В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.
- Определение прямоугольника
-
Свойства прямоугольника
- Свойство 1
-
Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Признаки прямоугольника
- Формулы
Определение прямоугольника
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).
∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°
Прямоугольник состоит из:
- длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
- ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.
Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.
Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.
Свойства прямоугольника
Свойство 1
Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.
- AD = BC = a, AD || BC
- AB = CD = b, AB || CD
Свойство 2
Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.
- a – это высота h1, проведенная к стороне b
- b – это высота h2, проведенная к стороне a
Свойство 3
Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.
Свойство 4
Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.
d2 = a2 + b2
Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.
Свойство 5
Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.
- AC = BD = d
- AE = EC = BE = ED
Свойство 6
Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.
Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:
- Его диагонали равны.
- Все его углы равны.
- Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.
Формулы
1. Площадь прямоугольника (S):
S = a ⋅ b
2. Периметр прямоугольника (P):
P = a + a + b + b = 2a + 2b
26
Июл 2013
Категория: Справочные материалы
Прямоугольник
2013-07-26
2013-09-22
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Частным случаем прямоугольника является квадрат.
Свойства прямоугольника
1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
Помимо этого:
2. Стороны прямоугольника являются его высотами.
3. Диагонали прямоугольника равны.
4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки параллелограмма
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.
3. Все углы параллелограмма равны.
Площадь прямоугольника
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Автор: egeMax |
Нет комментариев
Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника
Определение.
Прямоугольник – это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.
Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника – квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d2 – b2
b = √d2 – a2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a2 + b2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
| d = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| a | b |
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
| d = | √P2 – 4Pa + 8a2 | = | √P2 – 4Pb + 8b2 |
| 2 | 2 |
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a2 | = | 2S + 2b2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d2 – a2) = 2(b + √d2 – b2)
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R2 – a2) = 2(b + √4R2 – b2)
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √Do2 – a2) = 2(b + √Do2 – b2)
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
| S = | Pa – 2a2 | = | Pb – 2b2 |
| 2 | 2 |
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√d2 – a2 = b√d2 – b2
4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√4R2 – a2 = b√4R2 – b2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√Do2 – a2 = b√Do2 – b2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
| R = | √P2 – 4Pa + 8a2 | = | √P2 – 4Pb + 8b2 |
| 4 | 4 |
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
| R = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| 2a | 2b |
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Угол между стороной и диагональю прямоугольника
Формулы определения угла между стороной и диагональю
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
Угол между диагоналями прямоугольника
Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника
1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник (понятие, определение)
Видеоурок “Прямоугольник“
Свойства прямоугольника
Признаки прямоугольника
Формулы прямоугольника
Прямоугольник (понятие, определение):
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.
Рис. 1. Прямоугольник
В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.
@ https://youtu.be/_EVDcbOydAI
Свойства прямоугольника:
1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.
Рис. 2. Прямоугольник
AB || CD, BC || AD
2. Противоположные стороны прямоугольника равны.
Рис. 3. Прямоугольник
AB = CD, BC = AD
3. Стороны прямоугольника являются его высотами.
4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.
Рис. 4. Прямоугольник
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.
Рис. 5. Прямоугольник
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника равны.
Рис. 6. Прямоугольник
AC = BD
7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.
Рис. 7. Прямоугольник
△ABD = △BCD, △ABC = △ACD
8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).
Рис. 8. Прямоугольник
AC2 = AD2+ CD2
9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
Рис. 9. Прямоугольник
AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2
10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
Рис. 10. Прямоугольник
АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника
11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.
12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.
Рис. 11. Квадрат
AВ = ВC = AD = CD
Признаки прямоугольника:
– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;
– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;
– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
Формулы прямоугольника:
Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.
Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):
,
,
,
.
Формула диагонали прямоугольника:
,
d = 2R.
Формулы периметра прямоугольника:
P = 2a + 2b,
P = 2(a + b).
Формулы площади прямоугольника:
S = a · b.
Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:
.
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Видео https://youtu.be/_EVDcbOydAI
Коэффициент востребованности
5 376
Свойства прямоугольника
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 1027.
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 1027.
Прямоугольник уникален своей простотой. На основе этой фигуры ученики начинают познавать основы геометрии. Поэтому в старших классах теряются, не зная основных свойств и признаков прямоугольника, напрасно считая эту фигуру излишне простой.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Прямоугольник
Определение прямоугольника известно с начальной школы: это параллелограмм, у которого все углы равны 90 градусам. Возникает вопрос: что же такое параллелограмм?
Несмотря на заковыристое название, эта фигура столь же проста, как и прямоугольник. Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны.
В определении обязательно выделять слово выпуклый. Поскольку выпуклые и невыпуклые четырехугольники четко разделяются в геометрии. Причем невыпуклые фигуры вообще не изучаются в школьном курсе математики, так как они куда более непредсказуемы в своих свойствах.
Прямоугольник это частный случай параллелограмма. При этом существуют и другие частные случаи параллелограмма, например, ромб; и еще один особенный частный случай прямоугольника – квадрат. Поэтому перед тем, как доказывать, что фигура является прямоугольником, нужно доказать, что она является параллелограммом.
Свойства прямоугольника
Свойства прямоугольника можно разбить на две группу: свойства параллелограмма и свойства прямоугольника.
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
- Противоположные углы равны.
Свойства прямоугольника:
- Все углы равны 90 градусам, что вытекает из определения фигуры.
- Диагональ прямоугольника разбивает фигуру на два малых равных прямоугольных треугольника. Это свойство легко доказать. Треугольники будут прямоугольными, так как включают в себя по одному углу в 90 градусов. При этом диагональ будет являться общей стороной, а катеты окажутся равными, так как противоположные стороны параллелограмма попарно равны и параллельны.
- Диагонали прямоугольника равны.
Признаки прямоугольника
У прямоугольника всего три основных признака:
- По углу. Если один из углов параллелограмма равен 90 градусам, то параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника равны 90 градусам, то такой четырехугольник является прямоугольником. Обратите внимание, что в этом случае нет необходимости доказывать, что перед нами параллелограмм. Достаточно знать значения углов четырехугольника.
- По диагоналям: если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.
Обращайте внимание на то, к какой фигуре применяется признак, это имеет значение при доказательстве.
В чем разница признака и свойства? Признак это отличие по которому можно выделить фигуру среди других. Как имя у человека. Вы видите знакомого, вспоминаете его имя и сразу знаете, что от него ожидать. А вот ожидания от человека это уже свойства. Свойства можно применять только после того, как вы доказали, что перед вами та или иная фигура. А для этого доказательства нам и необходимы признаки.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое параллелограмм. Поговорили о частных случаях параллелограмма, в том числе и о самом распространенном – прямоугольнике. Выделили свойства и признаки прямоугольника. Обратили внимание на то, что часть признаков действительно для любого четырехугольника, а часть только для параллелограмма.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Иван Иваов
10/10
-
Степан Платонов
10/10
-
Наталья Карасёва
8/10
-
Артур Володкевич
10/10
-
Ялю Ялю
7/10
-
Andrey Gerasimov
10/10
Оценка статьи
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 1027.
А какая ваша оценка?
