Как найти тангенс угла в правильной пирамиде

Примечание. Это урок с решениями задачам по геометрии (раздел стереометрия, пирамида с четырехугольником в основании). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа “квадратный корень” применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак “√”.

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.

Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания
.

Решение.

Правильная четырехугольная пирамида

Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.

Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это – квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это – точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN – прямоугольный, OK – высота, равная 3а.

Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как

α.

tg

α = OK / KN

tg α = 3a / (a/2) = 6

α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.

Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как

β ) равен

tg

β = OK / KC

tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2

β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°


0
 

 Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3) |

Описание курса

| Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды 

Видео по теме


Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  точка  O – центр основания, S  – вершина,  SB=13,;BD=24. Найдите длину отрезка SO.

fgk

Решение: + показать


Задача 2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  точка O – центр основания, S – вершина, SO=8, BD=30.  Найдите боковое ребро SC.

Решение: + показать


Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60, боковые ребра равны 78. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать


Задача 4.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  точка O  —  центр основания, S — вершина, SO=48, SD=60.  Найдите длину отрезка AC.

Решение: + показать


Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 6. Ее объем равен 40. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать


Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  с основанием ABCD боковое ребро SA равно 39, сторона основания равна 15sqrt2. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать


Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 7. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать


Задача 8.  Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 9. У второй пирамиды высота в 1,5 раза больше, а сторона основания в 2 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать


Задача 9.  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен sqrt{14}. Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать


Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.

18f3561bdbae5ca26a77784787b7d0bc

Решение: + показать


Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

8913063b078b7196c5a3071ca02c523b

Решение: + показать


Задача 12. В правильной треугольной пирамиде SABC  медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC  равна 9, объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

u

Решение: + показать


Задача 13.  В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

ts

Решение: + показать


Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 11, а высота равна 4sqrt3. 

u

Решение: + показать


Задача 15.  Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен 6sqrt3.

u

Решение: + показать


Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

н

Решение: + показать


Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды 324. Сторона основания равна 6. Найдите боковое ребро.

н

Решение: + показать


Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение: + показать


Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 5 раз?

d5e28b2cf1aaba18d4a7a6a87f80215a

Решение: + показать


Задача 20.  Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

п

Решение: + показать


Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

8fb4942644d6aea0ba85825e7c81c610

Решение: + показать


Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

a8a2781d4cd5ed8f62d05cbf4f061676

Решение: + показать


Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

g

Решение: + показать


Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 

efc4238b7e0c4ff80662906a06e27364

Решение: + показать


Задача 25.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение: + показать


Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой гранью и основанием равен 45^{circ}. Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать


Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABD равен 34.

Решение: + показать


Задача 28.  Объем параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA_1. 

Решение: + показать


Задача 29. Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: + показать


Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Решение: + показать


Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 120. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

рб

Решение: + показать


Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

ор

Решение: + показать


Задача 33.  Ребра тетраэдра равны 16. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

ь

Решение: + показать


  Вы можете пройти тест

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 0,25 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента . Найти сторону основания пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Выразим длину стороны AC через длину боковой стороны AS. Высота правильного треугольника выражается через его сторону: AH= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AC. Точкой O высота AH делится в отношении 2 : 1, поэтому AO= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AH= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби AC, OH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби AC. Угол SHO равен углу между боковой гранью и плоскостью основания. Из прямоугольного треугольника SOH:

SO=OH тангенс angle SHO= дробь: числитель: 1 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби AC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби AC.

Из прямоугольного треугольника AOS по теореме Пифагора:

AS= корень из: начало аргумента: AO в квадрате плюс SO в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC в квадрате плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби AC в квадрате конец аргумента =
=AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 64 плюс 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =AC корень из д робь: числитель: 25, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби AC.

Откуда AC= дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби AS=8.

Ответ: 8.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.
Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания
.

Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.
Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это — квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это — точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN — прямоугольный, OK — высота, равная 3а.
Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как α .

tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.
Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как β ) равен

tg β = OK / KC
tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2
β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Двугранные углы пирамиды и методика их расчета

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, — это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово «пирамида». Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Популяция людей: определение, виды, свойства и примеры Вам будет интересно: Популяция людей: определение, виды, свойства и примеры

Пятиугольная пирамида

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

«Дурачок» или «дурачек»: как не проспорить в Интернете из-за орфографии? Вам будет интересно: «Дурачок» или «дурачек»: как не проспорить в Интернете из-за орфографии?

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

  • При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n — число сторон многоугольника.
  • Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип — на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Двугранный угол между плоскостями

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D — это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A1*A2 + B1*B2 + C1*C2|/(√(A12 + B12+C12)*√(A22 + B22 + C22)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Правильная четырехугольная пирамида

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

Угол между ABD и BDC:

φ = arccos(a4/(4*a2*(h2+a2/4)) = arccos(a2/(4*(h2+a2/4))) = 81,49o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол треугольной пирамиды

Двугранный угол, равный 90o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры — h, апофему — hb и боковое ребро — b. Теперь можно записать следующие формулы:

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см2.

Пирамида и ее элементы

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость alpha , многоугольник A_1A_2. A_n, лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки SA_1,SA_2. SA_nназываются боковыми ребрами. ПирамидаМногоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если A_1A_2. A_nправильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства SA_1=SA_2=. =SA_nследует совпадение центра P многоугольника A_1A_2. A_nс основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
апофемы
Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA
Реберный и апофемный треугольники
Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) V=frac<1> <3>cdot S_ <OCH>cdot h» />, где <img decoding=-высота пирамиды
2) V=frac<1> <3>cdot r cdot S_<0>» />, где <img decoding=– радиус вписанного шара, а S_0 – площадь полной поверхности пирамиды.
3) V= frac<2> <3>cdot MN cdot S_0″ />, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а <img decoding=– площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Свойство основания высотыТочка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Свойство основания высоты 2Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны implies все проекции боковых ребер будет равны impliesP будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней S=S_<OCH>+S_1+S_2+. +S_n» />. <br />Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней <img decoding=.
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле S_b=p cdot SK , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

Добавить комментарий