Как найти свободные переменные в системе уравнений

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

В теме “Теорема Кронекера-Капелли” было указано, что если ранг расширеной матрицы системы $widetilde{A}$ и ранг матрицы системы $A$ равны между собой, то заданная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, т.е. имеет решение. Вопрос о количестве этих решений разрешим с помощью следствия из теоремы Кронекера. Согласно ему, если $rang A=rangwidetilde{A} = n$ ($n$ – количество неизвестных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $rang A=rangwidetilde{A} < n$, то количество решений заданной СЛАУ бесконечно.

Особый интерес представляет именно случай $rang A=rangwidetilde{A} < n$, которым и займёмся в этой теме. Так как $rang A=rangwidetilde{A}$, то обозначим эти ранги просто буквой $r$, т.е. $rang A=rangwidetilde{A}=r$. Итак, $r < n$ и система неопределена, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Что означает фраза “ранг матрицы равен $r$”? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.

Если коэффициенты при $r$ переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор матрицы системы $A$, то эти $r$ переменных называют базисными или основными. Остальные $n-r$ переменных именуют свободными или неосновными.

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.

Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde{A}$.

Пример №1

Решить СЛАУ $
left { begin{aligned}
& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=9\
& -x_1+2x_2+x_3+x_4=-11;\
& x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5.
end{aligned} right.$. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
3 & -6 & 9 & 13 & 9 \
-1 & 2 & 1 & 1 & -11 \
1 & -2 & 2 & 3 & 5 end{array} right) rightarrow
left|begin{aligned}
& text{поменяем местами первую и третью}\
& text{строки, чтобы первым элементом}\
& text{первой строки стала единица.}
end{aligned}right| rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
-1 & 2 & 1 & 1 & -11 \
3 & -6 & 9 & 13 & 9
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+r_1\ r_3-3r_1 end{array} rightarrow

left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 3 & 4 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\r_3-r_2end{array} rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde{A} = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на “ступеньках”. Что это за “ступеньки” показано на рисунке:

На “ступеньках” стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Примечание. показатьскрыть

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)$ от нулевой строки:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6
end{array}right)
$$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$
left( begin{array} {cc|ccc}
1 & 2 & 5 & 2 & -3\
0 & 3 & -6 & 0 & -4
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ 1/3cdot{r_2} end{array} rightarrow
left( begin{array} {cc|ccc}
1 & 2 & 5 & 2 & -3\
0 & 1 & -2 & 0 & -4/3
end{array}right)
begin{array} {l} r_1-2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow \

rightarrow left(begin{array} {cc|ccc}
1 & 0 & 9 & 2 & -1/3\
0 & 1 & -2 & 0 & -4/3
end{array}right).
$$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-2-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.
$$

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=9;\
& x_2=0;\
& x_3=-2;\
& x_4=0.
end{aligned}right.
$$

Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{2}{3};\
& x_2=-4;\
& x_3=-frac{10}{3};\
& x_4=1.
end{aligned}right.$. Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-2-frac{4}{3}x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$
3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(9+2x_2-frac{1}{3}x_4right)-6x_2+9cdot left(-2-frac{4}{3}x_4right)+13x_4=9.
$$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-2-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.$, базисное решение: $
left{begin{aligned}
& x_1=9;\
& x_2=0;\
& x_3=-2;\
& x_4=0.
end{aligned}right.$.

Пример №2

Решить СЛАУ

$$left{begin{aligned}
& x_1-2x_2+4x_3+2x_5=0;\
& 4x_1-11x_2+21x_3-2x_4+3x_5=-1; \
& -3x_1+5x_2-13x_3-4x_4+x_5=-2.
end{aligned}right.$$

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Похожий пример уже был решен в теме “метод Крамера” (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.

$$
left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
4 & -11 & 21 & -2 & 3 & -1\
-3 & 5 & -13 & -4 & 1 & -2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \r_2-4r_1\r_3+3r_1end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2
end{array} right) rightarrow \

rightarrow left|begin{aligned}
& text{поменяем местами вторую и третью}\
& text{строки, чтобы диагональным элементом}\
& text{второй строки стало число (-1).}
end{aligned}right|rightarrow

left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\
0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\r_3-3r_1end{array} rightarrow \

rightarrow left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\
0 & 0 & 8 & 10 & -26 & 5
end{array} right).
$$

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $rang A=rangwidetilde{A} = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод “ступенек”, что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

$$
left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\
0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\
0 & 0 & 8 & 5 & -10 & 26
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\1/8cdot{r_3}end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\
0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l}r_1-4r_3 \r_2+r_3\ phantom{0}end{array} rightarrow \

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\
0 & -1 & 0 & -11/8 & 11/4 & -15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2}\ phantom{0}end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\
0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l}r_1+2r_2 \ phantom{0}\ phantom{0}end{array} rightarrow\

rightarrowleft( begin{array} {ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1/4 & -1/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
$$

Из последней матрицы имеем общее решение заданной СЛАУ: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4}-frac{1}{2}x_4-frac{15}{2}x_5;\
& x_2=frac{11}{8}-frac{11}{4}x_4+frac{15}{4}x_5;\
& x_3=frac{5}{8}-frac{5}{4}x_4+frac{13}{4}x_5;\
& x_4 in R;\
& x_5 in R.
end{aligned}right.$. Базисное решение получим, если приравняем свободные переменные к нулю, т.е. $x_4=0$, $x_5=0$:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4};\
& x_2=frac{11}{8};\
& x_3=frac{5}{8};\
& x_4=0;\
& x_5=0.
end{aligned}right.
$$

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4}-frac{1}{2}x_4-frac{15}{2}x_5;\
& x_2=frac{11}{8}-frac{11}{4}x_4+frac{15}{4}x_5;\
& x_3=frac{5}{8}-frac{5}{4}x_4+frac{13}{4}x_5;\
& x_4 in R;\
& x_5 in R.
end{aligned}right.$, базисное решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4};\
& x_2=frac{11}{8};\
& x_3=frac{5}{8};\
& x_4=0;\
& x_5=0.
end{aligned}right.$.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

Что означает фраза “ранг матрицы равен $r$”? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.

Решить СЛАУ $ left < begin& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=9\ & -x_1+2x_2+x_3+x_4=-11;\ & x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5. end right.$. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$ left( begin 3 & -6 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 2 & 1 & 1 & -11 \ 1 & -2 & 2 & 3 & 5 end right) rightarrow left|begin & text<поменяем местами первую и третью>\ & text<строки, чтобы первым элементом>\ & text <первой строки стала единица.>endright| rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ -1 & 2 & 1 & 1 & -11 \ 3 & -6 & 9 & 13 & 9 end right) begin phantom <0>\ II+I\ III-3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright) begin phantom <0>\ phantom<0>\ III-IIend rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright) $$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на “ступеньках”. Что это за “ступеньки” показано на рисунке:

На “ступеньках” стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $left( begin 3 & -6 & 9 & 13 \ -1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 2 & 3 end right)$, так и в преобразованной матрице системы, т.е. в $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 endright)$. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

$$ M_<2>^<(1)>=left| begin 1 & -2 \ 0 & 0 endright|=1cdot 0-(-2)cdot 0=0. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №3 и №4:

$$ M_<2>^<(2)>=left| begin 2 & 3\ 3 & 4 endright|=2cdot 4-3cdot 3=-1. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_3$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.

Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_^$.

В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright)$ от нулевой строки:

$$ left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright) $$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright)$. Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению $x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5$, а вторая строка соответствует уравнению $3x_3+4x_4=-6$. Теперь перенесём свободные переменные $x_2$ и $x_4$ в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение $4x_4$ в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится $-4x_4$.

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ left( begin 1 & 2 & 5 & 2 & -3\ 0 & 3 & -6 & 0 & -4 endright) begin phantom <0>\ II:3 end rightarrow left( begin 1 & 2 & 5 & 2 & -3\ 0 & 1 & -2 & 0 & -4/3 endright) begin I-2cdot II \ phantom <0>end rightarrow \ rightarrow left(begin 1 & 0 & 9 & 2 & -1/3\ 0 & 1 & -2 & 0 & -4/3 endright). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:

Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $left <begin& x_1=frac<2><3>;\ & x_2=-4;\ & x_3=-frac<10><3>;\ & x_4=1. endright.$. Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-frac<1><3>x_4$ и $x_3=-2-frac<4><3>x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(9+2x_2-frac<1><3>x_4right)-6x_2+9cdot left(-2-frac<4><3>x_4right)+13x_4=9. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Похожий пример уже был решен в теме “метод Крамера” (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.

$$ left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 4 & -11 & 21 & -2 & 3 & -1\ -3 & 5 & -13 & -4 & 1 & -2 end right) begin phantom <0>\ II-4cdot I\ III+3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2 end right) rightarrow \ rightarrow left|begin & text<поменяем местами вторую и третью>\ & text<строки, чтобы диагональным элементом>\ & text <второй строки стало число (-1).>endright|rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\ 0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1 end right) begin phantom <0>\ phantom<0>\ III-3cdot Iend rightarrow \ rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\ 0 & 0 & 8 & 10 & -26 & 5 end right). $$

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $rang A=rangwidetilde = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод “ступенек”, что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

$$ left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\ 0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\ 0 & 0 & 8 & 5 & -10 & 26 end right) begin phantom <0>\ phantom<0>\ III:8end rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\ 0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin I-4cdot III \ II+III\ phantom<0>end rightarrow \ left( begin 1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\ 0 & -1 & 0 & -11/8 & 11/4 & -15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin phantom <0>\ IIcdot (-1)\ phantom<0>end rightarrow left( begin 1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\ 0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin I+2cdot II \ phantom<0>\ phantom<0>end rightarrow\ rightarrowleft( begin 1 & 0 & 0 & 1/4 & -1/2 & -15/2\ 0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) $$

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.

Решение систем линейных уравнений. Несовместные системы.
Системы с общим решением. Частные решения

Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая:

– Система несовместна (не имеет решений);
– Система совместна и имеет бесконечно много решений.

Примечание: термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц.

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса. На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников.

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же, разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Решить систему линейных уравнений

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.

(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.

(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.

(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).

Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).

Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли.

Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же, как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.

Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!

(2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.

Здесь опять нужно проявить повышенное внимание, а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.

В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы.

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.

Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными, а какие переменные свободными. Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные.

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы.
В данном примере базисными переменными являются и

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные.

Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение?
Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Придавая свободным переменным произвольные значения, можно найти бесконечно много частных решений. Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение:

– частное решение.

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим в общее решение:

– еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.

Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

Получена правая часть исходного уравнения.

В левую часть второго уравнения системы:

Получена правая часть исходного уравнения.

И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Это дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют проверку общего решения.

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание. Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров для закрепления материала

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:

Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Таким образом, общее решение:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трех богатырей , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.

Пусть , тогда – частное решение.
Пусть , тогда – еще одно частное решение.

Ответ: Общее решение: , частные решения: , .

Зря я тут про негров вспомнил. . потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.

Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных. Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

И, конечно, повторюсь в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:
(1) Первую и третью строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –6. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –7.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
В результате элементарных преобразований получена строка вида , где , значит, система несовместна.
Ответ: решений нет.

Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

Для второй ступеньке нет единицы, и преобразование (2) направлено на её получение.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.
(3) Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(5)У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.

Обратный ход.
– базисные переменные (те, которые на ступеньках), – свободные переменные (те, кому не досталось ступеньки).

Выразим базисные переменные через свободные переменные:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение:
Подставим в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение:
Подставим в него найденные выражения: , :

Общее решение:

Найдем два частных решения
Если , то
Если , то

Ответ: Общее решение: , частные решения: , .

Проверка: подставим найденное решение (выражения базисных переменных , и ) в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части, таким образом, общее решение найдено верно.

Пример 6: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку. К четвертой строке прибавляем вторую строку.
(3) Третья и четвертая строки пропорциональны, одну из них удаляем.

– базисные переменные, – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ: Общее решение:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Как определить свободные переменные в системе уравнений

Решение произвольных систем

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

В матричной форме система (1) имеет вид

где А = – матрица коэффициентов системы;

Х = – матрица-столбец переменных;

В = – матрица-столбец свободных членов.

Решением системы (1) называется всякий вектор , координаты которого обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Теорема 1. (теорема Кронекера – Капелли ). Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

.

Теорема 2 . Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.

Пусть ранг матрицы r ( A )= r n . Переменные называются базисными (основными), если определитель матрицы коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Количество базисных переменных равно r . Другие n – r переменных называются свободными ( неосновными ). Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы. Из него можно получить бесконечное множество частных решений, придавая свободным переменным произвольные значения.

Решение системы (1), в котором свободные переменные имеют нулевые значения, называется базисным решением. Число различных базисных решений не превосходит .

Метод последовательного исключения неизвестных

Метод Гаусса – это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Элементарными преобразованиями системы являются:

– умножение уравнения на число, отличное от нуля;

– сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;

– отбрасывание уравнения 0 = 0.

Если при выполнении элементарных преобразований получено уравнение вида 0 = k (где k 0), то система несовместна.

Перейдем теперь к решению систем с различным количеством неизвестных и уравнений. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Если такая система совместна, то при r n она имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть получено из общего решения системы.

Для нахождения общего решения нам необходимо выбрать, какие неизвестные мы будем считать основными (базисными). Это могут быть любые r переменных, коэффициенты при которых составляют определитель, отличный от нуля. Затем выбранные основные переменные нужно выразить через свободные. Для этого с помощью элементарных преобразований необходимо расширенную матрицу системы привести к такому виду, чтобы коэффициенты при базисных переменных образовали так называемые базисные столбцы – столбцы, состоящие из нулей и одной единицы.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению очередной итерации:

1. Выбирают переменную , которая войдет в число базисных , и уравнение, в котором эта переменная останется. Соответствующие столбец и строку таблицы называют ключевыми. Коэффициент , стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника: составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали и полученную разность делят на ключевой элемент.

Переход к другому базису

Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму, начиная с п. 2.

Нахождение опорных решений

Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонент.

Опорные решения системы находят методом Гаусса при выполнении следующих условий.

1. В исходной системе все свободные члены должны быть неотрицательны: .

2. В число базисных может быть введена только та переменная, в столбце коэффициентов при которой есть хотя бы один положительный элемент.

3. Если при переменной, вводимой в базис, имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то переменная вводится в базис в то уравнение, которому соответствует наименьшее в столбце отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.

Замечание 1 . Если в процессе исключения неизвестных появится уравнение, в котором все коэффициенты неположительны , а свободный член , то система не имеет неотрицательных решений.

Замечание 2 . Если в столбцах коэффициентов при свободных переменных нет ни одного положительного элемента, то переход к новому опорному решению невозможен.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathprofi.net/slu_nesovmestnye_sistemy_i_sistemy_s_obshim_resheniem.html

http://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/prakt1/razdpr1_9/teo1_9_4.htm

[/spoiler]

1. Базисные решения системы линейных уравнений

Рассмотрим
систему m
линейных уравнений, содержащую n
переменных

(1)

Эту
систему можно записать короче в виде:

Или
в матричной форме: Ax
= B.

В
задачах линейного программирования
рассматриваются неопределенные системы
уравнений, т.е. имеющие бесконечное
множество решений. Тогда ранг r
матрицы системы ,меньше числа
переменных: rn.
Это означает, что максимальное число
линейно независимых уравнений в (1) равно
r.
Будем считать, что в системе (1) число
линейно независимых уравнений равно
m,
т.е. r
= m.
Из алгебры известно, что в этом случае
найдутся m
переменных, коэффициенты
у которых в системе (1) образуют матрицу
с определителем, отличным от нуля. Такой
определитель называется базисным
минором, а соответствующие переменные
– базисными. Остальные n
– m
переменных называются свободными
переменными. Базисные переменные можно
выразить через свободные переменные с
помощью уравнений системы (1), присвоить
свободным переменным произвольные
значения и найти значения базисных
переменных по формулам Крамера. Получится
одно из решений системы (1).

Определение
1. Решение
системы линейных уравнений (1), полученное
при нулевых значениях свободных
переменных, называется базисным решением.

Базисные переменные,
а поэтому и ненулевые компоненты
базисного решения соответствуют линейно
независимым столбцам матрицы коэффициентов
системы линейных уравнений. Это позволяет
дать другое определение базисного
решения системы линейных уравнений.

Определение
2. Базисным
решением системы линейных уравнений
называется решение этой системы,
ненулевые компоненты которого
соответствуют линейно независимым
столбцам матрицы коэффициентов этой
системы.

В
качестве базисных переменных могут
быть разные группы, содержащие m
переменных из заданных в (1) n
переменных. Максимальное возможное
число способов выбора m
переменных из множества, содержащего
n
переменных, равно числу сочетаний
.
Однако могут встретиться случаи, когда
соответствующий определитель матрицы,
составленной из коэффициентов при
выбранныхm
переменных в системе (1), равен нулю.
Поэтому число групп базисных переменных
не превосходит
.
Для каждой группы базисных переменных
можно найти соответствующее базисное
решение системы (1). Из приведенных выше
рассуждений вытекает теорема:

Теорема.
Число базисных решений неопределенной
системы (1), в которой ранг матрицы системы
r
= m
< n
не превосходит

.

Пример.
Найти все базисные решения системы
уравнений (2):

(2)

Решение.
Очевидно r=m=2,
n=4.
Общее число групп базисных переменных
не более чем
=
6. Однако первый, второй и четвертый
столбцы коэффициентов у переменных в
матрице системы – пропорциональные,
поэтому определители второго порядка,
составленные из коэффициентов любых
двух из этих трех столбцов, равны нулю.
Остаются наборы:,
и .

Для
набора переменных
определитель, составленный из их
коэффициентов d
==
–2
0. Следовательно, эти переменные можно
считать базисными переменными, –
свободными. Присвоим свободным переменным
нулевые значения:
Решаем систему:

(3), откуда .

Получили
первое базисное решение: Б=
(2, 0, 1, 0).

Аналогично
докажем, что наборы переменных
и являются базисными
наборами. Присваивая соответствующим
свободным переменным нулевые значения,
найдем еще два базисных решения системы
(1): Б=
(0, –1, 1, 0) и Б=
(0, 0, 1,).

В
задачах линейного программирования
особый интерес представляют допустимые
(т.е. неотрицательные) базисные решения.
В рассмотренном примере из трех базисных
решений только два ( первое и третье)
являются допустимыми базисными решениями.
Очевидно, число допустимых базисных
решений системы (1) не превосходит
.

Базисное
решение, в котором хотя бы одна базисная
переменная равна нулю, называется
вырожденным. В рассмотренном примере
вырожденных базисных решений нет.

Соседние файлы в папке лекции рогов

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Базисные и свободные переменные:

Пусть задана система

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

1. исключение из системы уравнения вида
2. умножение обеих частей одного из уравнений системы на любое действительное число ;
3. перестановка местами уравнений системы;
4. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число не равное нулю.

Элементарные преобразования преобразуют данную систему уравнений в эквивалентную систему, т.е. в систему, которая имеет те же решения, что и исходная.

Для решения системы т линейных уравнений с т неизвестными удобно применять метод Гаусса, называемый методом последовательного исключения неизвестных, который основан на применении элементарных преобразований системы. Рассмотрим этот метод.

Предположим, что в системе (6.1.1). Если это не так, то переставим уравнения системы так, чтобы .

На первом шаге метода Гаусса исключим неизвестное из всех уравнений системы (6.1.1), начиная со второго. Для этого последовательно умножим первое уравнение системы на множители

и вычтем последовательно преобразованные уравнения из второго, третьего, …, последнего уравнения системы (6.1.1). В результате получим эквивалентную систему:

(6.1.2)

в которой коэффициенты вычислены по формулам:

На втором шаге метода Гаусса исключим неизвестное из всех уравнений системы (6.1.2) начиная с третьего, предполагая, что (в противном случае, переставим уравнения системы (6.1.2)

чтобы это условие было выполнено). Для исключения неизвестного последовательно умножим второе уравнение системы (6.1.2) на множетели и вычтем последовательно преобразованные уравнения из третьего, четвёртого, последнего,…,уравнения системы (6.1.2). В результате получим эквивалентную систему:

в которой коэффициенты вычислены по формулам:

Продолжая аналогичные преобразования, систему (6.1.1) можно привести к одному из видов:

или

Совокупность элементарных преобразований, приводящих систему (6.1.1) к виду (6.1.4) или (6.1.5) называется прямым ходом метода Гаусса.

Отметим, что если на каком-то шаге прямого хода метода Гаусса получим уравнение вида:

, то это означает, что система (6.1.1) несовместна.

Итак, предположим, что в результате прямого хода метода Гаусса мы получили систему (6.1.4), которая называется системой треугольного вида. Тогда из последнего уравнения находим значение подставляем найденное значение в предпоследнее уравнение системы (6.1.4) и находим значение ; и т.д. двигаясь снизу вверх в системе (6.1.4) находим единственные значения неизвестных которые и определяют единственное решение системы (6.1.1). Построение решения системы (6.1.4) называют обратным ходом метода Гаусса.

Если же в результате прямого хода метода Гаусса мы получим систему (6.1.5), которая называется системой ступенчатого вида, то из последнего уравнения этой системы находим значение неизвсстного которое выражается через неизвестные . Найденное выражение подставляем в предпоследнее уравнение системы (6.1.5) и выражаем неизвестное через неизвестные и т.д. Двигаясь снизу вверх в системе (6.1.5) находим выражения неизвестных через неизвестные При этом неизвестные называются базисными неизвестными, а неизвестные – свободными. Так как свободным неизвестным можно придавать любые значения и получать соответствующие значения базисных неизвестных, то система (6.1.5), а, следовательно, и система (6.1.1) в этом случае имеет бесконечное множество решений. Полученные выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные называются общим решением системы уравнений (6.1.1).

Таким образом, если система (6.1.1) путём элементарных преобразований приводится к треугольному виду (6.1.4), то она имеет единственное решение, если же она приводится к системе ступенчатого вида (6.1.5), то она имеет бесконечное множество решений. При этом неизвестные , начинающие уравнения ступенчатой системы, называются базисными, а остальные неизвестные – свободными.

Практически удобнее преобразовывать не саму систему уравнений (6.1.1), а расширенную матрицу системы, соединяя последовательно получающиеся матрицы знаком эквивалентности.

Формализовать метод Гаусса можно при помощи следующего алгоритма.

Алгоритм решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

1. Составьте расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений так, чтобы было не равно нулю:

2. Выполните первый шаг метода Гаусса: в первом столбце начиная со второй строки, запишите нули, а все другие элементы вычислите по формуле

Матрица после первого шага примет вид

3. Выполните второй шаг метода Гаусса, предполагая, что : во втором столбце начиная с третьей строки, запишите нули, а все другие элементы вычислите по формуле

После второго шага матрица примет вид

4. Продолжая аналогичные преобразования, придёте к одному из двух случаев:

а) либо в ходе преобразований получим уравнение вида

тогда данная система несовместна;

б) либо придём к матрице вида:

где . Возможное уменьшение числа строк

связано с тем, что в процессе преобразований матрицы исключаются строки, состоящие из нулей.

5. Использовав конечную матрицу, составьте систему, при этом возможны два случая:

5.1. r=n:

Система имеет единственное,решение , которое находим из системы обратным ходом метода Гаусса. Из последнего уравнения находите . Из предпоследнего уравнения находите затем из третьего от конца – и т.д., двигаясь снизу вверх, найдём все неизвестные .

5.2. :

Тогда r неизвестных будут базисными, а остальные (n-r) – свободными. Из последнего уравнения выражаете неизвестное через . Из предпоследнего уравнения находите и т.д.

Система имеет в этом случае бесконечное множество решений.

Приведенный алгоритм можно несколько видоизменить и получить алгоритм полного исключения, состоящий в выполнении следующих шагов. На первом шаге:

1. составляется расширенная матрица;
2. выбирается разрешающий элемент расширенной матрицы (если , строки матрицы можно переставить так, чтобы выполнялось условие );
3. элементы разрешающей строки (строки, содержащей разрешающий элемент) оставляем без изменения; элементы разрешающего столбца (столбца, содержащего разрешающий элемент), кроме разрешающего элемента, заменяем нулями;
4. все другие элементы вычисляем по правилу прямоугольника: преобразуемый элемент равен разности произведений элементов главной диагонали (главную диагональ образует разрешающий элемент и преобразуемый) и побочной диагонали (побочную диагональ образуют элементы, стоящие в разрешающей строке и разрешающем столбце): – разрешающий элемент (см. схему).

Последующие шаги выполняем по правилам:

1) выбирается разрешающий элемент (диагональный элемент матрицы);

2) элементы разрешающей строки оставляем без изменения;

3) все элементы разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента, заменяем нулями; • •

4) все другие элементы матрицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

На последнем шаге делим элементы строк на диагональные элементы матрицы, записанные слева от вертикальной черты, и получаем решение системы.

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы, и применим алгоритм полного исключения, обозначая разрешающий элемент символом

Из последней матрицы находим следующее решение системы

уравнении:

Ответ:

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы, и применим алгоритм полного исключения, обозначая разрешающий элемент символом

Система привелась к ступенчатому виду (трапециевидной форме):

в которой неизвестные – базисные, а – свободные. Из второго уравнения системы (6.1.6) находим выражение через . Из первого уравнений найдём выражение через и . Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение системы имеет вид:

в котором принимают любые значения из множества действительных чисел.

Если в общем решении положить , то получим решение , которое называется частным решением заданной системы.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений, общее решение которой записывается в виде:

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы, и применим алгоритм полного исключения, обозначая разрешающий элемент символом В последней матрице мы получили четвёртую строку, которая равносильна уравнению . Это означает, что заданная система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Замечание 1. Если дана система уравнений (6.1.1), в которой число уравнений m равно числу неизвестных n (m=n) и определитель этой системы не равен нулю , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: , где определитель получен из определи-теля заменой j-ro столбца столбцом свободных членов.

Если же такую систему (m-n) записать в матричной форме AX=F, то её решение можно найти по формуле и оно является единственным.

Замечание 2. Используя метод Гаусса, тем самым и алгоритм полного исключения, можно находить обратную матрицу. Для этого составляется расширенная матрица, в которой слева от вертикальной черты записана матрица А, а справа – единичная матрица. Реализовав алгоритм полного исключения, справа от вертикальной черты получаем обратную матрицу, а слева – единичную.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы:

Решение:

Так как

то обратная матрица существует. Составим расширенную мат-рицу и применим алгоритм полного исключения:

тогда

Покажем, что

ответ

Исследование совместности и определённости системы. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему (6.1.1) m линейных уравнений с n неизвестными при любых m и n (случай m=n не исключается). Вопрос о совместности системы решается следующим критерием.

Теорема 6.2.1. (критерий Кронкера-Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений(6.1.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А системы был равен рангу расширенной матрицы .

Доказательство и Необходимость:

Предположим, что система (6.1.1) совместна и – какое-либо её решение (возможно единственное). По определению решения системы получаем:

Из этих равенств следует, что последний столбец матрицы есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами , то есть система вектор-столбцов матрицы линейно зависима (свойство 3 п.2.5) и значит последний столбец матрицы не изменяет ранга матрицы А, т.е.

.

Достаточность. Пусть . Рассмотрим r базисных

столбцов матрицы А, которые одновременно будут базисными столбцами и матрицы . В этом случае последний столбец матрицы можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, то есть

где – коэффициенты линейных комбинаций. А это означает, что – решение системы (6.1.1), следовательно,

эта система совместна.

Совместная система линейных уравнений (6.1.1) может быть либо определенной, либо неопределенной.

Следующая теорема даст критерий определенности.

Теорема 6.2.2. Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А системы равен числу п ее неизвестных.

Таким образом, если число уравнений m системы (6.1.1) меньше числа ее неизвестных n и система совместна, то ранг матрицы системы . Значит система неопределенная.

В случае по теореме 6.2.2 получаем, что система имеет единственное решение. Так как , то определитель и квадратная матрица А имеет обратную x матрицу и её решение можно найти по формуле: , где Х- столбец неизвестных, F— столбец свободных членов, или по формулам Крамера.

Следует отметить, что, решая систему (6.1.1) методом Гаусса, мы определяем и совместность, и определённость системы.

Пример:

Исследовать на совместность и определённость следующую систему линейных уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу заданной системы. Определяя её ранг, находим тем самым и ранг матрицы системы. Для нахождения ранга матрицы применим алгоритм метода Гаусса.

Из последней матрицы следует, что ранг расширенной матрицы не может быть больше ранга матрицы А системы. Так как

, то заданная система совместная и неопределённая.

• Заказать решение задач по высшей математике

Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений (6.1.1) называется однородной, если все свободные члены равны нулю, то есть система имеет следующий вид:

Эта система всегда совместна, так как очевидно, что она имеет нулевое решение

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Этот факт устанавливается следующей теоремой.

Теорема 6.3.1. Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г матрицы А системы был меньше числа неизвестных n (rn). 

Доказательство. Необходимость. Пусть система (6.3.1) имеет ненулевое решение. Тогда она неопределённая, т.к. имеет еще и нулевое решение. В силу теоремы 6.2.2 ранг матрицы неопределённой системы не может равняться n потому что при r(А)=n система определённая. Следовательно, и так как он не может быль больше n то .

Достаточность. Если , то в силу теоремы 6.2.2 система (6.3.1) имеет бесчисленное множество решений. А так как только одно решение является нулевым, то все остальные решения ненулевые.

Следствие 1. Если число неизвестных в однородной системе больше числа уравнений, то однородная система имеет ненулевые решения.

Доказательство. Действительно, ранг матрицы системы (6.3.1) не может превышать m. Но так как по условию, то и . Следовательно, в силу теоремы 6.3.1 система имеет ненулевые решения.

Следствие 2. Для того, чтобы однородная система с квадрат-ной матрицей имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему с квадратной матрицей:

(6.3.2)

Если определитель матрицы системы , то ранг матрицы , тогда в силу теоремы 6.3.1 система (6.3.2) имеет ненулевое решение, так как условие является необходимым и достаточным условием для существования ненулевого решения. Заметим, что если определитель матрицы системы (6.3.2) не равен нулю, то в силу теоремы 6.3.1 она имеет только нулевое решение.

Пример:

Решить систему однородных линейных уравнений:

Решение:

Составим матицу системы и применим алгоритм полного исключения:

Из последней матрицы следует, что и система имеет бесчисленное множество решений.

Используя последнюю матрицу, последовательно находим общее решение:

Неизвестные – базисные, – свободная неизвестная, .

Фундаментальная система решений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Рассмотрим систему однородных линейных уравнений

(6.4.1)

Любое решение

системы m линейных однородных уравнений с n неизвестными можно рассматривать как вектор-строку или как вектор-столбец . Поэтому имеют смысл такие понятия, как сумма двух решений, произведение решения на число, линейная комбинация решений, линейная зависимость или независимость системы решений. Непосредственной подстановкой в систему (6.4.1) можно показать, что:

1) сумма двух решений также является решением системы, т.е.

если – решения системы

(6.4.1), то и – решение системы (6.4.1);

2) произведение решенийна любое число есть решение системы, т.е. – решение системы.

Из приведенных свойств следует, что

3) линейная комбинация решений системы (6.4.1) является решением этой системы.

В частности, если однородная система (6.4.1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то из него умножением на произвольные числа, можно получить бесконечное множество решений.

Определение 6.4.1. Фундаментальной системой решений для системы однородных линейных уравнений (6.4.1) называется линейно независимая система решений, через которую линейно выражается любое решение системы (6.4.1).

Заметим, что если ранг матрицы системы (6.4.1) равен числу неизвестных n (r(А)=n), то эта система не имеет фундаментальной системы решений, так как единственным решением будет нулевое решение, составляющее линейно зависимую систему. Существование и число фундаментальных решений определяется следующей теоремой.

Теорема 6.4.1. Если ранг матрицы однородной системы уравнений (6.4.1) меньше числа неизвестных (r(А)n), то система (6.4.1) имеет бесконечное множество фундаментальных систем решений, причём каждая из них состоит из n-r решений и любые n-r линейно независимые решения составляют фундаментальную систему.

Сформулируем алгоритм построения фундаментальной системы решений:

1. Выбираем любой определитель порядка n-r, отличный от нуля, в частности, определитель порядка n-r, у которого элементы главной диагонали равны единице, а остальные – нули.
2. Свободным неизвестным придаём поочерёдно значения, равные элементам первой, второй и т.д. строк определителя, и каждый раз из общего решения находим соответствующие значения базисных неизвестных.
3. Из полученных n-r решений составляют фундаментальную систему решений.

Меняя произвольно определитель , можно получать всевозможные фундаментальные системы решений.

Пример:

Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений:

Решение:

Составим матрицу системы и применим алгоритм полного исключения.

Для последней матрицы составляем систему:

,

, из которой находим общее решение:

в котором — базисные неизвестные, а – свободные неизвестные.

Построим фундаментальную систему решений. Для этого выбираем определитель и свободным неизвестным придаём поочерёдно значения, равные элементам первой, а затем второй строк, т.е. положим вначале и получим из общего решения ; затем полагаем , из общего решения находим: .

Таким образом, построенные два решения (1; -1; 1; 0) и (-6; 4; 0; 1) составляют фундаментальную систему решений.

Если ранг матрицы системы однородных линейных уравнений (6.4.1) на единицу меньше числа неизвестных: то , и значит, фундаментальная система состоит из одного решения. Следовательно, любое ненулевое решение образует фундаментальную систему. В этом случае любые два решения различаются между собой лишь числовыми множителями.

Рассмотрим теперь неоднородную систему m линейных уравнений с n неизвестными (6.1.1). Если в системе (6.1.1) положить , то полученная однородная система называется приведенной для системы (6.1.1).

Решения системы (6.1.1) и её приведенной системы удовлетворяют свойствам:

1. Сумма и разность любого решения системы (6.1.1) и любого решения её приведенной системы является решением неоднородной системы.
2. Все решения неоднородной системы можно получить, прибавляя к одному (любому) её решению поочерёдно все решения её приведенной системы.

Из этих свойств следует теорема.

Теорема 6.4.2. Общее решение неоднородной системы (6.1.1.) определяется суммой любого частного решения этой системы и общего решения её приведенной системы.

Пример:

Найти общее решение системы:

Решение:

Составим расширенную матрицу (A|F) заданной системы и применим алгоритм полного исключения:

,

Преобразованной матрице соответствует система уравнений:

из которой находим общее решение системы:

, где — базисные неизвестные, а – свободные неизвестные.

Покажем, что это общее решение определяется суммой любого частного решения заданной системы и общего решения приведенной системы.

Подставляя вместо свободных неизвестных в общее решение системы нули, получаем частное решение исходной системы: .

Очевидно, что общее решение приведенной системы имеет вид:

Суммируя частное решение заданной системы и общее решение приведенной системы, получим общее решение (6.4.2) исходной системы.

Отметим, что общее решение системы (6.1.1) можно представить в векторном виде:

где – • некоторое решение (вектор-строка) системы (6.1.1);

– фундаментальная система решений системы (6.4.1);

– любые действительные числа.

Формула (6.4.4) называется общим решением системы (6.1.1) в векторной форме.

Запишем общее решение системы примера 6.4.1 в векторной форме. Для этого определим фундаментальную систему решений приведенной системы. Возьмём определитель и придадим поочерёдно свободным неизвестным значения, равные элементам строк. Пусть тогда из общего решения (6.4.3) приведенной системы находим ; если же , то . Следовательно, фундаментальную систему решений образуют решения: и . Тогда общее решение заданной системы в векторной форме имеет вид: , где – частное решение заданной системы; .

Определение метода Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример:

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу данной системы и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

Из последнего уравнения находим Подставляя это значение во второе уравнение, имеем Далее из первого уравнения получим

Вычисление метода Гаусса

Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема:

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относят:

1. перестановку двух параллельных рядов;
2. умножение какого-нибудь ряда на число, отличное от нуля;
3. прибавление к какому-либо ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число.

Путем элементарных преобразований исходную матрицу можно привести к трапециевидной форме

где все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда ранг полученной матрицы равен рангу исходной матрицы и равен k.

Пример:

Найти ранг матрицы

1) методом окаймляющих миноров;

2 ) методом Гаусса.

Указать один из базисных миноров.

Решение:

1. Найдем ранг матрицы методом окаймляющих миноров. Выберем минор второго порядка, отличный от нуля. Например,

Существуют два минора третьего порядка, окаймляющих минор

Т.к. миноры третьего порядка равны нулю, ранг матрицы равен двум. Базисным минором является, например, минор

2. Найдем ранг матрицы методом Гаусса. Производя последовательно элементарные преобразования, получим:

1. переставили первую и третью строки;
2. первую строку умножили на 2 и прибавили ко второй, первую строку умножили на 8 и прибавили к третьей;
3. вторую строку умножили на -3 и прибавили к третьей.

Последняя матрица имеет трапециевидную форму и ее ранг равен двум. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единственное решение;
• бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
• ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Свойства ранга матрицы:

1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
6. при умножении все элементов строки/столбца на число k не равно нулю ранг матрицы не изменяется;
7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r(А)≤min (m; n) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r(A)=0 .

Ранг матрицы А1 вычислен на основании свойства определителя, который содержит строки с пропорциональными элементами, поскольку любой минор второго или третьего порядка матрицы А1 равняется нулю.
Ранги матриц В1, А2 вычислены при помощи вычеркивания нулевых строк, поскольку в матрице А2 минор отличается от нуля на пересечении 2-х первых строк и 2-х первых столбцов.
Матрица А3 — невырожденная, поскольку ее ранг равняется 3. (Можно проверить условие ∆=А3 не равно нулю).

Теперь вычислим ранг матрицы В2 при помощи элементарных преобразований:

• элементы 1-ой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки;
• элементы 1-ой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам 3-ей строки;
• элементы 1-ой строки умножим на (-5) и прибавим к соответствующим элементам 4-ой строки:

В2=11312143125054136 (-2)(-1)(-5)+++⇒11310-1-21012-10-1-21⇒

3-ю строку прибавим ко 2-ой и 4-ой строкам:

⇒11310000012-10000⇒1131012-1

Таким образом, число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы:

М(2)=1101=10 не равно нулю⇒r(B2)=2

ч.т.д.

Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

Теорема Кронеккера-Капелли — теорема, которая доказывает: чтобы СЛАУ была совместной, необходимым и достаточным условием является равенство ранга r матрицы рангу расширенной матрицы.
Для совместных СЛАУ справедливой считается следующая теорема.

Пусть ранг матрицы, которая составлена из коэффициентов СЛАУ, равен рангу расширенной матрицы. В таком случае, если r=n (где n — число неизвестных системы), то система имеет единственное решение, если r<n, то система имеет бесконечное множество решений.
Если система определена, то для ее решения подходят методы Крамера, Гаусса и матричный метод.
Если система не определена, то некоторым (n-r) неизвестным (свободным) можно давать произвольные значения, а r неизвестных (базисных) определяются через свободные единственным способом.
При этом базисными становятся те, чей определитель, который составлен из коэффициентов при них и отличен от нуля. Выражения главных переменных, которые получены через свободные, объявляются решением системы.

Решаем систему методом Гаусса: преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида:

x1-3×2+4×3-x4=116×2-22×3+8×4=2; ∆=1-3016=16 не равно нулю.

Главные переменные — x1 и x2. Свободные переменные — неизвестные x3 и x4. Записываем систему уравнений в виде:

x1-3×2=1-4×3+x48x2=1+11×3-4×4

С помощью обратного хода находим:

x=118x-12x+18.

Из 1-го уравнения:

x1=3×2-4×3+x4+1=338×3-32×4+38-4×3+x4+1=18×3-12×4+118

Ответ: система неопределенная.