Как найти связь между уравнениями

Содержание:

Понятие о корреляции:

Марксистская философия учит, что каждое явление природы и общества не возникает само по себе, отдельно от других, а находится в связи с другими явлениями, причем каждое из них представляет собой единство составляющих его частей и свойств. Для того чтобы познать какое-либо явление, необходимо изучить его не только во всех сложных взаимоотношениях с окружающими явлениями-факторами, но также во взаимосвязи всех его сторон.

Если всеобщая связь и взаимозависимость явлений составляют один из наиболее общих законов, то основной задачей науки является изучение этой взаимосвязи.

В математической статистике взаимосвязь явлений изучается методом корреляции. Термин корреляция происходит от английского слова correlation — соотношение, соответствие. Особенность изучения связи явлений методом корреляции состоит в том, что нельзя изолировать влияние посторонних факторов либо потому, что эти факторы неизвестны, либо потому, что их изоляция невозможна. Поэтому метод корреляции применяется для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить, какова была бы зависимость между результатом фактором, если бы посторонние факторы не изменялись и своим изменением не искажали основную зависимость. При этом небольшое число наблюдений не дает возможности обнаружить закономерность связи.

Первая задача корреляции заключается в выявлении на основе наблюдения над большим количеством фактов того, как изменяется в среднем результативный признак в связи с изменением данного фактора. Это изменение предполагает условие неизменности ряда других факторов, хотя искажающее влияние этих других факторов на самом деле имеет место. Вторая задача заключается в определении степени влияния искажающих факторов.   

Первая задача решается нахождением уравнения связи.

Вторая задача решается при помощи различных показателей тесноты связи.

Такими показателями являются меры тесноты связи, найденные разными исследователями, а также коэффициент корреляции и корреляционное отношение.   

Результативный и факториальный признаки

При изучении влияния одних признаков явлений на другие из цепи признаков, характеризующих данное явление, выделяются два признака — факториальный и результативный. Необходимо установить, какой из признаков является факториальным и какой результативным. В этом помогает прежде всего логический анализ.

Пример. Себестоимость промышленной продукции отдельного предприятия зависит от многих факторов, в том числе от объема продукции на данном предприятии. Себестоимость продукции выступает в этом случае как результативный признак, а объем продукции — как факториальный.

Другой пример. Чтобы судить о преимуществах крупных предприятий перед мелкими, рассмотрим, как увеличивается производительность труда рабочих крупных предприятий, и выявим зависимость производительности труда от увеличения размеров предприятия.

Таблица!
 

Группировка магазинов Министерства торговли по числу рабочих мест на 1 января 1960 г.1
 

Группы магазинов по числу рабочих мест    Число  магазинов    Товарооборот в расчете на одного работника за квартал (в тыс. руб.)
 

Всего         68 375    117
 

Из них        
 

с числом рабочих мест:        

• с 1    19 893    109
• с 2    18 030    108
• с 3—4    16 508    108
• с 5—7    8 321    111
• с 8—10    2 868    118
• с 11 — 15    1 559    122
• с 16 и более    1 196    139
• J        

Группировка показывает прямую зависимость производительности труда торговых работников, выражающуюся в товарообороте, приходящегося на одного работника, от размера магазина. Признак группировки — число рабочих мест — является факториальным, товарооборот — результативным признаком.

От размеров производства зависит также производительность оборудования, о чем свидетельствует следующая таблица:

Из таблицы ясно видна связь между размерами печей и их производительностью. Эта связь прямая: чем крупнее печь, тем она производительнее.

Однако зависимость результативного признака (суточного съема стали) от факториального носит не обязательный характер. Если в общей массе мы наблюдаем эту связь, то в отдельных группах бывают и отступления от общей закономерности. Такие отступления—характерная особенность статистической связи вообще, о которой будет рассказано ниже.

Группировки позволяют выявить и зависимость нескольких результативных признаков от одного факториального. Рассмотрим табл. 3.

В этой таблице мы видим зависимость двух результативных признаков: товарооборота на одного работника и товарных запасов—от размеров магазинов. Зависимость товарооборота от размеров магазина прямая, а зависимость товарных остатков от размеров магазина — обратная. В первом случае она растет с ростом размеров магазина, во втором уменьшается. Однако то и другое благоприятно.

Графическое изображение связи

Графическое изображение изучаемых явлений позволяет не только установить наличие или отсутствие связи между ними, но и изучить характер этой связи, иначе говоря изучить форму связи и ее тесноту.

Имея перед собой числовые характеристики факториального и результативного признаков одного и того же явления, можно каждую пару чисел изобразить в виде точки на плоскости. Для этого на плоскости берем две взаимно перпендикулярные линии и образуем систему координат. В этой системе по оси абсцисс откладываем значения факториального признака, а по оси ординат— значения результативного признака. Каждая пара чисел дает при этом точку на плоскости координатного поля.

Возьмем, например, группировку магазинов по числу рабочих мест, данную на стр. 239, и будем откладывать число рабочих мест по горизонтальной оси (оси Ох), а товарооборот в расчете на одного работника — по вертикальной оси (оси Оу). Будем иметь ряд точек, соединив которые получим ломаную линию, которая называется ломаной регрессии (см. график 1).

Как видно из графика, с ростом числа рабочих мест в магазине растет и товарооборот, приходящийся на одного работника, что говорит о связи между этими признаками, причем связи прямой. График подчеркивает эту зависимость ходом ломаной линии из нижнего угла в верхний правый угол.

Такого же рода зависимость будем наблюдать на графике 2, изучая связь между величиной мартеновских печей по площади пода и среднесуточным съемом стали с 1 пода. Как и в предыдущем примере, факториальный признак — величину площади пода — будем откладывать на оси абсцисс, а результативный — среднесуточный съем стали с 1 пода — на оси ординат.

Здесь также ясно выраженная прямая зависимость между результативным и факториальным признаками.

По-другому будет выглядеть график зависимости товарных запасов от размера товарооборота магазина.

Здесь мы наблюдаем ярко выраженную обратную связь между признаками: падение товарных запасов сопровождается ростом размера магазина по товарообороту.

Графический метод наглядно иллюстрирует зависимость, выявленную группировкой. Недостаток графического метода изучения связи заключается в том, что он позволяет выявить связь лишь между двумя признаками.

Функциональные и статистические связи

До сих пор говорилось о связях между явлениями и их признаками без объяснения формы и степени этих связей. В приведенных примерах связи носят логически обоснованный характер, но числовое выражение этих связей говорит о том, что они проявляются не всегда одинаково. В определенных случаях имеются отступления от наблюдаемых общих закономерностей. В приведенной на стр. 240 таблице о среднесуточном съеме стали с 1 пода печи наблюдается зависимость съема стали от размера печи по площади пода, но эта зависимость за 1955 г. искажена показателями 5-й группы, где съем стали значительно ниже, чем в 4-й группе. Если бы рассматривалась при этом каждая печь в отдельности, то это несоответствие установленному правилу зависимости проявлялось бы неоднократно. Но средние величины съема стали, вычисленные на основании данных довольно большого числа печей в группе, говорят о явно выраженной зависимости. Связи между явлениями, или их признаками. проявляющиеся в изменении в зависимости от одного признака характеристик распределения (из которых главная — средняя) другого признака, называются связями статистическими.

Статистические связи характеризуются тем, что в них результативный признак не полностью определяется влиянием признака факториального. Это влияние проявляется лишь в среднем, а в отдельных случаях получаются результаты, даже противоречащие установленной связи.

В отличие от статистических связей связи функциональные характеризуются тем, что при таких связях факториальный признак полностью определяет величину результативного признака.

Функциональные связи почти не встречаются в явлениях общественной жизни, отличающихся сложностью и многообразием существующих и проявляющихся взаимосвязей. Но во многих явлениях в основе статистических связей лежат функциональные связи. Связь функциональная может показывать зависимость между результативным признаком и несколькими аргументами. Так, площадь прямоугольника зависит от длины его двух сторон, путь, проходимый телом, зависит от скорости его движения и времени движения и т. д.

Уравнение связи

Наблюдая статистическую связь между двумя признаками, математическая статистика стремится придать этой связи форму функциональной, т. е. связи, выражаемой при помощи математической функции.

На помощь приходит ее графическое изображение при отыскании нужной функции связи. При этом необходимо стремиться найти такую функцию, которая давала бы наименьшее отклонение от полученных при наблюдении значений их признаков, которая выражала бы основную зависимость, проявляющуюся в эмпирическом материале. Уравнение этой функции будет уравнением связи между результативным и факториальным признаками.

Уравнение связи находится с помощью способа наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений от значений, получаемых на основании уравнения связи, была минимальной.

Применение способа наименьших квадратов позволяет находить параметры уравнения связи при помощи решения системы так называемых нормальных уравнений, различных для связи каждого вида.

Чтобы отметить, что зависимость между двумя признаками выражается в среднем, значения результативного признака, найденные по уравнению связи, обозначаются

Зная уравнение связи, можно вычислить заранее среднее значение результативного признака, когда значение факториального признака известно. Таким образом, уравнение связи является методом обобщения наблюдаемых статистических связей, методом их изучения.

Применение той или иной функции в качестве уравнения связи разграничивает связи по их форме: линейную связь и криволинейную связь (параболическую, гиперболическую и др.).

Рассмотрим уравнения связи для зависимостей от одного признака при разных формах связи (линейной, криволинейной параболической, гиперболической) и для множественной связи.

Линейная зависимость

Уравнение связи как уравнение прямой применяется в случае равномерного нарастания результативного признака с увеличением признака факториального. Такая зависимость будет зависимостью линейной (прямолинейной).

Параметры уравнения прямой линии находятся путем решения системы нормальных уравнений, получаемых по способу наименьших квадратов:

где n — число полученных при наблюдении пар взаимосвязанных величин; — сумма значений факториального признака;

— сумма квадратов значений факториального признака;

— сумма значений результативного признака; — сумма произведений значений факториального признака на значения результативного признака.

Примером расчета параметров уравнения и средних значений результативного признака может служить следующая таблица, являющаяся результатом группировки по факториальному признаку и подсчета средних по результативному признаку.

Группировка предприятий по стоимости основных средств и подсчет сумм необходимы для уравнения связи.

Из таблицы находим: 132,0. Строим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Поделив каждый член в обоих уравнениях на коэффициенты при получим:

Вычтем из второго уравнения первое: Подставив значения в первое уравнение найдем

Уравнение связи примет вид: Подставив в это уравнение соответствующие х, получим значения результативного признака, отражающие среднюю зависимость у от х в виде корреляционной зависимости.

Заметим, что суммы, исчисленные по уравнению и фактические, равны между собой. Изображение фактических и вычисленных значений на графике 4 показывает, что уравнение связи отображает наблюденную зависимость в среднем.

Параболическая зависимость

Параболическая зависимость, выражаемая уравнением параболы 2-го порядка имеет место при ускоренном возрастании или убывании результативного признака в сочетании с равномерным возрастанием факториального признака.

Параметры уравнения параболы вычисляются путем решения системы 3 нормальных уравнений:

Возьмем для примера зависимость месячного выпуска продукции (у) от величины стоимости основных средств (х). Оба показателя округлены до миллионов рублей. Расчеты необходимых сумм приведем в таблице 5.

По данным таблицы, составляем систему уравнений:

После деления всех уравнений на коэффициенты при получим:

Вычтя из второго уравнения первое и из третьего второе, получим два новых уравнения с двумя неизвестными:

Полученные уравнения снова разделим на коэффициенты при

Следовательно,

Запишем уравнение параболы, выражающей связь между х и у.

Графическое сопоставление опытных данных и данных расчета (см. график 5) показывает почти полное совпадение хода обеих линий, что говорит о хорошем воспроизведении опытных данных расчетными средними значениями результативного признака.

В практике изучения связи между признаками, кроме параболы 2-го порядка, применяются параболы и более высоких порядков. Чем выше порядок параболы, тем точнее он воспроизводит опытные данные.

Если уравнение связи представляет собой параболу 3-го порядка то система нормальных уравнений примет вид:

Имея соответствующие хну, можем составить Дополнительную расчетную таблицу по следующей схеме:

которая используется для нахождения нужных сумм. Решив систему 4 уравнений, найдем параметры и, следовательно, уравнение связи.

Уравнение гиперболы

Обратная связь указывает на убывание результативного признака при возрастании факториального. Такова линейная связь при отрицательном значении В ряде других случаев обратная связь может быть выражена уравнением гиперболы

Параметры уравнения гиперболы  находятся из системы нормальных уравнений:

где —  сумма величин, обратных значениям факториального признака, а — сумма их квадратов.

Примером расчета обратной связи по гиперболе может служить следующая таблица:

Составив по данным таблицы систему уравнений и разделив каждый член обоих уравнений на коэффициенты при а, получим:

Находим вычитанием из второго уравнения первого величину

Подставив вместо его значение, получим

Запишем уравнение связи в общем виде затем, подставив каждое значение х в уравнение, находим по любой строке таблицы. Строим ломаную по парам х и у и кривую по х и . Ломаная и кривая очень близки друг к другу.

 

Корреляционная таблица

При большом объеме наблюдений, когда число взаимосвязанных пар велико, парные данные легко могут быть расположены в корреляционной таблице, являющейся наиболее удобной формой представления значительного количества пар чисел.

В корреляционной таблице один признак располагается в строках, а другой — в колонка таблицы. Число, расположенное в клетке на пересечении графы и колонки, показывает, как часто встречается данное значение результативного признака в сочетании с данным значением факториального признака.      

Для простоты расчета возьмем небольшое число наблюдений на 20 предприятиях за средней месячной выработкой продукции на одного рабочего (тыс. руб. — у) и за стоимостью основных производственных средств (млн. руб. — х).

В обычной парной таблице эти сведения располагаются так:

Сведем эти данные в корреляционную таблицу.

Итоги строк у показывают частоту признака итоги граф х — частоту признака Числа, стоящие в клетках корреляционной таблицы, являются частотами, относящимися к обоим признакам и обозначаются

Корреляционная таблица даже при поверхностном знакомстве дает общее представление о прямой и обратной связи. Если частоты расположены по диагонали вниз направо, то связь между признаками прямая (при увеличивающихся значениях признака в строках и графах). Если же частоты расположены по диагонали вверх направо, то связь обратная.   

Для предварительного суждения о связи по корреляционной таблице можно для каждого столбца рассчитать средние значения Так, в первом столбце х = 9,9, а имеет лишь одно значение, равное 0,8. Найдем среднее значение для второго столбца. Оно будет равно:

Следовательно, при  Выпишем все значения х и соответствующие им

Зависимость, выраженная в таблице, более ярко и убедительно выступит в «ломаной регрессии», когда каждую пару чисел нанесем на график (см. график 7).

По корреляционной таблице можно вести расчеты параметров уравнения связи, как уравнения прямой, так и уравнений параболы и гиперболы. При этом необходимо учитывать, что сочетание каждой пары значений может встречаться не один, а несколько раз. Сами значения хну необходимо взвешивать, т. е. умножать на соответствующие частоты. Для самого признака х частота будет обозначаться для признака Частоту сочетаний обозначим

Ввиду сказанного мы можем систему нормальных уравнений написать так, чтобы были учтены веса. Тогда для линейной зависимости система нормальных уравнений примет вид:

где N — число произведенных наблюдений (число пар). В приведенной корреляционной таблице N = 20. будет суммой произведений соответствующих х на их частоты. В данной таблице эта сумма составит:

9,9 +10,0 • 4 +10,1 • 4 + 10,2 • 4 +10,3 • 1 +10,4 • 3 +10,5 • 3 = 204.

—сумма произведений у на соответствующие частоты. В нашем примере она равна:

включает сумму произведений всех х на у и на для тех клеток корреляционной таблицы, в которых записаны частоты. Рассчитаем суммы произведений для 1-й и 2-й строки

• Для 1 -и строки:
• Для 2-й строки:

Нетрудно заметить, что в каждой строке у повторяется столько раз, сколько раз мы его суммируем, а, следовательно, у можно вынести за скобку.

• Для 1-й строки: 0,8 (9,9 • 1 +10,0 • 2) =23,92.
• Для 2-й строки:

Следовательно, сумма произведений  может быть записана при постоянном у, как Заметим, что сумма произведений может быть записана и рассчитана как произведение

Продолжим расчет для последующих строк.

• Для 3-й строки
• Для 4-й строки
• Для 5-й строки
• Для 6-й строки

Общая сумма по всем строкам

Система нормальных уравнений может быть записана по результатам подсчета в таком виде:

Для расчета параметров уравнения линейной связи делим каждое из уравнений на коэффициенты при

Уравнение связи определяет среднюю зависимость выработки рабочего от стоимости основных средств. Вычислительная работа облегчается, если в самой корреляционной таблице путем записи дополнительных граф и строк производить нужные подсчеты для решения системы уравнений.

Число наблюдений N может быть подсчитано и по столбцу как его сумма. Она равна итогу по строке Для определения необходимо ввести новую строку Итог этой строки и дает искомую сумму.

Следующая дополнительная строка представляет возможность определить Далее, и может быть определена на основе расчета двух дополнительных граф:

В корреляционной таблице (см. табл. 8) в последних строках дается расчет  для построения ломаной регрессии — для построения прямой (см. график 7).

Корреляционная таблица позволяет вычислять уравнение связи для любой формы: прямой, параболы, гиперболы и др. Однако в подобной таблице видна зависимость результативного признака лишь от одного факториального.

Зависимость результативного признака от двух или более факториальных признаков носит название множественной связи.

Множественная связь

Исследование зависимости результативного признака от двух или нескольких факториальных признаков возможно при помощи уравнения множественной связи.

В простейшем уравнении множественной связи предполагается, что зависимость между признаками линейная. Сначала рассмотрим линейную зависимость результативного признака (у) от двух факториальных (х, z). Уравнение связи в этом случае выразится формулой Параметры этого уравнения находятся при решении системы нормальных уравнений, получаемых для способа наименьших квадратов

где п — число одновременных наблюдений по трем признакам;

—суммы соответствующих значений по этим признакам.

Все расчеты удобно сосредоточить в специальной таблице, как это делается в приводимом ниже примере.

Рассмотрим зависимость средней урожайности ячменя (у) на равных участках от количества внесенных минеральных удобрений (х) и количества выпавших в период цветения осадков (z).

Средняя урожайность исчислялась по участкам с равным количеством внесенных удобрений и с равным количеством выпавших осадков.

Пользуясь данными таблицы, составляем систему трех уравнений:

Поделив все члены уравнений на коэффициенты при получим:

Вычитая из второго уравнения сначала первое, а затем третье, получим 2 уравнения с двумя неизвестными:

Делим каждый член обоих уравнений на коэффициенты при

Уравнение связи, определяющее зависимость результативного признака (у) от двух факториальных

Вычислив по этому уравнению при соответствующих х и z величины замечаем, что суммы опытных данных (y) и расчетных данных совпадают, а отдельные значения их мало отличаются друг от друга.

Найдем уравнение связи между урожайностью пшеницы на Безенчукской опытной станции и тремя факторами (х, z, v).

Статистические данные, полученные в результате наблюдения, и расчеты представлены в табл. 10, откуда возьмем необходимые данные для составления системы нормальных уравнений:

Следовательно,, корреляционное уравнение будет:

Расширив число факториальных признаков, можно найти уравнение множественной связи для 4, 5, 6 и т. д. признаков. При этом необходимо брать только такие признаки, которые оказывают существенное влияние на величину результативного признака, ибо учет несущественных, второстепенных признаков лишь увеличивает расчетную работу при нахождении уравнения связи, а не приближает к более полному изучению связи.

Если число факториальных признаков возрастает, возрастает и число членов уравнения связи. Так, для трех факториальных признаков линейное уравнение связи будет записано формулой:

где параметры уравнения находятся путем решения системы четырех нормальных уравнений:

Построив соответствующую таблицу, получим в ней необходимые суммарные данные для приведенной системы уравнений (см. табл. 10).

Мерой существенности влияния того или иного факториального признака на результативный являются показатели тесноты связи.

В настоящем издании мы рассмотрим эмпирические меры тесноты связи, полученные разными исследователями, и меры тесноты связи, основанные на измерении вариации.

Эмпирические меры тесноты связи

Эмпирические меры тесноты связи позволяют оценить степень связи между явлениями или факторами, находящимися в зависимости один от другого. Эмпирические меры получены различными исследователями, занимавшимися статистической обработкой фактического материала. Они получены ранее, чем был открыт метод корреляции. Практическое пользование эмпирическими показателями довольно удобно.

К эмпирическим мерам тесноты относятся:

• а)    коэффициент ассоциации:
• б)    коэффициенты взаимной напряженности;
• в)    коэффициент Фехнера;
• Г) коэффициент корреляции рангов;

Рассмотрим каждый из них.

а) Коэффициент ассоциации. Коэффициент ассоциации как мера тесноты связи применяется для изучения связи двух качественных признаков, состоящих только из двух групп. Для его вычисления строится четырехклеточная таблица корреляции, которая выражает связь между двумя явлениями, каждое из которых, в свою очередь, должно быть альтернативным, т. е. состоящим только из двух видов, качественно отличных друг от друга. Например, при изучении зависимости урожая от количества внесенных в почву удобрений выделяем по урожайности и по количеству внесенных удобрений лишь по две группы. При этом условии можно построить следующую четырехклеточную таблицу.

Числа, стоящие на пересечении строк и граф — a,b,c,d, показывают, сколько участков встречается с тем и другим количеством удобрений, внесенным в почву, с той и другой урожайностью.

Мера тесноты связи — коэффициент ассоциации — исчисляется по формуле:

Заполнив клетки конкретными числовыми данными, получим следующую четырехклеточную таблицу, где числа, стоящие в клетках, — гектары посевов.

Коэффициент ассоциации равен:
что говорит о достаточно тесной прямой связи между урожайностью и степенью удобрения почв.

Коэффициент ассоциации может иметь и отрицательные значения, когда ad

б) Коэффициент взаимной сопряженности. Коэффициенты взаимной сопряженности являются мерами тесноты связи для качественных признаков, каждый из которых состоит более чем из двух групп.

Для расчета коэффициентов взаимной сопряженности чаще всего применяются формулы, предложенные известным английским статистиком И. Пирсоном и видным русским статистиком А. А. Чупровым.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона исчисляется по формуле:           
Входящая в эту формулу величина называется показателем взаимной сопряженности и определяется суммой отношений квадратов частот каждой клетки таблицы, изображающей связь качественных признаков, к произведению частот итоговых соответствующего столбца и строки. Вычтя из этой суммы единицу, получим

По той же схеме исчисляется коэффициент взаимной сопряженности Чупрова:

где имеет одинаковое значение с Пирсона и является показателем взаимной сопряженности, — число групп по столбцам таблицы, — число групп по строкам таблицы.

Приведем конкретный пример расчета взаимной сопряженности между урожайностью и поливом посевов.

В каждой клетке таблицы записаны частоты, их квадраты, квадраты частот, деленные на сумму частот по столбцу. В итоговых столбцах записаны суммы частот, сумма результатов деления, а также результат деления нижнего числа на верхнее

Исчислив коэффициент взаимной сопряженности по формуле Пирсона, получим;  

что говорит о значительной связи между урожайностью и поливом посевов. .

Формула Чупрова дает другой результат:

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова К является более гибким, поскольку он учитывает число образуемых по каждому признаку групп Поэтому результат 0,163 является более точным по сравнению с исчисленным коэффициентом взаимной сопряженности по формуле Пирсона.

в) Коэффициент корреляции рангов. При количественном выражении взаимосвязанных признаков теснота связи между ними может быть определена при помощи рангового коэффициента корреляции.

Для определения рангового коэффициента корреляции ранжируем (записываем в возрастающем или убывающем порядке) все значения факториального признака и вместе с тем записываем соответствующие значения результативного признака. Другими словами, определяем ранг по обоим признакам, т. е. номер каждого признака в ранжированных рядах.

Пример:

В нижеприведенных рядах определены ранги по обоим признакам разности рангов а также квадраты этих разностей

Для равных значений ранг находится путем деления суммы приходящихся на них рангов на число равных значений.

Величина рангового коэффициента корреляции определяется по формуле:              
Если связь между признаками полная, прямая, то ранги по обоим признакам совпадут, тогда Если связь полная, обратная, то = —1. Если связи нет, то  = 0. В приведенном примере Следовательно, связь между изучаемыми признаками довольно тесная.

г) Коэффициент Фехнера. Коэффициент Фехнера основан на применении первых степеней отклонений всех значений взаимосвязанных признаков от средней величины по каждому признаку. Вслед за определением линейных отклонений от средней сравниваем знаки отклонения по одному и другому признакам.

Обозначаем совпадения знаков отклонений через а, а несовпадение— через b. 

Найдя величину

по i можно судить о степени тесноты связи между признаками.

Продолжим предыдущий пример, дополнив его таблицей отклонений от средних по обоим признакам и предварительно рассчитав получим

Величина i достаточно близка к величине рангового коэффициента корреляции. Вывод остается прежним: связь между признаками тесная.

Корреляционное отношение

Если произведено измерение явления по двум признакам, то имеется возможность находить меры рассеяния (главным образом дисперсию) по результативному признаку для одних и тех же значений факториального признака.

Дана, например, корреляционная таблица двух взаимозависимых рядов, в которых для простоты имеется лишь три значения факториального признака количества внесенных удобрений (х), а результативный признак—урожайность (у) — значительно колеблется.

Каждая группа участков с разной урожайностью имела разное количество внесенных удобрений. Так, когда вносилось удобрений по 20 т, урожайность на разных участках была разной: на одном участке она составила 0,8 т, на двух участках — 0,9 г, на трех— 1,0 т и на одном — 1,1 т. Найдем среднюю урожайность и дисперсию по урожайности для этой группы участков

Для группы участков с количеством внесенных удобрений 30,0 т средняя урожайность составит:

Дисперсия равна:

Вычислим аналогичные характеристики для группы участков получивших удобрений по 40 т:

Из этих данных можно определить также средний урожай всех 20 участков, независимо от количества внесенных удобрений, т. е. общую среднюю:

и меру колеблемости (дисперсию), средней урожайности групп •около общей средней. Эту дисперсию называют межгрупповой дисперсией и обозначают

где —средние урожайности по группам участков, отличающихся количеством внесенных удобрений; — численности групп.

Межгрупповая дисперсия для данного примера составит:
Межгрупповая дисперсия, показывает рассеяние, возникающее за счет факториального признака. В данном примере =0,010247 является показателем рассеяния урожайности, возникшего за счет разности в количестве внесенных удобрений.

Однако, кроме межгрупповой дисперсии, можно вычислить и дисперсию как показатель рассеяния за счет остальных факторов (если называть так все прочие факторы, кроме удобрений). Этот показатель явится средней (взвешенной) величиной из показателей рассеяния (дисперсий) по группам участков

Для нашего примера:

Выше было доказано, что сумма межгрупповой дисперсии и средней из дисперсий групп равна общей дисперсии:

Это практически означает, что можно получить общую меру рассеяния (дисперсию) для всех 20 участков, если имеются сведения о средних и дисперсиях по группам участков, отличающихся количеством внесенных удобрений. Следовательно, общая дисперсия по урожайности для 20 участков составит:

Формулы для исчисления межгрупповой и средней из групповых дисперсий можно сокращённо записать так:

Расчет общей дисперсии, внутригрупповой и межгрупповой дисперсий позволяет делать некоторые выводы о мере влияния факториального признака на колеблемость признака результативного. Эта мера влияния находится при помощи корреляционного отношения:

где  — показатель корреляционного отношения;

— межгрупповая дисперсия;

— общая дисперсия.

Корреляционное отношение показывает, какую долю в общей мере рассеяния (дисперсии) занимает дисперсия, возникающая за счет влияния Факториального признака.

Для приведённого в предыдущем параграфе примера

Значит, колеблемость по урожайности участков на 78% зависит от колеблемости количества внесенных удобрений. Иначе говоря, колеблемость по урожайности на 78% зависит от разности внесенных удобрений. Если бы устранить разность внесенных удобрений (иметь участки одинаково удобренные), то колеблемость по урожайности в значительной мере уменьшилась бы.

Линейный коэффициент корреляции

При изучении тесноты связи между двумя взаимозависимыми рядами применяется линейный коэффициент корреляции, который показывает, существует ли и насколько велика связь между этими рядами. Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от —1 до +1.

Если величина линейного коэффициента корреляции отрицательная, то это говорит об обратной связи между изучаемыми признаками; если она положительная — о прямой связи. Если коэффициент корреляции равен нулю, то связи между признаками нет. Если коэффициент корреляции равен единице (с любым знаком), то между признаками существует функциональная связь.

Для расчета линейного коэффициента корреляции пользуются формулой:         

где — среднее значение произведения х на у,

— средние значения соответствующих признаков;

—средние квадратические отклонения, найденные по признаку х и по признаку у.

Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции по данным о зависимости, урожая у от количества внесенных удобрений (в баллах) х. Для этого построим таблицу, в которую введем и необходимые для расчета дополнительные графы.

Линейный коэффициент корреляции показывает тесную связь, существующую между признаками х и у.

Однако число наблюдений (5) недостаточно для того, чтобы сделать вывод о тесноте связи. Для более точного суждения необходимо произвести значительное число испытаний.

Как уже говорилось, при большом числе испытаний данные двух взаимозависимых рядов сводятся в корреляционную таблицу. В таком случае необходимо каждое значение признака находить как значение, взвешенное по числу его повторений.

Тогда будем иметь: 

Вводя дополнительные данные в корреляционную таблицу и найдя необходимые показатели, рассчитаем линейный коэффициент корреляции по приведенной уже формуле.

Теснота связи при криволинейной зависимости

Линейный коэффициент корреляции служит мерой тесноты связи при линейной связи между признаками х и у. В случае криволинейной связи пользоваться линейным коэффициентом корреляции как мерой тесноты связи не всегда можно. Тогда пользуются уже известным из предыдущего изложения корреляционным отношением:         

  
где — дисперсия результативного признака;

—величина

Воспользуемся примером на стр. 247 и рассчитаем корреляционное отношение. Значения определены ранее. Дополним таблицу новыми необходимыми нам данными (см. табл. 18)

что говорит об очень тесной связи между признаками.

Совокупный коэффициент корреляции

Когда на результативный признак действует два факториальных, то в случае линейной связи ее теснота измеряется совокупным коэффициентом корреляции, исчисляемым по следующей формуле:

где r —линейные коэффициенты корреляции, а подстрочные знаки показывают, между какими признаками они исчисляются.

Линейные коэффициенты корреляции между парами взаимосвязанных значений могут быть найдены по формулам:

Исчислим линейные коэффициенты корреляции между парами признаков и совокупный коэффициент корреляции по данным о зависимости между объемом у, диаметром х и высотой z модельных деревьев, выбранных из Сурской лесной дачи Пинежского бассейна (табл. 19).

Найдем коэффициенты корреляции между х и z, у и х, у и z по приведенным выше формулам.

Вычислим теперь совокупный коэффициент корреляции:

Совокупный коэффициент корреляции показывает степень, тесноты связи между результативным признаком и совокупным влиянием двух факториальных признаков. В данном примере эта связь очень тесная.

Если имеется 3 и более факториальных признака, то совокупный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

где выражаются определителями:

Определение надежности коэффициента корреляции

Для оценки надежности полученного коэффициента корреляции определяют погрешность коэффициента корреляции, которую находят по формуле:

После расчета  находят отношение Если величина этого отношения превышает 3 при числе наблюдений, большем 50, то можно считать, что полученный коэффициент корреляции отображает истинное положение вещей.

Такая вероятностная оценка линейного коэффициента корреляции необходима в том случае, когда произведенное число измерений является как бы выборкой из большого числа возможных измерений.

Величина является гарантийным минимумом, а величина —гарантийным максимумом коэффициента корреляции.

В примере на стр. 268 полученный линейный коэффициент корреляции, равный 0,9, имеет ошибку:

Ошибка возникает вследствие небольшого числа измерений.

Гарантийный минимум будет равен 0,9—0,09 = 0,81, или 81%. Гарантийный максимум приближается к 100%,. Это означает, что при условиях данного опыта следует ожидать влияния количества внесенных удобрений на урожай не менее, чем на 81 процент.

Так как число наблюдений здесь совсем небольшое, то находить отношение не имеет смысла.

Частные коэффициенты корреляции

Кроме совокупного коэффициента корреляции, познавательное значение имеют частные коэффициенты корреляции, которые оценивают степень связи одного фактора с другим фактором, взятым в отдельности, при исключении влияния третьих факторов.

Так, при линейной связи между у, х, z частный коэффициент корреляции у и х при исключенном влиянии z будет равен:
Для приведенного на стр. 271 примера:

Частный коэффициент корреляции между у и х не зависит от значений фактора z. На этот коэффициент влияет только то, что за фактором z закрепляются постоянные значения, а не сами значения фактора z.

Если исключить влияние фактора х, то частный коэффициент корреляции исчисляется по формуле:

Этот коэффициент не зависит уже от значений фактора х, которые принимаются за постоянные величины, и определяет зависимость между у и z.

Оценка выборочных коэффициентов корреляции

При нахождении коэффициентов корреляции по выборочным данным возникает вопрос о связи выборочного коэффициента корреляции с генеральным. Для нормальной корреляции (когда оба признака подчинены закону нормального распределения) связь между ними установлена Р. Фишером, который нашел распределение величины являющейся функцией выборочного коэффициента корреляции. Это распределение имеет формулу:

где 
—коэффициент корреляции в генеральной совокупности.

Статистическими характеристиками z является средняя и среднее квадратическое отклонение

Когда выборочный коэффициент корреляции z находится в пределах найденная функция изменяется в пределах

Практически можно считать распределение Фишера нормальным. Оно позволяет решить следующие задачи:

• оценить, насколько существенна разница между выборочным r и генеральным коэффициентами корреляции;
• решить вопрос о существенности расхождения между двумя выборочными коэффициентами корреляции;
• найти наилучший результат из выборочных коэффициентов, исчисленных в выборках из одной генеральной совокупности.

Решая первую задачу, необходимо иметь сведения о выборочном коэффициенте корреляции r, генеральном и числе наблюдений.

Пример:

Пусть r = 0,55,  = 0,6, n — 25. На основании приложения V исчисляем:

Из нормального распределения критерия следует:

Найдем:

Следовательно, вероятность того, что существуют случайные значения коэффициента корреляции, отличающиеся от действительного коэффициента корреляции = 0,6, не менее, чем найденный нами коэффициент корреляции r=0,55, равна 0,635. Она говорит нам о допустимости гипотезы о случайном расхождении между r и .

Пример:

Для решения второй задачи допустим, что в двух выборках = 25 и    =19 коэффициенты корреляции = 0,5 и — 0,35.

По приложению V найдем для значения

В этом случае:

Исчислим разность Эта разность также имеет нормальное распределение, дисперсия которого

Вероятность расхождений превышающих 0,184, имеет достаточно большое значение — 0,549. Поэтому исчисленные коэффициенты корреляции мало отличаются друг от друга.

Пример:

Для решения третьей задачи возьмем те же данные: тогда 

Среднее значение будет найдено как средняя арифметическая взвешенная:

По величине   можно вычислить

Подставив в формулу значение z = 0,46, найдем r = 0,43.

Значит, если получились в результате выборок из одной генеральной совокупности, то наилучшим является коэффициент корреляции, равный 0,43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

В задачах по механике часто встречается ситуация, когда движение тел не является свободным. Ограничения могут создавать твердые поверхности, нерастяжимые нити, жесткие стержни и т. п.

В простейших случаях мы учитываем подобные ограничения автоматически, часто даже не оговаривая их существования. Например, ускорение тела на плоскости мы направляем вдоль плоскости (учитывая наличие твердой поверхности), скорости буксира и баржи считаем одинаковыми (принимая во внимание присутствие нерастяжимого троса) и т. д. Однако иногда возникает необходимость выразить эти ограничения в виде специального уравнения, которое мы будем называть «кинематической связью». Начнем с такой задачи.

Задача 1. Найдите ускорения призмы массой m₁ и куба массой m₂, изображенных на рисунке 1, а. Трением пренебречь.

а

 

б

Рис. 1.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (в проекции на направление, совпадающее с соответствующим ускорением):

m₁·g – N·sin α = m₁·a₁,                                       (1)

N·cos α = m₂·a₂.                                                 (2)

Мы учли, что по третьему закону Ньютона  т. е. N₁₂ = N₂₁ = N. Написанные два уравнения содержат три неизвестных. Третье уравнение — кинематическая связь между а₁ и a₂ — должно отразить тот факт, что куб и призма остаются все время в контакте друг с другом. Это можно сделать несколькими способами.

1) Рассмотрим два близких положения системы, разделенные промежутком времени Δt (рис. 1, б). В треугольнике ABC сторона АВ равна перемещению призмы Δx₁, а сторона ВС — перемещению куба Δx₂. Имеем

Δx₂ = Δx₁·tg α.

Разделив обе части равенства на Δt, получаем

υ₂ = υ₁·tg α.

Так как это соотношение справедливо для произвольного момента времени, из него следует искомое соотношение

a₂ = a₁·tg α.                                                        (3)

Такой подход к получению кинематической связи будем называть прямым методом.

2) Другой способ получения необходимой связи основан на переходе в такую систему отсчета, где условие контакта становится тривиальным. В системе отсчета, связанной с призмой (см. рис. 1, б), скорость куба  направлена вдоль ее поверхности, т. е. под углом α к вертикали. Записывая закон сложения скоростей

из соответствующего векторного треугольника получаем

υ₂ = υ₁·tg α и a₂ = a₁·tg α.

Решаем совместно уравнения (1)-(3) и находим

В этой задаче второй метод выглядит несколько искусственно. Однако в некоторых случаях именно правильный выбор системы отсчета позволяет существенно упростить проблему кинематических связей. Вот пример.

Задача 2. Клин высотой h с углом наклона α стоит на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 2). Масса клина m₁. С вершины клина начинает соскальзывать без трения брусок массой m₂. Найдите ускорение клина и время соскальзывания бруска.

Рис. 2.

Начнем со второго закона Ньютона. Запишем его для клина в проекции на горизонтальное направление, а для бруска пока что в векторной форме:

N·sin α = m₁·a₁,                                                  (4)

                                           (5)

Как и раньше,  т. е. N₁₂ = N₂₁ = N. Выбор направления осей для бруска связан с решением вопроса о кинематической связи.

Кинематическая связь между ускорениями должна отразить тот факт, что в процессе движения брусок все время остается на поверхности клина. Записать это в виде прямого уравнения оказывается непросто. Вместо этого перейдем в систему отсчета, связанную с клином. В этой системе скорость бруска  и его ускорение  направлены вдоль клина. Тогда из закона сложения скоростей  получаем закон сложения ускорений (см. рис. 2)

                                             (6)

Отсюда видно, что от неизвестных a₁ и a₂ удобнее перейти к неизвестным a₁ и a_отн, решив тем самым проблему кинематической связи. Подставляя равенство (6) в уравнение (5) и проектируя это уравнение на направления вдоль поверхности клина и перпендикулярно к ней, получаем

m₂·g·sin α = m₂·(a_отн – a₁·cos α),                                  (5׳)

N – m₂·g·cos α = –m₂·a₁·sin α.                                              (5״)

Из уравнений (4), (5′) и (5″) находим

Для ответа на второй вопрос задачи нам не надо искать a₁, так как время соскальзывания выражается как раз через a_отн:

Отсюда находим

Как уже говорилось, ограничение на движение может определяться не только прямым контактом рассматриваемых тел, но и наличием в системе соединительных элементов — стержней, нитей и т. п. В большинстве случаев, даже если в условии это не оговорено, соединительные элементы считаются идеальными, т. е. нити — невесомыми и нерастяжимыми, стержни — невесомыми и абсолютно жесткими, для блоков кроме невесомости предполагается также отсутствие трения на оси. (На самом деле слово «невесомый» означает, что масса данного элемента пренебрежимо мала по сравнению с массами других тел системы, слово «нерастяжимый» — что удлинение элемента мало по сравнению с перемещениями тел системы и т. д.) Перед тем, как разбирать конкретные примеры, выясним, что следует из идеальности соединительных элементов. Рассмотрим три частных случая.

1. Невесомость нити. Напишем второй закон Ньютона для участка нити массой Δm_н (рис. 3, а):

T – T´ = Δm_н·a.

Так как Δm_н = 0, то T – T´, т. е. сила натяжения не меняется вдоль нити.

2. Невесомость подвижного блока и отсутствие трения на его оси. Для раскручивания невесомого блока, в котором нет трения, не нужен вращательный момент. Из этого следует, что натяжение одной и той же нити по обе стороны блока одинаково (рис. 3, б), кроме того

T´ – 2T = 0, т. е. T´ = 2T.

3. Невесомость стержня. Это условие означает, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Например, если к стержню приложены две силы, то они равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль стержня (рис. 3, в). (В отличие от нити, стержень может быть не только в растянутом, но и в сжатом состоянии.)

а

б

в

Рис. 3.

Нерастяжимость и жесткость нитей и стержней приводит к появлению кинематических связей, которые мы разберем отдельно в следующих задачах.

Задача 3. Найдите ускорения грузов массой m₁ и m₂ после перерезания верхней нити (рис. 4). Нити и блок считать идеальными.

Рис. 4.

Выберем положительное направление оси вертикально вниз и запишем второй закон Ньютона для обоих тел:

T + m₁·g = m₁·a₁,                                                (7)

m₂·g – 2T = m₂·a₂                                               (8)

(мы учли свойства блока и нити, описанные выше).

Для нахождения кинематической связи между a₁ и а₂ применим, как мы его назвали, прямой метод. Запишем длину нити в виде

l = x₂ + π·R + (x₂ – x₁),

где х₁ — координата груза массой m₁, x₂ — координата центра блока, R — его радиус, и учтем, что длина нити при движении грузов не изменяется. Тогда для перемещений грузов получим соотношение

2Δx₂ – Δx₁ = 0,

откуда

2υ₂ – υ₁ = 0,

2a₂ – a₁ = 0.                                                        (9)

Решая уравнения (7)-(9) совместно, находим

(Обратите внимание на то, что a₁ > g. Подумайте, почему получился такой ответ.)

Задача 4. Невесомый стержень с одинаковыми грузами массой m на концах шарнирно закреплен на оси, которая делит его длину в отношении 2:1 (рис. 5). Стержень удерживают в горизонтальном положении и в некоторый момент освобождают. Найдите ускорения грузов сразу после этого, а также давление стержня на ось в этот момент.

Рис. 5.

Запишем второй закон Ньютона для грузов, выбрав положительные направления осей в сторону соответствующих ускорений:

m·g – N₁ = m·a₁,                                        (10)

N₂ – m·g = m·a₂,                                        (11)

где N₁ и N₂ — силы, действующие на грузы со стороны стержня. Так как сумма моментов сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю, то

где l — длина стержня. Отсюда

N₂ = 2N₁.                                          (12)

Осталось записать кинематическую связь между a₁ и а₂. Для этого изобразим на рисунке 5 положение стержня через малый промежуток времени Δt после начала движения. Из подобия получаем

x₁ = 2x₂,

откуда

υ₁ = 2υ₂,

a₁ = 2a₂.                                           (13)

Решая совместно уравнения (10)-(13), находим

Так как сумма сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю, то сила реакции оси (равная по модулю силе давления на ось) равна

***

Во многих задачах, рассчитанных на применение закона сохранения энергии, требуется найти скорости тел к определенному моменту времени. В этом случае надо установить кинематические связи не между ускорениями, а между скоростями тел. При решении таких задач полезно использовать тот факт, что полная работа, совершаемая любым идеальным соединительным элементом, равна нулю. Физическая причина этого состоит в том, что в таком элементе не может запасаться никакая энергия — ни кинетическая (его масса равна нулю), ни потенциальная (элемент не деформируется).

Последнее утверждение требует пояснения. Может показаться, что даже при малой деформации очень жесткого стержня (или другого элемента) потенциальная анергия его деформации  может быть велика — ведь она пропорциональна жесткости стержня k. Но если учесть, что сила F = k·x, возникающая при деформации, остается конечной при  (она определяется движением тел, закрепленных на стержне), то потенциальная энергия  при больших k оказывается очень малой.

Эта и следующая задачи по своему уровню несколько выходят за пределы задач, предлагаемых обычно на вступительных экзаменах в вузы. Однако знакомство с ними для абитуриентов окажется небесполезным.

Задача 5. Груз массой М сначала удерживают на уровне блоков, а затем освобождают (рис. 6). Считая нити и блоки идеальными, размеры блоков малыми по сравнению с расстоянием 2l между ними, а массу m грузиков, висящих на концах нитей, известной, найдите скорость груза в тот момент, когда нити составляют угол α с вертикалью. Полученный ответ исследуйте.

Рис. 6.

К рассматриваемому моменту груз массой М опустился на H = l·ctg α, а грузики массой m поднялись на  каждый. Согласно закону сохранения энергии,

                 (14)

Для того чтобы найти связь между υ и V, можно, например, применить прямой метод. Из рисунка 6

l² + H² = L².

Дифференцируя по времени (и учитывая, что l´ = 0), находим

2H·H´ = 2L·L´.

Так как L´ = υ, H´ = V, a H/L = cos α, то получаем искомую связь

υ = V·cos α.                                                       (15)

Однако проще получить это соотношение из следующих соображений. Раз расстояние L от груза массой М до блока в рассматриваемый момент увеличивается со скоростью υ (с такой скоростью вытягивается нить), то проекция скорости  этого груза на направление нити должна быть равна υ. Учитывая, что скорость  направлена вертикально, получаем уравнение (15).

Из уравнений (14) и (15) находим

Выясним, будет ли центральный груз все время опускаться (мы считаем нити очень длинными) или при каком-то α он остановится и начнет подниматься. Уравнение V = 0 (условие остановки) преобразуется к виду

т. е. остановка и обратное движение грузов происходят только при М < 2m. Если М > 2m, то центральный груз будет все время перевешивать и его скорость будет неограниченно возрастать ( при  — проверьте это сами). Если же М = 2m, то при опускании центрального груза система все ближе подходит к равновесию, ускорения грузов стремятся к нулю, а их скорости — к предельному значению  (убедитесь в этом самостоятельно).

Хотелось бы обратить внимание на то, что при использовании закона сохранения энергии сила натяжения нити вообще не вошла в расчеты.

Последний пример иллюстрирует методы получения кинематических связей при движении твердых стержней (или других твердых связей). Напомним, что при движении твердого тела расстояние между любыми двумя его точками не изменяется.

Задача 6. Невесомый стержень длиной l с грузами массой m на концах соскальзывает по сторонам прямого двугранного угла (рис. 7, а). Найдите скорости грузов в тот момент, когда стержень составляет с горизонтом угол α. Трения нет. В начальный момент стержень находился в вертикальном положении.

  

а

б

Рис. 7.

Из закона сохранения энергии получаем

                                      (16)

где y = l·sin α — координата второго груза в рассматриваемый момент. Для получения кинематической связи можно применить прямой метод, как это было сделано в предыдущей задаче (проделайте это сами). Быстрее же и нагляднее кинематическая связь получается из таких соображений. Раз расстояние между грузами остается неизменным, то в каждый момент скорость, с которой первый груз «удаляется» от второго, равна скорости, с которой второй груз «приближается» к первому. Иначе говоря, проекции скоростей грузов на стержень в любой момент времени одинаковы (см. рис. 7, a):

υ₁·cos α = υ₂·sin α.                                             (17)

Подставляя (17) в (16), находим

В кинематике твердого тела часто используется «разложение» сложного движения на поступательное и вращательное. Чтобы продемонстрировать этот метод, применим его для получения кинематической связи (17). В системе отсчета, связанной с первым грузом, стержень совершает чисто вращательное движение. Значит, в этой системе скорость второго груза  направлена перпендикулярно стержню. Применяя закон сложения скоростей  (см. рис. 7, б), получаем соотношение (17).

Может показаться, что найденные выражения для скоростей дают полное решение задачи. Однако в этой задаче содержится поучительный подвох, разбором которого мы и закончим статью.

Решение было бы полным, если бы второй груз не мог оторваться от вертикальной стены. (Для этого можно было бы, например, посадить грузы на гладкие штанги, а стержень присоединить к ним шарнирно). Однако в нашем варианте задачи (см. рис. 7, а) при некотором угле произойдет отрыв второго груза от вертикальной стены, после чего найденный ответ будет неприменим. Дело в том, что горизонтальный импульс системы определяется только движением первого груза, скорость которого, в соответствии с выражением для υ₁, до некоторого угла возрастает, а потом начинает убывать. Это означает, что в какой-то момент должна изменить направление внешняя горизонтальная сила, действующая на систему. Но есть только одна горизонтальная сила — сила реакции вертикальной стенки, которая не может изменить свое направление. Таким образом, в тот момент, когда реакция стенки обращается в нуль, происходит отрыв второго груза от стенки. Дифференцируя выражение для υ₁ по времени, находим, что υ₁ максимальна при sin α = 2/3. При угле  и происходит отрыв стержня от вертикальной стенки.

Упражнения

1. Найдите ускорения стержня и клина, изображенных на рисунке 8. Трения нет.

Рис. 8.

2. Найдите натяжение нити в системе, изображенной на рисунке 9.

Рис. 9.

3. (для любителей каверз и ловушек). Чему равны ускорения грузов в системе, изображенной на рисунке 10?

Рис. 10.

4. Найдите ускорение клина на рисунке 11. Трения нет. Указание. Примените метод, использованный при решении задачи 2 в статье.

Рис. 11.

Ответы

1.

2.

3. a₁ = a₂ = g.

4.

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0: 

1. Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

2. Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

3. Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

4. Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов. 

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

2. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

4. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

5. Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Решим систему уравнений методом подстановки

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

1. Решите систему уравнений:

   x − y = 4
   x + 2y = 10

2. Выразим x из первого уравнения:

   x − y = 4
   x = 4 + y

3. Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

   x + 2y = 10
   4 + y + 2y = 10

4. Решим второе уравнение относительно переменной y:

   4 + y + 2y = 10
   4 + 3y = 10
   3y = 10 − 4
   3y = 6
   y = 6 : 3
   y = 2

5. Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

   x − y = 4
   x − 2 = 4
   x = 4 + 2
   x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

1. Решите систему линейных уравнений:

   x + 5y = 7
   3x = 4 + 2y

2. Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

   x + 5y = 7
   x = 7 − 5y

3. Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

   3x = 4 + 2y
   3 (7 − 5y) = 4 + 2y

4. Решим второе линейное уравнение в системе:

   3 (7 − 5y) = 4 + 2y
   21 − 15y = 4 + 2y
   21 − 15y − 2y = 4
   21 − 17y = 4
   17y = 21 − 4
   17y = 17
   y = 17 : 17
   y = 1

5. Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

   x + 5y = 7
   x + 5 = 7
   x = 7 − 5
   x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

1. Решите систему линейных уравнений:

   x − 2y = 3
   5x + y = 4

2. Из первого уравнения выразим x:

   x − 2y = 3
   x = 3 + 2y

3. Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

   5x + y = 4
   5 (3 + 2y) + y = 4
   15 + 10y + y = 4
   15 + 11y = 4
   11y = 4 − 15
   11y = −11
   y = −11 : 11
   y = −1

4. Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

   x − 2y = 3
   x − 2 (−1) = 3
   x + 2 = 3
   x = 3 − 2
   x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

1. При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

2. Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

4. Находим соответствующие значения второй переменной.

5. Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Пример.

Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

Сложим уравнения, получим

Отсюда y = -3, а, значит, x = 2

Ответ: (2; -3).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

• ax + by + cz = d

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

Как решаем:

1. 5x − 8y = 4x − 9y + 3

2. 5x − 8y − 4x + 9y = 3

3. x + y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Как решаем:

1. Выразить у из первого уравнения:
   

2. Подставить полученное выражение во второе уравнение:
   

3. Найти соответствующие значения у:
   

Ответ: (2; −1), (−1; 2).

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Как решаем:

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
   

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
   

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
   

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Как решаем:

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5.
Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Ответ: (2; 4); (5; 13).

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

Как решаем:

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Ответ: (-4; 2); (4; 2).

---

---

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

	x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).

	x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4  (*)

(*)   3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
                 − 17y = − 17     | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

	x + 5y = 7		(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
	+          =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4		4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

	x + 5y = 7 | ·(−3)
3x − 2y = 4

	x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)
3x − 2y = 4

	−3x −15y = −21
3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

	−3x −15y = −21		(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
	+          =>	−3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4		−17y = −17 |:(−17)
		y = 1

Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения «x».

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

	x = 17 + 3y
(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».

	x = 17 + 3 · (−30)
y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

	3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

	3x − 3y + 5x = 6x − 4
4x − 2x − 2y = 4 − 3y

	8x − 3y = 6x − 4
2x −2y = 4 − 3y

	8x − 3y − 6x = −4
2x −2y + 3y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

	2x − 3y = −4      |·(−1)
2x + y = 4

	2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)
2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

	−2x + 3y = 4		(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
	+          =>	−2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4		4y = 8         | :4
		y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».

Ответ: x = 1; y = 2

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

О решении вот в этих… в действительных числах.

---

Ежели уравнений с парочкой неизвестных 2,

то этакая

система уравнений различными способами решается.

Можно произвести подстановку переменных,

что приведёт к однозначному выражению одной из них.

Можно методом сложения уравнений решать. Варианты суть.

---

Ежели уравнений больше двух, скорее всего они противоречат меж собой, множество решений будет пустое.

---

Одно же уравненьище с 2мя неизвестными не будет однозначно разрешимо.

Для примера, уравнение x + y = 7 имеет ажник бесконечно много решений. Любой х образует решение с

у = 7-х.

Речь пошла о множестве решений.

Множество решений рассмотренного выше

x + y = 7

образует

в декартовой системе, стыдно сказать, координат

прямую линию.

y – x^2 = 0 уравнение параболы.

x – y^2 = 0 уравнение параболы же, но “рогами вбок”.

x * y = 1 уравнение гиперболы, чтоб не соврать.

x^2 + y^2 = Щ^2 это аж уравнение окружности радиуса Щ.

sin(x) – y = 0 уравнение синусоиды.

Над некоторыми уравнениями, чтобы найти множество его решений, приходится напрягаться. Некоторые могут решений в действительных тех самых числах не иметь, например:

x^2 + y^2 = -77

В самом деле, видел кто-нибудь окружность с отрицательным радиусом? 🙂

Каждое нестандартное уравнение просит особого подхода.

---

---

Уравнение вида F(x1,…xk) = 0, где k штук переменных, а F целочисленная функция (принимает целое значение, если переменные целые),

называется диофантово уравнение.

В общем виде оно неразрешимо,

в некоторых частных случаях

решается всякий раз по-своему.

---

Примеры.

---

1,5*x + y^2 – 2,5 = 0 недиофантово, т.к. при целом y и чётном x сумма 1,5*x + y^2 – 2,5 не целая.

---

x + y^2 = 0 диофантово, т.к. при любых целых y, x сумма x + y^2 тоже целая.

---

x^3 + y^2 – 8 = 0.

Имеет, как мне чудится, 4 решения (-46; 312), (-2;4); (-1;3) и (2;0).

---

x^3 + y^2 – 11 = 0.

Похоже, что вот решений вот не имеет.

---

2x + 3y – 9 = 0.

Чтоб у стал целым, разность 9 – 2х должна делиться на 3.

Подходит, например, x = 0 ( y = 3).

Для любого х, кратного 3, существует у, образующий с этим х решение.

А х, не кратное 3, можно вот представить вот в виде либо (3*a+1), либо (3*a+2). Тогда соответственно

y = (7-6*a) либо y = (5-6*a), то есть y не кратно 3,

решения с таким х не существует.

А любое х, кратное 3 (и только такое) образует решение вида (х;(9 – 2х)).