Как найти кол-во теплоты, выделяемое при неупругом столкновении двух тел? Известны обе массы и обе скорости
Наталия Дмитриева
Ученик
(98),
закрыт
8 лет назад
ВиталийГорностаев
Мастер
(2365)
10 лет назад
Обозначим скорости тел до столкновения V1 V2
Общая скорость после столкновения U
Закон сохранения импульса m1*V1+m2*V2=U*(m1+m2)
Отсюда U=(m1*V1+m2*V2)/(m1+m2)
Кинетическая энергия до столкновения Ek1=m1*(V1)^2+m2*(V2)^2
Кинетическая энергия после столкновения Ek2=(m1+m2)*(U)^2
Количество теплоты Q=Ek2-Ek1
Условие задачи:
Найти количество теплоты, выделившееся при лобовом абсолютно неупругом ударе двух свинцовых шаров массой 1 кг каждый, скользящих без вращения по абсолютно гладкой поверхности. До удара шары двигались по одной прямой в одном направлении. Скорость первого шара равна 10 см/с, скорость второго – 20 см/с.
Задача №2.10.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(m=1) кг, (upsilon_1=10) см/с, (upsilon_2=20) см/с, (Q-?)
Решение задачи:
Запишем два закона:
- закон сохранения импульса (ЗСИ) в проекции на ось (x), поскольку система, состоящая из двух шаров замкнута в этом направлении;
- закон сохранения энергии (ЗСЭ), но учтем, что часть начальной кинетической энергии шаров при абсолютно неупругом ударе переходит в теплоту (Q).
[left{ begin{gathered}
m{upsilon _1} + m{upsilon _2} = 2mu hfill \
frac{{mupsilon _1^2}}{2} + frac{{mupsilon _2^2}}{2} = frac{{2m{u^2}}}{2} + Q hfill \
end{gathered} right.]
Из ЗСИ выразим скорость шаров после удара:
[u = frac{{{upsilon _1} + {upsilon _2}}}{2}]
Полученное выражение подставим в ЗСЭ:
[frac{{mupsilon _1^2}}{2} + frac{{mupsilon _2^2}}{2} = frac{{2m}}{2}{left( {frac{{{upsilon _1} + {upsilon _2}}}{2}} right)^2} + Q]
Раскроем квадрат суммы в правой части уравнения:
[frac{{mupsilon _1^2}}{2} + frac{{mupsilon _2^2}}{2} = frac{{2m}}{2}left( {frac{{upsilon _1^2 + 2{upsilon _1}{upsilon _2} + upsilon _2^2}}{4}} right) + Q]
Откроем скобки:
[frac{{mupsilon _1^2}}{2} + frac{{mupsilon _2^2}}{2} = frac{{mupsilon _1^2}}{4} + frac{{m{upsilon _1}{upsilon _2}}}{2} + frac{{mupsilon _2^2}}{4} + Q]
[Q = frac{{mupsilon _1^2}}{4} – frac{{m{upsilon _1}{upsilon _2}}}{2} + frac{{mupsilon _2^2}}{4} = frac{m}{4}left( {upsilon _1^2 – 2{upsilon _1}{upsilon _2} + upsilon _2^2} right)]
[Q = frac{m}{4}{left( {{upsilon _1} – {upsilon _2}} right)^2}]
Получилась “красивая” формула для расчета ответа. Переведем скорости в единицы системы СИ.
[10; см/с = frac{{10}}{{100}}; м/с = 0,1; м/с]
[20; см/с = frac{{20}}{{100}}; м/с = 0,2; м/с]
Считаем ответ:
[Q = frac{1}{4}{left( {0,1 – 0,2} right)^2} = 2,5 cdot 10^{-3}; Дж = 2,5; мДж]
Ответ: 2,5 мДж.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
2.10.2 Тележка массой 100 кг движется со скоростью 2 м/с. Когда она проезжает мимо
2.10.4 Охотник стреляет из ружья. Определить силу отдачи, если масса дроби 35 г
2.10.5 Шары массами 1 и 2 кг движутся навстречу друг другу. Скорость первого шара 5 м/с
Начиная с определений импульса и объяснения законов сохранения, в статье показывается способ решения ряда задач, в которых важно только начальное и конечное состояние (но, например, ничего нельзя сказать про время движения), в частности, задач на столкновение тел.
Введение
С помощью законов сохранения многие механические задачи решаются намного проще, чем при использовании динамических уравнений движений. С другой стороны, законами сохранения можно пользоваться только в тех случаях, когда необходимо, зная начальное состояние тела, найти конечное. При данном описании системы невозможно узнать время движения тела и все промежуточные состояния.
Для лучшего понимания темы различных соударений давайте еще раз повторим теорию по законам сохранения в механике.
Самыми распространенными законами сохранения является закон сохранения импульса и энергии.
Импульс
Определение. Импульсом p тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы m на скорость (здесь и далее жирным шрифтом выделены векторные величины).
p = mv.
Изменение импульса можно представить через второй закон Ньютона:
Δp = mΔv = FΔt
Если рассмотреть систему материальных точек, которые движутся с разными скоростями, то импульс задается следующим выражением:
p = m₁v₁+ m₂v₂ + …
Закон сохранения импульса
При отсутствии внешних сил импульс системы материальных точек сохраняется.
Замечание 1. Отсутствие внешних сил означает, что система замкнута.
Замечание 2. Часто в задачах есть внешние силы, но при этом законом сохранения импульса в каком-то виде пользоваться можно.
- Внешние силы есть, но они взаимно скомпенсированы (например сила тяжести и сила нормальной реакции опоры при движении по гладкой поверхности).
- Внешние силы не имеют проекции на какую-то заданную ось (например, ось ОX), тогда импульс может сохраняться вдоль этого направления.
- Если в некоторый момент времени внутренние силы много больше внешних, тогда импульс системы сохраняется (например, разрыв снаряда)
Так как задачи только на закон сохранения достаточно однообразные, то рассмотрим и закон сохранения энергии.
Работа и энергия
Любая механическая система характеризуется скалярной величиной E — энергией, которая однозначно определяет состояние системы. Зная энергию системы в двух состояниях, можно найти работу внешних сил, совершенную над системой:
ΔE = E₂ – E₁ = A.
Механическая работа
Определение. Если на тело, движущееся по прямой, действует постоянная сила F, то механической работой A этой силы на перемещение s называется скалярное произведение
A = (F, s) = |F||s| · cos(α) = Fs · cos(α),
где α — угол между векторами F и s.
Определение. Средняя мощность <P> силы F — это отношение работы А, совершенной силой F за время t, к интервалу времени t.
<P> = A / t.
Мощность также можно переписать так: <P> = Fv · cos(α).
Консервативные и диссипативные силы
Определение.Консервативные силы (потенциальные силы) —это силы, работа которых при перемещении из состояния 1 в состояние 2 не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек 1 и 2.
Примеры.Работа силы тяжести или электростатических сил не зависит от траектории, следовательно, это консервативные силы.
К диссипативным силам относятся различные виды силы трения.
Замечание. Работа диссипативных сил всегда отрицательна. Следовательно, они уменьшают механическую энергию тела, переводя ее в тепло.
Кинетическая и потенциальная энергия
Определение. Кинетическая энергия тела равна произведению массы тела на квадрат скорости, деленное на два:
Eкин = mv² / 2.
Так как работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения, то для нее можно определить потенциальную энергию.
Потенциальная энергия для силы тяжести определяется следующим выражением:
Eпот = mgh.
Замечание. Для силы тяжести можно легко вывести потенциальную энергию, зная работу силы притяжения.
Другие примеры.Зная силу растяжения или сжатия пружины, легко посчитать потенциальную энергию сжатой (растянутой) пружины:
Eпот = k(x₂ – x₁)² / 2.
Закон сохранения и изменения энергии
Формулировка. Механическая энергия в замкнутой системе сохраняется при отсутствии диссипативных сил:
ΔE = 0
Замечание 1. Механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергии.
E = Eкин + Епот.
Замечание 2.При наличии консервативных сил может меняться скорость тела (системы тел) и их общая кинетическая энергия, но это будет происходить за счет перехода кинетической энергии в потенциальную.
Формулировка. Изменение механической энергии под действием внешних и внутренних неконсервативных сил равно суммарной работе этих сил А:
ΔE = A.
Теорема об изменении кинетической энергии
Формулировка. Работа всех сил (консервативных и диссипативных) равна изменению кинетической энергии системы.
∑A = ΔEкин.
Замечание. С помощью этой теоремы легко решать многие задачи. Например, рассмотрим задачу о нахождении тормозного пути автомобиля, движущегося со скоростью v = 60 км/ч по дороге с коэффициетом трения μ = 0,5.
Работа силы трения:
A = –μN = –μmgS,
где N — сила нормальной реакции, S — тормозной путь автомобиля.
Изменение кинетической энергии:
ΔE = –mv² / 2.
По теореме о изменении кинетической энергии:
–mv² / 2 = –μmgS.
S = v² / 2gμ = 29 м
Замечание.Скорость необходимо перевести в СИ.
Соударения
Определение. Центральный удар — это соударение 2 тел , при котором скорости каждого из тел направлены вдоль линии, соединяющей центры обоих тел.
Замечание. Если один из шаров покоится, то скорость второго тела должна быть направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.
При решении задач на столкновение двух и более тел надо привыкнуть к следующим формулировкам:
- Абсолютно упругий удар (упругий удар) — это тип соударения, при котором выполняется закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Часто этот тип соударения применим к железным шарикам.
- Неупругий удар — это удар, при котором выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии (так как теряется часть энергии при ударе).
- Абсолютно неупругий удар — это удар, при котором два тела продолжают двигаться как единое целое. При этом столкновении выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии.
Замечание. Как мы видим, для решения задач нужно сначала записать соответствующие законы сохранения энергии и импульса или изменения энергии. Далее необходимо решить получившуюся систему уравнений.
Задача 1
Железный шар массы m = 500 г движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с и сталкивается с неподвижным восковым шаром, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе.
Решение. В этой задаче удар абсолютно неупругий, поэтому выполняется закон сохранения импульса (ЗСИ) и изменения энергии.
Запишем ЗСИ на ось OX:
mv = (m + M)V. (1)
Для того, чтобы найти выделившуюся энергию при соударении, необходимо записать закон изменения энергии (ЗИЭ)
ΔE = mv² / 2 — (m + M)V² / 2. (2)
Далее остается только математическая часть задачи — решить систему уравнений (1) и (2). Из (1) найдем V:
V = mv / (M + m).
Подставив в (2), получим:
Замечание. Такую задачу невозможно решить для неупругого удара, при котором тела не слипаются друг с другом, так как нам будет неизвестны скорости двух разлетевшихся тел.
Список литературы
- Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
- Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.
Брусок массой 400 г, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью ʋ = 10 м/с, ударяется о такой же, но неподвижный брусок и теряет половину своей скорости. Найдите количество теплоты, выделившейся при соударении брусков. Движение брусков считать поступательным.
Спрятать решение
Решение.
| Дано:
m=0,4 кг υ=10 м/c Q—? |
Решение:
Согласно закону сохранения импульса
откуда скорость второго бруска после соударения Согласно закону сохранения энергии
откуда количество теплоты, выделившееся при ударе, равно
Подставляя числовые данные условия задачи и проверяя размерность найденной величины, получаем Ответ: 10 Дж. |
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное правильное решение, включающее следующие элементы:
1) верно записано краткое условие задачи; 2) записаны уравнения и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи выбранным способом; 3) выполнены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ. При этом допускается решение «по частям» (с промежуточными вычислениями). |
3 |
| Правильно записаны необходимые формулы, проведены вычисления, и получен ответ (верный или неверный), но допущена ошибка в записи краткого условия или переводе единиц в СИ.
ИЛИ Представлено правильное решение только в общем виде, без каких-либо числовых расчётов. ИЛИ Записаны уравнения и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи выбранным способом, но в математических преобразованиях или вычислениях допущена ошибка. |
2 |
| Записаны и использованы не все исходные формулы, необходимые для решения задачи.
ИЛИ Записаны все исходные формулы, но в одной из них допущена ошибка. |
1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
2014-05-31 
Какое количество тепла выделится при лобовом ударе двух свинцовых шаров массой m = 1 кг каждый, скользящих без вращении на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности по одной прямой в одном направлении? Скорость первого шара $v_{1}=10 см/с$, скорость второго $v_{2} = 20 см/с$. Удар шаров считать абсолютно неупругим
Решение:
Так как удар абсолютно неупругий, то после удара оба шара будут двигаться с одинаковой скоростью $v$. Согласно закону сохранения импульса
$mv_{1}+mv_{2}=2mu$.
Отсюда
$v=frac{v_{1}+v_{2}}{2}$.
До столкновения шары обладали кинетической энергией
$W_{1}=frac{mv_{1}^{2}}{2}+frac{mv_{2}^{2}}{2}$.
После удара их кинетическая энергия равна
$W_{2}=2 frac{mv^{2}}{2}= frac{m(v_{1}+v_{2})^{2}}{4}$.
В результате удара кинетическая энергия системы уменьшается на величину
$Delta = W_{1} – W_{2}=frac{m}{4}(v_{1}-v_{2})^{2} = 0,0025 Дж$.
Эта энергия и переходит в тепло.
