Как найти тангенс тупоугольного треугольника
Задание 6. В тупоугольном треугольнике ABC AC=BC, высота AH равна 4, CH=8. Найдите tgACB.
Тангенс угла ACB можно выразить через угол ACH следующим образом:
.
Найдем тангенс угла ACH из прямоугольного треугольника ACH как отношение противолежащего катета AH на прилежащий катет CH:
,
.
Что такое тангенс угла и как его найти
Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.
Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.
Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.
Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.
Тангенс угла
Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.
В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.
Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.
Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.
Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.
Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.
Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).
Тангенс — это отношение.
Итак, есть два определения:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
” alt=””>
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Как найти тангенс угла (формулы)
Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.
Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому
Так как тангенс – это отношение катетов, то
Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.
Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.
Как найти тангенс по клеточкам
Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.
Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:
Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение
и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.
Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:
Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (5)
Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».
Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.
Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.
Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.
Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
- Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
[spoiler title=”источники:”]
http://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/tangens-chto-ehto-takoe-otnoshenie-najti-formulam-kletochkam.html
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/
[/spoiler]
Что такое тангенс угла и как его найти
Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.
Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.
Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.
Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.
Тангенс угла
Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.
В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.
Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.
Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.
Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.
Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.
Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).
Тангенс — это отношение…
Итак, есть два определения:
-
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
-
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
Приняты обозначения:
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Как найти тангенс угла (формулы)
Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.
Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому
Так как тангенс – это отношение катетов, то
Получается, что
Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.
В частности,
Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.
Как найти тангенс по клеточкам
Учитывая первое определение, можно определить, как найти его по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.
Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:
Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение
и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.
Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится его зависимость от косинуса:
Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:
👋 Привет Лёва
Середнячок
40/250
Задать вопрос
VanyaVanek
+15
Решено
8 лет назад
Геометрия
5 – 9 классы
Как найти тангенс в ТУПоугольном треугольнике ПО КЛЕТОЧКАМ?
Пожалуйста, помогите!
Смотреть ответ
1
Комментарии
igir12370
выделяешь прямоугольный треугольник так, чтобы катеты составляли целое количество клеток. Тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему.
igir12370
смежный угол с тупым углом α,<br />тупой угол 180-α<br />tg(180-α)=-tgα
Ответ проверен экспертом
5
(2 оценки)
1
Andr1806
8 лет назад
Светило науки – 4084 ответа – 52605 раз оказано помощи
Igir12370 ответил Вам в комментариях правильно. Я добавлю рисунок.
(2 оценки)
https://vashotvet.com/task/9639891
Как найти тангенс в ТУПоугольном треугольнике ПО КЛЕТОЧКАМ?
Пожалуйста, помогите!
Перед вами страница с вопросом Как найти тангенс в ТУПоугольном треугольнике ПО КЛЕТОЧКАМ?, который относится к
категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для
учащихся 5 – 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и
сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и
выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется
варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском»,
который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав
кнопку в верхней части страницы.
Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:
Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:
Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.
То есть tg(BOA) = DB / DO.
Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.
DO = 2.
DB = 5.
Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.
Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:
ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.
_
А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):
Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.
И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.
Как же нам их найти?
И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).
Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, у нас получится следующее:
tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.
И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.
Сегодня на пробном ОГЭ по математике часть ребят решали так называемые «задачи на клетчатой бумаге». Не всем удалось решить задачи, связанные с нахождением cos a, tg a…. Предлагаю, не откладывая в долгий ящик, перейти по ссылке и разобраться, понять решение таких задач. Это стоит сделать еще и потому, что в 11 классе на ЕГЭ такие же задачи встречаются. Вот задачи с это сайта http://easy-physic.ru/figury-na-kvadratnoj-reshetke/
Определить тангенс угла:
Вспомним, что тангенс тупого угла равен тангенсу острого, смежного с ним, взятого с отрицательным знаком.
Надо найти тангенс смежного острого угла. Так как луч, образующий его – гипотенуза прямого угла и проходит прямо по узлам решетки, то катеты треугольников, образуемых этим лучом, всегда равны. Тогда тангенс равен:
. Искомый тангенс тупого угла – (-1).
Ответ: -1
Определить тангенс угла.
Данный угол – тупой, значит, его тангенс – отрицателен. Определяем тангенс смежного с ним острого угла, ставим перед ним минус – и дело в шляпе. Чтобы определить тангенс острого угла, выбираем целый узел, через который проходит луч, образующий угол – помечен черной точкой. Катеты получившегося треугольника – 1 и 3 клетки, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, значит, 
. Искомый тангенс тупого угла – (-3).
Ответ: -3
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Asya Админ. спросил 5 лет назад
Здравствуйте!
Как найти тангенс угла по клеточкам? Дали задание, а к нему только рисунок. Не понимаю, как его можно решить. Помогите, пожалуйста.
Спасибо!
1 ответ
Asix Админ. ответил 5 лет назад
Задание.
Найти тангенс угла АОВ, который изображен на данном рисунке.
Решение.
Чтобы понять как найти тангенс угла по клеточкам данного рисунка вспомним, что тангенс можно найти из прямоугольного треугольника, длину катетов которого как раз и можно посчитать по клеточкам.
Рассмотрим рисунок, чтобы понять какой прямоугольный треугольник можно получить.
Построим прямоугольный треугольник таким образом, чтобы отрезок ОВ являлся его гипотенузой.
Обозначим новую точку буквой К. из полученного прямоугольного треугольника ОВК можно вычислить тангенс угла ВОК, который рассчитывается как отношение противолежащего катета к прилежащему. Из рисунка видно, что противолежащий катет к углу ВОК равен 3 клеточки, а прилежащий – 1 клеточка. Условно клеточки примем за единицы или сантиметры и рассчитаем:
tg BOK = BK / OK = 3 / 1 = 3
Аналогично поступим с отрезком ОА, который достроим до прямоугольного треугольника так, чтобы этот отрезок был гипотенузой нового треугольника.
Из полученного треугольника ОАМ вычислим длины е5го катетов и найдем тангенс угла АОМ:
tg АOМ = АМ / OМ = 2 / 4 = 0,5
По условию нужно найти тангенс угла ВОА, который найдем как разницу:
tg BOA = tg BOK – tg АOМ = 3 – 0,5 = 2,5
Ответ. 2,5.
