Один из типов задач в задании 3 – это задачи на нахождение углов.
На клетчатой решетке изображен угол, величину которого надо найти.
Это могут быть самые разнообразные углы:
Методы вычисления могут быть разные.
Принцип большинства заданий – найти прямоугольный треугольник и вычислить у него стороны и найти угол используя синус или косинус или тангенс (в зависимости от задания)
Если необходимо найти тангенс тупого угла, то в начале находим тангенс смежного острого угла и применяем формулу приведения (в ответе появится минус). Напомню, что синус тупого и острого угла имеет один и тот же знак, а вот косинус, так же как и тангенс, тупого и острого угла имеет противоположные знаки.
Если так не получается, то начинаем искать отрезки, треугольники и вычислять стороны. Применять свойство равнобедренных треугольников или теорему косинусов.
Если совсем непонятно, что делать, то встройте угол в прямоугольник и посчитайте все стороны и решение придет
Мы рассмотрели один из типов задач. Главное, поймите принцип, а тогда решите любую задачу.
№8. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
Решение:
Опустим перпендикуляр AH на сторону OB.
Рассмотрим прямоугольный △ A O H :
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2
Ответ: 2
№9. Найдите тангенс угла A треугольника ABCб изображённого на рисунке.
Решение:
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4
Ответ: 0,4
№10. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin ∠ A = B H A B
Найдем AB по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 3 2 + 4 2
A B 2 = 9 + 16 = 25
A B = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит
A B = 5
sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8
Ответ: 0,8
№11. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .
Решение:
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75
Ответ: 0,75
№12. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos ∠ A B H = B H A B
Найдем A B по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 6 2 + 8 2
A B 2 = 36 + 64 = 100
A B = ± 100 = [ − 10 не подходит 10 подходит
A B = 10
cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8
Ответ: 0,8
№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.
Решение:
tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α
Рассмотрим прямоугольный △ B C H .
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg α = C H B H = 3 1
tg β = − tg α = − 3
Ответ: -3
№14. Найдите тангенс угла AOB.
Решение:
Опустим высоту BH на сторону OA.
Рассмотрим прямоугольный △ O B H :
tg ∠ O = B H O H
Найдем B H и O H по теореме Пифагора:
B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68
B H = ± 68 = ± 4 ⋅ 17 = ± 4 ⋅ 17 = ± 2 17 = [ − 2 17 не подходит 2 17 подходит
B H = 2 17
O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17
O H = ± 17 = [ − 17 не подходит 17 подходит
O H = 17
tg ∠ O = B H O H = 2 17 17 = 2
Ответ: 2
Как найти тангенс угла
Тригонометрия – тема, которую многие обходят стороной. Несмотря на это, если найти к ней правильный подход она станет очень интересной для вас. Тригонометрические формулы, в том числе и формулы для нахождения тангенса, используются во многих сферах реальной жизни. Данная статья расскажет о способах нахождения тангенса угла и приведет примеры применения данной величины в жизни. Это даст вам мотивацию на пути изучения данной темы.
Несмотря на мнение, которые бытует среди большинства школьников, тригонометрия достаточно часто применяется в жизни. Наглядный пример практического применения даст вам стимул не лениться. Вот несколько сфер деятельности где используются тригонометрические вычисления, в том числе и нахождение тангенса угла:
- Экономика.
- Астрономия.
- Авиация.
- Инженерия.
Итак, ниже будут приведены способы нахождения tg.
2
Как найти tg угла
Нахождение тангенса угла достаточно просто. Вы можете изучить данную тему и просто вызубрить правила, но все это может вылететь из головы на экзамене. Поэтому стоит подходить к данному вопросу осмысленно. Основные формулы для запоминания:
- tg0° = 0
- tg30° = 1/√3
- tg45° = 1
- tg60° = √3
- tg90° = ∞ (бесконечность/неопределенно)
Обратите внимание, что величины идут по возрастанию: чем больше угол – тем больше значение тангенса. Соответственно, при градусном значении угла в 0° мы получим 0. При значении в тридцать градусов – единица поделенная на корень из трех и т.д., пока мы не достигнем отметки в 90°. При нем величина тангенса равна бесконечности или неопределенности (исходя из конкретной ситуации).
Данные выражения вытекают из правила нахождения тангенса через прямоугольный треугольник. Так, тангенс угла A (tgA) равен соотношению противолежащего катета к прилежащему. Представьте, что дан прямоугольный треугольник, в котором известны все стороны, но не известны углу. По решению задачи требуется найти тангенс угла A. Величина стороны, которая лежит напротив угла – 1, а прилежащего катета – √3. Их соотношение дает 1/√3. Мы уже знаем, что величина угла при данном показателе равна 30 градусам. Соответственно, угол A = 30°.
В прямоугольном треугольнике у прямоугольного угла оба тангенса – прилежащие. Противолежащая сторона данного угла – гипотенуза. Именно потому, что мы не можем разделить два катета друг на друга (нарушится условие нахождения), тангенс 90° в данном случае не существует.
Помимо всего этого, часто приходится находить тангенс тупого угла. Обычно в задачах встречаются тупые углы с величиной в 120 или 150 градусов. Формула нахождения тангенса тупого угла выглядит следующим образом: tg(180-a) = tga.
К примеры, нам необходимо найти тангенс 120°. Необходимо задать себе следующий вопрос: сколько нужно отнять от 180, чтобы получить 120? Однозначно, 60°. Отсюда следует, что тангенс 120° и тангенс 60° равны друг другу и tg120° = √3. По такой же логике можно найти тангенс в 150 и 180 градусов. Их значения будут соответственно равны 1/√3 и 0. Величины тангенсов других углов приведены в тригонометрической таблицы, но используются они крайне редко.
3
Как найти tg угла онлайн
Существует много онлайн ресурсов для нахождения тангенса угла. Одним из таких является сайт FXYZ. Перейдите по ссылке. Перед вами выйдет страница, где будут приведены основные формулы, связанные с тангенсом, а также калькулятор. Пользоваться калькулятором достаточно просто. Необходимо ввести соответствующие и калькулятор вычислит ответ. Этот несложный алгоритм поможет вам в случае, если вы что-то забыли. На данном сайте есть два калькулятора. Один – для нахождения величины тангенса исходя из длин катетов треугольника, а второй исходя из величины угла. Используйте тот вычислитель, который требует задача.
Как вы могли заметить, нахождения тангенса и других тригонометрических показателей очень часто применяется в реальной жизни, а находить эти значения совсем несложно. Если вы поймете суть нахождения, то что-либо зазубривать вам не придется – вы сами сможете дойти до правильного ответа. Если все-таки что-то не получается, воспользуйтесь калькулятором, но не злоупотребляйте. На экзамене, зачете или школьной контрольной работе такой возможности вам никто не предоставит. Более того, если вы поступите на факультет, где изучается тригонометрия высшей математики, без базовых знаний вам придется серьезно попотеть чтобы не срезаться.
Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:
Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:
Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.
То есть tg(BOA) = DB / DO.
Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.
DO = 2.
DB = 5.
Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.
Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:
ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.
_
А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):
Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.
И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.
Как же нам их найти?
И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).
Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, у нас получится следующее:
tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.
И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.
Сегодня на пробном ОГЭ по математике часть ребят решали так называемые «задачи на клетчатой бумаге». Не всем удалось решить задачи, связанные с нахождением cos a, tg a…. Предлагаю, не откладывая в долгий ящик, перейти по ссылке и разобраться, понять решение таких задач. Это стоит сделать еще и потому, что в 11 классе на ЕГЭ такие же задачи встречаются. Вот задачи с это сайта http://easy-physic.ru/figury-na-kvadratnoj-reshetke/
Определить тангенс угла:
Вспомним, что тангенс тупого угла равен тангенсу острого, смежного с ним, взятого с отрицательным знаком.
Надо найти тангенс смежного острого угла. Так как луч, образующий его – гипотенуза прямого угла и проходит прямо по узлам решетки, то катеты треугольников, образуемых этим лучом, всегда равны. Тогда тангенс равен:
. Искомый тангенс тупого угла – (-1).
Ответ: -1
Определить тангенс угла.
Данный угол – тупой, значит, его тангенс – отрицателен. Определяем тангенс смежного с ним острого угла, ставим перед ним минус – и дело в шляпе. Чтобы определить тангенс острого угла, выбираем целый узел, через который проходит луч, образующий угол – помечен черной точкой. Катеты получившегося треугольника – 1 и 3 клетки, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, значит, 
. Искомый тангенс тупого угла – (-3).
Ответ: -3
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Asya Админ. спросил 5 лет назад
Здравствуйте!
Как найти тангенс угла по клеточкам? Дали задание, а к нему только рисунок. Не понимаю, как его можно решить. Помогите, пожалуйста.
Спасибо!
1 ответ
Asix Админ. ответил 5 лет назад
Задание.
Найти тангенс угла АОВ, который изображен на данном рисунке.
Решение.
Чтобы понять как найти тангенс угла по клеточкам данного рисунка вспомним, что тангенс можно найти из прямоугольного треугольника, длину катетов которого как раз и можно посчитать по клеточкам.
Рассмотрим рисунок, чтобы понять какой прямоугольный треугольник можно получить.
Построим прямоугольный треугольник таким образом, чтобы отрезок ОВ являлся его гипотенузой.
Обозначим новую точку буквой К. из полученного прямоугольного треугольника ОВК можно вычислить тангенс угла ВОК, который рассчитывается как отношение противолежащего катета к прилежащему. Из рисунка видно, что противолежащий катет к углу ВОК равен 3 клеточки, а прилежащий – 1 клеточка. Условно клеточки примем за единицы или сантиметры и рассчитаем:
tg BOK = BK / OK = 3 / 1 = 3
Аналогично поступим с отрезком ОА, который достроим до прямоугольного треугольника так, чтобы этот отрезок был гипотенузой нового треугольника.
Из полученного треугольника ОАМ вычислим длины е5го катетов и найдем тангенс угла АОМ:
tg АOМ = АМ / OМ = 2 / 4 = 0,5
По условию нужно найти тангенс угла ВОА, который найдем как разницу:
tg BOA = tg BOK – tg АOМ = 3 – 0,5 = 2,5
Ответ. 2,5.
Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.
Рассмотрим развёрнутый угол (см. рис. 1). Луч
делит его на два смежных угла. Оказывается, синусы этих смежных углов равны, а косинусы противоположны (то есть отличаются только знаком).
Рис. 1.
Например, если , то
,
и
. Тангенсы смежных углов также противоположны.
Задача 1. В треугольнике угол
равен 90°,
.
Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
Решение.
Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной этого треугольника и продолжением другой его стороны. На рисунке 2 внешний угол при вершине — это угол
.
и
— смежные углы. Тангенсы смежных углов — противоположные числа (отличаются только знаком), поэтому найдём тангенс угла
. Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему.
Рис. 2.
Для нашего треугольника .
Будем считать, что ,
. Найдём
Тогда
Ответ: -0,3.
Задача 2. Основания равнобедренной трапеции (см. рис. 3) равны 5 и 11. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
Рис. 3.
Решение.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если опустить высоты из вершин и
на основание
, то получатся два равных прямоугольных треугольника
и
(см. рис. 4).
Рис. 4.
— прямоугольник,
.
. Синус острого угла трапеции, например
, найдём из прямоугольного треугольника
. По теореме Пифагора,
Ответ: 0,8.
