Как найти тангенс угла наклона кривой


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Если вы умеете вычислять угловые коэффициенты (тангенс угла наклона) прямых, то на основании этих коэффициентов можно узнать другие параметры. Например, выяснить, параллельны ли прямые или же перпендикулярны, найти их точку пересечения и многие другие величины. Вычисление углового коэффициента – довольно простая задача. Прочитайте эту статью, чтобы узнать, как это сделать.

  1. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 1

    1

    Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) определяется как отношение изменения координаты «у» к изменению координаты «х».

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 2

    1

    Рассмотрите любую прямую линию. Убедитесь, что линия прямая, так как угловой коэффициент вычисляется только для прямых линий.

  2. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 3

    2

    Выберите любые две точки, лежащие на прямой. Запишите их координаты в виде (х,у). Не имеет значения, какие точки вы выберете (главное, чтобы они были разными и лежали на одной прямой).

  3. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 4

    3

    Дайте обозначение выбранным точкам. Не имеет значения, какую из них вы обозначите первой, а какую – второй (главное – на протяжении всего процесса вычисления строго придерживаться выбранного обозначения). Координаты первой точки запишем как x1 и y1, а координаты второй точки как x2 и y2.

  4. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 5

    4

    Подставьте координаты точек в формулу для вычисления углового коэффициента, приведенную выше.

  5. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 6

    5

    Вычтите две координаты «у».

  6. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 7

    6

    Вычтите две координаты «х».

  7. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 8

    7

    Разделите результат разности координат «у» на результат разности координат «х». Сократите дробь, если возможно.

  8. Изображение с названием Find the Slope of a Line Step 9

    8

    Проверьте полученный результат.

    • Прямые, идущие вверх слева направо, всегда имеют положительный угловой коэффициент (даже если это дробь).
    • Прямые, идущие вниз слева направо, всегда имеют отрицательный угловой коэффициент (даже если это дробь).

    Реклама

Пример

  1. Дана прямая с точками A и B, лежащими на ней.
  2. Координаты точек: A(-2,0) и B(0,-2)
  3. (y2-y1): -2-0=-2; Изменение координаты «у» = -2
  4. (x2-x1): 0-(-2)=2; Изменение координаты «х» = 2
  5. Угловой коэффициент данной прямой равен -1.

Советы

  • Как только вы обозначили координаты точек на прямой через (х1,у1) и (у1,у2), не меняйте эти обозначения, или вы получите неверный ответ.
  • Вы нашли “m” в линейном уравнении вида y=mx+b, где “у” – координата «у», “m” – угловой коэффициент, “х” – координата «х», “b” – смещение прямой по оси Y (или значение координаты «у» при х=0).
  • Для получения ответов на возникающие вопросы прочитайте школьный учебник или обратитесь к учителю.

Реклама

Предупреждения

  • Не путайте формулу для вычисления углового коэффициента (тангенса угла наклона) прямой с любой другой формулой, например, с формулой для вычисления расстояния или формулой для вычисления средней точки.

Реклама

Что вам понадобится

  • Миллиметровка (возможно).
  • Координатная плоскость или прямая с координатами двух точек, лежащих на ней.
  • Формула для вычисления углового коэффициента (тангенса угла наклона) прямой.
  • Карандаш, бумага, линейка, калькулятор.
  • Прямая.
  • Координаты «х».
  • Координаты «у».

Об этой статье

Эту страницу просматривали 102 992 раза.

Была ли эта статья полезной?

Как найти тангенс угла наклона касательной

Геометрический смысл производной первого порядка функции F(х) представляет собой касательную прямую к ее графику, проходящую через заданную точку кривой и совпадающую с ней в этой точке. Причем значение производной в данной точке х0 является угловым коэффициентом или иначе – тангенсом угла наклона касательной прямой k = tg a = F`(х0). Вычисление данного коэффициента – одна из наиболее распространенных задач теории функций.

Как найти тангенс угла наклона касательной

Инструкция

Запишите заданную функцию F(x), например F(x) = (x³ + 15х +26). Если в задаче явно указана точка, через которую проводится касательная, например, ее координата х0 = -2, можно обойтись без построения графика функции и дополнительных прямых на декартовой системе ОХY. Найдите производную первого порядка от заданной функции F`(x). В рассматриваемом примере F`(x) = (3x² + 15). Подставьте заданное значение аргумента х0 в производную функции и вычислите ее значение: F`(-2) = (3(-2)² + 15) = 27. Таким образом, вы нашли tg a = 27.

При рассмотрении задачи, где требуется определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью абсцисс, вам понадобится сначала найти числовое значение координат точки пересечения функции с ОХ. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика функции на двухмерной плоскости ОХY.

Задайте координатный ряд для абсцисс, например, от -5 до 5 с шагом 1. Подставляя в функцию значения х, вычислите соответствующие им ординаты у и отложите на координатной плоскости полученные точки (х, у). Соедините точки плавной линией. Вы увидите на выполненном графике место пересечения функцией оси абсцисс. Ордината функции в данной точке равна нулю. Найдите численное значение соответствующего ей аргумента. Для этого заданную функцию, например F(x) = (4x² – 16), приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение с одной переменной и вычислите х: 4x² – 16 = 0, x² = 4, х = 2. Таким образом, согласно условию задачи, тангенс угла наклона касательной к графику функции необходимо найти в точке с координатой х0 = 2.

Аналогично описанному ранее способу определите производную функции: F`(x) = 8*x. Затем вычислите ее значение в точке с х0 = 2, что соответствует точке пересечения исходной функции с ОХ. Подставьте полученное значение в производную функции и вычислите тангенс угла наклона касательной: tg a = F`(2) = 16.

При нахождении углового коэффициента в точке пересечения графика функции с осью ординат (ОY) выполните аналогичные действия. Только координату искомой точки х0 сразу следует принять равной нулю.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Угол наклона прямой

Угол наклона прямой в различных прикладных инженерных и фундаментальных математических расчетах выражается через его тангенс, при вычислении нужно разделить изменение координаты «у» на численное значение, указывающее изменение координаты «х» — (y2-y1) / (x2-x1).

Правильность вычисления можно проверить через направленность прямой. Если она слева направо показывает направленность вниз, тангенс должен быть отрицательным. В иных случаях tg угла прямой линии положителен.

Значение тангенса в формуле прямой y = mx +b равно угловому коэффициенту m, «b» характеризует сдвиг прямой, который наблюдается по оси координат «Y».

Пример: y=0.1x + 4 в этой формуле прямой m = тангенсу угла наклона прямой = 0,1. Сдвиг прямой b = 4.

Как найти тангенс угла наклона прямой

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.

Угол наклона прямой к оси О х , расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π ) .

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120 ° .

Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = — 3 .

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π — a r c t g k .

Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Ответ: α = a r c t g 3 .

Найти угол наклона прямой к оси О х , если угловой коэффициент = — 1 3 .

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х . Отсюда k = — 1 3 0 , тогда необходимо применить формулу α = π — a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π — a r c t g — 1 3 = π — a r c t g 1 3 = π — π 6 = 5 π 6 .

Ответ: 5 π 6 .

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у .

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М , M 1 ( x 1 , y 1 ) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x — 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 ( 3 , 0 ) и M 2 ( 2 , — 2 ) заданной прямой.

Необходимо подставить координаты точки M 1 ( 3 , 0 ) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 — 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M 2 ( 2 , — 2 ) , тогда получим неверное равенство вида — 2 = 1 3 · 2 — 1 ⇔ — 2 = — 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.

Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 ( 0 , b ) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х , где k = t g α .

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x — 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , — 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х . Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y — y 1 = k · ( x — x 1 ) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами ( 4 , — 1 ) , с угловым коэффициентом равным — 2 .

Решение

По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = — 1 , k = — 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — ( — 1 ) = — 2 · ( x — 4 ) ⇔ y = — 2 x + 7 .

Ответ: y = — 2 x + 7 .

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами ( 3 , 5 ) , параллельную прямой y = 2 x — 2 .

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x — 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — 5 = 2 · ( x — 3 ) ⇔ y = 2 x — 1

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x — x 1 a x = y — y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y — b = k · x ⇔ k · x k = y — b k ⇔ x 1 = y — b k .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = — 3 x + 12 к каноническому виду.

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y = — 3 x + 12 ⇔ — 3 x = y — 12 ⇔ — 3 x — 3 = y — 12 — 3 ⇔ x 1 = y — 12 — 3

Ответ: x 1 = y — 12 — 3 .

Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x — y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x — 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = ( — 1 , 7 ) нормальным вектором прямой?

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y = 1 7 x — 2 ⇔ 1 7 x — y — 2 = 0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , — 1 , отсюда 1 7 x — y — 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = ( — 1 , 7 ) коллинеарен вектору n → = 1 7 , — 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = — 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = — 1 , 7 — нормальный вектор прямой 1 7 x — y — 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x — 2 .

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ — A B · x — C B .

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется — A B .

Задано уравнение прямой вида 2 3 x — 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

2 3 x — 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .

Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x — x 1 a x = y — y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 — x a ⇔ y = — b a · x + b .

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x — a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x — a y a x · x 1 + y 1

Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y — 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на — 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y — 3 = 1 — x 2 ⇔ — 3 · y — 3 = — 3 · 1 — x 2 ⇔ y = 3 2 x — 3 .

Ответ: y = 3 2 x — 3 .

Уравнение прямой вида x — 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.

Необходимо выражение x — 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) ⇔ 5 x — 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x — 12 ⇔ y = 5 2 x

Ответ: y = 5 2 x — 6 .

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = — 1 + 2 · λ .

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x = λ y = — 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · ( y + 1 ) ⇔ y = 2 x — 1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .

Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:

— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.

Что такое абсцисса и ордината точки было описано в прошлой статье данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.

Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:

где k – это и есть угловой коэффициент прямой.

Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.

Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b, то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).

Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.

Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:

Подробнее об этой формуле рассказано в этой статье !

Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).

В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:

*Оба катета равны шести (это их длины).

Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,

Получили, что угловой коэффициент k = – 1.

Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

В данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b. А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!

В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.

Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.

Искомая абсцисса равна 40/3.

Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.

Нам известны точки, через которые проходит прямая а. Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

По условию точки имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,

Получили, что угловой k = 2/3.

*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.

Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:

Найти величину b мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:

Таким образом, прямая имеет вид:

Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).

Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:

Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):

Получили уравнение прямой:

Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу нужно подставить в найденное уравнение х = 0:

*Самый простой способ решения. При помощи параллельного переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).

Искомая ордината равна –12.

Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением

3х + 2у = 6 , с осью Oy .

Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:

Ордината точки пересечения прямой с осью оу равна 3.

Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями

3х + 2у = 6 и у = – х .

Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:

В первом уравнении подставляем – х вместо у:

Ордината равна минус шести.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (–6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).

Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 2х + 2у = 6, с осью ох.

Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6 и у = х.

Конечно, некоторые задачи, которые мы рассмотрели можно было решить более рациональными способами. Но ставилась цель показать разные подходы к решению. Надеюсь, это удалось.

1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.

2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.

3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.

5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.

6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:

>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов

>> Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов

В данных двух случаях, по свойству тангенса :

То есть, чтобы найти уголвой коэффициент прямой, необходимо вычислить тангенс бетта в полученном прямоугольном треугольнике и записать результат с отрицательным знаком.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

Функция НАКЛОН в Excel предназначена для определения угла наклона прямой, используемой для аппроксимации данных методом линейной регрессии, и возвращает значение коэффициента a из уравнения y=ax+b. Для определения наклона используются две любые точки на прямой. При этом вычисляется частное от деления длины отрезка, полученного при проецировании этих двух точек на ось Ординат (OY), на длину отрезка, образованного проекциями этих же двух точек на ось Абсцисс (OX).

Фактически, функция НАКЛОН вычисляет значение, которое характеризует скорость изменения данных вдоль линии регрессии. Зная наклон (коэффициент a) и значение коэффициента b можно рассчитать приближенные будущие значения какого-либо свойства y, которое меняется при изменении характеристики x.

Примеры использования функции НАКЛОН в Excel

Для расчета наклона линии регрессии используется уравнение:

  • x_ср – среднее значение для диапазона известных значений независимой переменной;
  • y_ср – среднее значение для диапазона известных значений зависимой переменной.

Функция НАКЛОН не может быть использована для анализа коллинеарных данных и будет возвращать код ошибки #ДЕЛ/0! в отличие от функции ЛИНЕЙН, которая использует иной алгоритм расчета и возвращает как минимум одно полученное значение.

Пример 1. Определить наклон аппроксимирующей прямой для показателей средней пенсии на протяжении нескольких лет.

Вид исходной таблицы данных:

Для нахождения наклона используем следующую формулу:

  • B3:B13 – ссылка на диапазон ячеек, содержащих данные о средней пенсии, характеризующие зависимую переменную y;
  • A3:A13 – диапазон ячеек с данными об отчетных периодах (годах), характеризующие независимую переменную x.

В результате вычислений получим:

Полученное значение свидетельствует о том, что на протяжении обозначенного периода размер пенсионных выплат в среднем увеличивался примерно на 560 рублей.

Прогноз объема продаж по линейно регрессии в Excel

Пример 2. В таблице Excel содержатся данные о прибыли за продажи некоторого продукта компании на протяжении последних нескольких дней. Рассчитать коэффициенты a и b уравнения прямой y=ax+b, аппроксимирующей данные. На основе полученного уравнения спрогнозировать данные о продажах для трех последующих дней.

Вид таблицы с данными:

Для нахождения коэффициента a используем следующую формулу:

Коэффициент b рассчитывается с помощью следующей функции:

Искомое уравнение имеет вид:

Для определения последующих значений y достаточно лишь подставить требуемое значение x. Выполним расчет предполагаемой прибыли для 13-го дня:

  • D3 – полученное значение коэффициента a;
  • A15 – новое значение x;
  • E3 – значение коэффициента b.

Используем функцию автозаполнения чтобы получить значения для остальных дней:

Анализ корреляции спроса и объема производства в Excel

Пример 3. В таблице содержатся данные о количестве произведенной продукции за месяц, а также о числе приобретенных товаров данной марки покупателями. Отобразить взаимосвязь между данными графически, определить, целесообразно ли использовать уравнение линейно регрессии для описания корреляции между спросом и числом произведенных товаров.

Вид таблицы данных:

Для определения зависимости между двумя рядами числовых данных рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Полученное значение (0,983) свидетельствует о том, что между двумя числовыми диапазонами существует сильная прямая взаимосвязь. Поэтому целесообразно использовать аппроксимирующую прямую, для нахождения коэффициентов уравнения которой используем формулы:

Для нахождения спроса на товары за июль при условии, что будет произведено, например, 2000 единиц продукции, используем полученное уравнение:

Альтернативным использованию функции НАКЛОН вариантом нахождения наклона в Excel является графический метод. Построим график на основе имеющихся данных, при этом для значений X выберем диапазон ячеек со значениями числа произведенных товаров, а для Y – с числом купленных товаров:

Отобразим на графике линию тренда:

В меню «Формат линии тренда» установим флажок напротив пункта «показывать уравнение на диаграмме»:

График примет следующий вид:

Как видно, найденные коэффициенты a и b соответствуют отображаемым на графике.

Особенности использования функции НАКЛОН в Excel

Функция имеет следующий синтаксис:

Описание аргументов (все являются обязательными для заполнения):

  • известные_значения_y – аргумент, принимающий массив числовых значений или ссылку на диапазон ячеек, которые содержат числа, характеризующие значения зависимой переменной y, которые определены для известных значений x;
  • известные_значения_x – аргумент, который может быть указан в виде массива чисел или ссылки на диапазон ячеек, содержащих числовые значения, которые характеризуют известные значения независимой переменной x.
  1. В качестве аргументов должны быть переданы массивы чисел либо ссылки на диапазоны ячеек с числовыми значениями или текстовыми строками, которые могут быть преобразованы к числам. Строки, не являющиеся текстовыми представлениями числовых данных, а также логические ИСТИНА и ЛОЖЬ в расчете не учитываются.
  2. Если в качестве аргументов были переданы массивы, содержащие разное количество элементов, или ссылки на диапазоны с разным количеством ячеек, функция НАКЛОН вернет код ошибки #Н/Д. Аналогичный код ошибки будет возвращен в случае, если оба аргумента принимают пустые массивы или ссылки на диапазоны пустых ячеек.
  3. Если оба аргумента ссылаются на нечисловые данные, функция НАКЛОН вернет код ошибки #ДЕЛ/0!.
  4. Если в диапазоне, переданном в качестве любого из аргументов, содержатся пустые ячейки, они игнорируются в расчете. Однако ячейки, содержащие значение 0 (нуль) будут учтены.

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Уравнение прямой

Прямая — ГМТ, равноудаленных от двух точек.

(I) Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны 0 одновременно.

При $A=0$ прямая параллельна оси oX, при $B=0$ — параллельна оси oY.

При $C=0$ прямая проходит через начало координат.

Вектор с координатами $(A;B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

Также уравнение можно переписать в виде $$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$$

(II) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением вида $y = kx + b$ можно задать не любую прямую — а именно, нельзя задать прямую, перпендикулярную оси абсцисс.

(III) Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках $$frac x a + frac = 1$$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

(IV) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две несовпадающие точки A(x1;y1) и B(x2;y2). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1;y1) и B(x2;y2) имеет вид:

(V) Каноническое уравнение прямой

Если известны координаты точки $P(x_0, y_0)$ лежащей на прямой и направляющего вектора $ vec v = (a; b)$, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу:

(VI) Параметрическое уравнение прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом $$ x = a t + x_0, y = b t + y_0$$ где $(x_0, y_0)$ — координаты точки лежащей на прямой, $(a, b)$ — координаты направляющего вектора прямой.

(VII) Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой с углом наклона $alpha$ в полярных координатах $r$ и $phi$: $$r cos(phi-alpha)=p$$

Калькулятор

Калькулятор для составления уравнения прямой — показывает ход решения

Переход к другой форме записи

От общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом

Выразить переменную y: $Ax + By + C = 0$

$y = -frac A B x- frac C B$

От уравнения с угловым коэффициентом к общему уравнению

Перенести все члены в левую часть уравнения

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой $k$ = численно равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему.

Slope — угловой коэффициент — наклон, склон холма, показатель насколько крутой холм или гора.

Чтобы найти наклон между двумя точками на плоскости используется формула:

Иногда горизонтальное изменение называют «пробег», а вертикальное изменение — «подъем» или «снижение, спад».

Наклон биссектрисы первого координатного угла равен 1, так как скорость изменения по оси X и по оси Y одинаковы.

Например, найдем наклон между точками (2, 1) и (-9, 7)

Найдем наклон между точками (-1, -3) и (1, 1)

Чем больше модуль числа, чем круче склон. Положительное число означает, что наклон идет вверх при движении слева направо (прямая возрастает). Отрицательное число означает, что наклон идет вниз при движении слева направо (прямая убывает).

Угол между двумя прямыми

Пусть две неперпендикулярные прямые представляются уравнениями $$y= a_1 x+ b_1 \ y= a_2 x+ b_2$$ Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле $$tg(θ)=frac<1+ a_1 cdot a_2>$$

Условие параллельности двух прямых

Две прямые параллельны (или совпадают), если равны их угловые коэффициенты.

Теорема. Прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1 = k_2$ и $b_1 ne b_2$.

Задача

Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых $2x-3y+1=0$ и $4x-6y-5=0$.

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(1;2)$ параллельно прямой $2x-3y+1=0$.

Условие перпендикулярности двух прямых

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1: $$k_1 cdot k_2=-1$$

Задача

При каком значении $k$ уравнение $y=kx+1$ определяет прямую, перпендикулярную к прямой $y=2x-1$?

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(-1;1)$ перпендикулярно к прямой $3x-y+2=0$.

Сводная таблица

угловые коэффициенты прямые
Если угловые коэффициенты двух линейных функций равны, то прямые, являющиеся их графиками, параллельны Параллельные прямые имеют одинаковый наклон.
Если угловые коэффициенты двух линейных функций не равны, то прямые, являющиеся их графиками, пересекаются Если прямые пересекаются, то их наклоны не равны
Если произведение угловых коэффициентов равно (-1), то прямые, являющиеся их графиками, перпендикулярны. Если прямые перпендикулярны, то произведение их наклонов всегда = -1.
Если прямая параллельна оси ординат, то формула не применима (возникает деление на 0), и для таких прямых угловой коэффициент не определён.

Задачи — угловой коэффициент на бумаге в клетку

Определить угловой коэффициент прямой:

Расстояние от точки до прямой

Когда прямая на плоскости задана уравнением $ax + by + c = 0$, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки $(x_0,y_0)$ равно

Точка на прямой, наиболее близкая к $(x_0,y_0)$, имеет координаты

источники:

http://hd01.ru/info/kak-najti-tangens-ugla-naklona-prjamoj/

http://xlench.bget.ru/doku.php/mat/algebra/eq-line

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):

Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол ( alpha )?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).

Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:

По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).

Тогда отношение приращений:

( frac{Delta f}{Delta x}=frac{BC}{AC}={tg}alpha )

(так как ( angle C=90{}^circ ), то ( triangle ABC) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать ( Delta x).

Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).

Что же при этом станет с секущей?

Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная

( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),

то есть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

( y=kx+b).

За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!

То есть вот что получается:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.

Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).

С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).

Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).

Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).

Решение.

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: 

( displaystyle f’left( x right)=k= {tg}varphi).

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси ( displaystyle Ox) – это ( displaystyle angle BAC). Найдем тангенс этого угла:

( displaystyle {tg}angle BAC=frac{BC}{AC}=frac{6}{5}=1,2).

Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).

Ответ: ( displaystyle 1,2).

Теперь попробуй сам.

Уравнение касательной к графику функций

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.

Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).

Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?

Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении

( y=kx+b).

Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).

В нашем примере будет так:

( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)

( k={f}’left( {{x}_{0}} right)={f}’left( 2 right)=2cdot 2=4.)

Теперь остается найти ( b) . Это проще простого: ведь ( b) – значение ( y) при ( displaystyle x=0).

Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):

Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).

Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?

По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)

( y={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right))

Это и есть уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).

Пример:

Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).

Решение:

На этом примере выработаем простой…

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и
$y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

$$begin{array}{c}
left{begin{array}{l}
y_{1}=x^{2}-1 \
y_{2}=x^{3}-1
end{array} Rightarrow x^{2}-1=x^{3}-1 Rightarrow x^{3}-x^{2}=0 Rightarrowright. \
Rightarrow x_{1,2}=0, x_{3}=1
end{array}$$

Таким образом, искомая точка $x=1$.

Далее находим производные заданных функций в найденной точке:

$$begin{array}{c}
y_{1}^{prime}=left(x^{2}-1right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(1)^{prime}=2 x-0=2 x, y_{1}^{prime}(1)=2 \
y_{2}^{prime}=left(x^{3}-1right)^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}-(1)^{prime}=3 x^{2}-0=3 x^{2}, y_{2}^{prime}(1)=3
end{array}$$

Итак, искомый тангенс:

$$operatorname{tg} phi=frac{3-2}{1+2 cdot 3}=frac{1}{7}$$

Ответ. $operatorname{tg} phi=frac{1}{7}$

Добавить комментарий