Как найти тензор инерции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с угловой скоростью:

где — тензор инерции, — угловая скорость, — момент импульса

${displaystyle E_{kin rot}={1 over 2} {vec {omega }}^{,T}cdot Jcdot {vec {omega }}}$

$E_{{kin}}=E_{{kin rot}}+{p^{2} over 2m}$

в компонентах это выглядит так:

$L_{i}=sum _{j}J_{{ij}}omega _{j}$

$E_{{kin rot}}={1 over 2}sum _{{ij}}omega _{i}J_{{ij}}omega _{j}$

Используя определение момента импульса системы N материальных точек (перенумерованных в формулах ниже индексом k):

${displaystyle {vec {L}}=sum _{k=1}^{N}[ {vec {r}}_{k}times ( m_{k} {vec {v}}_{k} ) ]}$

и кинематическое выражение для скорости через угловую скорость:

{vec {v}}=[ {vec {omega }}times {vec {r}} ]

и сравнивая с формулой, выражающей момент импульса через тензор инерции и угловую скорость (первой в этой статье), нетрудно получить явное выражение для тензора инерции:

${displaystyle J_{ij}=sum _{k} m_{k} (delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}}) }$

или в непрерывном виде:

${displaystyle J_{ij}=int (delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}) dm=int (delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}) rho dV}$

где r — расстояния от точек до центра, относительно которого вычисляется тензор инерции, а r_i — координатные компоненты соответствующих отрезков, i и j — номера координат (от 1 до 3), индекс же k (от 1 до N) в дискретной формуле нумерует точки системы или маленькие части, её составляющие.

Уже из этих формул явно видно, что тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчёт тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчёта, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).

Из этих же формул видно, что это симметричный тензор, то есть J_ij=J_ji.

В непрерывном виде формулу можно вывести следующим образом:

${displaystyle {vec {L}}=int limits _{(m)}[ {vec {r}}times ( {vec {v}}dm ) ]=rho int limits _{(V)}[ {vec {r}}times [ {vec {omega }}times {vec {r}} ] ]dV}$

Откуда по формуле Лагранжа получим

${displaystyle {vec {L}}=rho int limits _{(V)}[ {vec {omega }}cdot r^{2}-{vec {r}}({vec {omega }}, {vec {r}}) ]dV}$

Запишем разложение векторов и в ортонормированном базисе:

{displaystyle {vec {r}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}+z{vec {k}}}

${displaystyle {vec {omega }}=omega _{x}{vec {i}}+omega _{y}{vec {j}}+omega _{z}{vec {k}}}$

По свойствам скалярного произведения,

${displaystyle ({vec {omega }}, {vec {r}})=xomega _{x}+yomega _{y}+zomega _{z}}$

С учетом того, что ${displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ можем записать проекции вектора момента импульса на оси:

${displaystyle L_{x}=rho int limits _{(V)}left(omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(xomega _{x}+yomega _{y}+zomega _{z})right)dV}$

Или, приведя подобные слагаемые

${displaystyle L_{x}=rho int limits _{(V)}left(omega _{x}(y^{2}+z^{2})-omega _{y}xy-omega _{z}xzright)dV}$

Аналогично

${displaystyle L_{y}=rho int limits _{(V)}left(omega _{y}(x^{2}+z^{2})-omega _{x}yx-omega _{z}yzright)dV}$

${displaystyle L_{z}=rho int limits _{(V)}left(omega _{z}(x^{2}+y^{2})-omega _{x}zx-omega _{y}zyright)dV}$

Введем обозначения:

${displaystyle J_{xx}=rho int limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV}$

${displaystyle J_{yy}=rho int limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV}$

${displaystyle J_{zz}=rho int limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV}$

${displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-rho int limits _{(V)}xydV}$

${displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-rho int limits _{(V)}xzdV}$

${displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-rho int limits _{(V)}yzdV}$

Из них можно составить тензор инерции в матричном виде:

${displaystyle J={begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\end{vmatrix}}}$

Легко проверить, что согласно нашим обозначениям, верна тензорная связь:

${displaystyle left{{begin{aligned}L_{x}=J_{xx}omega _{x}+J_{xy}omega _{y}+J_{xz}omega _{z}\L_{y}=J_{yx}omega _{x}+J_{yy}omega _{y}+J_{yz}omega _{z}\L_{z}=J_{zx}omega _{x}+J_{zy}omega _{y}+J_{zz}omega _{z}\end{aligned}}right.}$

Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, — в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела^[1].

Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:

$J_{{xx}}=int (y^{2}+z^{2})dm=int r_{{yz}}^{2}dm$

$J_{{yy}}=int (x^{2}+z^{2})dm=int r_{{xz}}^{2}dm$

$J_{{zz}}=int (x^{2}+y^{2})dm=int r_{{xy}}^{2}dm$

(внимание: x, y и z в этих формулах подразумевают именно главные оси, если мы хотим совпадения с главными моментами).

Другие применения термина[править | править код]

Иногда термин тензор инерции применяется к математически аналогичным конструкциям, не имеющим прямого механического смысла, например, если ρ в формулах — не плотность массы, а плотность других величин, например, плотность статистического распределения; да и пространство, в котором происходит расчет может быть в принципе любым, хотя при этом наиболее осмыслен случай одинаковой природы всех осей (то есть одинаковых единиц измерения по ним). Это применение термина представляет собой прямую геометрическую аналогию, так же, как применение таких терминов, как центр масс или центр тяжести в подобном контексте.

В случае применения термина тензор инерции к плотностям распределений, особенно если он считается относительно «центра тяжести», речь идет по сути о матрице ковариации, причем задача нахождения её собственных векторов и собственных чисел также может обсуждаться в терминах «главных осей» и «главных моментов», что соответствует не только аналогии с моментом инерции, но и вполне строгой терминологии вторых моментов многомерного распределения (многомерной случайной величины) в статистике (и суть, и терминология здесь могут быть очень близки). При этом, в двумерном случае тензор инерции и матрица ковариации в собственных осях полностью совпадают — с точностью до перестановки осей, а в случаях большей размерности речь идет не о совпадающих, а только о близко связанных формально и по смыслу матрицах, диагонализующихся при этом в одном и том же базисе (имеющих одни и те же собственные оси).

См. также[править | править код]

Момент инерции
Теорема Штейнера
Тензор гирации^[en]

Примечания[править | править код]

↑ Шаховал С. Н., Мельников Г. И.//ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ НА СФЕРИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ С МЕДЛЕННЫМ СОБСТВЕННЫМ ВРАЩЕНИЕМ Архивная копия от 19 сентября 2015 на Wayback Machine.- Статья. – Научно-технический вестник ИТМО. – январь-февраль 2012. – Выпуск 1(77). – УДК 681.5 + 531

Источник

1.
Шар.

Центральный
тензор инерции – шаровой:
.

Складывая
моменты инерции, получим

В
качестве элемента массы
возьмем массу шарового слоя толщиной
dr:,

где
элементарный объем
,
а плотность.

.
Тогда
и окончательно

Рассмотрим
частные случаи.

а)
Шар:

a R

б) Оболочка:

2.
Полый прямой круговой цилиндр
.

Найдем
сначала

Выделим
двумя цилиндрическими поверхностями

радиуса

итрубку
толщинойи от тройного

интеграла
перейдем к одинарному:

Учитывая,
что
,
найдем сумму

Разделив
цилиндр на пластинки толщинойи массой,
найдем

Итак,
,

Рассмотрим
частные случаи.

а)
Сплошной цилиндр
,

б)
Оболочка (
):,

в)
Пластинка ():,

г)
Стержень (бесконечно тонкий цилиндр)
():,

3.Прямой
круговой конус
(радиус основания R, высота h, плотность
).

Найдем

Чтобы не вычислять
тройной интеграл по x,y,z в декартовых
А Y

координатах
( или по
,

разобьем
конус на пластинки толщиной
,

радиуса
и моментом инерции
X r

,
С 

Тогда

Далее
найдем сумму

И,
вычислив интеграл
,
получим

Моменты
инерции относительно центральных осей
вычисляются с помощью теоремы
Гюйгенса-Штейнера ( AC=):

5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси. Физический маятник.

Пусть
твердое тело вращается вокруг неподвижной
оси Z .

C

Уравнение
второго фундаментального закона имеет
вид

,
или

где
точка А – любая точка на оси вращения,
.– вектор угловой скорости.

Если
нас интересует только угол поворота
,
достаточно найти одну лишь проекцию на
ось Z, для чего умножим скалярно обе
части уравнения наи внесем его в производную:

По
определению,
осевой момент инерции, причем постоянный,
амомент
относительно оси Z. Таким образом,
получилидифференциальное
уравнение вращения вокруг неподвижной
оси:

(5.32)

Если
ось подвеса горизонтальна и внешними
воздействиями являются сила тяжести
и, разумеется, опорные воздействия, с
которыми ось подвеса действует на тело,
то тело называют физическим маятником.
В этом случае уравнение (5.32) принимает
вид нелинейного уравнения

которое
может быть проинтегрировано либо
численно, либо в так называемых
эллиптических функциях. Уравнение малых
колебаний, под которыми будут пониматься
движения, описываемые линейными
дифференциальными уравнениями, получим,
положив
:

(5.33)

где
обозначение

квадрат
собственной частоты.

Решение
уравнения (5.33) имеет вид

где
константы
определяются
из начальных условий.

Ясно,
что измеряя собственную частоту
( или период), можно экспериментальнонайти момент
инерции.

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

Источник

Время на прочтение
5 мин

Количество просмотров 20K

Содержание

Что такое тензор и для чего он нужен?
Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
Криволинейные координаты
Динамика точки в тензорном изложении
Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
О свертках тензора Леви-Чивиты
Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
Нестандартное введение в динамику твердого тела
Движение несвободного твердого тела
Свойства тензора инерции твердого тела
Зарисовка о гайке Джанибекова
Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Начав рассматривать динамику твердого тела мы столкнулись интересной тензорной величиной, а именно

называемой тензором инерции твердого тела. Кроме того, мы выяснили, что привычный из курса теоретической механики момент инерции твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси, получается из тензора инерции с помощью простой формулы

Рассмотрим подробнее свойства тензора инерции твердого тела. И для начала изучим механические величины, вычисление которых, так же как и приведение сил инерции к данному центру, приводит к понятию тензора инерции.

1. Момент количества движения твердого тела при вращении

Моментом количества движения материальной точки (МКД) относительно данного центра называют вектор, равный

Для твердого тела, при вращении вокруг полюса МКД элементарного объема

или в тензорной форме

Интегрируя (3) получим МКД твердого тела относительно центра

В соответствии с (4), тензор инерции есть линейный оператор, связывающий МКД твердого тела с его угловой скоростью.

2. Кинетическая энергия твердого тела при вращении

Кинетическая энергия элементарного объема тела

что эквивалентно тензорному соотношению

Интегрируя последнее выражение по всему объему тела получаем выражение кинетической энергии

В выражении (5), как видно, снова фигурирует тензор инерции . При вращении тела вокруг неподвижной оси, в соответствии с выражением угловой скорости через конечный поворот тела выражение (5) трансформируется в

Формула (6) — кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении, а , в соответствии с (2), момент инерции тела относительно оси, задаваемой ортом .

3. Ковариантный тензор инерции

Легко показать, что тензор (1) не является симметричным. Однако, в декартовых координатах тензор инерции есть симметричный тензор, и исходя из этого факта выводятся все основные его свойства. Вместе с тем, мы не могли не заметить, что в выражениях (2) и (5) фигурирует величина вида

Полученный тензор (7) является симметричным ковариантным тензором 2-го ранга, так как нетрудно убедится в справедливости равенства . Будем называть тензор (7) ковариантным тензором инерции. С учетом выражения (7) можно переписать выражение (2) для осевого момента инерции через контравариантные компоненты орта оси вращения

Автор не встретил в литературе только что введенного термина, но поскольку из симметричности (7) вытекают все основные свойства тензора инерции, ввод данного понятия, как будет показано ниже, вполне оправдан.

4. Собственные числа и собственные векторы ковариантного тензора инерции

Покажем, для начала, что тензор (7), в силу своей симметричности, имеет действительные собственные значения. Пусть — произвольное собственное число, которому соответствует собственный вектор . Тогда справедливо соотношение

Допустив комплексные собственные числа и собственные векторы, умножим (9) слева на сопряженнй собственный вектор

Выполним комплексное сопряжение (10)

Здесь мы учитываем что компоненты (7) — действительные числа, а значит операция сопряжения эквивалентна транспонированию. Так как тензор (7) симметричный, , то есть, с учетом (10)

или, окончательно

Равенство (12) справедливо, если — действительное число.

Так как тензор (7) представлен матрицей в трехмерном пространстве, он имеет три действительных собственных числа , которым соответствуют действительные же собственные векторы , соответственно, можно записать тензорные соотношения

Умножим скалярно каждое из уравнений (13) на соответствующий собственный вектор

Поделив обе части уравнений (14) на квадрат модуля соответствующего собственного вектора, получим

Очевидно, что

контравариантные компоненты некоторых ортов. Значит в (15), согласно (8), в качестве собственных чисел ковариантного тензора инерции, представлены моменты инерции тела относительно осей и

Кроме того, собственные векторы и образуют ортогональную тройку векторов. Действительно, проведем цепочку преобразований, с участием любой пары собственных векторов

Учитывая, что , получаем условие

которое, в силу того, что в общем случае , справедливо, когда скалярное произведение собственных векторов равно нулю

Это означает, что . Повторяя доказательство для любой пары собственных векторов, получим, что они действительно ортогональны друг другу.

5. Главные оси и главные моменты инерции твердого тела

По результатам предыдущего параграфа можно сказать, что с твердым телом связана ортогональная система координат, оси которой и направлены вдоль собственных векторов ковариантного тензора инерции. В этих осях, в соответствии с определением собственных значений, ковариантный тензор инерции приводится к диагональному виду

В диагонали стоят моменты инерции, вычисляемые по формулам (17). Эти моменты инерции называют главными моментами инерции твердого тела, а оси, направление которых задается векторами и — главными осями инерции.

6. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Предположим, что нам известен центральный (вычисленный относительно центра масс тела) тензор инерции . Допустим, что мы хотим вычислить тензор инерции относительно точки , отстоящей от центра масс в направлении известного вектора . В этом случае радиус-вектор элементарного объема тела относительно точки можно определить как сумму

где — радиус вектор элементарного объема тела относительно центра масс

Подставим (18) в (1)

Здесь мы учитываем, что интегралы вида

задают положение центра масс тела относительно центра масс, то есть равны нулю. Окончательно получаем выражение для тензора инерции

определяющее тензор инерции относительно произвольной точки через тензор инерции относительно центра масс. Выражение (19) называют теоремой Гюйгенса-Штейнера. Приведенное доказательство этой теоремы выполнено в самой общей форме.

7. Тензор инерции в декартовых координатах

В декартовых координатах метрика задается единичной матрицей, то есть формально

В этом случае совпадают выражения для тензора инерции и ковариантного тензора инерции

Поэтому в декартовых координатах симметричен и тензор инерции, и для него справедливы вышеперечисленные свойства, связанные с собственными значениями и собственными векторами. В декартовых координатах тензор инерции представляется матрицей

или

где диагональные элементы называют осевыми моментами инерции, а прочие элементы — центробежными моментами инерции.

Заключение

Материал данной статьи — авторская работа. В литературе господствует подход к изучению тензора инерции связанный с использованием декартовых координат. Нами же рассмотрен самый общий подход и мы убедились, что свойства тензора инерции и теорема Гюйгенса-Штейнера могут быть получены в произвольных координатах. Все приведенные в статье формулы переходят в общеизвестные из курса теоретической механики при использовании декартовой метрики.

Upd: Нашел упоминание о ковариантном тензоре инерции на каком-то богом забытом сайте. Что ж, это подтверждает идею, использованную мной в данной статье

Продолжение следует…

Источник

Содержание:

Геометрия масс:

Центр масс

При рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит из конечного числа материальных точек

где — масса системы. Обозначая декартовы координаты материальных точек , из (1) проецированием на декартовы оси координат получим следующие формулы для координат центра масс:

Рис. 21

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Векторная величина называется статическим моментом массы относительно точки . Скалярная величина называется статическим моментом

массы относительно координатной плоскости . Величины и являются соответственно статическими моментами массы относительно координатных плоскостей и .

Радиус-вектор и координаты центра масс через статические моменты массы выражаются формулами

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами и с изменяющимися от частицы к частице радиусом-вектором .

Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (1) и (Г) принимают форму

где — масса тела.

Для однородных сплошных тел , где — плотность тела, общая для всех элементарных частиц; —объем элементарной частицы; —объем тела.

Для тел типа тонкого листа, которые можно принять за однородные материальные поверхности, , где — поверхностная плотность; —площадь поверхности элементарной частицы; —площадь поверхности.

Для тонкой проволоки, которую можно принять за отрезок линии, , где — линейная плотность; —длина элемента линии; —длина отрезка линии.

В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.

Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.

Моменты инерции относительно точки и оси

Моментом инерции механической системы, состоящей из материальных точек, относительно точки называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки (рис. 22), т. е.

Момент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В случае сплошного тела сумма переходит в интеграл и для полярного момента инерции имеем

где — масса элементарной частицы тела, принимаемой в пределе за точку; —ее расстояние до точки .

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси (рис. 22), т. е.

Рис. 22

В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом:

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции относительно оси определяется по формуле

где —масса тела.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой оси определяется выражением

В справочниках по моментам инерции приводят таблицы значений радиусов инерции различных тел.

Формула (5′) позволяет считать радиус инерции тела относительно оси расстоянием от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси.

Моменты инерции относительно оси и точки имеют одинаковую размерность — произведение массы на квадрат длины .

Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоскостей и центробежные моменты инерции. Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат.

Моменты инерции относительно осей координат

Моменты инерции относительно декартовых осей координат , и и их начала — точки (рис. 23) — определяются выражениями

где — координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид

Из приведенных формул следует зависимость

Если через точку провести другую систему декартовых осей координат , то для них по формуле (8) получим

Из сравнения (8) и (8′) следует, что

Рис. 23

Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т. е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.

Для осей координат можно определить следующие три центробежных момента инерции:

Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции.

Моменты инерции относительно осей и точек — величины положительные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные моменты инерции содержат произведения координат и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Центробежные моменты инерции имеют важное значение при рассмотрении давлений на подшипники при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей , которые определяются выражениями

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера)

Установим зависимость между моментами инерции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Пусть имеем две системы прямоугольных, взаимно параллельных осей координат и . Начало системы координат находится в” центре масс системы (рис. 24).

Рис. 24

По определению момента инерции относительно оси имеем

где — масса точки , а и — координаты этой точки относительно систем координат и соответственно. Если обозначить координаты центра масс относительно системы координат , то для взаимно параллельных осей координаты одной и той же точки связаны соотношениями параллельного переноса

Подставим эти значения координат в выражение момента инерции . После преобразований получим

В этом соотношении —масса системы, , так как и вследствие k = 1

того, что по условию центр масс находится в начале координат этой системы координат.

Величина , где —расстояние между осями и . Окончательно

Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса— Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы Штейнера следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно оси, проходящей через центр масс.

Если взять ось параллельной , то для нее получим

где — расстояние между параллельными осями и .

Исключая момент инерции из двух последних формул, получим зависимость моментов инерции относительно двух параллельных осей, не проходящих через центр масс:

Установим изменение центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат. Имеем

Учитывая, что получаем

где — координаты центра масс относительно системы координат . Аналогичные формулы получаются для двух других центробежных моментов инерции:

Так как начало системы координат находится в центре масс, то , , и тогда

т. е. центробежные моменты инерции при параллельном переносе осей координат из любой точки в центре масс изменяются в соответствии с (10).

Если производится параллельный перенос осей из точки в центр масс, то, согласно (10), имеем:

Исключая из (10) и (10′) центробежные моменты инерции Л’з” Лу, получим формулы для изменения центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат из точки в точку :

где и — координаты центра масс в двух системах взаимно параллельных осей координат.

Моменты инерции простейших однородных тел

Моменты инерции тел сложной формы часто удается вычислить, если их предварительно разбить на тела простой формы. Моменты инерции сложных тел получают суммируя моменты инерции частей этих тел. Получим формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных простейших тел.

Однородный стержень

Имеем однородный стержень длиной и массой (рис. 25). Направим по стержню ось . Вычислим момент инерции стержня относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его конец. Согласно определению момента инерции сплошного тела относительно оси, имеем

так как , где —плотность стержня.

Вычисляя интеграл, получаем

Рис. 25

Таким образом,

Момент инерции стержня относительно оси , проходящей через центр масс и параллельной оси , определяется по теореме Штейнера:

Следовательно,

т. е.

Прямоугольная пластина

Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры и и массу (рис. 26). Оси и расположим в плоскости пластины, а ось —перпендикулярно ей. Для определения момента инерции пластины относительно оси разобьем пластину на элементарные полоски шириной и массой и проинтегрируем по от 0 до . Получим

так как .

Аналогичные вычисления для оси дадут

так как эта ось проходит через середину пластины. Для определения момента инерции пластины относительно оси следует предварительно вычислить момент инерции отдельной заштрихованной полоски относительно параллельной оси по формуле (12) для стержня и применить затем теорему Штейнера. Для элементарной полоски имеем

Рис. 26

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до , получим

Итак, для моментов инерции пластины относительно осей координат получены следующие формулы:

Круглый диск

Имеем тонкий однородный диск радиусом и массой (пис. 27). Вычислим момент его инерции относительно точки . Этот момент инерции для тонкого диска совпадает с моментом инерции относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости диска. Разобьем диск на концентрические полоски шириной , принимаемые в пределе за материальные окружности. Масса полоски равна ее площади , умноженной на плотность , т.е. . Момент одной полоски относительно точки равен . Для всего диска

Таким образом,

Рис. 27

Для осей координат и , расположенных в плоскости диска, в силу симметрии . Используя (8), имеем , но , поэтому

В случае тонкого проволочного кольца или круглого колеса, у которых масса распределена не по площади, а по его ободу, имеем

Круглый цилиндр

Рис. 28

Для круглого однородного цилиндра, масса которого , радиус и длина (рис. 28), вычислим прежде всего его момент инерции относительно продольной оси симметрии . Для этого разобьем цилиндр плоскостями, перпендикулярными оси , на тонкие диски массой и толщиной . Для такого диска момент инерции относительного оси равен . Для всего цилиндра

т.е.

Вычислим момент инерции цилиндра относительно его поперечной оси симметрии . Для этого разобьем цилиндр поперечными сечениями, перпендикулярными его продольной оси, на элементарные диски толщиной . Момент инерции элементарного диска массой относительно оси , по теореме Штейнера, .

Чтобы получить момент инерции всего цилиндра относительно оси , следует проинтегрировать полученное выражение по в пределах от 0 до и результат удвоить. Получим

Но — масса цилиндра. Следовательно,

Таким образом, момент инерции цилиндра относительно его поперечной оси симметрии получается как сумма моментов инерции относительно этой оси диска и стержня, массы которых равны по отдельности массе цилиндра. Диск получается из цилиндра симметричным сжатием его с торцов до срединной плоскости при сохранении радиуса, а стержень — сжатием цилиндра в однородный стержень, расположенный по оси цилиндра, при сохранении длины.

Шар

Пусть масса шара , радиус (рис. 29). Разобьем шар на концентрические сферические слои радиусом и толщиной . Масса такого слоя , где ; —объем слоя, равный произведению площади поверхности сферы радиусом на толщину слоя , т.е. . Таким образом, масса элементарного слоя . Для момента инерции шара относительно его центра имеем

т.е.

Рис. 29

Для осей координат, проходящих через центр шара, в силу симметрии . Но . Следовательно,

Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку

В заданной точке выберем декартову систему осей координат . Ось образует с осями координат углы (рис. 30). По определению момента инерции относительно оси имеем

или для сплошных тел

В дальнейшем используется определение (20). Сплошные тела считаются разбитыми на малых частей, принимаемых за точки.

Из прямоугольного треугольника получаем

где — координаты точки . Отрезок является проекцией радиуса-вектора на ось . Для получения проекции вектора на ось его следует умножить скалярно на единичный вектор этой оси . Имеем

Умножая в (21) , выраженный через координаты точки , на единицу в виде и используя значение (22) для , получим

Подставляя (23) в (20) и вынося косинусы углов за знаки сумм, имеем

Учитывая, что

— моменты инерции относительно осей координат, а

— центробежные моменты инерции относительно тех же осей, получим

Для определения момента инерции , кроме углов , определяющих направление оси, необходимо знать в точке шесть моментов инерции: . Их удобно расположить как элементы единой таблицы или матрицы:

Матрица, или таблица (25), составленная из осевых и центробежных моментов инерции относительно декартовых осей координат, называется тензором инерции в точке . В тензоре инерции условились центробежные моменты инерции брать со знаком минус. Компоненты тензора инерции (отдельные осевые или центробежные моменты инерции) зависят не только от выбора точки, но и от ориентации осей координат в этой точке.

Для определения момента инерции относительно какой-либо оси, проходящей через заданную точку, для рассматриваемого тела необходимо иметь тензор инерции в этой точке и углы, определяющие направление оси с осями координат.

Рис. 30

Эллипсоид инерции

Для характеристики распределения моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка — эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой оси (см. рис. 31), проходящей через точку , откладывают от этой точки отрезок

Геометрическое место концов отрезков расположится на поверхности, которая называется эллипсоидом инерции. Получим уравнение эллипсоида инерции. Для этого выразим косинусы углов через координаты точки . Имеем:

Подставляя эти значения косинусов углов в (24) и сокращая на , получим уравнение поверхности второго порядка:

Это действительно уравнение эллипсоида, так как отрезок имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок равен бесконечности.

Для каждой точки имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс тела называют центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями симметрии.

В случае эллипсоида вращения все прямые, расположенные в экваториальной плоскости эллипсоида, перпендикулярной оси вращения, будут главными осями инерции. Для шара любая прямая, проходящая через его центр, есть главная ось инерции.

Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции, а относительно главных центральных осей инерции — главными центральными моментами инерции.

Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям , то оно примет вид

где —текущие координаты точки, расположенной на эллипсоиде инерции, относительно главных осей инерции; — главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27′) не содержит слагаемых с произведениями координат точек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, т. е.

Справедливо и обратное утверждение: если центробежные моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей равны нулю, то эти оси являются главными осями инерции. Обращение в нуль трех центробежных моментов инерции является необходимым и достаточным условием того, что соответствующие прямоугольные оси координат есть главные оси инерции.

Главные моменты инерции часто обозначают , вместо . Для главных осей инерции формула (24) принимает форму

Заказать решение задач по теоретической механике

Свойства главных осей инерции

Теорема 1. Если одна из декартовых осей координат, например (рис. 31), является главной осью инерции для точки , а две другие оси и — любые, то два центробежных момента инерции, содержащих индекс главной оси инерции , обращаются в нуль, т.е. и .

Главная ось инерции является осью симметрии эллипсоида инерции. Поэтому каждой точке эллипсоида, например , соответствует симметричная относительно этой оси точка . Подставляя в уравнение эллипсоида инерции (27) последовательно координаты этих точек, получим

Вычитая из первого уравнения второе, имеем

Так как всегда можно выбрать точки, для которых и отличны от нуля, то .

Рис. 31

Аналогичные рассуждения для двух симметричных относительно оси точек и приводят к заключению, что . В аналитической геометрии при исследовании уравнений поверхностей второго порядка доказывается обратное утверждение, что если и , то ось есть главная ось. Таким образом, обращение в нуль центробежных моментов инерции и является необходимым и достаточным условием, чтобы ось была главной осью инерции для точки .

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то для любой точки, лежащей в этой плоскости, одна из главных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие главные оси инерции расположены в этой плоскости.

Рис. 32

Для доказательства теоремы выберем в плоскости симметрии точку и в ней оси прямоугольной системы координат , причем ось направим перпендикулярно плоскости симметрии (рис. 32). Тогда каждой точке тела массой соответствует симметричная относительно плоскости точка с такой же массой. Координаты точек и отличаются только знаком у координат .

Для центробежного момента инерции имеем

так как часть тела (I), соответствующая точкам с положительными координатами , одинакова с частью тела (II), у которой точки имеют такие же координаты , но со знаком минус. Аналогично доказывается, что

Так как центробежные моменты инерции и обращаются в нуль, то ось есть главная ось инерции для точки . Другие две главные оси инерции перпендикулярны оси и, следовательно, расположены в плоскости симметрии.

Центр масс однородного симметричного тела находится в плоскости симметрии. Поэтому одна из главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие расположены в этой плоскости.

Доказанная теорема справедлива и для неоднородного тела, имеющего плоскость материальной симметрии.

Теорема 3. Если однородное тело имеет ось симметрии или неоднородное тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Теорема доказывается аналогично предыдущей. Для каждой точки тела с положительными координатами и массой существует симметричная относительно оси точка с такой же массой и такими же по величине, но отрицательными координатами , если осью симметрии является ось . Тогда

так как суммы по симметричным относительно оси частям тела (I) и (II) отличаются друг от друга только знаком у координаты .

Аналогично доказывается, что .

Таким образом, ось является главной осью инерции для любой точки, расположенной на оси симметрии тела. Она есть главная центральная ось инерции, так как центр масс находится на оси симметрии.

Теорема 4. Главные оси инерции для точки , расположенной на главной центральной оси инерции, параллельны главным центральным осям инерции (рис. 33).

Выберем в точке главной центральной оси инерции систему декартовых осей координат , взаимно параллельных главным центральным осям инерции . Тогда координаты точки тела в двух системах осей координат будут связаны между собой формулами параллельного переноса осей

где . Используя эти формулы, вычисляем центробежные моменты инерции и . Имеем

так как

где —масса тела; — координата центра масс относительно системы координат . Аналогично получаем

Если — центр масс системы, то и . Для главных центральных осей инерции центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

Используя полученные формулы при этих условиях, имеем:

Рис. 33

Следовательно, оси есть главные оси инерции для произвольной точки , расположенной на главной центральной оси инерции . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы в качестве следствия получаем: главная центральная ось инерции является главной осью инерции для всех своих точек. Действительно, главная ось инерции для точки , лежащей на главной центральной оси инерции , совпадает с этой осью. Главная ось инерции таким свойством не обладает. Главные оси инерции для точки , расположенной на главной оси инерции точки , не параллельны главным осям инерции для этой точки. Они в общем случае повернуты относительно этих осей.

Определение главных моментов инерции и направления главных осей

Пусть известны компоненты тензора инерции в точке относительно осей координат . Для определения направления главных осей инерции в точке используем уравнение эллипсоида инерции относительно этих осей

Если оси координат являются главными осями инерции, то радиус-вектор точки эллипсоида инерции, расположенной на главной оси инерции, например оси (рис. 34), направлен по нормали к эллипсоиду, т. е. параллельно вектору , который, согласно его определению, вычисляется по формуле

Параллельные векторы отличаются друг от друга скалярным множителем, который обозначим . Тогда для параллельных векторов и и их проекций на оси координат имеем:

Рис. 34

В этих уравнениях являются координатами точки конца вектора , проведенного из точки вдоль какой-либо главной оси инерции для этой точки.

Для частных производных из (27′) получаем:

Подставляя их значения в (28′) и перенося все слагаемые в левую часть, после объединения и сокращения на общий множитель получим следующую систему уравнений для определения координат точки , находящейся на главной оси инерции:

Так как (29) является однородной системой линейных уравнений, то отличные от нуля решения для координат получаются только при условии, что определитель этой системы равен нулю, т. е.

Это кубическое уравнение для определения называется уравнением собственных значений тензора инерции.

В общем случае имеется три различных действительных корня кубического уравнения , которые являются главными моментами инерции. Действительно, если ось совпадает с главной осью инерции, то для точки эллипсоида инерции, расположенной на этой оси, и . Первое уравнение (29) принимает вид

Так как , то и , которое следует обозначить . Аналогично можно получить , если оси и — главные оси инерции.

Подставляя в (29) получим только два независимых уравнения для определения координат точки эллипсоида инерции, соответствующих главной оси инерции, для которой главный момент инерции есть . Третье уравнение системы будет следствием двух других уравнений, так как определитель этой системы равен нулю. Из (29) можно найти только две величины, например и . Они определят направление вектора вдоль главной оси инерции, момент инерции относительно которой есть . Модуль радиуса-вектора остается неопределенным. Аналогично определяются направления векторов и вдоль двух других главных осей инерции, для которых главные моменты инерции равны и . Можно доказать, что векторы , , , направленные вдоль главных осей инерции, взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если известен тензор инерции для осей , то можно определить как направление главных осей инерции, так и главные моменты инерции. Для главных осей инерции тензор инерции (25) принимает форму

Выражение компонентов тензора инерции через главные моменты инерции

Определим компоненты тензора инерции в точке относительно осей координат , если в этой точке известны главные моменты инерции относительно главных осей инерции , т. е. . Предположим, что ориентация осей координат относительно главных осей инерции задана таблицей углов:

Осевые моменты инерции относительно осей через главные моменты инерции определяются по формуле (24′). Принимая последовательно за ось оси координат , получим

Для выражения центробежных моментов инерции через главные моменты инерции используем формулы преобразования координат точек тела при повороте осей координат вокруг точки (рис. 35). Эти формулы получим проецированием на оси радиуса-вектора точки , разложенного предварительно на составляющие, параллельные осям двух систем осей координат в точке . Имеем

где — координаты точки относительно системы осей координат , а — относительно . Проецирование вектора на какую-либо ось прямоугольной системы координат эквивалентно скалярному умножению этого вектора на единичный вектор оси. Умножая обе части (32) последовательно на единичные векторы осей координат и учитывая таблицу углов для осей, получим

Рис. 35

Используя (33) для центробежного момента инерции , имеем

так как центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, т. е.

Оси координат и взаимно перпендикулярны, поэтому косинусы их углов удовлетворяют условию

или

Используя это соотношение для исключения величины и добавляя в первом слагаемом (34) под знаком суммы , а во втором , после объединения слагаемых с одинаковыми произведениями косинусов получим

где

— главные моменты инерции. Аналогично получаются выражения для и . Итак имеем

Формулы (31) и (35) дают выражения всех компонентов тензора инерции для осей координат через главные моменты инерции, если известны углы этих осей с главными осями инерции. В приложениях встречаются частные случаи, когда одна из осей координат совпадает с главной осью инерции.

Если ось совпадает с главной осью инерции (рис. 36), то . Это же можно получить из (35). Необходимые для вычисления углы соответственно равны:

Из (35) имеем

В формуле (35′) с полюсом следует брать главный момент инерции с индексом той оси, на положительное направление которой указывает дуговая стрелка поворота осей на угол до совпадения с осями . В рассматриваемом случае поворот осей вокруг до совпадения с главными осями производится от оси к оси ; следовательно, с плюсом следует взять главный момент инерции и с минусом — .

Рис. 36

Если оси расположены, как показано на рис. 37, то дуговая стрелка поворота осей до совпадения с главными осями инерции на угол направлена к отрицательному направлению оси . Поэтому в (35′) , следует взять со знаком минус, а знаком плюс, в чем нетрудно убедиться, используя (35) и таблицу углов. Имеем: