Как найти тангенс угла наклона касательной
Геометрический смысл производной первого порядка функции F(х) представляет собой касательную прямую к ее графику, проходящую через заданную точку кривой и совпадающую с ней в этой точке. Причем значение производной в данной точке х0 является угловым коэффициентом или иначе – тангенсом угла наклона касательной прямой k = tg a = F`(х0). Вычисление данного коэффициента – одна из наиболее распространенных задач теории функций.
Инструкция
Запишите заданную функцию F(x), например F(x) = (x³ + 15х +26). Если в задаче явно указана точка, через которую проводится касательная, например, ее координата х0 = -2, можно обойтись без построения графика функции и дополнительных прямых на декартовой системе ОХY. Найдите производную первого порядка от заданной функции F`(x). В рассматриваемом примере F`(x) = (3x² + 15). Подставьте заданное значение аргумента х0 в производную функции и вычислите ее значение: F`(-2) = (3(-2)² + 15) = 27. Таким образом, вы нашли tg a = 27.
При рассмотрении задачи, где требуется определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью абсцисс, вам понадобится сначала найти числовое значение координат точки пересечения функции с ОХ. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика функции на двухмерной плоскости ОХY.
Задайте координатный ряд для абсцисс, например, от -5 до 5 с шагом 1. Подставляя в функцию значения х, вычислите соответствующие им ординаты у и отложите на координатной плоскости полученные точки (х, у). Соедините точки плавной линией. Вы увидите на выполненном графике место пересечения функцией оси абсцисс. Ордината функции в данной точке равна нулю. Найдите численное значение соответствующего ей аргумента. Для этого заданную функцию, например F(x) = (4x² – 16), приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение с одной переменной и вычислите х: 4x² – 16 = 0, x² = 4, х = 2. Таким образом, согласно условию задачи, тангенс угла наклона касательной к графику функции необходимо найти в точке с координатой х0 = 2.
Аналогично описанному ранее способу определите производную функции: F`(x) = 8*x. Затем вычислите ее значение в точке с х0 = 2, что соответствует точке пересечения исходной функции с ОХ. Подставьте полученное значение в производную функции и вычислите тангенс угла наклона касательной: tg a = F`(2) = 16.
При нахождении углового коэффициента в точке пересечения графика функции с осью ординат (ОY) выполните аналогичные действия. Только координату искомой точки х0 сразу следует принять равной нулю.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
7. Взаимосвязь функции и ее производной
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Значение производной в точке касания как тангенс угла наклона
Если к кривой (f(x)) проведена касательная в точке с абсциссой (x_0), то
[{large{color{royalblue}{f'(x_0)=mathrm{tg}, alpha, }}},]
где (alpha) – угол наклона касательной.
Значит, верна формула: (f'(x_0)=mathrm{tg}, alpha=k).
Заметим, что координаты точки (A) тогда можно записать как ( (x_0; f(x_0)) ) или ( (x_0; y_0) ),
где ( y_0=kx_0+b).
То есть ( y_0=f(x_0)).
Задание
1
#2090
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображены график функции (y = f(x)) и касательная к нему в точке с абсциссой (x_0). Найдите значение производной функции (f(x)) в точке (x_0).
Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) (то есть угла между касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) и положительным направлением оси (Ox)).
По рисунку видно, что касательная проходит через точки ((0,5; 0)) и ((1; 1)), тогда тангенс угла наклона касательной составляет (1 : 0,5
= 2), следовательно, (f'(x_0) = 2).
Ответ: 2
Задание
2
#2091
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображены график функции (y = f(x)) и касательная к нему в точке с абсциссой (x_0). Найдите значение производной функции (f(x)) в точке (x_0).
Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
По рисунку видно, что касательная проходит через точки ((0,5; -0,5)) и ((1; 1)), тогда тангенс угла наклона касательной составляет (1,5 :
0,5 = 3), следовательно, (f'(x_0) = 3).
Ответ: 3
Задание
3
#2092
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображены график функции (y = f(x)) и касательная к нему в точке с абсциссой (x_0). Найдите значение производной функции (f(x)) в точке (x_0).
Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
По рисунку видно, что касательная проходит через точки ((0,5; 1)) и ((1,5; 1,5)), тогда тангенс угла наклона касательной составляет (0,5
: 1 = 0,5), следовательно, (f'(x_0) = 0,5).
Ответ: 0,5
Задание
4
#2093
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображены график функции (y = f(x)) и касательная к нему в точке с абсциссой (x_0). Найдите значение производной функции (f(x)) в точке (x_0).
Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
По рисунку видно, что касательная проходит через точки ((1; 1)) и ((5; 2)), тогда тангенс угла наклона касательной составляет ((2 – 1)
: (5 – 1) = 0,25), следовательно, (f'(x_0) = 0,25).
Ответ: 0,25
Задание
5
#3112
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график функции (y=f(x)) и отмечены точки (-2;
0; 2; 8). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Проведем касательные к графику функции в этих точках. Так как тангенс угла (alpha) наклона касательной равен значению производной (f'(x)) в точке касания (x_0) ((f'(x_0)=mathrm{tg},alpha)), то нужно сравнить тангенсы углов, отмеченных на рисунке.
Вспомним, что если угол тупой, то его тангенс отрицательный, если острый – положительный. Следовательно, так как мы ищем наибольший тангенс, имеет смысл рассматривать только острые углы. Это углы, образованные касательными в точках (0) и (2). Заметим, что угол в точке (0) больше, следовательно, его тангенс также больше, чем тангенс угла в точке (2). Таким образом, ответ: (0).
Ответ: 0
Задание
6
#718
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Производная (f'(x)) функции (f(x)) в точке (x_0) равна (10). Найдите котангенс угла наклона касательной к графику функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
При всех (alpha), при которых (mathrm{tg}, alpha) и (mathrm{ctg}, alpha) имеют смысл, выполнено (mathrm{tg}, alphacdotmathrm{ctg}, alpha = 1), откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) равен (0,1).
Ответ: 0,1
Задание
7
#719
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Производная (f'(x)) функции (f(x)) в точке (x_0) равна (5). Найдите сумму тангенса и котангенса угла наклона касательной к графику функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))).
При всех (alpha), при которых (mathrm{tg}, alpha) и (mathrm{ctg}, alpha) имеют смысл, выполнено (mathrm{tg}, alphacdotmathrm{ctg}, alpha = 1), откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) равен (0,2), тогда сумма тангенса и котангенса угла наклона касательной к графику функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) равна (5,2).
Ответ: 5,2
УСТАЛ? Просто отдохни
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Если вы умеете вычислять угловые коэффициенты (тангенс угла наклона) прямых, то на основании этих коэффициентов можно узнать другие параметры. Например, выяснить, параллельны ли прямые или же перпендикулярны, найти их точку пересечения и многие другие величины. Вычисление углового коэффициента – довольно простая задача. Прочитайте эту статью, чтобы узнать, как это сделать.
-
1
Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) определяется как отношение изменения координаты «у» к изменению координаты «х».
Реклама
-
1
Рассмотрите любую прямую линию. Убедитесь, что линия прямая, так как угловой коэффициент вычисляется только для прямых линий.
-
2
Выберите любые две точки, лежащие на прямой. Запишите их координаты в виде (х,у). Не имеет значения, какие точки вы выберете (главное, чтобы они были разными и лежали на одной прямой).
-
3
Дайте обозначение выбранным точкам. Не имеет значения, какую из них вы обозначите первой, а какую – второй (главное – на протяжении всего процесса вычисления строго придерживаться выбранного обозначения). Координаты первой точки запишем как x1 и y1, а координаты второй точки как x2 и y2.
-
4
Подставьте координаты точек в формулу для вычисления углового коэффициента, приведенную выше.
-
5
Вычтите две координаты «у».
-
6
Вычтите две координаты «х».
-
7
Разделите результат разности координат «у» на результат разности координат «х». Сократите дробь, если возможно.
-
8
Проверьте полученный результат.
- Прямые, идущие вверх слева направо, всегда имеют положительный угловой коэффициент (даже если это дробь).
- Прямые, идущие вниз слева направо, всегда имеют отрицательный угловой коэффициент (даже если это дробь).
Реклама
Пример
- Дана прямая с точками A и B, лежащими на ней.
- Координаты точек: A(-2,0) и B(0,-2)
- (y2-y1): -2-0=-2; Изменение координаты «у» = -2
- (x2-x1): 0-(-2)=2; Изменение координаты «х» = 2
- Угловой коэффициент данной прямой равен -1.
Советы
- Как только вы обозначили координаты точек на прямой через (х1,у1) и (у1,у2), не меняйте эти обозначения, или вы получите неверный ответ.
- Вы нашли “m” в линейном уравнении вида y=mx+b, где “у” – координата «у», “m” – угловой коэффициент, “х” – координата «х», “b” – смещение прямой по оси Y (или значение координаты «у» при х=0).
- Для получения ответов на возникающие вопросы прочитайте школьный учебник или обратитесь к учителю.
Реклама
Предупреждения
- Не путайте формулу для вычисления углового коэффициента (тангенса угла наклона) прямой с любой другой формулой, например, с формулой для вычисления расстояния или формулой для вычисления средней точки.
Реклама
Что вам понадобится
- Миллиметровка (возможно).
- Координатная плоскость или прямая с координатами двух точек, лежащих на ней.
- Формула для вычисления углового коэффициента (тангенса угла наклона) прямой.
- Карандаш, бумага, линейка, калькулятор.
- Прямая.
- Координаты «х».
- Координаты «у».
Об этой статье
Эту страницу просматривали 102 992 раза.
Была ли эта статья полезной?
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33
Отсюда следует, что αx=arctg33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что
y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk
32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos32x0-π4-13
y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13
y0=3·1–192-13 или y0=3·-1–192-13
y0=45-13 или y0=-45+13
Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5
Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид
y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид
y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34
Имеем, что точки касания – 234; -5+34.
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-13·x-234+-5+34
Графически изобразим это таким образом:
Тема 7.
Взаимосвязь функции и ее производной
7
.
02
Производная в точке касания как тангенс угла наклона касательной
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами – ЛЕГКО!
Подтемы раздела
взаимосвязь функции и ее производной
Решаем задачи
На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной
функции 
в точке 
Показать ответ и решение
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой
коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой.
По условию касательная проходит через точки 
и 
Если прямая проходит через точки 
и 
то
тангенс угла её наклона равен
Тогда мы можем вычислить производную функции 
в точке 
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
. Найдите значение
производной функции 
в точке 
.
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение
производной функции 
в точке 
Показать ответ и решение
Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке. Касательная проходит через точки
и 
тогда тангенс угла наклона равен
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение
производной функции 
в точке 
Показать ответ и решение
Рассмотрим прямоугольный 
Так как 
равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, то
Следовательно,
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение
производной функции 
в точке 
Показать ответ и решение
Производная функции в точке с абциссой 
равна тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке.
По картинке видно, что касательная проходит через точки 
и 
. Если прямая проходит через точки 
и
, то тангенс угла наклона этой прямой равен
Значит,
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
.
Найдите значение производной функции 
в точке 
.
На рисунке изображён график 
функции и касательная к нему в точке с
абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке 
Показать ответ и решение
Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона касательной.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1, который касательная
образует с прямыми 
и 
Тогда
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки 
. В какой из этих точек значение производной
наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Показать ответ и решение
Проведем касательные к графику функции в этих точках. Так как тангенс угла 
наклона касательной равен значению
производной 
в точке касания 
то есть 
то нужно сравнить тангенсы углов, отмеченных на
рисунке.
Вспомним, что если угол тупой, то его тангенс отрицательный, если острый — положительный. Следовательно, так как мы ищем
наибольший тангенс, имеет смысл рассматривать только острые углы. Это углы, образованные касательными в точках 
и 
.
Заметим, что угол в точке 
больше, следовательно, его тангенс также больше, чем тангенс угла в точке 
. Таким образом, ответ:
.
Показать ответ и решение
Рассмотрим прямоугольный 
:
Так как 
равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, то 
.
Следовательно,
Показать ответ и решение
Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox.
Рассмотрим 
:
Угол наклона касательной равен 
. Из 
видно, что
Тогда
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Показать ответ и решение
Тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
равен 
Тогда при 
имеем:
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
.
Найдите значение производной функции 
в точке 
.
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
.
Найдите значение производной функции 
в точке 
.
На рисунке изображён график функции 
. Прямая, проходящая через
начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 
.
Найдите значение производной функции в точке 
.
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в
точке с абсциссой 
. Найдите значение производной функции 
в точке
.
Показать ответ и решение
Выделим прямоугольный треугольник с гипотенузой, которая является
отрезком, соединяющей выделенные точки на прямой. Поскольку значение
производной в точке касания равно угловому коэффициенту линейной
функции, определим его как тангенс угла между горизонтальным катетом и
гипотенузой. С поправкой на то, что линейная функция убывает, получим
.
Какой наибольший угол может составлять касательная к графику функции 
с
графиком функции 
? Ответ дайте в градусах.
