Как найти тангенс углп

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

   Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

   Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Получается, что

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

В частности,

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти его по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится его зависимость от косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Определение тангенса угла

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: тангенс угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к ближнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: tg⁡α=abtgalpha=frac{a}{b}

Тангенс можно найти напрямую пользуясь данной формулой, а можно и через тригонометрические тождества. Разберем подробнее задачи.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см6text{ см} и 8 см8text{ см}. Найдите тангенс угла, близлежащего к меньшей стороне.

Решение

a=8a=8
b=6b=6

tg⁡α=ab=86≈1.33tgalpha=frac{a}{b}=frac{8}{6}approx1.33

Ответ

1.331.33

Формулу:

tg⁡α=abtgalpha=frac{a}{b}

Можно записать в следующем виде:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡αtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}

Проверим истинность данного выражения. Подставим вместо синуса и косинуса их определения:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=acbc=abtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{b}

Получили первичное равенство, значит выражение для тангенса через отношение синуса к косинусу верно.

Решим задачу, пользуясь этой формулой.

Задача 2

По условию задачи известен косинус угла, равный 32frac{sqrt{3}}{2} и синус того же угла, равный 12frac{1}{2}. Найдите тангенс данного угла.

Решение

cos⁡α=32cosalpha=frac{sqrt{3}}{2}

sin⁡α=12sinalpha=frac{1}{2}

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=1232=13tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{1}{sqrt{3}}

Ответ

13frac{1}{sqrt{3}}

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с тангенсом:

1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат косинуса.

Задача 3

Известен квадрат косинуса угла в прямоугольном треугольнике, равный 0.80.8. Нужно найти тангенс этого угла.

Решение

cos⁡2α=0.8cos^2alpha=0.8

1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}

1+tg⁡2α=10.81+tg^2alpha=frac{1}{0.8}

1+tg⁡2α=1.251+tg^2alpha=1.25

tg⁡2α=0.25tg^2alpha=0.25

tg⁡α=0.25tgalpha=sqrt{0.25}

tg⁡α=0.5tgalpha=0.5

Ответ

0.50.5

У вас есть трудности с вычислением тангенса? Можете заказать задачу по математике у наших экспертов!

Тест по теме “Вычисление тангенса”

В этой статье мы разберем такое понятие, как тангенс угла. Начнем с понятия прямого угла. Прямым углом называется угол равный 90⁰. Угол в котором меньше 90 градусов – называется острым. Угол в котором больше 90 градусов – называется тупым. В развернутом угле 180 градусов.

Изображаем треугольник с прямым углом С , при этом противолежащая сторона будет имеет такое же обозначение (с -будет гипотенузой), аналогично поступаем и с другими углами. Сторона находящаяся противоположно от острого угла – называется катетом.

Синус и косинус находятся с помощью катета и гипотенузы, а именно:

sinA = a/c
cosA = b/c

Формула тангенса

tg A = a/b

другими словами определение тангенса – это деление противоположного катета на прилежащий
Существует ещё одна равносильная формула тангенса

tg A = sinA/cosA

расшифровывается как деление sin на cos.

Котангенс находится практически аналогично, лишь значения поменяются местами.

ctg A = cosA/sinA

Внимание! В помощь родителям и учителям гдз по математики 5 класс (http://spisaly.ru/gdz/5_klass/math). Все предложенные на сайте книги можно скачать или изучить онлайн. Перейдите по ссылке и узнайте подробнее.

Данные тригонометрические функции, значительно облегчают вычисление углов. Благодаря синусу, косинусу и тангенсу стало возможным, определение всех неизвестных углов в треугольнике, с одним известным.

Обозначения для основных углов:
тангенс 30 – 0,577

тангенс 45 – 1,000
тангенс 60 – 1,732

Существуют специальная таблица тангенсов, значения которой можно получить при помощи деления значений таблиц синуса и косинуса, но так как это достаточно трудоемкий процесс и нужна данная таблица тангенсов.

Есть очень много задач в которых у треугольника углы равны 90, 30, 60 градусам. либо 90, 45, 45 градусам. Для таких фигур лучше заучить их соотношение , что бы потом было проще.

В первом случае катет противоположный 30 градусам равняется 1/2 от гипотенузы.
Во втором случае гипотенуза превышает катет в ?2 раз.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске поговорим о задании, которое иногда доставляет неожиданные неприятности на экзамене. Задания довольно простые, но бывают промахи. Это задания, которые сделаны как бы на тетрадном листочке в клеточку. Итак, давайте начнем.

Задание №1. УГЛЫ

Задача №1

Запомните, чтобы найти тангенс острого угла на таких картинках, обязательно нужно достроить до прямоугольного треугольника.

Вспомним, что такое тангенс острого угла прямоугольного треугольника?

Определение тангенса острого угла:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника, называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Катет BF- противолежащий угла FОВ, OF – прилежащий к углу FOB.

Задача №2

Чтобы найти тангенс угла АОВ на этой картинке, нужно достроить до прямоугольного треугольника, и найти стороны этого треугольника.

1. Достроим до треугольника ОВН и докажем, что он прямоугольный.

2. Для этого достроим на стороне ОН, ОВ и ВН прямоугольные треугольники ОСВ, ОНК и BDH. Докажем, что треугольник АВН прямоугольный.

Найдем гипотенузу ОВ прямоугольного треугольника ОСВ, гипотенузу ОН прямоугольного треугольника ОКН и гипотенузу ВН прямоугольного треугольника ВDH через теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теперь докажем, что треугольник ОВН прямоугольный. Воспользуемся обратной теоремой Пифагора: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Так как равенство верно, то треугольник ОВН прямоугольный.

Теперь найдем тангенс угла АОВ

Задание №2 Расстояние

Для выполнения этого задания, проведите отрезок ВС, найдите середину его и отметим точкой К. Проведите отрезок АК, который равен 4. Ответ 4

Задание №3 Площадь

Задача №1

Задание простое, но есть ошибки по невнимательности.

Задача №2

а) Площадь треугольника и параллелограмма

Запомните! Площадь треугольника от площади параллелограмма отличается только тем, что площадь треугольника нужно делить на 2, а площадь параллелограмма нет.

б) Площадь трапеции. Чтобы найти площадь трапеции, нужно сложить основания трапеции, умножить на высоту и поделить на 2.

в) Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Это не все типы заданий, что встречаются на экзамене. Продолжение следует.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс

18 мая 2022

Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.

Содержание:

1. Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
2. Почему эти значения зависят только от углов?
3. Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
4. Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
5. Тригонометрия на координатной сетке.

Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!

1. Ключевые определения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Мы видим, что острый угол $alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $alpha $, назовём противолежащим:

Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.

1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $.

Тогда:

Определение 1. Синус угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

[sin alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{a}{c}]

Определение 2. Косинус угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

[cos alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{b}{c}]

Определение 3. Тангенс угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

[operatorname{tg}alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}=frac{a}{b}]

Определение 3. Котангенс угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

[operatorname{ctg}alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}=frac{b}{a}]

Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).

Рассмотрим пару примеров.

Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.

Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.

Имеем:

[begin{align}sin alpha& =frac{BC}{AC}=frac{5}{4} \ cos alpha& =frac{AB}{AC}=frac{3}{5} \ operatorname{tg}alpha& =frac{BC}{AB}=frac{4}{3} end{align}]

Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.

Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:

[operatorname{ctg}alpha =frac{1}{operatorname{tg}alpha }]

Но об этом чуть позже.

Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

[begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \ AC & =sqrt{2} \ end{align}]

Теперь найдём синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha &=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos alpha &=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]

Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)

1.2. Задачи для тренировки

Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.

Задача 3. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Решение.

[begin{align}sin alpha &=frac{5}{13} \ cos alpha &=frac{12}{13} \ operatorname{tg}alpha &=frac{5}{12} \ end{align}]

Задача 4. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Решение.

[begin{align}sin alpha &=frac{8}{17} \ cos alpha &=frac{15}{17} \ operatorname{tg}alpha &=frac{8}{15} \ end{align}]

Задача 5. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

[begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \ l&=sqrt{8}=2sqrt{2} \ end{align}]

Синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha&=frac{1}{3} \ cos alpha&=frac{2sqrt{2}}{3} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}]

Задача 6. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

[begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \ l &=sqrt{3} \ end{align}]

Синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha&=frac{1}{2} \ cos alpha&=frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]

Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?

2. Теорема о единственности

Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.

Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.

2.1. Формулировка теоремы

Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.

2.2. Доказательство

Рассмотрим произвольный острый угол $alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:

А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:

А можно и вот так — это не имеет никакого значения:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы [angle ABC=angle AMN=90{}^circ ] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:

[Delta ABCsim Delta AMN]

Из подобия треугольников следует двойное равенство

[frac{AB}{AM}=frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]

Выпишем второе равенство — получим пропорцию

[frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]

Попробуем выразить $sin alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому

[BCcdot AN=MNcdot AC]

Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:

[begin{align}frac{BCcdot AN}{ANcdot AC} &=frac{MNcdot AC}{ANcdot AC} \ frac{BC}{AC} &=frac{MN}{AN} end{align}]

Однако по определению синуса имеем:

[begin{align}sin BAC &=frac{BC}{AC} \ sin MAN &=frac{MN}{AN} \ end{align}]

Получается, что $sin BAC=sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $sin alpha $.

То же самое касается и $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.

3. Стандартные углы

Итак, значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ однозначно определяются величиной угла $alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.

Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:

1. Для большинства углов $alpha $ нельзя найти точные значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
2. Верно и обратное: для большинства «красивых» $sin alpha $, $cos alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $alpha $.

Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.

3.1. Три стандартных угла

Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:

[begin{array}{c|ccc} alpha& 30{}^circ& 45{}^circ & 60{}^circ \ hlinesin alpha & frac{1}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{3}}{2} \ cos alpha & frac{sqrt{3}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{1}{2} \ operatorname{tg}alpha& frac{sqrt{3}}{3} & 1 & sqrt{3} \ end{array}]

Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $alpha =45{}^circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:

Поскольку в равнобедренном треугольнике $angle A=angle B=45{}^circ $, получим:

[begin{align}sin 45{}^circ &=sin A=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos 45{}^circ &=sin A=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}45{}^circ&=sin A=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]

Это именно те значения, которые указаны в таблице!

Теперь разберёмся с углами $alpha =30{}^circ $ и $alpha =60{}^circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:

Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $angle ABH=angle CBH=30{}^circ $.

Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:

Разберёмся с углом 60°:

[begin{align} sin{60}^circ &=sin A=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2} \ cos{60}^circ&=cos A=frac{AH}{AB}=frac{1}{2} \ operatorname{tg}{60}^circ&=operatorname{tg}A=frac{BH}{AH}=sqrt{3} \ end{align}]

И с углом 30°:

[begin{align} sin{30}^circ &=sin ABH=frac{AH}{AB} =frac{1}{2} \ cos{30}^circ &=cos ABH=frac{BH}{AB} =frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}{30}^circ &=operatorname{tg} ABH=frac{AH}{BH} =frac{1}{sqrt{3}} =frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]

Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!

Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $sin {50}^circ $? Или, быть может, $cos {10}^circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.

Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?

3.2. Что с другими углами?

Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $alpha $:

[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}=0,6]

Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $alpha $? Ответ: неизвестно.:)

Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.

Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:

• Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
• Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.

Ещё раз:

Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.

Например, $sin 30{}^circ $, $cos 45{}^circ $, $operatorname{tg}60{}^circ $ и т.д. А всякие $sin 15{}^circ $, $cos 25{}^circ $ или $operatorname{tg}89,5{}^circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)

И наоборот:

Зная $sin alpha $, $cos alpha $ или $operatorname{tg}alpha $, мы сможем назвать точный угол $alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.

Например, мы точно знаем, что если $sin alpha =frac{sqrt{2}}{2}$, то $alpha =45{}^circ $. Но когда $sin alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).

С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса

Мы разберём три ключевых свойства:

1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
2. Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
3. Основное тригонометрическое тождество.

Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.

4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Выразим синус, косинус:

[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]

А теперь выразим тангенс и заметим, что

[operatorname{tg}alpha =frac{a}{b}=frac{a}{c}cdot frac{c}{b}=frac{sin alpha }{cos alpha }]

Точно так же можно выразить и котангенс:

[operatorname{ctg}alpha =frac{b}{a}=frac{b}{c}cdot frac{c}{a}=frac{cos alpha }{sin alpha }]

Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:

[operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =frac{a}{b}cdot frac{b}{a}=1]

Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:

Основные формулы тригонометрии:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha };quad operatorname{ctg}alpha =frac{cos alpha }{sin alpha };quad operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =1]

Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.

4.2. Связь между острыми углами

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $angle C=90{}^circ $. Пусть градусная мера $angle A=alpha $ градусов:

Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $angle A=alpha $, то угол $angle B=90{}^circ -alpha $. Но тогда:

[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=cos B=cos left( 90{}^circ -alpha right)]

То же самое и с косинусами:

[cos alpha =cos A=frac{AC}{AB}=sin B=sin left( 90{}^circ -alpha right)]

И даже с тангенсами и котангенсами:

[begin{align} operatorname{tg}alpha&=operatorname{tg}A=frac{BC}{AC} =operatorname{ctg}B=operatorname{ctg}left( {90}^circ -alpharight) \ operatorname{ctg}alpha&=operatorname{ctg}A=frac{AC}{BC} = operatorname{tg}B=tgleft( {90}^circ -alpha right) \ end{align}]

Другими словами, если вместо $alpha $ поставить ${90}^circ -alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:

[begin{align}sin left( {90}^circ-alpharight) &=cos alpha \ cos left( {90}^circ-alpharight) &=sin alpha \ operatorname{tg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{ctg}alpha\ operatorname{ctg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{tg}alphaend{align}]

Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.

4.3. Основное тригонометрическое тождество

Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Запишем выражения для $sin alpha $ и $cos alpha $:

[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]

Далее заметим, что

[begin{align} {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha&={{left( frac{a}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{c} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \ & =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} end{align}]

В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1]

Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $alpha $.

Основное тригонометрическое тождество:

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]

Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $alpha $.

С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.

Задача 7. Найдите $18cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{sqrt{65}}{9}$.

Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]

Подставим указанное значение $sin alpha $ и выразим $cos alpha $:

[begin{align}{{left( frac{sqrt{65}}{9} right)}^{2}}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ frac{65}{81}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ {{cos }^{2}}alpha &=frac{16}{81} \ cos alpha&=pm frac{4}{9} end{align}]

Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $cos alpha ={4}/{9};$. Остаётся сделать финальный шаг:

[18cos alpha =18cdot frac{4}{9}=2cdot 4=8]

Вот и всё! Ответ: 8.

В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.

Задача 8. Найдите $48operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{8}{sqrt{113}}$.

Решение. Найдём $sin alpha $:

[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-{{left( frac{8}{sqrt{113}} right)}^{2}}= \ & =1-frac{64}{113}=frac{49}{113} \ sin alpha&=pm frac{7}{sqrt{113}} end{align}]

Но ${0}^circ lt alpha lt {90}^circ $, поэтому $sin alpha gt 0$. Следовательно

[sin alpha =frac{7}{sqrt{113}}]

Найдём $operatorname{tg}alpha $:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{7}{sqrt{113}}cdot frac{sqrt{113}}{8}=frac{7}{8}]

Окончательный ответ:

[48operatorname{tg}alpha =48cdot frac{7}{8}=6cdot 7=42]

Ответ: 42.

Заметка на будущее: замечание о том, что угол $alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.

Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.

Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.

Задача 9. ►

Найдите $52cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{5}{13}$.

Решение. Найдём $cos alpha $:

[begin{align}{{cos }^{2}}alpha &=1-{{sin }^{2}}alpha = \ &=1-frac{25}{169}=frac{144}{169} \ cos alpha&=pm frac{12}{13} end{align}]

Поскольку $cos alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем $cos alpha ={12}/{13};$. Итого

[52cos alpha =52cdot frac{12}{13}=48]

Ответ: 48.

Задача 10. ►

Найдите $1+2operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{1}{sqrt{26}}$.

Решение. Найдём $sin alpha $:

[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-frac{1}{26}=frac{25}{26} \ sin alpha&=pm frac{5}{sqrt{26}} end{align}]

Поскольку $sin alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем

[sin alpha =frac{5}{sqrt{26}}]

Считаем $operatorname{tg}alpha $:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{5}{sqrt{26}}cdot frac{sqrt{26}}{1}=5]

Откуда

[1+2operatorname{tg}alpha =1+2cdot 5=11]

Ответ: 11.

5. Тригонометрия на координатной сетке

Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.

Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.

Звучит страшно, но на практике всё легко.:)

Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому

[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{3}{4}=0,75]

Это и есть искомый тангенс.

Ответ: 0,75.

Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:

Задача 12. ►

Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому

[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{2}{4}=frac{1}{2}]

Ответ: 0,5.

Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.

Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.

Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.

Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.

Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.

Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:

[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{sqrt{2}}{2sqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]

Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:

[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]

Ответ: 0,5.

Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:

Задача 14. ►

Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: отрезок $DH$.

Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $operatorname{tg}DEF=1$.

Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:

[operatorname{tg}DEF=frac{asqrt{10}}{asqrt{10}}=1]

Ответ: 1.

Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.

К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:

И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):

Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)

Смотрите также:

1. Радианная и градусная мера угла
2. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
3. Сложные логарифмические неравенства
4. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
5. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
6. Обход точек в стереометрии — 2