

Перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям. Имеем

Это уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно изображения Х(р) искомой функции. Его называют операторным уравнением. Решая его, найдем операторное решение задачи (1)-(2) —

Оригинал для Х(р) будет искомым решением х(t) задачи (1)-(2).

Общий случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами от случая п = 2 принципиально ничем не отличается.

Приведем общую схему решения задачи Коши

Здесь означает применение к 1 преобразование Лапласа, — применение к III обратного преобразования Лапласа.

Пример:

Решить задачу Коши

Здесь

Операторное уравнение

Откуда

По теореме о дифференцировании изображения

Поэтому

Формула Дюамеля

В приложениях операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений часто пользуются следствием из теоремы умножения, известным под названием формулы Дюамеля.

Пусть f(t) и φt) — функции-оригиналы, причем функция f(t) непрерывна на [0, + ∞), a φ(t) — непрерывно дифференцируема на [0,+ ∞). Тогда если f(t) = F(p), φ{t) = Ф(р),то по теореме умножения получаем, что

Нетрудно проверить, что функция ψ(t) непрерывно дифференцируема на [0, + ∞), причем

Отсюда, в силу правила дифференцирования оригиналов, учитывая, что ψ(0) = 0, получаем формулу Дюамеля
(4)

Покажем применение этой формулы.

Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами

при нулевых начальных условиях

(последнее ограничение несущественно: задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями заменой искомой функции).

Если известно решение x(t) дифференциального уравнения с той же левой частью и правой частью, равной единице,

L[x(t)] = l (7)

при нулевых начальных условиях

то формула Дюамеля (4) позволяет сразу получить решение исходной задачи (5)-(6).

В самом деле, операторные уравнения, отвечающие задачам (5)-(6) и (7)-(8), имеют соответственно вид

где F(p) — изображение функции f(t). Из (9) и (10) легко находи

Отсюда по формуле Дюамеля

или, поскольку x1(0) = 0, (11)

Пример:

Решить задачу Коши

Рассмотрим вспомогательную задачу

Применяя операционный метод, находим

По формуле (11) получаем решение x(t) исходной задачи:

Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Интегрирование систем осуществляется так же, как и решение одного линейного дифференциального уравнения — путем перехода от системы дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений. Решая последнюю как систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, получаем операторное решение системы. Оригинал для негобудетрешением исходной системы дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти решение линейной системы

удовлетворяющее начальным условиям х(0) = у(0) = I.

Пусть х(<) = Х(р), y(t) = Y(p). Пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа и теоремой о дифференцировании оригиналов, сводим исходную задачу Коши к операторной системе

Решая последнюю относительно Х(р) и У(р), получаем

Решение исходной задачи Коши

Решение интегральных уравнений

Напомним, что интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь уравнение вида (12)

называемое линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром K(t — т), зависящим от разности аргументов (уравнение типа свертки). Здесь φ(t) — искомая функция, f(t) и K(t) — заданные функции.

Пусть f(t) и K(t) есть функции-оригиналы, f(t) =’ F(p), K(t) =’ K(p).

Применяя к обеим частям (12) преобразование Лапласа и, пользуясь теоремой умножения, получим
(13)

где Ф(р) = φ(t). Из (13)

Оригинал для Ф(р) будет решением интегрального уравнения (12).

Пример:

Решить интегральное уравнение

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14), получим

откуда

Функция является решением уравнения (14) (подстановка в уравнение (14) обращает последнее в тождество по t).

Замечание:

Преобразование Лапласа может быть использовано также при решении некоторых задач для уравнений математической физики.

Таблица преобразования Лапласа

Дополнение к преобразованию Лапласа

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в
некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^{-pt}dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

$$f(t)=frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^{-3tau}dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

$$F(p)=frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$

Задача 6. Найти оригинал изображения

$$F(p)=frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

$$F^*(p)=frac{1}{e^{4p}-625}.$$

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x’+x=4e^t, x(0)=2.$$

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

$$x”+2x’+2x=te^{-t}, quad x(0)=0, x'(0)=0.$$

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$$x’=x-y,\
y’=x+y,\
x(0)=2, y(0)=1.$$

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

$$x”’+x”-2x’-5x=5e^t, quad x(0)=0, x'(0)=1, x”(0)=2.$$

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

$$frac{dx}{dt}=x-2y,\
frac{dy}{dt}=x+3y,\
x(0)=0, y(0)=1. $$

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

$$x”’+x’=tg t, quad x(0)=x'(0)=x”(0)=0.$$

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

$$
x’=-y+z,\
y’=z, quad x(0)=1, \
z’=-x+z;\
y(0)=z(0)=1/2.
$$

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Дополнительная информация

• Онлайн-помощь по математическому анализу
• Дифференциальные уравнения – задачи с решениями
• Как решать ДУ с помощью операционного исчисления