Как найти тангенс угла изображенного на рисунке

Всего: 40    1–20 | 21–40

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 40    1–20 | 21–40

№8. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Решение:

Опустим перпендикуляр AH на сторону OB.

Рассмотрим прямоугольный △ A O H :

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2

Ответ: 2

№9. Найдите тангенс угла A треугольника ABCб изображённого на рисунке.

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4

Ответ: 0,4

№10. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный △ A B H :

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin ∠ A = B H A B

Найдем AB по теореме Пифагора:

A B 2 = A H 2 + B H 2

A B 2 = 3 2 + 4 2

A B 2 = 9 + 16 = 25

A B = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит

A B = 5

sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8

Ответ: 0,8

№11. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75

Ответ: 0,75

№12. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный △ A B H :

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos ∠ A B H = B H A B

Найдем A B по теореме Пифагора:

A B 2 = A H 2 + B H 2

A B 2 = 6 2 + 8 2

A B 2 = 36 + 64 = 100

A B = ± 100 = [ − 10 не подходит 10 подходит

A B = 10

cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8

Ответ: 0,8

№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.

Решение:

tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α

Рассмотрим прямоугольный △ B C H .

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg α = C H B H = 3 1

tg β = − tg α = − 3

Ответ: -3

№14. Найдите тангенс угла AOB.

Решение:

Опустим высоту BH на сторону OA.

Рассмотрим прямоугольный △ O B H :

tg ∠ O = B H O H

Найдем B H и O H по теореме Пифагора:

B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68

B H = ± 68   = ± 4 ⋅ 17 = ± 4 ⋅ 17 = ± 2 17 = [ − 2 17 не подходит 2 17 подходит

B H   =   2 17

O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17

O H = ± 17 = [ − 17 не подходит 17 подходит

O H   =   17

tg ∠ O = B H O H = 2 17 17 = 2

Ответ: 2

Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:

Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:

Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.

То есть tg(BOA) = DB / DO.

Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.

DO = 2.

DB = 5.

Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.

Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:

ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.

_

А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):

Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.

И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.

Как же нам их найти?

И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).

Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, у нас получится следующее:

tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.

И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.

Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске поговорим о задании, которое иногда доставляет неожиданные неприятности на экзамене. Задания довольно простые, но бывают промахи. Это задания, которые сделаны как бы на тетрадном листочке в клеточку. Итак, давайте начнем.

Задание №1. УГЛЫ

Задача №1

Запомните, чтобы найти тангенс острого угла на таких картинках, обязательно нужно достроить до прямоугольного треугольника.

Вспомним, что такое тангенс острого угла прямоугольного треугольника?

Определение тангенса острого угла:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника, называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Катет BF- противолежащий угла FОВ, OF – прилежащий к углу FOB.

Задача №2

Чтобы найти тангенс угла АОВ на этой картинке, нужно достроить до прямоугольного треугольника, и найти стороны этого треугольника.

1. Достроим до треугольника ОВН и докажем, что он прямоугольный.

2. Для этого достроим на стороне ОН, ОВ и ВН прямоугольные треугольники ОСВ, ОНК и BDH. Докажем, что треугольник АВН прямоугольный.

Найдем гипотенузу ОВ прямоугольного треугольника ОСВ, гипотенузу ОН прямоугольного треугольника ОКН и гипотенузу ВН прямоугольного треугольника ВDH через теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теперь докажем, что треугольник ОВН прямоугольный. Воспользуемся обратной теоремой Пифагора: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Так как равенство верно, то треугольник ОВН прямоугольный.

Теперь найдем тангенс угла АОВ

Задание №2 Расстояние

Для выполнения этого задания, проведите отрезок ВС, найдите середину его и отметим точкой К. Проведите отрезок АК, который равен 4. Ответ 4

Задание №3 Площадь

Задача №1

Задание простое, но есть ошибки по невнимательности.

Задача №2

а) Площадь треугольника и параллелограмма

Запомните! Площадь треугольника от площади параллелограмма отличается только тем, что площадь треугольника нужно делить на 2, а площадь параллелограмма нет.

б) Площадь трапеции. Чтобы найти площадь трапеции, нужно сложить основания трапеции, умножить на высоту и поделить на 2.

в) Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Это не все типы заданий, что встречаются на экзамене. Продолжение следует.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

2. Определение тангенса угла

Что нужно вспомнить:

•      Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном
тре­уголь­ни­ке — отноше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к прилежащему.

Нужно рассмотреть
прямоугольный треугольник.

              

Задача 1

Най­ди­те тангенс угла А тре­уголь­ни­ка ABC,
изображённого на рисунке 1.

Решение:   Ответ: 0,4.

Рис.1

Задача 2

Найдите тангенс угла B треугольника ABC,
изображённого на рисунке 2.

Решение: 5 Ответ: 3,5.

Рис. 2

Задача 3

Найдите тангенс угла AOB, изображённого 
на рисунке 3.

Решение: 1.   Достроим до прямо-угольного треугольника СОВ. 2. Ответ: 2.

Рис. 3

Задача 4

На квадратной сетке изображён угол А
(рис.4). Найдите .

Решение: 1. Достроим до прямо-угольного треугольника АВС так, чтобы т.В и т.С попали в уголки клеток. 2. Ответ: 3.

Рис. 4

Задача 5

Найдите тан­генс угла, изображённого
на рисунке 5.

Решение: 1.   Достроим до прямого угла (рис. 5.1) 2.  Углы и в сумме об­ра­зу­ют развёрнутый угол     Значит,      Ответ: -3.

Рис. 5 Рис. 5.1

Задача 6

Найдите тан­генс угла АОВ (рис. 6).

Решение: Найдём каждую из сторон треугольника АОВ, чтобы показать, что он прямоугольный:              Таким образом Ответ: 0,5.

Рис. 6

8. Определение градусной меры
вписанного угла

Что нужно вспомнить:

•      Вписанный угол – угол, вершина которого
лежит на окружности, а стороны её пересекают.

•      Центральный угол – угол, вершина которого
совпадает с центром окружности, а стороны её пересекают.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Задача 1:

Найдите угол ABC (рис.
20). Ответ дайте в градусах.

Решение: Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга AC составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол ABC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги AC: 90°/2 = 45°. Ответ: 45.

Рис. 20

Задача 2:

Найдите угол ABC (рис.
21). Ответ дайте в градусах.

Решение: Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга BC составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги BC: 90°/2 = 45°. Треугольник ABC  Ответ: 67,5.

Рис. 21

Задача 3:

Найдите угол ABC (рис.22).
Ответ дайте в градусах.

Решение: Угол ABC  – опирается на большую дугу АC. Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга АC составляет  всей окружности, следовательно, она равна Угол AВC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине большой дуги АC: 270°/2 = 135°. Ответ: 135.

Рис. 22

Задача 4:

Найдите угол ABC (рис.
23). Ответ дайте в градусах.

Решение: Проведём вспомогательное построение. Угол АОС – центральный и равен . Угол АВС опирается на ту же дугу, что и угол АОС, но является вписанным, поутому равен половине угла АОС, т.е. . Ответ: 22,5.

Рис. 23

9. Задачи для самостоятельно решения

     I.           
Определение
тангенса угла

1.  
 Найдите тангенс угла А треугольника, изображённого на
рисунке.

2.  
Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого
на рисунке.

3.  
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

4.  
 Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

5.  
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

6.  
Найдите
тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

7.  
Найдите тангенс угла AOB.

8.  
Найдите тангенс угла AOB.

9.  
Найдите тангенс угла  AOB.

10.                      
Найдите
тангенс угла, изображённого на рисунке.

 

 II.           
Определение
площади фигуры (ромба, трапеции, параллелограмма, треугольника)

1.  
На
клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его
площадь.

2.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.

3.  
На
клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник.

4.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён
ромб. Найдите его площадь.

5.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
ромб. Найдите длину его большей диагонали.

6.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.

7.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.

III.           
Определение
расстояния от точки до прямой (отрезка)

1.  
На клет­ча­той
бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те
в сантиметрах.

2.  
На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см
от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в
сантиметрах. 

3.  
На клет­ча­той
бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

4.  
На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1
см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те
рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

5.  
На клет­ча­той
бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой BC. Ответ вы­ра­зи­те
в сантиметрах.

IV.           
Определение
длины средней линии треугольника и трапеции

1.  
На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1
изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его средней линии,
параллельной сто­ро­не AC.

2.  
На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1
изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его средней линии,
параллельной сто­ро­не AC.

3.  
На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1
изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его средней линии,
параллельной сто­ро­не AC.

4.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

5.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

6.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

 
V.           
Определение
длины большего катета, большей диагонали

1.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен
прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

2.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен
прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

3.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

4.  
На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его
большей диагонали.

5.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
ромб. Найдите длину его большей диагонали.

VI.           
Определение
площади сложных или составных фигур

1.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
фигура. Найдите её площадь.

2.  
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена
фигура. Найдите её площадь.

3.  
На
клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

 

4.  
На клетчатой
бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

 

5.  
Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры,
изоб­ражённой на ри­сун­ке.

6.  
Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры,
изоб­ражённой на ри­сун­ке.

VII.           
Определение
площади сложных или составных фигур

1.  
Найдите
угол ABC. Ответ дайте в градусах.

2.  
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3.  
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

4.  
Найдите
угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5.  
Найдите
угол ABC. Ответ дайте в градусах.

6.  
Найдите
угол ABC. Ответ дайте в градусах.