Как найти тангенс через тангенс другого угла

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

   Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

   Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Получается, что

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

В частности,

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти его по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится его зависимость от косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение.

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

» alt=»»>

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».

Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.

Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.

Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.

Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.

Источник

Тангенс — что это такое (отношение чего к чему) и как его найти (по формулам и по клеточкам)

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

Решение уравнения tg x = a

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Графическое обоснование решения уравнения tg x = a представлено на рисунке 3.

Частные случаи решения уравнений tg x = a

Уравнение	Решение
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса , косинуса (это что?) , тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тригонометрические функции и их значение в изучении геометрии

В геометрии особую роль имеют тригонометрические функции, при помощи которых определяют, как относятся между собой стороны и углы прямоугольного треугольника. Конечно, тригонометрия не стоит на месте и со времен Евклида она намного шагнула вперёд и теперь может эти функции могут выражаться через решение дифференциальных уравнений.

В данный момент используются шесть обозначений для основных тригонометрических функций, причем четыре функции из шести, они стоят в ряду последними, можно определять не только с помощью геометрии.

Синус (sin)

Косинус (cos)

Тангенс (tg/tan)

Котангенс (ctg/cot)

Секанс (sec)

Косеканс (cosec/csc) .

Рассмотрим сам прямоугольный треугольник, обозначения его сторон и углов во всех справочниках, как обычно, стандартные, какой бы стороной он не лежал бы на плоскости.

В этом треугольнике различают три угла, обозначаемые α, β, γ, при этом γ всегда 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла γ, называется гипотенузой, она обозначается буквой С. Угол α, с него начинаются все расчеты, находится напротив стороны а / ВС/, называемой противолежащей к этому углу, и сторона b /АС/, которая находится рядом, подлежит к этому углу и называется прилежащей.

По Евклидовой теории, которая верна до сих пор (и будет верна всегда), суммы углов такого треугольника, который находится в одной плоскости, будет равна 180 или числу π. И значение любого угла будут находиться в пределах между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

• Синус α выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть sin α = а: с.
• Косинус α выражается через отношение катета, который прилежит к углу α, и гипотенузы с, cos α = b: с. Кстати, sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α.
• Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b: tg α = а : b.
• Котангенс угла α в соответствии равен ctg α = b : а.
• Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b.
• Косеканс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosecα = с : a.

Эти функции можно выразить и через окружность путем задания системы координат. Задаем систему координат с центом в точке О. Угол, на который поворачивается отрезок ОА, изображенный на чертеже, будем считать произвольным, назовем его θ.

Тогда тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Следовательно, если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Применение функции тангенса для решения задач

Что бы научиться пользоваться этой функцией, Нужно попробовать решить несколько примеров по применению этой функции.

Пример: есть два катета ВС = 7 см и АС = 12 см. Нам нужно узнать все остальные данные о треугольнике.

Первая формула, это tg α = а : b. тогда tg α = 7 :12= 0, 5833, далее для нахождения угла α используем таблицы Брадиса. На пересечении градусов и минут находим ближайшее значение угла – 0,5844, соответствующее 30° и 18′.

Находим ближайшую поправку, разную 3′. Отнимаем ее от нашего угла и получаем угол α = 30° 15′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов должна быть не больше 180°, а угол γ = 90° по условию. Тогда угол β = 90° – 30° 15′= 59°45′.

Нам осталось найти гипотенузу с.

Можем найти её через sin α, который равен а: с, тогда с = а : sin α.

Находим sin α через таблицу Брадиса. Ближайшее значение 30° 36′, будет 0,5060, тогда не хватает 3′, Что по полям поправок равно 0,0008. Добавляем это число к найденному: 0, 5060 + 0,0008 = 0,5068. Подставляем это значение в формулу, с = 7:0,5068, с = 13, 8 см. Задача решена.

Можно искать значение углов через значение числа π, которое равно 180°. Тогда наиболее популярные углы, такие, как тангенс 30 градусов, тангенс 0 градусов, тангенс 60 градусов, тангенс 90 градусов, тангенс 45 градусов, тангенс 15 градусов, тангенс 75 градусов можно рассматривать намного проще. Нужно знать, что тангенс 0 градусов равен 0, а тангенс 90 градусов не имеет конкретного значения.

Можно найти тангенс угла 5 градусов, который равен 0, 0875 и добавлять или отнимать от наиболее часто встречающихся углов. Например угол 45 градусов, его тангенс равен 1, тогда тангенс угла 50 градусов будет равен 1, 0875. Тангенс 35 градусов можно рассчитать путем добавления к тангенсу 30 градусов угол 5 градусов, а тангенс 10 градусов это удвоение угла 5 градусов.

Для удобства есть рассчитанная таблица основных углов через значение π.

Значение угла α (градусов)	Значение угла α в радианах	tg (тангенс)
Тангенс 0	0	0
Тангенс 15	π/12	0.2679
Тангенс 30	π/6	0.5774
Тангенс 45	π/4	1
Тангенс 50	5π/18	5114
Тангенс 60	π/3	1.7321
Тангенс 65	13π/36	2.1445
Тангенс 70	7π/18	2.7475
Тангенс 75	5π/12	3.7321
Тангенс 90	π/2	–
Тангенс 105	5π/12	-3.7321
Тангенс 120	2π/3	-1.7321
Тангенс 135	3π/4	-1
Тангенс 140	7π/9	-0.8391
Тангенс 150	5π/6	-0.5774
Тангенс 180	π	0
Тангенс 270	3π/2	–
Тангенс 360	2π	0

Если угол больше 90 градусов, нужно помнить, что функции имеют свойство повторяться, поэтому, если ищем тангенс 145 градусов, тогда 180 – 145 = 35 градусов, но уже со знаком «минус», это можно понять по чертежу окружности, где положительное или отрицательное значение абсциссы и ординаты. Научиться быстро пользоваться таблицами Брадиса и рассчитывать значения треугольника совсем не сложно, главное, уловить суть процесса.

Источник

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1)
(tg, 3xcdot ctg, 3x=1)

Но:

(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1)
(tg, xcdot ctg, y≠1)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения, заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите (5sin⁡,α), если (cos,⁡α=frac{2sqrt{6}}{5}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)). 
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

(sin^2α+cos^2⁡α=1).

Подставим вместо косинуса его значение:

(sin^2⁡α+)((frac{2sqrt{6}}{5}))(^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{4cdot 6}{25})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{24}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{24}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{1}{25})
(sin⁡α=±)(frac{1}{5})

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt{a})  и (x_2=-sqrt{a}). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac{1}{5}), а может (-)(frac{1}{5}). И какое значение нам надо выбрать – с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac{3π}{2};2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac{3π}{2};2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sin,⁡α=-frac{1}{5}) т.е. (5sin,⁡α=5cdot(-frac{1}{5})=-1).

Ответ: (-1).

Пример.Найдите (tg,α), если (cos,⁡α=)(frac{sqrt{10}}{10}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)). 
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

– напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α});
– сначала с помощью тождества (sin^2⁡α+cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=)(frac{sin⁡,α}{cos⁡,α}) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

(sin^2⁡α+)((frac{sqrt{10}}{10})^2)(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{10}{100})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{1}{10})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{1}{10})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{10});
(sin⁡,α=±)(frac{3}{sqrt{10}})

Опять (α∈(frac{3π}{2};2π)), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, (sin⁡,α=-)(frac{3}{sqrt{10}}).
А теперь вычисляем тангенс: (tg,α=-)(frac{3}{sqrt{10}})(:)(frac{sqrt{10}}{10})(=)(-frac{3}{sqrt{10}}cdotfrac{10}{sqrt{10}})(=-)(frac{30}{10})(=-3).

Ответ: (-3).

Пример. Известно, что (tg,α=-frac{3}{4}) и (frac{π}{2}<α<π). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла (α).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

(ctg, α=)(frac{1}{tg, α})
(ctg,α=1:(-frac{3}{4})=1cdot(-frac{4}{3})=-frac{4}{3}).

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

(tg^2 α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
((-)(frac{3}{4}))(^2+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{9}{16})(+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{9+16}{16})(=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{25}{16})(=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(cos^2⁡α=)(frac{16}{25})
(cos⁡α=±)(frac{4}{5})

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок ((frac{π}{2};π)) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит (cos,⁡α=-)(frac{4}{5}).

Осталось найти синус:

(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1)
(sin^2⁡α+(-)(frac{4}{5})()^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{16}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{16}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{25})
(sin,⁡α=±)(frac{3}{5})

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Получается, что (sin,⁡α=)(frac{3}{5}).

Ответ: (ctg,α=-)(frac{4}{3});   (cos,⁡α=-)(frac{4}{5});    (sin,α=)(frac{3}{5}).

Пример (ЕГЭ). Найдите (tg^2 α), если (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6) синус заменим на косинус:

(5(1-cos^2⁡α)+13 cos^2⁡α=6)
(5-5 cos^2⁡α+13 cos^2⁡α=6)
(5+8 cos^2⁡α=6)
(8 cos^2⁡α=1)
(cos^2⁡α=)(frac{1}{8})

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α}) :

(tg^2 α+1=1:)(frac{1}{8})
(tg^2 α+1=1cdot)(frac{8}{1})
(tg^2 α+1=8)
(tg^2 α=7)

Ответ: (7).

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение (frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β).
Решение.

(frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β)		Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.
(=)(frac{1}{sin^2 α})(-)(frac{cos^2⁡α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		Приводим дроби к общему знаменателю.
(=)(frac{1-cos^2⁡α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		(1-cos^2⁡α) можно заменить на (sin^2 α).
(=)(frac{sin^2 α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		Сокращаем синусы.
(=1-cos^2 β=sin^2 β).

Пример. Докажите тождество (frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}).
Решение.

(frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Чтобы доказать это тождество, будем преобразовывать левую часть, пытаясь свести ее к правой. Поехали. Разложим числитель левой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель, наоборот, соберем по ней же.
(frac{(cos^2⁡α-sin^2⁡α )(cos^2 α+sin^2⁡α)}{1-sin^2⁡α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Очевидно, что вторая скобка числителя равна (1) (по основному тригонометрическому тождеству), а знаменатель можно заменить на (cos^2 α).
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Теперь разложим тангенс по формуле (tg, α=)(frac{sin⁡,α}{cos,⁡α}).
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α})(+2)(frac{sin^2⁡α}{cos^2⁡α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		Приводим дроби к общему знаменателю.
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α+2 sin^2⁡α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		Приводим подобные слагаемые.
(frac{cos^2⁡α+sin^2⁡α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		И вновь нас выручает основное тригонометрическое тождество
(frac{1}{cos^2 α}) (=)(frac{1}{cos^2 α})

Левая часть полностью идентична правой, то есть тождество доказано.

Как доказать все формулы связи