Как найти тангенциальное ускорение через радиус - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Движение по окружности

Движение по окружности – простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории – предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → – v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → – v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → – радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов – нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 – v 1 – изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Тангенциальное ускорение – определение, формула и измерение

Общие сведения

Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида. Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта. Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.

В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией. Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную. Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).

Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:

Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.

Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.

Угловое ускорение

Если имеется какая-то точка, находящаяся на вращающемся теле, то скорость её направлена по касательной. Когда движение равномерное, то линейная скорость связана с угловой равенством: v = w * r. А вот ускорение тела будет направлено по радиусу к центру окружности, причём модуль вычисляется как a = v / r либо если это точка на вращающемся теле: a = w2 * r.

В момент, когда тело поворачивается за небольшой промежуток времени на угол дельта фи, угловую скорость можно связать с условием поворота через формулу: w = Δ φ / Δ t. Если тело вращается равномерно, то промежуток времени может быть любым. В ином случае эта величина будет равна мгновенной угловой скорости.

Можно представить, что материальная точка движется неравномерно, то есть изменяется угловая скорость тела. Линейная скорость не будет представлять собой постоянную величину, в отличие от равномерного перемещения. Угол поворота равняется: w = v / r. Так как скорость не может быть константой, то отсюда следует, что и угловая скорость не будет постоянной величиной. Её изменение обозначают Δw. Она равняется разности конечной угловой скорости и начальной: Δw = wк — wн.

Изменение угловой скорости можно разделить на промежуток времени, за который оно поменяло значение: (wк — wн) / Δt. По сути, получается ускорение. Обозначается характеристика буквой эпсилон E и называется угловым ускорением. Измеряется характеристика в радианах на секунду в квадрате. Её смысл заключается в описании физической величины через отношение изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка.

Пусть есть дуга окружности с центром. В начальный момент времени у тела есть скорость, направленная по касательной к траектории v0. Через некоторое время точка переместится по окружности на небольшое расстояние. Так как движение неравномерное, модуль скорости изменится v ≠ v0. Для того чтобы найти ускорение тела, нужно воспользоваться следующей формулой: a = Δv / Δt, при этом Δv = v — v0.

Чтобы найти эту разность, нужно воспользоваться правилом треугольника. Для этого следует перенести вектор V0 к V и соединить их линией. Радиус от центра к материальной точке можно обозначить R. Дельта V можно представить, как сумму взаимно перпендикулярных векторов. Один из них будет направленных тангенциально к радиусу, в физике обозначают его Δ Vτ, а другой радиально Δ Vr. В итоге: ΔV = Δ Vτ + Δ Vr.

Вывод формулы

Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V. На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0. На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.

Исходя из графика, можно сделать два вывода:

Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.

Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD. Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD. Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.

Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt. Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt. Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.

Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:

at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.

Используя теорему Пифагора, можно сказать, что модуль полного ускорения равняется корню квадратному из суммы квадратов тангенциального и нормального ускорения: a = √at 2 + an 2 .

Решение простых примеров

В школьном курсе на уроках физики учащимся для закрепления материала предлагается решить определённый тип задач, используя определение тангенциального ускорения. Это типовые примеры, объясняющие суть характеристики и её применение в реальной практике. Вот некоторые из них.

Вычислить все ускорения точки, лежащей на окружности, через десять секунд после воздействия на диск вращателя. При этом учесть, что радиус окружности составит 20 см, а угол между валом и радиус вектором тела соответствует закону: j =3-t+0.2t 3 . Для решения примера необходимо использовать формулы для нахождения угловой скорости и ускорения. Подставив заданные значения, можно получить: w = d φ / dt = -1 + 0,2 * 3t 2 и e = dw / dt = 0,6 * 2t. Применив формулу связи, легко найти ускорение: at = R * E * (0,6 * 2t) = 1,2 * Rt = 24 м 2 /с. Подставив в формулу нормального ускорения значения, можно вычислить и его an = V 2 / R = R * (0,6 * 10 2 — 1) 2 / 0,2 = 696 м/с 2 . Отсюда полное ускорение будет равняться: a = √ 24 2 + 696 2 = 697 м/с 2 .
Материальное тело перемещается по окружности, имеющей радиус 20 см. При этом тангенциальное ускорение равняется 5 см на секунду в квадрате. Определить, сколько понадобится времени, чтобы ускорения сравнялись и нормальное стало больше тангенциального в два раза. Исходя из условия, можно утверждать, что движение является равноускоренным. Поэтому можно применить формулы: an = V2 / t; at = V / t. Отсюда: t = V / at, а V = √an * R. Подставив второе выражение в первое, получится: t = (√an * R) / at. При равенстве ускорений an = at, будет верной запись: t = √R / at = √20 / 5 = 2 с. Для второго случая an = 2at, поэтому: t = (√2 * 20) / 5 = 2,8 c.

Но не всегда решаемые задания можно решить, обойдясь одной формулой. При этом значения тех или иных величин могут быть довольно сложными для проведения вычислений. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы. Это специализированные сайты, выполняющие подсчёт в автоматическом режиме. Из таких сервисов можно выделить: сalc, widgety, webmath. Указанные интернет-решители работают на русском языке, так что вопросов, как с их помощью выполнять расчёты, возникнуть не должно.

Сложная задача

Пусть имеется физическое тело, которое движется, замедляясь по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное убыстрение равны друг другу по модулю. Необходимо найти зависимость скорости и полного ускорения от времени и пройденного пути. В начальный момент скорость равняется V0.

Согласно условию, тангенциальное ускорение будет отрицательным, так как точка движется, замедляясь. Для понимания задачи можно изобразить схему движения. Для этого необходимо нарисовать окружность и указать на ней вектор начальной скорости, тангенциального и нормального ускорения. Изобразить вектор полного ускорения как сумму векторов.

Нормальное ускорение можно выразить через скорость и радиус: an = V 2 / R. Затем необходимо записать формулу для тангенциального ускорения: at = dV / dt. Так как они равны, то справедливым будет равенство: V 2 / R = dV / dt. Анализируя уравнение, можно сделать вывод, что так как скорость и радиус положительный, то слева будет стоять величина со знаком плюс. Но, с другой стороны, со временем скорость убывает, поэтому с правой стороны нужно поставить знак минус: V 2 / R = – dV / dt.

Полученное уравнение является дифференциальным и показывает зависимость скорости от времени. Равенство можно преобразовать, умножив на отношение dt / V 2 . В итоге должно получиться выражение: dV / V 2 = – dt / R. Это уравнение можно проинтегрировать. При этом пределами интеграла с левой стороны будет V0 и V, а с правой — 0 и t. Получился обыкновенный степенной интеграл, который будет равняться: 1 / V = dt / R.

Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).

Теперь можно найти тангенциальное убыстрение, так как оно представляет производную от скорости. После взятия производной получится: at = dV / dt = – V02 / R (1 + V0 * t / R)2 = – V2 / R. Отсюда можно написать, что модуль полного ускорения будет равняться: a = √2 *|ar| = (√2 * V2) / R. Осталось найти путь. Он совпадает с длиной дуг и равняется интегралу модуля скорости от времени. После решения должно получиться равенство: S (t) = R * ln (1 + V0 * t / R). Задача решена.

Движение по окружности тангенциальное ускорение

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Нормальное ускорение

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Виды движения по окружности

Угловое движение можно условно разделить на два вида:

Когда изменяется только направление вектора линейной скорости, а его длина не изменяется.
Или, когда изменяются обе характеристики вектора линейной скорости.

Во втором случае, для описания движения будем применять более сложные формулы кинематики. Так как появится еще один вид ускорения.

Центростремительное (нормальное) ускорение есть всегда, когда есть движение по окружности, при этом не важно, меняется ли скорость тела по модулю, или не меняется.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Пусть тело движется по окружности, но при этом длина вектора линейной скорости не меняется (рис. 1).

[left|vec right| = const]

На рисунке 1 указаны: а) – вид сбоку, б) вид сверху, вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно рисунку.

Скорость будет меняться только по направлению от точки к точке, потому, что на тело действует центростремительная сила (displaystyle vec >>) , тело обладает центростремительным (displaystyle vec>>) (нормальным) ускорением.

Кроме линейной, тело обладает угловой скоростью. Если линейная скорость не изменяется по модулю, то длина вектора угловой скорости не меняется.

На рисунке 1а изображен вектор угловой скорости (displaystyle vec ), на рисунке 1б вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно плоскости рисунка. Направление, в котором тело движется по окружности, указано синей стрелкой.

Тангенциальное ускорение – когда модуль скорости меняется

Тело может увеличивать или уменьшать свою скорость, когда движется по окружности.

В таком случае, дополнительно к нормальному ускорению возникает тангенциальное (displaystyle vec>) ускорение.

Тангенциальное ускорение играет роль линейного ускорения при прямолинейном движении тела. Вектор (displaystyle vec>) направлен параллельно вектору (displaystyle vec ) скорости.

Подобно движению по прямой, вектор ускорения – это первая производная скорости по времени, или вторая производная перемещения по времени.

С линейной скоростью (vec ) связана угловая (vec ) скорость.

Из рисунков 2, 3 следует: когда появляется тангенциальное ускорение, меняется и угловая скорость. Значит, тангенциальное ускорение (vec>) появляется совместно с угловым (vec ) ускорением и между ними есть связь.

Связь между тангенциальным и угловым ускорением выглядит аналогично связи между линейной и угловой скоростью.

В векторном виде

В скалярном виде

[ large boxed = beta cdot R >]

(displaystyle vec left( frac > >right)) – угловое ускорение;

(displaystyle vec > left( frac > >right)) – тангенциальное ускорение;

(R left( text right)) – радиус окружности.

Равноускоренное движение по окружности

Угловая скорость увеличивается (рис. 2), когда угловое ускорение сонаправлено с вектором угловой скорости. Когда движение происходит с постоянным ускорением, его называют равноускоренным.

Для решения задач на равноускоренное движение по окружности, поступаем аналогично равноускоренному движению по прямой. Применяем систему из двух уравнений:

[ large boxed omega = omega _ + beta cdot t \ displaystyle varphi = omega_ cdot t + beta cdot frac end > ]

Первое уравнение системы – это связь между начальной (omega_ ) и конечной (omega ) скоростью. Второе уравнение – это уравнение движения.

Равнозамедленное движение по окружности

Когда векторы (vec ) и (vec ) направлены в противоположные стороны, угловая скорость (vec ) уменьшается (рис. 3).

Для решения задач кинематики, в которых угловая скорость уменьшается и, движение равнозамедленное, используем систему, состоящую из таких уравнений:

[ large boxed omega = omega _ — beta cdot t \ displaystyle varphi = omega_ cdot t — beta cdot frac end > ]

Общее ускорение при движении по окружности

Пусть точка движется по окружности и линейная (vec ) скорость ее изменяется по модулю. При этом, точка обладает двумя видами ускорения — нормальным и тангенциальным. Эти виды ускорения обозначают символом (vec).

Примечание: Любое ускорение, обозначаемое символом «a», измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

Направление вектора общего ускорения указано на рисунке 4а, а для равнозамедленного – на рисунке 4б.

Тангенциальное ускорение — определение, формула и измерение

Общие сведения

Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.

Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.

Угловое ускорение

Вывод формулы

Исходя из графика, можно сделать два вывода:

Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.

at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.

Используя теорему Пифагора, можно сказать, что модуль полного ускорения равняется корню квадратному из суммы квадратов тангенциального и нормального ускорения: a = √at 2 + an 2 .

Решение простых примеров

Вычислить все ускорения точки, лежащей на окружности, через десять секунд после воздействия на диск вращателя. При этом учесть, что радиус окружности составит 20 см, а угол между валом и радиус вектором тела соответствует закону: j =3-t+0.2t 3 . Для решения примера необходимо использовать формулы для нахождения угловой скорости и ускорения. Подставив заданные значения, можно получить: w = d φ / dt = -1 + 0,2 * 3t 2 и e = dw / dt = 0,6 * 2t. Применив формулу связи, легко найти ускорение: at = R * E * (0,6 * 2t) = 1,2 * Rt = 24 м 2 /с. Подставив в формулу нормального ускорения значения, можно вычислить и его an = V 2 / R = R * (0,6 * 10 2 — 1) 2 / 0,2 = 696 м/с 2 . Отсюда полное ускорение будет равняться: a = √ 24 2 + 696 2 = 697 м/с 2 .
Материальное тело перемещается по окружности, имеющей радиус 20 см. При этом тангенциальное ускорение равняется 5 см на секунду в квадрате. Определить, сколько понадобится времени, чтобы ускорения сравнялись и нормальное стало больше тангенциального в два раза. Исходя из условия, можно утверждать, что движение является равноускоренным. Поэтому можно применить формулы: an = V2 / t; at = V / t. Отсюда: t = V / at, а V = √an * R. Подставив второе выражение в первое, получится: t = (√an * R) / at. При равенстве ускорений an = at, будет верной запись: t = √R / at = √20 / 5 = 2 с. Для второго случая an = 2at, поэтому: t = (√2 * 20) / 5 = 2,8 c.

Сложная задача

Полученное уравнение является дифференциальным и показывает зависимость скорости от времени. Равенство можно преобразовать, умножив на отношение dt / V 2 . В итоге должно получиться выражение: dV / V 2 = — dt / R. Это уравнение можно проинтегрировать. При этом пределами интеграла с левой стороны будет V0 и V, а с правой — 0 и t. Получился обыкновенный степенной интеграл, который будет равняться: 1 / V = dt / R.

Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).

Теперь можно найти тангенциальное убыстрение, так как оно представляет производную от скорости. После взятия производной получится: at = dV / dt = — V02 / R (1 + V0 * t / R)2 = — V2 / R. Отсюда можно написать, что модуль полного ускорения будет равняться: a = √2 *|ar| = (√2 * V2) / R. Осталось найти путь. Он совпадает с длиной дуг и равняется интегралу модуля скорости от времени. После решения должно получиться равенство: S (t) = R * ln (1 + V0 * t / R). Задача решена.

[spoiler title=”источники:”]

http://nauka.club/fizika/tangentsialno%D0%B5-uskoreni%D0%B5.html

http://b4.cooksy.ru/articles/dvizhenie-po-okruzhnosti-tangentsialnoe-uskorenie

[/spoiler]

Источник

Общие сведения

Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.

Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.

Угловое ускорение

Вывод формулы

Исходя из графика, можно сделать два вывода:

Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.

at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.

Используя теорему Пифагора, можно сказать, что модуль полного ускорения равняется корню квадратному из суммы квадратов тангенциального и нормального ускорения: a = √at ² + an ².

Решение простых примеров

Вычислить все ускорения точки, лежащей на окружности, через десять секунд после воздействия на диск вращателя. При этом учесть, что радиус окружности составит 20 см, а угол между валом и радиус вектором тела соответствует закону: j =3-t+0.2t³. Для решения примера необходимо использовать формулы для нахождения угловой скорости и ускорения. Подставив заданные значения, можно получить: w = d φ / dt = -1 + 0,2 * 3t²и e = dw / dt = 0,6 * 2t. Применив формулу связи, легко найти ускорение: at = R * E * (0,6 * 2t) = 1,2 * Rt = 24 м²/с. Подставив в формулу нормального ускорения значения, можно вычислить и его an = V² / R = R * (0,6 * 10² — 1)² / 0,2 = 696 м/с². Отсюда полное ускорение будет равняться: a = √ 24² + 696² = 697 м/с².
Материальное тело перемещается по окружности, имеющей радиус 20 см. При этом тангенциальное ускорение равняется 5 см на секунду в квадрате. Определить, сколько понадобится времени, чтобы ускорения сравнялись и нормальное стало больше тангенциального в два раза. Исходя из условия, можно утверждать, что движение является равноускоренным. Поэтому можно применить формулы: an = V2 / t; at = V / t. Отсюда: t = V / at, а V = √an * R. Подставив второе выражение в первое, получится: t = (√an * R) / at. При равенстве ускорений an = at, будет верной запись: t = √R / at = √20 / 5 = 2 с. Для второго случая an = 2at, поэтому: t = (√2 * 20) / 5 = 2,8 c.

Сложная задача

Нормальное ускорение можно выразить через скорость и радиус: an = V² / R. Затем необходимо записать формулу для тангенциального ускорения: at = dV / dt. Так как они равны, то справедливым будет равенство: V² / R = dV / dt. Анализируя уравнение, можно сделать вывод, что так как скорость и радиус положительный, то слева будет стоять величина со знаком плюс. Но, с другой стороны, со временем скорость убывает, поэтому с правой стороны нужно поставить знак минус: V² / R = – dV / dt.

Полученное уравнение является дифференциальным и показывает зависимость скорости от времени. Равенство можно преобразовать, умножив на отношение dt / V². В итоге должно получиться выражение: dV / V² = – dt / R. Это уравнение можно проинтегрировать. При этом пределами интеграла с левой стороны будет V0 и V, а с правой — 0 и t. Получился обыкновенный степенной интеграл, который будет равняться: 1 / V = dt / R.

Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).

Источник

Разложение ускорения на тангенциальное ${displaystyle mathbf {a} _{tau }}$ и нормальное ${mathbf a}_{n}$ ( — единичный касательный вектор)

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор tau вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: ${displaystyle mathbf {a} _{tau }}$ или ${displaystyle mathbf {a} _{t}}$ , ${displaystyle mathbf {w} _{tau }}$ , ${displaystyle mathbf {u} _{tau }}$ . Измеряется в м/с² (в системе СИ).

Величина ${displaystyle a_{tau }}$ равна проекции полного ускорения на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формула[править | править код]

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

${displaystyle a_{tau }={frac {dv}{dt}}={frac {dvert {vec {v}}vert }{dt}}}$

где — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

${displaystyle mathbf {a} _{tau }={frac {dv}{dt}},mathbf {tau } }$

Тангенциальное ускорение ${displaystyle mathbf {a} _{tau }}$ параллельно вектору скорости при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулы[править | править код]

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде через единичный вектор касательной :

${displaystyle mathbf {a} ={frac {dmathbf {v} }{dt}}={frac {d(vmathbf {tau } )}{dt}}={frac {dv}{dt}},mathbf {tau } +v{frac {dmathbf {tau } }{dt}}={frac {dv}{dt}},mathbf {tau } +{frac {v^{2}}{R}}mathbf {n} }$

Первое слагаемое — тангенциальное ускорение ${displaystyle mathbf {a_{tau }} }$ , а второе — нормальное ускорение ${displaystyle mathbf {a_{n}} }$ ( и — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примеры[править | править код]

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью $v_{0}$ , направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как ${displaystyle {vec {v}}=v_{0},{vec {i}}-gt,{vec {j}}}$ , где — ускорение свободного падения. Модуль скорости составит ${displaystyle v={sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}$ , а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется ${displaystyle a_{tau }=dv/dt=g^{2}t/{sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}$ . В начальный момент оно равно нулю, а при больших стремится к . Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

${displaystyle {vec {a}}_{tau }=a_{tau },{vec {tau }}=a_{tau }cdot {frac {vec {v}}{v}}=a_{tau }cdot {frac {v_{0},{vec {i}}-gt,{vec {j}}}{sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}={frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}},{vec {i}}-{frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}},{vec {j}}}$

В этих выражениях vec{i} , vec{j} — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону ${displaystyle {vec {r}}=r_{0}sin(omega t){vec {i}}+r_{0}cos(omega t){vec {j}}}$ .

В таком случае скорость тела найдётся как ${displaystyle {vec {v}}=d{vec {r}}/dt=r_{0}omega cos(omega t){vec {i}}-r_{0}omega sin(omega t){vec {j}}}$ . Соответственно, её модуль равен ${displaystyle v={sqrt {r_{0}^{2}omega ^{2}cos ^{2}(omega t)+r_{0}^{2}omega ^{2}sin ^{2}(omega t)}}=r_{0}omega }$ и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

${displaystyle a_{tau }={frac {dv}{dt}}={frac {d(r_{0}omega )}{dt}}=0}$

Рассмотренная зависимость описывает равномерное движение по окружности радиусом $r_{0}$ .

Равнопеременность[править | править код]

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» ( ${displaystyle a_{tau }=,}$ const) и «равноускоренное» (const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.

Источник

В этой статье мы обсудим, как найти тангенциальное ускорение от различных вращательных движений, решая некоторые задачи с примерами.

Тангенциальное ускорение — это изменение тангенциальной скорости объекта на круговой траектории, перпендикулярной центростремительной силе, действующей внутрь.

Как найти тангенциальное ускорение из угловой скорости?

Вычислив изменение переменной угловой скорости во времени, мы можем найти угловое ускорение и, следовательно, тангенциальное ускорение объекта.

Тангенциальное ускорение можно определить, измерив разницу между тангенциальной скоростью, которая равна произведению угловой скорости на радиус кругового пути, пройденного объектом.

Рассмотрим объект, путешествующий с угловая скорость ω по круговой дорожке радиуса ‘r’.

Пусть «s» — смещение объекта за время «t», а «θ» — угол, образованный за счет смещения объекта. Следующий рисунок представляет то же самое.

Объект в Угловое движение

По геометрии длина дуги s круга, охваченного объектом за время t, будет равна

s = г1 — (XNUMX)

Здесь, в приведенном выше уравнении, есть две переменные. Местоположение объекта смещается по круговой траектории, составляющей угол θ в диапазоне 0–360°.⁰. Следовательно, мы можем переписать приведенное выше уравнение как

Δs=rΔθ

При делении обеих частей на переменную времени имеем

Δs/θt=rΔθ/Δt

Тангенциальная скорость объекта – это смещение объекта между двумя интервалами времени. Это то же самое, что v=Δs/Δt}; а угловое смещение объекта при изменении времени равно угловой скорости объекта. Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид

v=rω — (2)

Где v – тангенциальная скорость

Если ω является угловая скорость объекта, то угловое ускорение объекта будет

α = Δω/ Δt — (3)

Где α – угловое ускорение объекта.

Тангенциальное ускорение частицы — это изменение радиальной скорости объекта во времени, изменяющееся при изменении направления скорости.

Приведенное выше уравнение показывает взаимосвязь между тангенциальным ускорением и угловой скоростью объекта. Тангенциальное ускорение равно отношению изменения угловых скоростей объекта во времени и прямо пропорционально радиусу кругового пути, пройденного объектом.

Подробнее о Угловое ускорение.

Как найти тангенциальное ускорение при круговом движении?

Центростремительная сила удерживает тело в круговом движении, а направление тангенциальной скорости остается перпендикулярным этой силе.

Тангенциальное ускорение при круговом движении — это изменение скорости, вызванное изменением направления углового ускорения объекта.

Рассмотрим объект, движущийся в круговое движение под действием силы равна центростремительной силе.

Ф=Ф_c

Пусть «r» — радиус окружности, а v и a — радиальная скорость и радиальное ускорение соответственно.

ма=мв²/r

а=в²/ г – (6)

Подставляя уравнение (2) в приведенное выше уравнение, мы имеем

а=rω² -(Один)

Это радиальное ускорение объекта, а тангенциальное ускорение объекта будет

a_t=dv/dt=rdω/dt=rα

Где ω — угловая скорость, а

α – угловое ускорение объекта

Полное ускорение объекта при круговом движении будет векторной суммой тангенциального ускорения и радиального ускорения.

А также,

Следовательно,

Как найти тангенциальное ускорение без учета времени?

Компания тангенциальное ускорение зависит от углового ускорение объекта.

Тангенциальное ускорение — это коэффициент изменения тангенциальной скорости, возникающей из-за изменения направления пути объекта во времени.

Ссылаясь на приведенное выше уравнение № (5), мы можем написать

a_t=rα—(10)

Это уравнение показывает связь между тангенциальной ускорение и угловой ускорение тела не зависит от времени.

Как найти тангенциальное ускорение маятника?

Маятник совершает гармонические колебания, составляющие угол θ по длине струны.

Возвращающая сила, действующая на струну, возвращает маятник в исходное положение, действующее по касательной к дуге. На его основе можно найти тангенциальное ускорение маятника.

Рассмотрим маятник в СГМ. Нить длины «L» прикреплена к грузу массой «m». Пусть ‘s’ будет смещением боба из-за гармонического движения.

просто Гармоническое движение

По длине струны действует сила, равная mgCosθ, которая компенсируется натяжением струны. Возвращающая сила, действующая на груз, определяется выражением

F=-mgSinθ

ма=-mgSinθ

Для малых углов

а = гθ

Угол θ можно рассчитать, измерив длину дуги и разделив ее на длину струны.

θ = с/л

Следовательно, приведенное выше уравнение становится

а=гс/л

Тангенциальное ускорение маятника равно ускорению свободного падения и перемещению груза на длину нити.

Как найти тангенциальное ускорение с учетом времени?

Тангенциальная скорость будет увеличиваться со временем, если скорость тангенциального ускорения положительна.

Тангенциальное ускорение можно рассчитать, найдя разницу в радиальной скорости объекта, которая, очевидно, меняется, поскольку направление объекта с угловой скоростью продолжает меняться со временем.

Это дается формулой

a_t=дв_t/ дт

Где v_t это радиальная скорость

Подробнее о Как найти ускорение на графике скорости: задачи и примеры.

Часто задаваемые вопросы

Задача 1: Объект движется с ускорением по окружности радиусом 10 м. Угловая скорость объекта увеличивается до 6 м/с с 4 м/с между временными интервалами в 4 секунды. Вычислите тангенциальное ускорение тела.

Данный: r = 10 м

ω₁= 4 м / с

ω₂= 6 м / с

Δt=4 сек

Поэтому тангенциальное ускорение равно

=10 х (6-4)/4

=10 х 2/4=5 м/с²

Следовательно, тангенциальное ускорение тела равно 5 м/с.².

Задача 2: Рассчитайте тангенциальное ускорение и угловое ускорение мяча, движущегося по круговой траектории радиусом 5 метров со скоростью от 2 м/с до 4 м/с за 4 секунды.

Данный: V₁= 2 м / с

V₂= 4 м / с

Т=4с

Р=5м

Касательное ускорение равно

Поскольку, а_t=rα

α = а_t/r

α = 0.5 м/с²/5м=0.1 радиан/с²

Компания угловое ускорение мяча 0.1 радиан/с².

Источник

Tangential acceleration is the rate at which a tangential velocity varies in the rotational motion of any object. It acts in the direction of a tangent at the point of motion for an object. The tangential velocity also acts in the same direction for an object undergoing circular motion. Tangential acceleration only exists when an object travels in a circular path. It is positive if the body is rotating at a faster velocity, negative when the body is decelerating, and zero when the body is moving uniformly in the orbit.

Tangential Acceleration

Tangential acceleration is similar to linear acceleration, however, it is only in one direction. This has something to do with circular motion. Tangential acceleration is therefore the rate of change of a particle’s tangential velocity in a circular orbit. It always points to the tangent of the body’s route.

Tangential acceleration works when an object moves in a circular path. Tangential acceleration is similar to linear acceleration, but it is not the same as straight-line linear acceleration. If an item moves in a straight line, it is linearly accelerating.

A car, for example, speeding around a bend in the road. The automobile is accelerating tangentially to the path’s bend.

Also Read: What is Acceleration?

Tangential Acceleration Formula

The tangential acceleration is denoted by the symbol a_t. Its unit of measurement is the same as linear acceleration, that is, meters per square second (m/s²). Its dimensional formula is given by [M⁰L¹T^-2]. Its formula is given by the product of the radius of a circular path and the angular acceleration of the rotating object.

a_t = r α

where,

a_t is the tangential acceleration,

r is the radius of circular path,

α is the angular acceleration.

The above expression gives the relation between tangential acceleration and angular acceleration.

Now, in terms of angular velocity and time, the formula is given by,

a_t = r (ω/t)

where,

a_t is the tangential acceleration,

ω is the angular velocity,

t is the time taken.

In terms of angular displacement and time, the formula is given by,

a_t = r (θ/t²)

where,

a_t is the tangential acceleration,

θ is the angular displacement or angle of rotation,

t is the time taken.

Following are the various cases possible for different values of Tangential Acceleration:

When a_t is greater than Zero: The object has an accelerated motion, and the magnitude of velocity will increase with time.
When a_t is Less than Zero: The object has a deaccelerated or slow motion, and the magnitude of velocity will decrease with time.
When a_t is Equal to Zero: The object has a uniform motion, and the magnitude of velocity will remain constant.

Read More: Uniformly Accelerated Motion

Solved Examples on Tangential Acceleration

Example 1: Calculate the tangential acceleration if an object is undergoing circular motion for radius 5 m and angular acceleration 2 rad/s².

Solution:

We have,

r = 5

α = 2

Using the formula we get,

a_t = r α

= 5 (2)

= 10 m/s²

Example 2: Calculate the tangential acceleration if an object is undergoing circular motion for a radius of 12 m and angular acceleration of 0.5 rad/s².

Solution:

We have,

r = 12

α = 0.5

Using the formula we get,

a_t = r α

= 12 (0.5)

= 6 m/s²

Example 3: Calculate the angular acceleration if an object is undergoing circular motion for radius 20 m and tangential acceleration 40 m/s².

Solution:

We have,

r = 20

a_t = 40

Using the formula we get,

a_t = r α

α = a_t/r

= 40/20

= 2 rad/s²

Example 4: Calculate the angular acceleration if an object is undergoing circular motion for radius 2 m and tangential acceleration 20 m/s².

Solution:

We have,

r = 2

a_t = 20

Using the formula we get,

a_t = r α

α = a_t/r

= 20/2

= 10 rad/s²

Example 5: Calculate the radius if an object is undergoing circular motion for an angular acceleration of 4 rad/s² and tangential acceleration of 20 m/s².

Solution:

We have,

α = 4

a_t = 20

Using the formula we get,

a_t = r α

r = a_t/α

= 20/4

= 5 m

FAQs on Tangential Acceleration

Question 1: What are the values of radial and tangential acceleration when the motion of a particle is uniformly accelerated?

Answer:

Even though there is no tangential acceleration, the centripetal acceleration must be present to alter the direction of velocity at all times, and the centripetal acceleration is the net acceleration in this instance. This is an example of uniform circular motion.

Thus, If a_r and a_t represent radial and tangential acceleration then, a_r ≠ 0 and a_t = 0.

Question 2: What is Tangential Acceleration?

Answer:

Tangential acceleration is the rate at which a tangential velocity varies in the rotational motion of any object. It acts in the direction of a tangent at the point of motion for an object.

Question 3: What is the value of Tangential Acceleration in Uniform Circular Motion?

Answer:

The tangential acceleration is zero for uniform circular motion. In a uniform circular motion, angular velocity remains constant thus tangential acceleration = 0.

Read More: Uniform Circular Motion

Question 4: What is the SI Unit of Tangential Acceleration?

Answer:

The SI Unit of Tangential Acceleration is m/s².

Question 5: What is the relation between Tangential Acceleration and Angular Acceleration?

Answer:

The Tangential Acceleration formula is given by the product of the radius of a circular path and the angular acceleration of the rotating object.

a_t = r α

where,

a_t is the tangential acceleration,

r is the radius of circular path,

α is the angular acceleration.

Last Updated :
19 Dec, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Движение по окружности

Угловая скорость

Нормальное ускорение

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение – определение, формула и измерение

Общие сведения

Угловое ускорение

Вывод формулы

Решение простых примеров

Сложная задача

Движение по окружности тангенциальное ускорение

Движение по окружности

Угловая скорость

Нормальное ускорение

Тангенциальное ускорение

Виды движения по окружности

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Тангенциальное ускорение – когда модуль скорости меняется

Равноускоренное движение по окружности

Равнозамедленное движение по окружности

Общее ускорение при движении по окружности

Тангенциальное ускорение — определение, формула и измерение

Общие сведения

Угловое ускорение

Вывод формулы

Решение простых примеров

Сложная задача

Общие сведения

Угловое ускорение

Вывод формулы

Решение простых примеров

Сложная задача

Общая формула[править | править код]

Происхождение формулы[править | править код]

Некоторые примеры[править | править код]

Равнопеременность[править | править код]

Как найти тангенциальное ускорение из угловой скорости?

Как найти тангенциальное ускорение при круговом движении?

Как найти тангенциальное ускорение без учета времени?

Как найти тангенциальное ускорение маятника?

Как найти тангенциальное ускорение с учетом времени?

Часто задаваемые вопросы

Tangential Acceleration

Tangential Acceleration Formula

Solved Examples on Tangential Acceleration

FAQs on Tangential Acceleration

Вам также может понравиться

Как найти процент если он неизвестен

Как найти на карте йеннифер

Как составить тех карту на поп

Добавить комментарий Отменить ответ