Обрати внимание!
Графиком функции
y=kx+m
является прямая.
Свойства функции
y=kx+m
2) возрастает при (k > 0), убывает при (k < 0);
3) сверху и снизу не ограничена;
4)не имеет наибольшего и наименьшего значений;
5) непрерывная;
Обрати внимание!
График функции
y=kx2,k≠0
— парабола, имеющая вершину в начале координат, у которой ветви направлены вверх при (k > 0) или вниз при (k < 0).
Свойства функции
y=kx2,k≠0
Если (k > 0):
2) убывает на промежутке
−∞;0
, возрастает на промежутке
0;+∞
;
3) ограничена снизу;
5) функция непрерывна;
7) выпукла вниз.
Свойства функции
y=kx2,k≠0
Если (k < 0):
2) возрастает на промежутке
−∞;0
, убывает на промежутке
0;+∞
;
3) ограничена сверху;
5) функция непрерывна;
7) выпукла вверх.
Обрати внимание!
Графиком функции является гипербола.
Свойства функции
y=kx
2) если (k>0), то функция убывает на промежутке
(−∞;0)
и на промежутке
(0;+∞)
; если (k<0), то функция возрастает на промежутках
(−∞;0)
и
(0;+∞)
;
3) не ограничена;
4) нет наибольшего и наименьшего значений;
5) функция непрерывна на промежутках
(−∞;0)
и
(0;+∞)
;
Обрати внимание!
График функции
y=x
симметричен положительной ветви параболы относительно прямой (y=x).
Свойства функции
y=x
2) возрастает;
3) ограниченная снизу;
5) функция непрерывная;
7) выпукла вверх.
Обрати внимание!
График функции — две полупрямые:
y=x,x≥0
и
y=−x,x≤0
.
Свойства функции
y=x
2) убывает на промежутке
−∞;0
, возрастает на промежутке
0;+∞
;
Обрати внимание!
Графиком функции
y=ax2+bx+c
является парабола с вершиной в точке
x0;y0
, где
x0=−b2a,y0=fx0=ax02+bx0+c
, и с ветвями, направленными вверх, если (a > 0), и вниз, если (a < 0).
Свойства функции
y=ax2+bx+c
Для случая (a > 0):
2) убывает на луче
−∞;−b2a
, возрастает на луче
−b2a;+∞
;
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)
yнаим=y0
, наибольшего не существует;
5) функция непрерывна;
7) выпукла вниз.
Для случая (a < 0):
2) возрастает на луче
−∞;−b2a
, убывает на луче
−b2a;+∞
;
3) не ограничена снизу, ограничена сверху;
4) наименьшего значения не существует,
yнаиб=y0
;
На
прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились
находить область определения и область значений функции.
Свойства
функций:
·
нули
функции;
·
промежутки
знакопостоянства функции;
·
промежутки
монотонности функции.
Нули
функции
Определение:
Нулями
функции называют такие значения аргумента, при которых
функция равна нулю.
В
данном случае функция задана графически и мы
определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по
формуле, с помощью которой задана функция.
Решив
уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.
Стоит
обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.
График
не пересекает ось икс ни в одной точке.
Промежутки
знакопостоянства функции
Определение:
Промежутки
знакопостоянства функции
– это такие промежутки из области определения, на которых данная функция
принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.
Функция
принимает положительные значения:
И
отрицательные значения:
Запишите
промежутки знакопостоянства функции:
Положительные
и отрицательные значения функции:
Промежутки
монотонности функции
Определение:
Функция
называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Определение:
Функция
называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Определение:
Промежутками
монотонности называют такие промежутки из области
определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Опишем
свойства функции:
Графиком
является прямая, поэтому для построения достаточно
двух точек:
Найдём
значения функции:
Областью
определения и областью значений будет множество всех действительных чисел. Ведь
х и у могут быть любыми числами.
Найдём
нули функции:
Запишем
промежутки знакопостоянства:
Запишем
промежутки монотонности:
Данная страница справочника представляет собой виртуальную шпаргалку по математике для учеников и методическое справочное пособие для репетиторов. Тема «свойства функций», адаптированное для разных уровней учащихся 8-9класов. В нем перечислены определения основных понятий и свойств, виды функций, термины и обозначения, принятые в математике. Репетитору по математике показаны образцы рисунков, которые должны остаться в теради ученика. Информация изложена как на строгом и формальном математическом языке (для среднего и сильного ученика), так на простом (бытовом) уровне, доступном для понимания широкому кругу посетителей сайта. Каждый такой перевод с математического языка на русский отмечен одним из следующих указателей: «пояснение репетитора по математике», «редакция репетитора по математике» или «уточнение репетитора по математике». В этих — переводах вы встретите несколько моих собственных уникальных дополнений и комментариев к классическим фомулировкам, которые я использую на занятиях со слабым учеником.
Определение функции: функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие f (x) при котором числу x из множества X сопоставляется некоторое единственное число из множества Y.
Редакция репетитора по математике: функцией называется закон или правило, по которому можно найти число y (значение какой-нибудь величины), если известно число x (значение какой-нибудь другой величины).
При этом букву x называют независимой переменной (или аргументом), а букву y — зависимой переменной. Число, которое подставляется вместо x, называется значением переменной (или значением аргумента), а число y, которому оно соответствует, называется значением функции.
График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Пояснение репетитора по математике Графиком функции называется линия на координатной плоскости, каждая точка которой имеет следующие координаты: первая (абсцисса) — это значение аргумента x , а вторая (ордината) — найденное для этого икса значение функции y.
Свойства функции:
1) Что такое область определения функции? Область определения функции (О.О.Ф) — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.
Редакция репетитора по математике: область определения — множество значений переменной x, у которых можно найти y.
Обозначения области определения Для обозначения области определения используются следующие знаки: 
Как найти область определения по графику? Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.
2) Что такое область значений функции? Областью значений функции (О.З.Ф) называется множество всех ее значений.
Редакция репетитора по математике:областью значений функции можно назвать часть оси ОY, состоящую из игреков, у которых есть соответствующие им иксы.
Как найти область значений по графику?: область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.
3) Возрастание и убывание функции.
Какая функция называется возрастающей?Функция 
называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов 
и 
из неравенства 
следует неравенство 
.
Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если, большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для графика это будет означать то, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет подниматься вверх.
Какая функция называется убывающей? Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство 
Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y<0).
Как найти все такие промежутки по графику? Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси Ох.
Как их найти без графика? Составьте и решите неравенство f (x)<0
Оформление: 
, если 
5) Нули функции:Число a называется нулем функции, если соответствующее ему значение функции равно нулю, то есть f (a)=0.
Редакция репетитора по математике: нулями функции называются такие числа х, у которых соответствующие игреки равны нулю.
Как найти нули функции без графика? Составьте и решите уравнение f (x)=0, то есть приравняйте аналитическое выражение функции (правую часть ее записи) к нулю.
Как найти по графику? Определите абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.
Оформление: 
, если 
7) Четность и нечетность функции.
а) Четность. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого 
верно равенство 
.
Редакция репетитора по математике:функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.
Как определить четность функции по графику?График четной функции должен быть симметричен оси Оу.
Пояснения репетитора по математике: симметрия графика означает то, что он состоит из двух частей, одна из которых является зеркальным отражением другой.
8) Нечетность. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого верно равенство 
.
Редакция репетитора по математике:функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.
Как определить нечетность функции по графику?График нечетной функции должен быть симметричен началу координат, Пояснения репетитора по математике: симметрия означает то, что если какая-то точка лежит на графике, то и симметричная ей точка (с противоположными координатами) тоже должна лежать на графике.
9) Наименьшее и наибольшее значение функции.
Число a называется наименьшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента 
из этого промежутка верно неравенство 
.
Число a называется наибольшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство 
.
Материалы для подготовки к ГИА по математике, 9 класс.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, профессиональный репетитор и методист. Москва, Строгино.
Метки:
Справочник репетитора
На прошлых уроках мы изучили понятия функция, график функции, область определения и область значений функции.
По графику функции можно определять и другие свойства функции. Рассмотрим их.
Нули функции.
Не трудно догадаться что мы будем рассматривать при каких значениях икс функция обращается в нуль. То есть, нулями функции называют значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.
Рассмотрим на примере.
На экране изображен график функции. Он пересекает ось абсцисс в четырех точках. Найдем координаты этих точек. Первая точка имеет координаты минус два нуль, вторая – один нуль, третья – четыре нуль и четвертая – семь нуль. То есть у всех этих точек ордината равна нулю, а абсциссы имеют разные значения.
Можем записать, что наша функция равна нулю при икс равном минус двум, икс равном одному, икс равном четырем и икс равном семи. То есть, нулями нашей функции являются числа минус два, один, четыре и семь.
Также нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.
Найдем нули функции, заданной формулой.
Для этого составим соответствующее уравнение игрек равен нулю. Решив его, мы найдем значения икс, при которых функция равна нулю, то есть нули функции. Получаем икс равен нулю или двум. Нулями данной функции являются числа нуль и два.
Любая ли функция будет иметь нули?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим функцию игрек равен икс в квадрате плюс два. Квадрат любого числа есть число неотрицательное. Прибавляя к неотрицательному числу два, получим число положительное. Значит, график этой функции не пересекает ось абсцисс ни в одной точке.
Таким образом, не любая функция имеет нули функции.
Вернемся к первому примеру. По графику видно, что аргумент икс принимает значения от минус пяти до восьми. Значит областью определения функции является промежуток от минус пяти до восьми.
Нули функции разбивают область определения функции на несколько промежутков. Определите, какой знак имеют значения функции на каждом из промежутков.
На промежутках от минус пяти до минус двух, от одного до четырех и от семи до восьми график функции расположен выше оси абсцисс, значит, функция принимает на этих промежутках положительные значения. Запишем это следующим образом: игрек принимает положительные значения при икс, принадлежащем объединению промежутков от минус пяти до минус двух, от одного до четырех и от семи до восьми, включая минус пять и восемь. На промежутках от минус двух до одного и от четырех до семи график функции расположен ниже оси абсцисс, следовательно, функция на этих промежутках принимает отрицательные значения. Запишем это так: игрек принимает отрицательные значения при икс, принадлежащем объединению промежутков от минус двух до одного и от четырех до семи.
Таким образом, промежутки в которых функция принимает значения только одного знака, называют промежутками знакопостоянства функции.
Выясним теперь, как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) значения данной функции с изменением икс от минус пяти до восьми.
На графике видно, что с возрастанием икс от минус пяти до нуля и от двух целых пяти десятых до пяти значения игрек уменьшаются. А с возрастанием икс от нуля до двух целых пяти десятых и от пяти до восьми значения игрек увеличиваются.
Говорят, что в промежутках от минус пяти до нуля и от двух целых пяти десятых до пяти функция является убывающей, а на промежутках от нуля до двух целых пяти десятых и от пяти до восьми – возрастающей.
Запишем определения.
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Другими словами, функцию игрек равен эф от икс называют возрастающей, если для любых икс один и икс два из этого промежутка, таких что икс два больше икс один, выполняется неравенство эф от икс два больше чем эф от икс один. Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Другими словами, функцию игрек равен эф от икс называют убывающей, если для любых икс один и икс два из этого промежутка, таких что икс два больше икс один, выполняется неравенство эф от икс два меньше чем эф от икс один.
Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция
На рисунке изображен график функции игрек равен эф от икс, где икс принимает значения из промежутка от минус семи до пяти, включая минус семь и пять. Укажите промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых она убывает.
Таким образом, сегодня мы рассмотрели следующие свойства функций: нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции. Давайте ещё раз вспомним эти понятия.
Нули функции это значения аргумента, при которых функция обращается в нуль. Промежутки знакопостоянства функции это промежутки из области определения, на которых функция сохраняет знак (либо положительна, либо отрицательна). Промежутки монотонности функции это такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Опишите свойства функции игрек равен минус два икс плюс три. Удобнее определять свойства функции по графику. Поэтому построим график заданной функции.
Нам дана линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек. Определим их. Значение функции при икс равном нулю равно трем. При икс равном двум значений функции равно минус одному. Проведем прямую через эти точки.
Опишем свойства заданной функции. Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Областью значений функции также является множество всех действительных чисел. Найдем нули функции. При определении их по графику мы можем получить неточные значения. Поэтому найдем их по формуле, задающей данную функцию. Находим нули функции из линейного уравнения. Решив его, получаем значение икс, равное одной целой пяти десятым. То есть функция равна нулю при икс равном одной целой пяти десятым.
Запишем промежутки знакопостоянства. Функция принимает положительные значения на промежутке от минус бесконечности до одной целой пяти десятых, не включая концы. И отрицательные значения на промежутке от одной целой пяти десятых до плюс бесконечности, не включая концы.
Что касается промежутков монотонности функции, то по графику видно, что функция убывает на всей области определения. Так и запишем.
Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.
На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.
Остановимся подробнее на свойствах функций.
Нули функции
Определение
Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.
На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Внимание!
Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.
График функции у=k/x выглядит следующим образом:
По данному рисунку видно, что нулей функции не существует.
Как найти нули функции?
- Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
- Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.
Рассмотрим примеры нахождения нулей функции.
Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):
а) у= –11х +22
б) у= (х + 76)(х – 95)
в) у= – 46/х
а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22
Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11
Получим х=2.
Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2
б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.
в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.
Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.
Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.
Промежутки знакопостоянства
Определение
Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.
Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.
На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.
Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.
Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).
Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.
Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.
Возрастание и убывание функции
Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.
На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.
Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.
Определение
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Даниил Романович | Просмотров: 16.1k
