Тангенс в прямоугольном треугольнике
Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти тангенс? От чего зависит значение тангенса?
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Например, для угла A треугольника ABC
Поэтому тангенс угла A в треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
противолежащим является катет AC,
Соответственно, тангенс угла B в треугольнике ABC
равен отношению AC к BC:
Таким образом, тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое при делении длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.
Так как длины катетов — положительные числа, то и тангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.
Тангенс угла треугольника зависит от величины угла, но не зависит от катетов (важно лишь их отношение).
Если в треугольнике изменить длины катетов, не меняя угол, то величина тангенса не изменится.
Тангенс в прямоугольном треугольнике – свойства, формула и примеры нахождения
Геометрические фигуры завораживают количеством своих свойств и функций, таких как тангенс в прямоугольном треугольнике. Это происходит в основном из-за двух факторов.
Во-первых, нам уже известен один из углов, который равен 90 градусам. Во-вторых, есть много свойств с применением прямоугольников. А из двух прямоугольных треугольников как раз получается именно такая фигура.
Из этого вытекает многое, но сегодня мы поговорим об одном очень интересном свойстве такого треугольника, как тангенс. В данной статье мы подробно рассмотрим определение тангенса, узнаем, как его можно найти и как его можно использовать.
Если вы уже что-то слышали про отношения одной из сторон к гипотенузе, то здесь все просто. Если же нет – то ниже дано краткое объяснение.
Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике
Синусом угла в треугольнике называют отношение противолежащей данному углу стороны к гипотенузе треугольника, а косинусом – прилежащего к гипотенузе.
И если мы поделим синус угла на косинус, то получим тангенс (обозначается как tg), а если косинус на синус – то котангенс. Здесь все очень просто, главное знать катеты и гипотенузу треугольника.
Также бывают и тригонометрические тангенсы на окружности со своими графиками, разностью показателей числа π, но в данной статье мы их не рассматриваем, так как к треугольнику они имеют лишь косвенное отношение.
Таблица тангенсов углов от 0° до 360°
Ниже представлена таблица значений, которая пригодится для быстрого нахождения необходимых значений.
В качестве альтернативы предлагаем либо искать значения онлайн, либо запоминать их. Самым же эффективным способом математики считают вывод этих значений, но это будет удобно далеко не для всех.
Примеры вычислений тангенса в прямоугольном треугольнике
Существует довольно много способов и несложных формул для нахождения тангенса в прямоугольном треугольнике. Мы же рассмотрим только некоторые из них.
Все способы упираются в нахождение сторон, поэтому здесь секрет прост – если вы знаете значения всех сторон, то тангенс угла A в треугольнике находится по следующему правилу: tgA = BC : AC, что означает, что tg A равен отношению противолежащей стороны углу к прилежайщей.
Легче всего найти тангенс именно острого угла. Если даже это не угол прямоугольного треугольника, то дополнить его до прямоугольного не составит труда.
Это то, на чем построена сама сущность тангенса, но если нужно найти стороны, то это уже точно задача не про тангенсы.
Что такое тангенс угла и как его найти
Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.
Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.
Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.
Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.
Тангенс угла
Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.
В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.
Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.
Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.
Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.
Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.
Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).
Тангенс — это отношение.
Итак, есть два определения:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
” alt=””>
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Как найти тангенс угла (формулы)
Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.
Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому
Так как тангенс – это отношение катетов, то
Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.
Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.
Как найти тангенс по клеточкам
Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.
Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:
Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение
и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.
Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:
Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (5)
Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».
Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.
Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.
Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.
Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.
[spoiler title=”источники:”]
http://nauka.club/matematika/geometriya/tangens.html
http://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/tangens-chto-ehto-takoe-otnoshenie-najti-formulam-kletochkam.html
[/spoiler]
Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти тангенс? От чего зависит значение тангенса?
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Например, для угла A треугольника ABC
противолежащий катет — BC,
прилежащий катет — AC.
Поэтому тангенс угла A в треугольнике ABC — это
![[tgangle A = frac{{BC}}{{AC}}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-855e1738f43567ebc5755a4a9c689a8c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Для угла B треугольника ABC
противолежащим является катет AC,
прилежащим — BC.
Соответственно, тангенс угла B в треугольнике ABC
равен отношению AC к BC:
![[tgangle B = frac{{AC}}{{BC}}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f179f7b4535219a99841e5116df1bee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое при делении длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.
Так как длины катетов — положительные числа, то и тангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.
Тангенс угла треугольника зависит от величины угла, но не зависит от катетов (важно лишь их отношение).
Если в треугольнике изменить длины катетов, не меняя угол, то величина тангенса не изменится.
Например,
в треугольниках ABC и FKM
∠A=60º,
∠F=60º.
![[tgangle A = frac{{BC}}{{AC}} = frac{{12sqrt 3 }}{{12}} = sqrt {3,} ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5dd4dad12ae9585cdb7569ca2dc34899_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[tgangle F = frac{{KM}}{{FM}} = frac{{5sqrt 3 }}{5} = sqrt 3 .]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c048d4ff55d28b1510abd18ac4529359_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Содержание:
- Тангенс угла в треугольнике
- Тангенс произвольного угла
Тангенс угла в треугольнике
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего
этому углу катета к прилежащему катету (рис. 1):
$$operatorname{tg} alpha=frac{a}{b}$$
Замечание
Сравнивая определения для тангенса и
котангенса угла, можно заметить, что тангенс и котангенс угла связаны между собой соотношением:
$$
operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}
$$
Пример
Задание. Найти тангенс острого угла прямоугольного треугольника, если известно, что
прилежащий к этому углу катет равен 3 см, а противолежащий ему – на 2 сантиметра длиннее.
Решение. Вначале найдем длину противолежащего катета:
$a = 3 + 2 = 5$ (см)
Тогда тангенс угла
$$
operatorname{tg} alpha=frac{5}{3}
$$
Ответ.
$$
operatorname{tg} alpha=frac{5}{3}
$$
Тангенс произвольного угла
Определение
Тангенс произвольного угла
$alpha$, образованного осью
$O_x$ и произвольным радиус-вектором $overrightarrow{O A}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ (рис. 2), – отношение
проекции этого вектора на ось
$O_y$ к его проекции на ось
$O_x$:
$$operatorname{tg} alpha=frac{a_{y}}{a_{x}}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти тангенс угла, образованного вектором
$bar{a}=(1 ;-1)$ и осью абсцисс.
Решение. Проекция на ось абсцисс равна
$a_x=1$, а на ось ординат – $a_y=-1$, тогда
$$operatorname{tg} alpha=frac{-1}{1}=-1$$
Ответ. $operatorname{tg} alpha=-1$
Читать дальше: что такое котангенс угла.
Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске поговорим о задании, которое иногда доставляет неожиданные неприятности на экзамене. Задания довольно простые, но бывают промахи. Это задания, которые сделаны как бы на тетрадном листочке в клеточку. Итак, давайте начнем.
Задание №1. УГЛЫ
Задача №1
Запомните, чтобы найти тангенс острого угла на таких картинках, обязательно нужно достроить до прямоугольного треугольника.
Вспомним, что такое тангенс острого угла прямоугольного треугольника?
Определение тангенса острого угла:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника, называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Катет BF- противолежащий угла FОВ, OF – прилежащий к углу FOB.
Задача №2
Чтобы найти тангенс угла АОВ на этой картинке, нужно достроить до прямоугольного треугольника, и найти стороны этого треугольника.
1. Достроим до треугольника ОВН и докажем, что он прямоугольный.
2. Для этого достроим на стороне ОН, ОВ и ВН прямоугольные треугольники ОСВ, ОНК и BDH. Докажем, что треугольник АВН прямоугольный.
Найдем гипотенузу ОВ прямоугольного треугольника ОСВ, гипотенузу ОН прямоугольного треугольника ОКН и гипотенузу ВН прямоугольного треугольника ВDH через теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теперь докажем, что треугольник ОВН прямоугольный. Воспользуемся обратной теоремой Пифагора: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Так как равенство верно, то треугольник ОВН прямоугольный.
Теперь найдем тангенс угла АОВ
Задание №2 Расстояние
Для выполнения этого задания, проведите отрезок ВС, найдите середину его и отметим точкой К. Проведите отрезок АК, который равен 4. Ответ 4
Задание №3 Площадь
Задача №1
Задание простое, но есть ошибки по невнимательности.
Задача №2
а) Площадь треугольника и параллелограмма
Запомните! Площадь треугольника от площади параллелограмма отличается только тем, что площадь треугольника нужно делить на 2, а площадь параллелограмма нет.
б) Площадь трапеции. Чтобы найти площадь трапеции, нужно сложить основания трапеции, умножить на высоту и поделить на 2.
в) Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Это не все типы заданий, что встречаются на экзамене. Продолжение следует.
Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Гипотенуза прямоугольного треугольника – это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты – стороны, лежащие напротив острых углов. Катет (a), лежащий напротив угла (alpha), называется противолежащим (по отношению к углу (alpha)). Другой катет (b), который лежит на одной из сторон угла (alpha), называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе: (sin∠A=frac{a}{c} ).
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: (cos∠A=frac{b}{c} ).
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, и наоборот:
(sin∠A=cos∠B; sin angle A=cos angle B; sin∠A=cos∠B; \ sin∠B=cos∠A; sin angle B=cos angle A; sin∠B=cos∠A.)
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: (tg ∠A=frac{a}{b} ).
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: (tgangle A=frac{sinangle A}{cosangle A}).
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему: (ctg ∠A=frac{b}{a} ).
Котангенсом острого угла называется отношение косинуса к синусу: (ctgangle A=frac{cosangle A}{sinangle A}).
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
| (varphi) | (0^{circ}) | (30^{circ}) | (45^{circ}) | (60^{circ}) | (90^{circ}) |
|---|---|---|---|---|---|
| (sin varphi) | (0) | (begin{aligned} frac{1}{2} end{aligned}) | (begin{aligned} frac{sqrt 2}{2} end{aligned}) | (begin{aligned} frac{sqrt 3}{2} end{aligned}) |
(1) |
|
(cos varphi) |
(1) | (begin{aligned} frac{sqrt 3}{2} end{aligned}) | (begin{aligned} frac{sqrt 2}{2} end{aligned}) | (begin{aligned} frac{1}{2} end{aligned}) |
(0) |
| (rm tg varphi) | (0) | (begin{aligned} frac{1}{sqrt 3} end{aligned}) | (1) | (begin{aligned} sqrt 3 end{aligned}) |
(color{red}-) |
| (rm ctg varphi) | (color{red}-) | (begin{aligned} sqrt 3 end{aligned}) | (1) | (begin{aligned} frac{1}{sqrt 3} end{aligned}) |
(0) |
