Как найти теорему пифагора в прямоугольном треугольнике

Как найти теорему пифагора в прямоугольном треугольнике

Теорема Пифагора
Изображение
Названо в честь Пифагор
Описывающая закон или теорему формула c^{2}=a^{2}+b^{2}
Обозначение в формуле a, b и c
Элемент или утверждение описывает прямоугольный треугольник
Описывается по ссылке geogebra.org/m/ZF… (англ.)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость[⇨]

Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору.
Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида[⇨].

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение[⇨]: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы[⇨] — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется[⇨].

История[править | править код]

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы[3]. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки[⇨][4], но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно[5][6]. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[7].

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[8].

Формулировки[править | править код]

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты a и b, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе c

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b, а длина гипотенузы — c, выполнено соотношение a^{2}+b^{2}=c^{2}.


Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.

Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух сторон треугольника была равна квадрату третьей стороны[9].

Пифагор, 572–500 г. до н. э.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a^{2}+b^{2}=c^{2}. Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^{2}+b^{2}=c^{2}, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой[10].

Доказательства[править | править код]

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора[11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[⇨]), метод площадей[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники[править | править код]

Podobnye treugolniki proof.png

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры[12].
В нём для треугольника triangle ABC с прямым углом при вершине C со сторонами a,b,c, противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота {displaystyle CH}, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: {displaystyle triangle ABCsim triangle ACH} и {displaystyle triangle ABCsim triangle CBH}, из чего непосредственно следуют соотношения

{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {|HB|}{a}},quad {frac {b}{c}}={frac {|AH|}{b}}.}

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства

{displaystyle a^{2}=ccdot |HB|,quad b^{2}=ccdot |AH|,}

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

{displaystyle a^{2}+b^{2}=ccdot {big (}|HB|+|AH|{big )}=c^{2}quad Longleftrightarrow quad a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Доказательства методом площадей[править | править код]

Большое число доказательств задействуют понятие площади.
Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость[править | править код]

Схема доказательства через равнодополняемость

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a,b и гипотенузой c, расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a+b и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной c. Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна {displaystyle (a+b)^{2}}, он состоит из внутреннего квадрата площадью c^{2} и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью {frac {ab}{2}}, в результате из соотношения {displaystyle (a+b)^{2}=4cdot {frac {ab}{2}}+c^{2}} при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида[править | править код]

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности {displaystyle triangle ACKcong triangle ABD}, площадь которых составляет половину площади прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} соответственно

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами[13].

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника triangle ABC с прямым углом C, квадратов над катетами {displaystyle ACED} и {displaystyle BCFG} и квадрата над гипотенузой {displaystyle ABIK} строится высота {displaystyle CH} и продолжающий её луч s, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника {displaystyle AHJK} и {displaystyle BHJI}. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника {displaystyle AHJK} с квадратом над катетом AC; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников {displaystyle triangle ACK} и {displaystyle triangle ABD}, площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при A).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle BHJI}, равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи[править | править код]

К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера (нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером[14]. Пусть дан прямоугольный треугольник triangle ABC с прямым углом C и квадраты {displaystyle ACED}, {displaystyle BCFG} и ABHJ (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне {displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный triangle ABC, притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть {displaystyle JI=BC} и {displaystyle HI=AC}). Прямая CI разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники triangle ABC и {displaystyle triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG, площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников[править | править код]

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон[15].

Altitude of a right triangle.svg

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник, AD — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.
Треугольники ABC, {displaystyle DBA} подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол B.
Значит

{displaystyle {frac {{text{площадь}}~DBA}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.}

Точно также получаем, что

{displaystyle {frac {{text{площадь}}~DAC}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}

Поскольку треугольники {displaystyle DBA} и {displaystyle DAC} вместе составляют triangle ABC, сумма площадей
{displaystyle triangle DBA} и {displaystyle triangle DAC} равна площади triangle ABC.
Отсюда

{displaystyle {frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1}

или
{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.}

Доказательство методом бесконечно малых[править | править код]

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a и b и гипотенузы c. Например, приращение катета {displaystyle da} при постоянном катете b приводит к приращению гипотенузы {displaystyle dc}, так что

{displaystyle {frac {da}{dc}}={frac {c}{a}}.}

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение {displaystyle c,dc=a,da},
интегрирование которого даёт соотношение {displaystyle c^{2}=a^{2}+mathrm {const} }. Применение начальных условий {displaystyle a=0, c=b} определяет константу как b^{2}, что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения[править | править код]

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]

Обобщение для подобных треугольников, сумма площадей зелёных фигур равна площади синей

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур[16]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A, B и C, построенных на катетах с длинами a и b и гипотенузе c соответственно, имеет место соотношение:

{displaystyle {frac {A}{a^{2}}}={frac {B}{b^{2}}}={frac {C}{c^{2}}},Rightarrow ,A+B={frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{frac {b^{2}}{c^{2}}}C}.

Так как по теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}, то выполнено {displaystyle A+B=C}.

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение {displaystyle A+B=C}, то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью C, а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A и B, то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом {displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов[править | править код]

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике[17]:

{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos {theta }=c^{2}},

где theta  — угол между сторонами a и b. Если угол равен 90°, то {displaystyle cos theta =0}, и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник[править | править код]

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника {displaystyle triangle DBA} треугольнику triangle ABC

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой[18]. В нём для произвольного треугольника со сторонами a,b,c в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c, вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c и углами при основании, равными углу theta , противолежащему стороне c. В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами a, дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r — части стороны c; второй — симметрично к нему от стороны b со стороной s — соответствующей частью стороны c. В результате оказывается выполнено соотношение[19][20]

{displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s),}

вырождающееся в теорему Пифагора при {displaystyle theta =pi /2}. Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

{displaystyle {frac {c}{a}}={frac {a}{r}},quad {frac {c}{b}}={frac {b}{s}}quad Rightarrow quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.}

Теорема Паппа о площадях[править | править код]

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора[21]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения[править | править код]

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если в одной вершине тетраэдра сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей[22] — для граней ортогонального n-мерного симплекса с площадями {displaystyle S_{1},dots ,S_{n}} ортогональных граней и противолежащей им грани площадью S_{0} выполнено соотношение:

{displaystyle S_{0}^{2}=sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}}.

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами a_{1},dots ,a_{n} составляет:

{displaystyle d^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}},

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля[23].

Неевклидова геометрия[править | править код]

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии[24] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности[25][26].

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину pi/2, что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему[27].

Сферическая геометрия[править | править код]

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол gamma в треугольнике прямой) со сторонами a,b,c соотношение между сторонами имеет вид[28]

{displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}.}

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

{displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}+sin {frac {a}{R}}cdot sin {frac {b}{R}}cdot cos gamma .}

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ({displaystyle cos xapprox 1-{dfrac {x^{2}}{2}}}) можно показать, что если радиус R стремится к бесконечности, а аргументы {displaystyle {dfrac {a}{R}}}, {displaystyle {dfrac {b}{R}}} и {displaystyle {dfrac {c}{R}}} стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского[править | править код]

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c со стороной c, противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим[29]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b},

где {displaystyle operatorname {ch} } — гиперболический косинус[30]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников[31]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b-operatorname {sh} acdot operatorname {sh} bcdot cos gamma },

где gamma  — угол, вершина которого противоположна стороне c.

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ({displaystyle operatorname {ch} xapprox 1+{dfrac {x^{2}}{2}}}) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a, b и c стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение[править | править код]

Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние s между точками с координатами (a, b) и {displaystyle (c,d)} равно

{displaystyle s={sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.}

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для {displaystyle z=x+yi} он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке (x, y):

{displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Расстояние между комплексными числами {displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i} и {displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i} также представляется в форме теоремы Пифагора[32]:

{displaystyle |z_{1}-z_{2}|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}

Расстояние между двумя точками в плоскости Лобачевского[править | править код]

ds^{2}=dx^{2}+operatorname {ch} ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}.

Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

Евклидова метрика[править | править код]

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек n-мерного пространства {displaystyle p=(p_{1},dots ,p_{n})} и {displaystyle q=(q_{1},dots ,q_{n})} расстояние {displaystyle d(p,q)} между ними определяется следующим образом:

{displaystyle d(p,q)={sqrt {sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}.

Теория чисел[править | править код]

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел (x,;y,;z), которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению x^{2}+y^{2}=z^{2}. Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: {displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}[33].

В массовой культуре[править | править код]

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны на все стороны равны», получившее особенную известность благодаря комической опере 1915 года «Иванов Павел»[34][35].

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
  2. ↑ History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics. Дата обращения: 1 июня 2009. Архивировано 6 июня 2011 года.
  3. ↑ Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939—941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  4. ↑ Euclid, 1956, p. 351.
  5. ↑ Heath, 1921, vol I, p. 144.
  6. ↑ Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics, Second Series : journal. — Annals of Mathematics, 1945. — April (vol. 46, no. 2). — P. 242—264. — JSTOR 1969021.: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
  7. ↑ Георг Гегель. Лекции по истории философии. — Litres, 2016-09-08. — С. 282. — 1762 с. — ISBN 9785457981690.
  8. ↑ Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics (англ.). — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».
  9. ↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 102. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
  10. ↑ Тимофеева И. Л. Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема) // Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова. — М.: Издательский центр «Академия», 2011. — С. 134—136. — 240 с. — ISBN 978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8).
  11. ↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
  12. ↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 196.
  13. ↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 259.
  14. ↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vinci’s Proof of the Pythagorean Theorem (англ.). The College Mathematics Journal 47(5):361 (ноябрь 2016). Дата обращения: 22 октября 2021. Архивировано 7 июня 2022 года.
  15. ↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 263.
  16. ↑ Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
  17. ↑ Lawrence S. Leff. Cited work. — Barron’s Educational Series, 2005. — С. 326. — ISBN 0764128922.
  18. ↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
  19. ↑ Aydin Sayili. Thâbit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem (англ.) // Isis : journal. — 1960. — March (vol. 51, no. 1). — P. 35—37. — doi:10.1086/348837. — JSTOR 227603.
  20. ↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work. — 2007. — С. 62. — ISBN 0821844032. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
  21. ↑ George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures (англ.). — 3rd. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.
  22. ↑
    Rajendra Bhatia. Matrix analysis. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — С. 21. — ISBN 0387948465.
  23. ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194
  24. ↑ Stephen W. Hawking. Cited work. — 2005. — С. 4. — ISBN 0762419229. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine
  25. ↑ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — С. 2147. — ISBN 1584883472. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine. — «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.».
  26. ↑ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment (англ.). — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».
  27. ↑ Victor Pambuccian. Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem (англ.) // The Mathematical Intelligencer : journal. — 2010. — December (vol. 32). — P. 2. — doi:10.1007/s00283-010-9169-0.
  28. ↑ Barrett O’Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — С. 441. — ISBN 0120887355.
  29. ↑ Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry (англ.). — Jones & Bartlett Learning  (англ.) (рус., 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
  30. ↑ Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
  31. ↑ Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
  32. ↑ Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (англ.). — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.
  33. ↑ Siegel E. This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level (англ.). Forbes (6 марта 2020). Дата обращения: 28 апреля 2020. Архивировано 4 апреля 2020 года.
  34. ↑ Легендарная опера: текст и ноты. LiveJournal (4 августа 2016). Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 9 июня 2020 года.
  35. ↑ Словарь современных цитат. Litres, 20 мар. 2019 г. С. 9.

Литература[править | править код]

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982.
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М.: Детгиз, 1961. — 486 с. : ил., карт.
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
  • Литцман В. Теорема Пифагора. — М., 1960.
    • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990
  • Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
  • Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.

Ссылки[править | править код]

  • История теоремы Пифагора
  • Глейзер Г., академик РАО, Москва. О теореме Пифагора и способах её доказательства
  • Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)
  • Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
  • Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
  • Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)
Источник

Теорема Пифагора

О важности теоремы Пифагора высказался Иоганн Кеплер: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теоремой Пифагора и делением отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем»

Теорема Пифагора. Фото: Liza Summer, pixals.com

Теорема Пифагора актуальна в заданиях как базового, так и профильного ЕГЭ по математике. За верное решение задач базового уровня дается 1 балл, за задания повышенного уровня начисляется 3 балла. В статье мы рассмотрим доказательство теоремы и решим пару задач по теме. Благодаря качественному изучению этого материала экзаменуемый справится с рядом заданий и получит за них наивысший балл.

Что такое теорема Пифагора

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Изображение: Наталия Юмагулова.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важно!

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. Гипотенуза больше любого из катетов («Геометрия. 8 класс. Учебник», А. Г. Мерзляк).

Формула теоремы Пифагора

c² = a² + b²

Из этой формулы выводятся следующие:

с = √a² + b²

a = √c² — b²

b = √c² — a²

Доказательство теоремы Пифагора

В литературе есть около 400 доказательств теоремы Пифагора

Дано:
△АВС — прямоугольный;
＜АСВ = 90⁰.

Доказать:
АВ² = АС² + ВС².

Доказательство:
Проведем высоту СН.

АН, НВ — проекции катетов АС и ВС на гипотенузу. По теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Значит,

АС² = АВ × АН; ВС² = АВ × НВ.

Сложим почленно эти равенства:

АС² + ВС² = АВ × АН + АВ × НВ = АВ × (АН + НВ) = АВ ×АВ = АВ².

Что и требовалось доказать.

Задачи на теорему Пифагора

Переходим к решению задач с помощью теоремы Пифагора.

Задача №1
Центр окружности, описанной около треугольника КРH, лежит на стороне КН. Радиус окружности равен 10. Найдите КР, если РН равен 12

Задача №1. Чертеж: Наталия Юмагулова.

Дано:
Описанная окружность с центром в точке О.
О ∈ КН;
R = 10;
РН = 12.

Найти: КР.

Решение:
Так как окружность описанная, то все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, угол ＜КРН — вписанный.

По условию задачи центр окружности О ∈ КН, значит, хорда КН является диаметром.

КН = 2R = 2 ✕ 10 = 20.

Вписанный угол ＜КРН, опирающийся на диаметр, — прямой, значит, треугольник КРН — прямоугольный.

По теореме Пифагора:

КР = √КН² — РН²,
КР = √400-144 = √256 = 16

Ответ: КР = 16

Теорема о трех перпендикулярах

Доказательство и формулировка теоремы о трех перпендикулярах

подробнее

Задача №2

Дано:
Пирамида МАВС с высотой МА. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом С.

Найти:
1) Угол между ребрами МС и ВС. Ответ дайте в градусах.
2) МВ, если МС = 12, ВС = 5.

Задача №2. Чертеж: Наталия Юмагулова.

Решение:
1) Так как по условию задачи МА — высота пирамиды, то МА ⟂ (АВС). АС — проекция наклонной МС на плоскость АВС. Так как АС ⟂ ВС, то, по теореме о трех перпендикулярах, МС ⟂ ВС, следовательно, угол между МС и ВС равен 90° (градусов).

Ответ: 90°.

2) Так как из пункта 1 МС ⟂ ВС ⇒ треугольник МСВ — прямоугольный ⇒ по теореме Пифагора: МВ = √МС² + ВС² ⇒ МВ = √144 + 25 = √169 = 13.

Ответ: МВ = 13.

Популярные вопросы и ответы

Почему теорему Пифагора изучают на геометрии в 8 классе?

Потому что это необходимый теоретический материал для решения задач с помощью данной теоремы: квадратные уравнения, арифметический квадратный корень, подобие треугольников и другие. Эти темы изучаются именно в 8 классе.

Где и когда возникла теорема Пифагора?

Согласно сирийскому историку Ямвлиху, Пифагора познакомили с учителем математики Фалесом Милетским и его учеником Анаксимандром. После известно, что Пифагор отправился в Египет для продолжения своих исследований, был захвачен во время вторжения Камбиса II из Персии в 525 году до н. э. и доставлен в Вавилон. Пифагор вскоре поселился в Кротоне (ныне Кротон, Италия) и основал школу или, говоря современным языком, монастырь, где все члены дали строгий обет хранить тайну, а все новые математические результаты на протяжении нескольких столетий приписывались его имени. Таким образом, до конца неизвестно первое доказательство теоремы, а также есть некоторые сомнения в том, что сам Пифагор действительно ее доказал. Она была одной из первых теорем, пришедших из древних цивилизаций.

Теорема Пифагора — самый известный математический вклад ученого. Согласно одной из легенд, он был так счастлив, когда решил доказательство, что принес в жертву 100 быков.

Также при изучении вавилонских клинописных табличек и древнекитайских рукописей было установлено, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него. Так, немецкий математик Кантор выяснил, что равенство 32 + 42 = 52 было известно египтянам около 2300 лет до н. э., еще во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6 619 Берлинского музея). Такой треугольник со сторонами 3, 4, 5 получил название «египетский треугольник». Одни предполагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие считают по-другому. Например, доказательство в «Началах Евклида» (Предложение 47), по утверждению Прокла, принадлежит самому Евклиду, а не Пифагору.

Где в жизни можно применить теорему Пифагора?

Широкое применение имеет теорема при решении геометрических задач: нахождении длин, расстояний в прямоугольном треугольнике. Большой спектр применения есть у этой великой теоремы в физике, астрономии, строительстве, архитектуре, литературе.

Как звучит обратная теорема Пифагора?

Если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Изображения на странице: wikipedia.org, Наталия Юмагулова.

Источник

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обозначив гипотенузу буквой – c, катеты буквами a и b получим следующее равенство

c2=a2+b2

Расчёт катета по теореме пифагора

Введите гипотенузу

c = 

Введите катет

b = 

Катет по гипотенузе и катету

Формула пифагора для катета

Где a, b – катеты прямоугольного треугольника,
с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Введите первый катет

a = 

Введите второй катет

b = 

Гипотенуза по двум катетам

Формула пифагора для гипотенузы

Где a, b – катеты прямоугольного треугольника,
с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Доказательство теоремы пифагора

Дано

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Прямоугольный треугольник

Доказать

c2=a2+b2

Доказательство

Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.

Доказательство теоремы пифагора

Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами

S=(a+b)2

S=4*0.5*a*b +c2

Приравняем площади

(a+b)2=4*0.5*a*b +c2

a2+2*a*b +b2=2*a*b +c2

a2+b2=c2

Теорема доказана

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник – это треугольник, один из углов которого равен (90^circ) (прямой).
Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой ((AB)), а две другие стороны — катетами ((AC) и (BC)).

(bullet) Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы.
Следовательно, если, например, (angle A=30^circ), то (BC=dfrac12AB).

(bullet) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ): (angle A+angle B=90^circ).
Следовательно, если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен (45^circ), то такой треугольник является равнобедренным.

(bullet) Если в прямоугольном треугольнике (ABC) провести высоту (CH) из прямого угла, то (angle BAC=angle BCH) и (angle
ABC=angle
ACH):

(bullet) Теорема Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: [AB^2=AC^2+BC^2]

(bullet) (triangle ABCsim triangle AHCsim triangle BHC)

(bullet) Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой: [CH=sqrt{AHcdot HB}]


Задание
1

#3770

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), угол (A) равен (30^circ), (AB=2sqrt3). Найдите высоту (CH).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=sqrt3).
По свойству прямоугольного треугольника (angle BCH=angle
A=30^circ), следовательно, из (triangle BCH): (HB=0,5
BC=sqrt3:2).
Тогда по теореме Пифагора из (triangle BCH): [CH=sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{dfrac94}=1,5]

Ответ: 1,5


Задание
2

#3771

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (CH) – высота, угол (A) равен (30^circ). Найдите (AH), если (AB=2).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=1).
Тогда по теореме Пифагора из (triangle ABC): [AC=sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt3] Из прямоугольного (triangle AHC): (HC=0,5AC=sqrt3:2). Тогда по теореме Пифагора [AH=sqrt{AC^2-HC^2}=1,5]

Ответ: 1,5


Задание
3

#3772

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (CH) – высота, угол (A) равен (30^circ). Найдите (BH), если (AB=4).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=2).
По свойству прямоугольного треугольника (angle BCH=angle
A=30^circ), следовательно, из (triangle BCH): (HB=0,5
BC=1).

Ответ: 1


Задание
4

#3773

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) ( AB=BC=AC=2sqrt3). Найдите высоту (CH).

Так как (AC=BC), то (CH) также является медианой, следовательно, (AH=0,5 AB=sqrt3). Тогда по теореме Пифагора из (triangle ACH): [CH=sqrt{AC^2-AH^2}=3]

Ответ: 3


Задание
5

#3774

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равностороннем треугольнике (ABC) высота (CH) равна (2sqrt3). Найдите (AB).

Так как (AC=BC), то (CH) также является медианой. Следовательно, если (AH=a), то (AB=AC=2a). Тогда по теореме Пифагора из (triangle
ACH): [AC^2=AH^2+CH^2quadRightarrowquad 4a^2=a^2+12quadRightarrowquad
a=2quadRightarrowquad AB=2a=4]

Ответ: 4


Задание
6

#3775

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) (AC=BC=4), (angle C=30^circ). Найдите высоту (AH).

Рассмотрим прямоугольный (triangle ACH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (AH=0,5AC=2).

Заметим, что условие (BC=4) в данной задаче является лишним.

Ответ: 2


Задание
7

#3776

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) (AC=BC), высота (AH) равна (4), угол (C) равен (30^circ). Найдите (BC).

Рассмотрим прямоугольный (triangle ACH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (4=AH=0,5AC), откуда (8=AC=BC).

Ответ: 8

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Содержание:

  • Формула теоремы Пифагора
  • Доказательство теоремы Пифагора
  • Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
  • Примеры решения задач
  • Историческая справка

Формула теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ – прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^{circ}$,
$angle A$ – общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$frac{a}{c}=frac{H B}{a}, frac{b}{c}=frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c cdot H B, b^{2}=c cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c cdot H B+c cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах (рис. 2):

Примеры решения задач

Пример

Задание. Задан прямоугольный треугольник $A B C$, катеты которого равны 6 см и 8 см.
Найти гипотенузу этого треугольника.

Решение. Согласно условию катеты $a=6$ см, $b=8$ см. Тогда, согласно теореме
Пифагора, квадрат гипотенузы

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$

Отсюда получаем, что искомая гипотенуза

$c=sqrt{100}=10$ (см)

Ответ. 10 см

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти
площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один
из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

Решение. Пусть
$x$ см – длина меньшего катета, тогда $(x+5)$ см – длина большего. Тогда согласно теореме Пифагора имеем:

$$x^{2}+(x+5)^{2}=25^{2}$$

Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:

$x^{2}+5 x-300=0$

Согласно теореме Виета, получаем, что

$x_{1}=15$ (см)  ,  $x_{2}=-20$ (см)

Значение $x_{2}$ не удовлетворяет условию задачи, а значит, меньший катет равен 15 см, а больший – 20 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть

$$S=frac{15 cdot 20}{2}=15 cdot 10=150left(mathrm{см}^{2}right)$$

Ответ. $S=150left(mathrm{см}^{2}right)$

Историческая справка

Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге “Чжоу би суань цзин” говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий
историк математики Мориц Кантор (1829 – 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как выглядит формула, отражающая смысл теоремы Пифагора?

Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с
прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной,
равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в
квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:

a² + b² = c².

О чем гласит теорема Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами
сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его
гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.

При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена
противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих
в образовании прямого угла.

Треугольник имеет прямой угол. Как доказать теорему Пифагора, которая
гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного труегольника равна длине
его гипотенузы, которая возведена в квадрат?

Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С
проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого
треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным
90º (∠ACB =∠CHA).

В обоих треугольниках есть один общий угол – ∠A.

Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их
подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют
общий угол, которым является ∠B.

Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести
дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно
утверждать, что:

a/с = HB/a, b/с = AH/b.

Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:

a2 = c * HB, b2 = c * AH.

На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:

a2 + b2 = c * (HB + AH)

Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:

a2 + b2 = c * AB

В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет
переписать равенство следующим образом:

a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Длина катетов прямоугольного треугольника равна 5 см. Как вычислить длину
его гипотенузы?

Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника,
которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения
квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:

х² = 5^2 + 5^2

Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:

x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен
5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.

Применима ли теорема Пифагора к любому треугольнику?

Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или
острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного
треугольника.

Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его
гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов,
взятых в квадрат.

Дан прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 7 см, а
одного катета – 6 см. Как вычислить длину второго катета, используя теорему
Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного
треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его
гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого
приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:

х² = 7²-6² = 49-36 = 13.

Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа
13:

х =√13.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню
квадратному из 13.

Длина одного из стоящих рядом домов равна 24 м, высота второго из них
составляет 16 м. Как вычислить расстояние между крышами обоих домов, зная,
что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов?

Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора,
которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом,
возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во
вторую степень:

a² + b² = c².

Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что
образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным
треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном
треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно
вычислить длину неизвестного катета:

24 м – 16 м = 8 м.

Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это,
можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:

(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.

Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать
длину расстояния между крышами двух домов.

Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.

Длина гипотенузы треугольника с прямым углом равна 13 см. Один из его
катетов равен 12 см. Как найти длину его второго катета по теореме Пифагора?

Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме
Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во
вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в
квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:

х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь
квадратный корень из числа 25:

х = √25 = 5

Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.

Дан треугольник с прямым углом, к гипотенузе которого проведена медиана
длиной 6,5 м. Длина одного из катетов данного треугольника составляет 5 см.
Как вычислить длину второго катета треугольника по теореме Пифагора?

Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно
высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

с = 2*m = 2*6,5 = 13 см.

Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного
треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого
можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:

a²+b²=c²

В нашем случае:

5²+b²=13²

Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:

b²=13²-5²= 144

Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы
узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:

b = √144 = 12 см.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.

Как можно вычислить треугольник, для которого по теореме Пифагора,
соблюдается равенство f2=a2+ b2?

Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом,
как гласит теорема Пифагора.

Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой,
которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника,
расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно
сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и
имеет гипотенузу f и катеты a и b:

∆АDF c ∠F= 90°

Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.

Существует ли теорема, которая обратна теореме Пифагора, и что она гласит?

Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно
этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина
его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин
двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.

Имеется равнобедренный треугольник, длина двух сторон которого равна 48 см,
а третьей – 51 см. Как можно высчитать площадь данного треугольника по
теореме Пифагора?

Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного
треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с
равнобедренным треугольником является медианой.

Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет
равна:

h = √((48 см)² – (25,5 см)²) = 10,5√15 см.

Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное
в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:

S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².

Каким образом можно вычислить высоту равностороннего треугольника со
стороной а по теореме Пифагора?

В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию,
является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний
треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым
углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный
вопрос следует применить теорему Пифагора:

h²=a²-(a/2)²=a²-(a²/4)=3a²/4

h=a√3/2.

Дан треугольник с прямым углом, длина одного из катетов которого вдвое
меньше длины его второго катета. Гипотенуза данного треугольника равна корню
квадратному из 15. Как по теореме Пифагора вычислить длину меньшего из
катетов треугольника?

Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в
два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным
треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему
Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:

(2х)²+(x)²=√15

После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:

4х²+x²=15

Складываем слагаемые в первой части и получаем:

5x²=15

Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:

x²=3

Это значит, что:

x=√3

Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.

Известно, что длина одного из катетов прямоугольного треугольника составляет
60 см, а длина его гипотенузы и второго катета в сумме дают 180 см. Можно ли
по теореме Пифагора высчитать длину гипотенузы данного треугольника?

Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет
равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для
данного треугольника:

x²+60²=(180-x)² = x²+3600=32400-360x+x²

После сокращений получается следующее равенство:

360х=32400-3600=28800

Теперь можно найти значение х:

х=28800/360=80

Длина второго катета равна 80 см.

Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180
см, можно вычислить длину гипотенузы:

180-80=100 см.

Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.

Дана прямоугольная трапеция ABCD. Ее углы А и В равны по 90°. Длины боковых
сторон данной трапеции составляют 9 см и 18 см. Диагональ АС составляет 15
см. Как можно вычислить длину основания трапеции по теореме Пифагора?

АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см.
Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются
неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:

√15²-9²=√144=12 см.

Произведем перенос высоты:

СС1=АВ=9 см.

Тогда получаем, что:

C1D=√18²-9²=9√3

BC=AC1=12

AD=12+9√3 см.

Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.

Источник

Добавить комментарий