Теория вероятностей для сдачи ОГЭ и ЕГЭ
Справится с задачей по теории вероятности можно запросто, если знаешь формулу нахождения вероятности и если повезет с задачей. Пока практика показывает, что на экзамене даются задачи проще, чем на пробнике.
К таким простым задачам будем относить задачи из разряда «на тарелке лежат столько-то пирожков, найти вероятность, что попадется пирожок с вишней», с кубиками/монетками и задачки на подобие «найти вероятность того, что ручка не пишет, если вероятность того, что она пишет равна 0,6».
Все остальные типы задач будем считать сложными, т.к. не каждый сможет к ним подступиться без определенных знаний.
Начнем разбор задач с формулы нахождения вероятности:
P=m:n, где P – вероятность какого-либо события, m – благоприятные события (то, что нас спрашивают в вопросе), n – всевозможные события.
Разберемся с поиском благоприятных событий на примере.
#1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик | |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 5 |
| 3 | 6 | 4 |
Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
#2.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
#3.
На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
#4.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#5.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
#6.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
#7.
В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#8.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.
#9.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
#10.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик | |
| 1 | 1 | 3 | 6 |
| 2 | 1 | 4 | 5 |
| 3 | 1 | 5 | 4 |
| 4 | 1 | 6 | 3 |
| 5 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 3 | 5 |
| 7 | 2 | 4 | 4 |
| 8 | 2 | 5 | 3 |
| 9 | 2 | 6 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 6 |
| 11 | 3 | 2 | 5 |
| 12 | 3 | 3 | 4 |
| 13 | 3 | 4 | 3 |
| 14 | 3 | 5 | 2 |
| 15 | 3 | 6 | 1 |
| 16 | 4 | 1 | 5 |
| 17 | 4 | 2 | 4 |
| 18 | 4 |
3 |
3 |
| 19 | 4 | 4 | 2 |
| 20 | 4 | 5 | 1 |
| 21 | 5 | 1 | 4 |
| 22 | 5 | 2 | 3 |
| 23 | 5 | 3 | 2 |
| 24 | 5 | 4 | 1 |
| 25 | 6 | 1 | 3 |
| 26 | 6 | 2 | 2 |
| 27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
#11.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий – 62=36
Благоприятных событий – 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
#12.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р – решка
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
#13.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что на выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
| О | О | О |
| О | О | Р |
| О | Р | О |
| О | Р | Р |
| Р | О | О |
| Р | О | Р |
| Р | Р | О |
| Р | Р | Р |
Благоприятных событий 3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
На этом приятности заканчиваются, и начинаются неприятности.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ – складываем
#14.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
#15.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
Успехов в учебе!
Автор статьи, но не задач: Васильева Анна
Теория вероятности в ОГЭ это почти халява, которую просто обязан забрать каждый, кто желает получить максимум баллов при минимальных усилиях. По идее, это каждый 9-ти классник.
Простая вероятность:
P = m / n = благоприятные / всевозможные
Примеры вы увидите ниже.
Но есть другие важные апекты в теории вероятности необходимой в ОГЭ. Есть сообытия которые называются совместимыми или несовместимыми, но это слишком сложно для запоминания поэтому я опишу несколько иначе, через пример. Если всех людей делят на две команды, то: вороятность попадания в 1 команду + вероятность попадания во 2 команду = 1. То есть полюбому в какую-то команду человек попадёт. Это применимо и в других аналогичных ситуациях.
Решим несколько заданий из ОГЭ.
Задание №1
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,35. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,45. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
“Углы” = 0,35
“Окружность” = 0,45
“Углы” и “Окружность” вместе : 0,35 + 0,45 = 0,8
Ответ: 0,8
Задание №2
В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?
16 команд делят на 4 кучи(A, B, C, D) => в каждой кучи будет по 4 команды.
P = m / n = благ. / все
Благ.: Россия не попадает в A. Таких мест 4 * 3 = 12 илм 16 – 4 = 12
Все: 16 мест
12 / 16 = 3 / 4 = 0,75
Ответ: 0,75.
Задание №3
Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишени, а последние два раза промахнулся.
Вероятность попадания: 0,6
Вероятность промаха: 1 – 0,6 = 0,4
Это последовательные действия, и в таких случая мы просто пересножаем.
0,6 • 0,4 • 0,4 = 0,096
Ответ: 0,096
Задания на вероятность в ОГЭ
Опубликовано 28.05.2021
Чтобы понять – что такое вероятность и записать основные формулы, которые нам понадобятся, советуем прочить статью про вероятность. Мы же с вами рассмотрим решение некоторых задач. В ОГЭ по математике они идут под номером 10 в каждом варианте.
Задача 1
На экзамене 40 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Источник: тексты задач взяты из сборника заданий по математике ОГЭ 2021 под ред Ященко.
Решение.
Используем формулу нахождения вероятностей:
,
где
– число случаев, вероятность выпадения которых надо определить;
– общее число случаев.
В нашей задаче – это число выученных билетов, вероятность попадания которых на экзамене и нужно было определить.
.
Тогда 
.
Ответ: 0,7
Задача 2
В среднем из 150 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекает. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для контроля насос подтекает.
Решение. Используем ту же формулу, что и в задаче 1. В нашей задаче ,
.
Тогда .
Ответ: 0,04.
Задача 3
Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 71 спортсмен, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Т. Найдите вероятность того, что в первом туре Т. будет играть с каким-либо спортсменом из России.
Решение:
Для нашего спортсмена благоприятных исходов будет 21: 22-1=21, так как спортсмен Т. не может играть сам с собою. А вот с любым другим участником из России он сыграть может. Тогда число всех событий 71-1=70, потому что спортсменов без Т. всего 70.
Подставляем полученные значения в формулу нахождения вероятности и получаем:
.
Ответ: 0,3.
Решим аналогичную задачу.
Задача 4
Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 51 спортсмен, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Д. Найдите вероятность того, что в первом туре Д. будет играть с каким-либо спортсменом не из России.
Решение:
Формула для определения вероятностей та же. Определим числитель и знаменатель в ней. Так как Д. – из России должен играть со спортсменом не из России – то спортсменов не из России 51-14=37. Всего спортсменов, с которыми может играть Д. 50, так как Д. не может играть с собой: 51-1=50.
Тогда получим: 
Ответ: 0,74.
Задача 5
На экзамене 60 билетов, Николай не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Решение:
Выученных билетов 60-9=51. Находим вероятность того, что Николаю попадется выученный билет.
Ответ: 0,85.
Таким образом, основная сложность в таких задачах – это определение числа благоприятных исходов. В дальнейшем мы просто делим число благоприятных исходов на число всех исходов и находим десятичную дробь, которая и будет являться вероятностью благоприятного события.
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Джамиля Агишева
Задание 10 ОГЭ по математике – это задача по теории вероятностей.
Теория вероятностей рассматривает случайные действия, явления, процессы, исход которых заранее неизвестен. Например, высаживая семена огурцов, мы проводим эксперимент. В результате из десяти семечек может взойти от 0 до 10 ростков, т.е. случайное количество.
Событие – результат некоторого действия. Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в данном эксперименте. Например, проигрыш или выигрыш нашей любимой футбольной команды заранее предсказать невозможно – это стечение обстоятельств, а сам исход игры мы узнаем по её окончании.
События принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C и т.д.
Пример: A – взошло ровно 9 ростков из десяти посаженных семян огурцов. Оно может произойти или не произойти.
Вероятность события P(A) – это отношение числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех исходов , возможных в данном эксперименте. Итак,
Имейте в виду, что числитель такой дроби не может быть больше знаменателя, а значит, вероятность всегда меньше либо равна 1.
Приступим к решению задач.
Пример 1. Бабушка испекла одинаковые на вид пирожки: 7 с мясом, 8 с капустой и 5 с яблоками. Внучка Даша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.
Выбор пирожка – несомненно, испытание для Даши. А вдруг попадётся нелюбимый, с капустой?
Решение. Событие A – достался пирожок с мясом. Найдём m и n.
m – число исходов, благоприятствующих событию A.
n – число всех исходов, возможных в данном эксперименте.
Давайте перефразируем на языке пирожков: m – количество пирожков с мясом, т.е. m=7, n – количество всех испечённых пирожков, т.е. 
Осталось найти вероятность. Вспомним формулу и вычислим. Итак,
Замечание: не забудьте ответ представить в виде десятичной дроби!
Ответ: 0,35.
Давайте рассмотрим задачу посложнее.
Пример 2. В коробке хранятся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность того, что на извлечённом наугад из коробки жетоне написано двузначное число?
Решение. Событие A – извлечённый наугад жетон содержит двузначное число. Найдём m и n.
m – число жетонов с двузначным номером, n – число всех жетонов.
Сначала определимся с n. Типичная ошибка считать так: 
. На самом деле когда-то были жетоны от 1 до 54. Но номера 1, 2, 3 и 4 со временем потерялись, т.е. пропало четыре штуки. Тогда, 
.
Сколько жетонов с двузначными номерами? Всего 50, номера 5, 6, 7, 8, 9 (их пять штук) – однозначные. Тогда, 
.
Итак,
Ответ: 0,9.
Пример 3. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 8 спортсменов из Швеции и 7 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
Решение. Событие A – спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
– число спортсменов из Швеции, 
– число всех спортсменов.
Т.к. старт определяется жребием, то не важно, под каким стартовым номером будет выступать тот или иной лыжник, под вторым или последним.
Итак,
Ответ: 0,32.
Пример 4. Оля наугад выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.
Решение. Событие A – выбранное число делится на 51. Найдём m и n.
m – количество трёхзначных чисел, кратных 51, n – число всех трёхзначных чисел.
Последнее трёхзначное число 999. Найдём все числа, кратные 51 среди чисел от 1 до 999 (их даже можно попробовать пересчитать непосредственно: 51, 102, 153, …, 969). Разделим 999 на 51. Получим 
, т.е. ровно 19 чисел, кратных 51. Но среди этого количества окажется двузначное число 51, которое не учитывается в задаче, значит, 
.
Теперь определим n. Чисел от 1 до 999 ровно 999, исключим из них однозначные и двузначные числа от 1 до 99. Таким образом, .
Итак,
Ответ: 0,02.
Пример 5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Обратите внимание на условие задачи. Здесь не говорится, что из 200 сумок двадцать – с дефектами. В тексте чётко обозначено, что качественных – 200 штук, а некачественных – 20 штук.
Решение. Событие A – купленная сумка окажется качественной. Найдём m и n.
Всё просто, 
, 
.
Итак,
Что-то пошло не так? Полученный результат невозможно будет записать в бланк ответов, т.к. ответом может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь. Ещё раз внимательно перечитываем задачу, а точнее, вопрос задачи. Там сказано: результат округлите до сотых. Помним, калькулятор использовать нельзя. Честно делим в столбик. Т.к. округлить нужно до сотых, то мы найдём три цифры после запятой и только потом запишем результат.
Ответ: 0,91.
Больше задач по теории вероятностей: https://ege-study.ru/teoriya-veroyatnostej/ и https://ege-study.ru/teoriya-veroyatnostej-na-ege-po-matematike/
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 10 ОГЭ по математике. Вероятность и статистика.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Задачи на вероятность
Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Но как решать задачи на вероятность. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.
Вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Принято считать, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1. В задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.
Вероятность нескольких событий
Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки: 1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем. 2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.
Теория вероятностей
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р (А) = 
где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и
Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B: P(A U B) =P(A) + P(B)
Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A∩B) = P(A) • P(B)
Формула сложения вероятностей совместных событий:
P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)
Задачи и решения задач на вероятность
Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5. Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12. Вероятность тогда: 
Ответ: 0,8.
Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек? Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников. Вероятность что первый дежурный мальчик: 
Вероятность что второй дежурный мальчик: 
Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим: 
Ответ: 0,2.
Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1. Ответ: 0,1.
Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6. Ответ: 0,6.
Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам. Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8. Ответ: 0,8.
Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996. Ответ: 0,996.
Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005). Ответ: 0,005
Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии. Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18). Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36. Ответ: 0,36.
Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275. Ответ: 0,275.
Задача 10.Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов. Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России? Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52. Ответ: 0,52.
Задача 11. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25. Ответ: 0,25.
Задача 12. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4. Ответ: 0,4.
Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2. Ответ: 0,2.
Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3. Ответ: 0,3.
Задача 15. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру. Решение: Нас устроит следующий вариант: «Стартер» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.
Задача 16. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Решение: Задачу выполняют несколько вариантов:
|
игра №1 |
игра №2 |
Вероятность данного варианта |
|
3 |
1 |
0,4 · 0,2 = 0,08 |
|
1 |
3 |
0,2 · 0,4 = 0,08 |
|
3 |
3 |
0,4 · 0,4 = 0,16 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32. Ответ: 0,32.
Задача 17. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе. Решение: Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1. Ответ: 0,1.
Задача 18. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане. Решение: Способ №1 Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.
Способ №2 Задачу выполняют в несколько вариантов: Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Ответ: 0,4.
Задача 19. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Решение: Способ №1 Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6. Способ №2 Задачу выполняют несколько вариантов: Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Ответ: 0,6.
Задача 20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. Решение: Нас устраивают три варианта: Орёл ― решка ― орёл; Орёл ― орёл ― решка; Решка ― орёл ― орёл; Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8) Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375. Ответ: 0,375.
Задача 21. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение: В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17. Ответ: 0,17.
Задача 22. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604. Ответ: 0,9604. 0,17.
Задача 23. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых. Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада): … США, КАН, КИТ … … США, КИТ, КАН … … КИТ, США, КАН … … КАН, США, КИТ … … КАН, КИТ, США … … КИТ, КАН, США … США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна: 
≈ 0,33. Ответ: 0,33.
Задача 24. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована. Решение: Существуют 2 варианта, которые нам подходят: Вариант А: батарейка забракована, она неисправна; Вариант Б: батарейка забракована, она исправна. Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194; Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049; Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684. Ответ: 0,0684.
Задача 25. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02. Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038. Ответ: 0,038.
Задача 26. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных. Решение: Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).
Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х / 0,92х ≈ 0,978. Ответ: 0,978.
Задача 27. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099. Ответ: 0,0099
Задача 28. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм. Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039. Ответ: 0,039.
Задача 29. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач. Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1. Ответ: 0,1.
Задача 30. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20. Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22. Ответ: 0,22.
