Как найти тангенс острого угла равнобедренного треугольника

Равнобедренные треугольники

Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

– биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

– высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

– медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

$∠BCD$ – внешний угол треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= – cos BOC;$

$ctg BOA= – ctg BOC.$

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение.

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

” alt=””>

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».

Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.

Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.

Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.

Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.

В равнобедренном треугольнике тангенс равен

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM , проведённая к основанию, равна 3, а

. Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Имеем:

По теореме Пифагора

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM , проведённая к основанию, равна 9, а . Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к противолежащему. Имеем:

По теореме Пифагора

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM , проведённая к основанию, равна 20, а . Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к противолежащему. Имеем:

По теореме Пифагора

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM , проведённая к основанию, равна 42, а . Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный. Тангенс в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к противолежащему. Имеем:

По теореме Пифагора

В треугольнике ABC Найдите AC.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В треугольнике ABC Найдите

Проведем высоту СН. Треугольник ABC равнобедренный, значит, высота CH делит основание AB пополам.

[spoiler title=”источники:”]

http://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/tangens-chto-ehto-takoe-otnoshenie-najti-formulam-kletochkam.html

http://mathb-ege.sdamgia.ru/test?likes=27289

[/spoiler]

Тангенс угла tg(α)

Катетами прямоугольного треугольника называются те его стороны, которые образуют прямой угол. Каждый из катетов всегда меньше гипотенузы по значению, но в сумме они обязательно ее превосходят. Зная оба катета, можно найти не только третью сторону прямоугольного треугольника – гипотенузу, по теореме Пифагора, но и углы, находящиеся между катетами и гипотенузой. Для этого используется тригонометрическое отношение тангенса угла α , которое по определению равно отношению катета, противолежащего углу α , к катету прилежащему.
Делением катета, находящегося напротив угла, на катет, который является одной из сторон угла, получается значение тангенса, соответствующее определенной градусной мере. Краткая таблица основных значений тангенса находится внизу страницы, а полная таблица всех тангенсов расположена по ссылке.

Свойства

Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b .

Калькулятор и таблица для вычисления тангенса и котангенса.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить тангенс и котангенс с точностью от одного до шестнадцати знаков после запятой. Чтобы вычислить тангенс и котангенс, просто введите ваши данные. Так же можно воспользоватся таблицей Брадиса тангенса(tg) и котангенса(ctg) от 0° до 360°.

Калькулятор для вычисления тангенса и котангенса

Цифр после запятой

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Tg (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета(BC) к прилежащему катету(AC).
Пимер:
α = 40°; BC = 7,552см; AC = 9см.
tg (40°) = 7,552 9 = 0,8391

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Ctg (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к противолежащему катету(BC).
Пимер:
α = 40°; AC = 9см; BC = 7,552см.
ctg (40°) = 9 7,552 = 1,1918

Тангенс угла

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету. Тангенс угла обозначается .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (изображен на рисунке) с , гипотенузой и катетами и . Тогда

Рассмотрим тригонометрическую окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Выберем произвольный угол , которому на окружности соответствует точка . Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда

т.е. тангенс угла это отношение ординаты точки А к абсциссе. Так как синус угла равен значению ординаты точки А, а косинус угла равен значению абсциссы, то

Функция периодическая с периодом , т.е.

Примеры решения задач

Так как , то получаем, что

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

   Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

   Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Получается, что

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

В частности,

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти его по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится его зависимость от косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Катетами прямоугольного треугольника называются те его стороны, которые образуют прямой угол. Каждый из катетов всегда меньше гипотенузы по значению, но в сумме они обязательно ее превосходят. Зная оба катета, можно найти не только третью сторону прямоугольного треугольника – гипотенузу, по теореме Пифагора, но и углы, находящиеся между катетами и гипотенузой. Для этого используется тригонометрическое отношение тангенса угла α, которое по определению равно отношению катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему.

Делением катета, находящегося напротив угла, на катет, который является одной из сторон угла, получается значение тангенса, соответствующее определенной градусной мере. Краткая таблица основных значений тангенса находится внизу страницы, а полная таблица всех тангенсов расположена по ссылке.

Таблица тангенсов

Тангенс угла 0° градусов	0	0.000
Тангенс угла 30° градусов	1/√3	0.577
Тангенс угла 45° градусов	1	1.000
Тангенс угла 60° градусов	√3	1.732
Тангенс угла 90° градусов	∞	∞