1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
d – диагональ трапеции
Формула диагонали трапеции (d ):
2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α, β – углы трапеции
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции
a – нижнее основание
b – верхнее основание
α, β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия трапеции
S – площадь трапеции
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
h – высота трапеции
α – угол при нижнем основании
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Найти длину диагонали трапеции
зная все четыре стороны
или две стороны и угол
или высоту, сторону и угол
или площадь, другую диагональ и угол
и еще много других формул.
1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:
Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:
2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции через высоту:
3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ
a – нижнее основание
b – верхнее основание
α, β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия трапеции
S – площадь трапеции
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции :
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формула суммы квадратов диагоналей :
Формулы диагоналей трапеции :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула средней линии трапеции через основания (для всех видов трапеции)
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
a, b – основания трапеции
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
d – боковая сторона
α – угол при основании
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту (для всех видов трапеции)
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d – боковая сторона
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с) :
2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с):
3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия трапеции
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формула длины боковой стороны (с) :
4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
d – боковая сторона
Формулы длины боковой стороны (d) :
5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия трапеции
α – угол при нижнем основании
d – боковая сторона
Формула длины боковой стороны (d) :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α – угол при нижнем основании
Формулы длины оснований :
3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали и угол между ними
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
Формулы длины оснований :
4. Формулы длины оснований трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
h – высота трапеции
Формулы длины оснований :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона
α – угол при нижнем осровании
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
α – угол при нижнем осровании
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними
d – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь
S – площадь трапеции
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины основания:
2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при основании трапеции
h – высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
d – диагонали
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
справедливо для данной ситуации:
4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α , β – углы при основаниях
m – средняя линия
h – средняя линия
Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются – верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Высота трапеции это отрезок, длина которого, равна кратчайшему расстоянию между основаниями и следовательно расположенному перпендикулярно к этим основаниям.
1. Формула высоты трапеции через стороны и углы при основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты трапеции через площадь
S – площадь трапеции
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются – верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b – верхнее основание
a – нижнее основание
m– средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b – верхнее основание
a – нижнее основание
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α, β – углы между диагоналями
d1 , d2 – диагонали трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины сторон через высоту и углы при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция — геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.
Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.
- Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую
боковую сторону - Угол трапеции через нижнее основание, боковую сторону и
диагональ - Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание,
среднию линию и боковую сторону - Угол равнобедренной трапеции через среднию линию, верхнее
основание и боковую сторону - Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
через высоту и два основания - Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
через два основания и боковую сторону
Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону
Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы
sin α = h/с
где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.
Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции
Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:
cos α = (2a-2m) / 2c
где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.
Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали
Если известны эти величины, воспользуемся формулой:
cos α= (a²+c²-d²) / 2ac
где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.
Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции
Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:
cos α = (2m-2b) / 2c
где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º
Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции
Находится по формуле
cos α = (a — b) / c
где a,b — основания, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º
Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции
При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:
tg(α) = h / (a-b)
где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.
Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.
Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.
Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция (понятие, определение)
Видеоурок “Трапеция”
Виды трапеций
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота
Свойства трапеции
Свойства равнобедренной трапеции
Формулы трапеции
Трапеция (понятие, определение):
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.
Рис. 1. Трапеция
Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
@ https://youtu.be/Q4EpXexoMrM
Виды трапеций:
Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Рис. 2. Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.
Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.
Рис. 3. Прямоугольная трапеция
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.
Рис. 4. Трапеция
AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.
AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.
Рис. 5. Трапеция и срединная линия
Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.
Рис. 6. Трапеция
Высота трапеции (h) определяется формулой:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
Свойства трапеции:
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Рис. 7. Трапеция и срединная линия
MN || BC, MN || AD,
l = (a + b) / 2
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
Рис. 8. Трапеция
MN = (b – a) / 2
3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° .
Рис. 9. Трапеция
4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Рис. 9. Трапеция
5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
Рис. 10. Трапеция
AB = BK
6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Рис. 11. Трапеция
∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2
7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
Рис. 12. Трапеция
AB + CD = AD + BC
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Рис. 13. Трапеция
Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
Рис. 14. Трапеция
MN = (AB + CD) / 2,
MN = (AD + BC) / 2
8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.
Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.
Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
Рис. 15. Трапеция
Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции. k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k2.
Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.
9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.
Рис. 16. Трапеция
BC : AD = OC : AO = OB : DO
10. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
d12 + d22 = 2ab + c 2 + d 2
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.
Рис. 17. Трапеция
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,
KL – средняя линия
Рис. 17. Трапеция
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,
KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции
12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S1 и S2 – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.
Рис. 18. Трапеция
S1 – площадь трапеции MBCN,
S2 – площадь трапеции AMND
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.
2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.
3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.
4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.
5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.
6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.
Формулы трапеции:
Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d1 и d2 – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.
Формулы для определения сторон трапеции:
Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:
a = 2m – b
b = 2m – a
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
a = b + h · (ctg α + ctg β)
b = a – h · (ctg α + ctg β)
Через боковые стороны и углы при нижнем основании:
a = b + c·cos α + d·cos β
b = a – c·cos α – d·cos β
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
Формулы для определения средней линии трапеции:
Через длины оснований трапеции:
Через площадь и высоту трапеции:
Формулы для определения высоты трапеции:
Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:
h = c·sin α = d·sin β
Через диагонали трапеции и углы между ними:
Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:
Через площадь и длины оснований трапеции:
Через площадь и длину средней линии трапеции:
Формула для определения периметра трапеции:
P = a + b + c + d
Формулы для определения площади трапеции:
Через основания и высоту трапеции:
Через среднюю линию и высоту трапеции:
S = m · h
Через диагонали трапеции и угол между ними:
Через все стороны трапеции:
С помощью формулы Герона для трапеции:
Как называется объемная трапеция?
Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.
В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.
Квадрат
Овал
Полукруг
Прямой угол
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Трапеция
Тупой угол
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Видео https://youtu.be/Q4EpXexoMrM
Коэффициент востребованности
6 610
- Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.
- Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
- Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.
- Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
- Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180⁰.
- Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
- Средняя линия трапеции делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
N
М
Углы при одном основании трапеции равны 37⁰ и 53⁰, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 21 и 12. Найдите основания трапеции. (ОГЭ)
Дано : ABCD – трапеция, BC || AD ,
BN = NC, AM = MD, EF = 21, NM = 12
Найти : BC и AD
Решение:
1.
Ответ: AD = 33, BC = 9
- Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника, причём треугольники, прилежащие к основаниям, подобны друг к другу, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновеликие, т.е. имеют равные площади.
Δ ВОС ~ Δ AOD ,
S Δ AOB = S Δ COD .
- Отрезок разбивающий трапецию на две подобные
трапеции, имеет длину равную
среднему геометрическому
длин оснований.
- В любой трапеции следующие четыре
точки лежат на одной прямой: середины
оснований, точка пересечения диагоналей,
точка пересечения продолжений боковых
сторон.
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, походящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам.
Его длина есть среднее гармоническое
оснований трапеции:
- Если в трапецию вписана окружность,
то отрезки, соединяющие центр
окружности с концами боковой стороны
трапеции, перпендикулярны.
- Если в трапецию вписана окружность и m , n , p , q – длины отрезков боковых сторон от точек касания до вершин,
то для вычисления радиуса вписанной в неё окружности
можно использовать формулы:
n
p
m
q
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
- В равнобедренной трапеции, прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
- Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен . (ГИА)
B
C
Дано : ABCD – трапеция, AD || BC
cos BDH = , BD = 10
Найти: S
10
План решения : S = mh
- HD= ;
- ВН = ;
- АН = KD = x ,
A
D
К
х
х
H
4) S =
Ответ: 14
В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции.
Дано : ABCD – трапеция, BC || AD ,
AB = CD , ВН AD , BD – диагональ
Доказать :
B
C
Доказательство :
- Опустим высоту СК .
- ;
D
A
H
К
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен .
C
B
Дано : ABCD – трапеция,
AD || BC
cos BDH = , BD = 10
Найти: S
10
D
План решения : S = mh
- HD= ;
- ВН = ;
- S =
A
H
Ответ: 14
В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 и 26. (ГИА)
M
Дано : ABCD – трапеция, AD || BC , AB = CD , AD = 26, BC = 10,
Найти: S
B
C
5
5
45 °
45 °
План решения: S = mh
1)
2) Проведём высоту МК;
3)
О
45 °
45 °
45 °
45 °
A
K
13
D
13
AK =OK = 13, BM = MO = 5, MK = 18
4)
Ответ: S = 324.
Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то её высота равна средней линии.
Дано : ABCD- трапеция, BC || AD,
AB = CD, AC BD, BH – высота
Доказать:
B
С
Доказательство:
D
A
Н
Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты, т.е. .
Дано : ABCD – трапеция, BC || AD ,
AB = CD , BH – высота трапеции
Доказать : S = BH 2
Доказательство :
B
С
A
D
Н
В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 и 26.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, AD || BC , AD = 26, BC = 10,
Найти: S
B
C
Решение: S = h 2 ,
h = m, S = m 2 ,
S= 18 2 = 324.
A
D
Ответ: 324
Найдите радиус окружности, если основания описанной около неё равнобедренной трапеции равны 4 см и 16 см.
(ГИА)
С
B
4
Дано : окр.( О;r ) вписана в
трапецию ABCD
AD || BC , AB = CD
AD = 16 cм, ВС = 4 см
Найти : r
O
8
10
D
A
6
6
4
H
L
16
План решения : r = h
- АВ ;
- АН ;
- ВН ;
- r
16
= 10
= 6
= 8
= 4
Ответ: 4
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии трапеции.
B
С
Дано: окр.( О ; r ) вписана
в трапецию ABCD, AD || BС
Доказать :
О
D
A
Доказательство:
по свойству четырёхугольника, описанного около окружности:
AB + CD = AD + BC, AB = CD,
2AB = AD + BC,
Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований: .
Дано : окр.( О ; r ) вписана
в трапецию ABCD
AD || BС
AB = CD , BC = a , AD = b ,
h – высота трапеции
Доказать :
a
С
B
O
A
D
b
Доказательство:
1)По свойству отрезков касательных,
проведённых из одной точки к
окружности:
AM = AN = , BN = BK =
2)Проведём высоту ВН и рассмотрим
: , ВН = h
, ,
По т. Пифагора:
К
B
C
a
N
h
b
D
A
H
M
Р
Дано : окр.(О;r) вписана в
трапецию ABCD
AD || BC , AB = CD
AD = 16 cм, ВС = 4 см
Найти: r
4
B
C
O
Решение:
D
A
16
h 2 = a ∙ b
(cм)
(cм)
Ответ: r = 4 см
Равнобедренная трапеция описана около круга. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 18 и 32. Найдите площадь трапеции. (ГИА)
Дано : окр.( О ; r ) вписана в трапецию ABCD
AD || BC , AB = CD , М АВ
AM = 32, MB = 18
Найти : S ABCD
36
N
B
C
18
18
18
План решения :
S=mh
1) АВ=m ;
2) ВС ;
3) AD ;
4) ;
5) S = 50 · 36 = 1800
M
50
О
32
=50
=36
=64
D
A
32
32
K
64
Ответ:1800
Около круга радиуса r описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции составляет с меньшим основанием угол α. Найдите радиус круга, описанного около трапеции.
Дано : ABCD – трапеция, AD || BC ,
описанная около окр.( О ; r ) и вписанная в окр.( О 1 ;R ) AB = CD ,
Найти: R
B
C
2r
Решение:
по теореме синусов
О
D
A
Н
В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 3 : 5. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка Н – основание высоты. Из точки Н опущен перпендикуляр НЕ на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка Е делит боковую сторону? (ЕГЭ, С4)
Дано : окр.( О ; r ) вписана в трапецию ABCD
AD || BC , AB = CD , ВС : AD = 3 : 5
BH AD ,
- HE AB ;
б) НЕ СD
Найти : a) AE : EB
б) DE : EC
C
B
O
Е
Е
D
A
Н
C
B
Решение: а)
- Пусть k- коэффициент пропорциональности, тогда
ВС = 3 k , AD = 5 k .
Т.к. ,
то
O
Е
D
A
Н
- ~ (по двум углам)
C
B
Решение: б)
- (по гипотенузе и острому углу)
O
Е
D
A
Н
Ответ: а) 1 : 15; б) 1 : 3.
- Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Геометрия/ Под ред. М.И.Сканави.- М.: Издательский дом ОНИКС: Альянс-В, 1999.
- Зив Б.Г. ,Мейлер В.М. , Баханский А.Г. . Задачи по геометрии для 7-11 классов -М.: Просвещение, 1991.
- Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика.- М: Интеллект- Центр, 2003-2008.
- Кочагин В.В., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ- 2008: математика: реальные задания.- М.: АСТ: Астрель, 2008.
- Ковалева Г.И., Бузулина Т.И., Безрукова О.Л., Розка Ю.А. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов.- Волгоград: Учитель, 2007.
- Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике.- М.: Просвещение, 1991.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и контрольных работ по геометрии для 8 класса.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред.шк.- М.: Просвещение, 2008.
- Математика ЕГЭ- 2008. Вступительные испытания.Под ред. Ф.Ф.Лысенко.- Ростов-на-Дону: Легион, 2008.
- Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4)
- https://www-formula.ru/index.php/2011-09-19-02-39-24/trapeze-area
- https://isu.ru/ru/egevic/mathematics/planimetry/opornye_zadachi_planimetrii.pdf
Дано : ABCD ( AD || BC) , BN = NC ,
AM = MD,
Док-ть :
N
Док-во :
- Построим NK || AB и NF || CD,
ABNK и NCDF – параллелограммы
М
F
К
- (соответственные
при AB || NK и секущей АК);
(соответственные
при СD || NF и секущей АК)
- В Δ KNF :
Δ KNF – прямоугольный, MN – медиана
где KF = AD – (AK + FD) = AD – BC
Если в трапецию ABCD вписана окружность c центром О ,
то где OA = а и OD = b .
Дано : окр.( О ; r ) вписана в трапецию ABCD
AD || BC , ОА = a ,
OD = b
Док-ть :
Док-во :
- AO OD ;
Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника, вершины которого лежат в вершинах данной трапеции.
R
O
Виды трапеции
- Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
- Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне
Свойства трапеции
-
Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$ -
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD - Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
- Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
-
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC – AB over 2}
$$ - Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
Формулы площади произвольной трапеции
Площадь трапеции через основания и высоту
$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
$$
S = FE * AG
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$
Площадь трапеции через четыре стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 – ({(DC – AB)^2 + AD^2 – BC^2 over 2 * (DC – AB)})^2}
$$
Формулы площади равнобедренной трапеции
Площадь трапеции через стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 – {(DC – AB)^2 over 4}}
$$
Площадь трапеции через стороны и угол
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC – AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$
Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$
Площадь трапеции если в нее вписана окружность
$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон произвольной трапеции
Основание через другое основание и среднюю линию
$$
AB = 2 * FE – DC
$$
$$
DC = 2 * FE – AB
$$
Основание через другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) – AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) – DC
$$
Длины сторон
$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC – AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC – AD * cos(∠ADC) – BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$
Формулы сторон равнобедренной трапеции
Длины сторон
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC – AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC – 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC – 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание
$$
DC = {AC^2 – DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 – DA^2 over DC}
$$
Длина боковой стороны через диагональ и основания
$$
AD = sqrt{AC^2 – AB * DC}
$$
Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) – AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) – DC
$$
Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции
$$
DC = {2 * S over AG} – AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} – DC
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании
$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон прямоугольной трапеции
Длины оснований
$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC – BC * cos(∠BCD) = DC – AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 – AD^2}
$$
$$
AB = DC – sqrt{BC^2 – AD^2}
$$
Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) – AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) – DC
$$
Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту
Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} – AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} – DC
$$
Формулы диагоналей произвольной трапеции
Длина диагоналей через четыре стороны
$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB – {DC * (BC^2 – AD^2) over DC – AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB – {DC * (AD^2 – BC^2) over DC – AB}}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 – 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей через высоту
$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC – AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 – 2 * DC * sqrt{BC^2 – AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC – AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * sqrt{AD^2 – AG^2}}
$$
Длина диагоналей через стороны и другую диагональ
$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB – AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB – BD^2}
$$
Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Формулы диагоналей равнобедренной трапеции
Длина диагоналей через стороны
$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 – 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей
$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$
Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC – AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
Длина диагоналей через сторону и высоту
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 – 2 * DC * sqrt{AD^2 – AG^2}}
$$
Формулы диагоналей прямоугольной трапеции
$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$
Формулы средней линии произвольной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC – AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и высоту
$$
FE = {S over AG}
$$
Формулы средней линии равнобедренной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC – AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту
$$
FE = DC – sqrt{AD^2 – AG^2} = AB + sqrt{AD^2 – AG^2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и боковую сторону
$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$
Формулы средней линии прямоугольной трапеции
Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
$$
FE = DC – AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании
$$
FE = DC – BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания и боковые стороны
$$
FE = DC – {sqrt{BC^2 – AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 – AD^2} over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Формулы высоты произвольной трапеции
Длина высоты через четыре стороны
$$
AG = sqrt{AD^2 – ({(DC – AB)^2 + AD^2 – BC^2 over 2 * (DC – AB)})^2}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы высоты равнобедренной трапеции
Длина высоты через по сторонам
$$
AG = sqrt{AD^2 – {(DC – AB)^2 over 4}}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$
Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию
$$
AG = {DC – AB over 2} * tg(∠ADC)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
Сторона AD
Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.
Сторона BC по трём сторонам
$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC – AB)^2}
$$
Сторона BC через основания и угол ∠BCD
$$
BC = {DC – AB over cos(∠BCD)}
$$
Сторона BC через Сторону AD
$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD
$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD
$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$