Как найти теплоемкость при изобарном процессе

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 ноября 2020 года; проверки требует 1 правка.

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу , к изменению температуры , которое при этом произошло ^[1].

Удельная и молярная теплоёмкость[править | править код]

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества ^[2]:

где — масса, — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)^[1].

Формула расчёта удельной теплоёмкости^[1][2]:

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах[править | править код]

Адиабатический[править | править код]

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть . Однако, объём, давление и температура меняются, то есть ^[3].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: .

Изотермический[править | править код]

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть . При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла^[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности:

Изохорный[править | править код]

В изохорном процессе постоянен объём, то есть и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид^[1]:

А для идеального газа

Таким образом,

где — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

где  — показатель адиабаты,  — газовая постоянная газа.

Изобарный[править | править код]

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как . В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера ^[1].
Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики^[4]:

.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

Учитываем, что работа газа равна ^[4]:

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для одного моля газа^[1]:

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

Так как энергия одной молекулы равна (6)^{[Комм 1][5]}, то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой^[5]:

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклонятся от теплоёмкости идеального газа. Так при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры^[5].

См. также[править | править код]

• Идеальный газ
• Первое начало термодинамики
• Теплоёмкость

Комментарии[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.

Теплоемкостью
тела называется
величина, равная количеству теплоты,
которое нужно сообщить телу, чтобы
повысить его температуру на 1
К.

Удельная
теплоемкость вещества
– величина, равная количеству теплоты,
необходимому для нагревания 1
кг
вещества на 1
К:

.

Молярная
теплоемкость вещества –
величина, равная количеству теплоты,
необходимому для нагревания 1
моля
вещества на 1
К:

, откуда
.

Различают
теплоемкости газа при изохорном и
изобарном процессах.

1. Молярная
теплоемкость газа при изохорном процессе

.

Для изохорного
процесса первое начало термодинамики:

.

Следовательно
,
откуда.

2. Молярная
теплоемкость газа при изобарном процессе

.

Для изобарного
процесса первое начало термодинамики:

.

Так как для
изобарного процесса
,

то

,

откуда

.

Уравнение Майера.

Сравнение между
собой С_р
и С_V
приводит к уравнению
Майера:

.

Это уравнение
показывает, что С_р
больше, чем С_V
на величину универсальной газовой
постоянной R.
Это объясняется тем, что при изобарном
нагревании газа, в отличие от изохорного
нагревания, требуется дополнительное
количество теплоты на совершение работы
расширения газа.

Таким образом,
молярная теплоемкость газа определяется
лишь числом степеней свободы и не зависит
от температуры. Это утверждение
справедливо в довольно широком интервале
температур лишь для одноатомных газов.
Уже у
двухатомных газов число степеней
свободы, проявляющееся в теплоемкости,
зависит от температуры.

Тема 9. Адиабатический процесс.

Адиабатическим
называется процесс, при котором
отсутствует теплообмен между системой
и окружающей средой. При адиабатическом
процессе изменяются все термодинамические
параметры (р,
V,
Т)
в соответствии с уравнением
Пуассона:

,

где
–коэффициент
Пуассона,
равный отношению молярных теплоемкостей
.

Полученное выражение
есть уравнение
адиабатического процесса
в переменных р
и V
.

Для перехода от
переменных р
и V
к переменным V,
Т
или p,
Т
при описании адиабатического процесса
используется уравнение Клапейрона —
Менделеева:

.

В результате
соответствующие уравнения адиабатического
процесса:

в переменных
V
и Т
,

в переменных
р
и
Т .

Работа газа при
адиабатическом процессе.

Из первого начала
термодинамики ()
для адиабатического процесса ()
следует, что.

Если газ адиабатически
расширяется от объема V₁
до объема V₂
, то его
температура уменьшается от T₁
до T₂
и работа расширения идеального газа:

.

Используя уравнение
адиабатического процесса в переменных
V
и Т
, то
есть
полученное выражение для работыА
при адиабатическом расширении газа
можно преобразовать к иному виду,
отражающему адиабатическое изменение
объема газа от величины V₁
до величины
V₂
:

.

Тема 10. Обратимый и необратимый процессы. Круговой процесс. Тепловая машина и цикл Карно.

Термодинамический
процесс называется обратимым,
если он может проходить как в прямом,
так и в обратном направлении, причем
если такой процесс проходит сначала в
прямом, а затем в обратном направлении,
и система возвращается в исходное
состояние, то в окружающей среде и в
этой системе не происходит никаких
изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий
этим условиям, является необратимым.

Круговым процессом
(или циклом)
называется процесс, при котором система,
пройдя через ряд состояний, возвращается
в исходное состояние.

Тепловая машина
– это устройство для преобразования
теплоты в работу.

Принцип действия
тепловой машины приведен на рис. 5. От
термостата с более высокой температурой
Т₁
,
называемого нагревателем,
за цикл отнимается количество теплоты
Q₁
,
а термостату с более низкой температурой
Т₂
,
называемому холодильником,
за цикл передается количество теплоты
Q₂
,
при этом совершается работа: А
= Q₁
– Q₂.

Французский физик
Карно рассмотрел обратимый циклический
процесс, состоящий из чередования двух
изотермических и двух адиабатических
процессов (рис. 6). В цикле Карно в качестве
рабочего тела используется идеальный
газ, находящийся в цилиндре с подвижным
поршнем.

Рис. 5
Рис. 6

График цикла Карно
в координатах р
и V
изображен на рис. 6, где изотермическим
расширению и сжатию соответствуют
кривые 1–2
и 3–4,
а адиабатическим расширению и сжатию
– кривые 2–3
и 4–1.
При изотермическом процессе U=const,
поэтому количество теплоты Q₁,
полученное газом от нагревателя, равно
работе расширения А₁₂,
совершаемой газом при переходе из
состояния 1
в состояние
2:

.

При адиабатическом
расширении 2–3
работа А₂₃
совершается за счет изменения внутренней
энергии:

.

Количество
теплоты Q₂
,
отданное газом холодильнику при
изотермическом сжатии, равно работе
сжатия А₃₄
:

.

Работа адиабатического
сжатия:

.

Работа, совершаемая
в результате кругового процесса:

,

Термический
коэффициент полезного действия цикла
Карно можно определить по формуле:

или
,
то есть

к.п.д. тепловой
машины, работающей по циклу Карно,
определяется только температурами
нагревателя
Т₁
и холодильника
Т₂
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В случае, если результатом теплообмена становится передача телу некоего количества теплоты Q, то его температура и внутренняя энергия претерпевают изменения.

В большом количестве ситуаций удобной для использования является молярная теплоемкость C: 

C=M·c, где M представляет собой молярную массу вещества.

Теплоемкость, полученная таким способом, не является однозначной характеристикой вещества. Исходя из первого закона термодинамики, можно сказать, что изменение внутренней энергии тела зависимо не только от количества полученной теплоты, но и от величины совершенной телом работы. В разных условиях осуществления процесса теплопередачи тело может совершать различную работу. Таким образом, переданное телу одинаковое количество теплоты способно провоцировать изменения его внутренней энергии и, соответственно, температуры.

Подобной неоднозначностью при определении теплоемкости характеризуются только газообразные вещества. Объем в процессе нагрева практически не меняет своей величины, что сводит работу расширения к нулю. По этой причине вся полученная телом теплота уходит на изменение его внутренней энергии. Газ в процессе теплопередачи может значительно менять свой объем и совершать работу, чем отличается от твердых тел и жидкостей. Таким образом, теплоемкость газообразного вещества имеет зависимость от характера термодинамического процесса.

Изопроцессы в газах

При условии постоянного объема газ не совершает работы: A=0. Исходя из первого закона термодинамики для 1 моля газа, можно сказать, что справедливым является следующее выражение: 

QV=CV∆T=∆U.

Изменение величины ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению значения ΔT его температуры.

В условиях процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики дает такую формулу: 

Qp=∆U+p(V2-V1)=CV∆T+pV.

В котором ΔV является изменением объема 1 моля идеального газа при изменении его температуры на ΔT. Таким образом, можно заявить, что: 

Cp=Qp∆T=CV+p∆V∆T.

Из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 моля, может выражаться отношение ΔVΔT: 

pV=R.

В котором R представляет собой универсальную газовую постоянную. При условии постоянства давления p=const, можно записать следующее:p∆V=R∆T или ∆V∆T=Rp.

В процессе с неизменным давлением молярная теплоемкость Cp газа всегда превышает молярную теплоемкость CV в процессе с не подверженным изменениям объемом, что демонстрируется на рисунке 3.10.1.

Рисунок 3.10.1. Два возможных процесса нагревания газа на ΔT=T2 –T1. При p=const газ совершает работу A=p1(V2 – V1). Поэтому Cp>CV.

Между двумя изотермами, обладающими температурами T1 и T2 на диаграмме (p, V) реальны различные варианты перехода. Так как для всех подобных переходов изменение величины температуры ΔT=T2 –T1 является одним и тем же, выходит, что изменение значения
ΔU внутренней энергии тоже одинаково. С другой стороны, совершенные при этом работы A и количества теплоты Q, полученные в результате теплообмена, выйдут разными для различных путей перехода. Из этого следует, что газа имеет относительно приближенное к бесконечности число теплоемкостей. Cp и CV представляют собой частные, однако, очень важные для теории газов, значения теплоемкостей.

Рисунок 3.10.2. Модель теплоемкости идеального газа.

Термодинамические процессы, в которых теплоемкость газа не подвергается изменениям, носят название политропических.

Каждый изопроцесс являются политропическим. В изотермическом процессе ΔT=0, из-за чего CT=∞. В адиабатическом процессе ΔQ=0, выходит, что Cад=0.

Стоит обратить внимание на то, что «теплоемкость» и «количество теплоты» являются крайне неудачными терминами, доставшимися современной науке в качестве наследства теории теплорода, которая господствовала в XVIII веке.

Данная теория представляла теплоту в виде содержащегося в телах особого невесомого вещества. Считалось, что оно не подвержено уничтожению и не может быть созданным. Явление нагрева объясняли повышением, а охлаждение – понижением содержания в телах теплорода. Однако теория теплорода оказалась несостоятельной, так как не смогла дать ответа на вопрос, почему одинаковое изменение внутренней энергии тела возможно получить, приводя ему разное количество теплоты в зависимости от совершаемой им работы. По этой причине утверждение, что в данном теле содержится некоторый запас теплорода лишено смысла.

Молекулярно-кинетическая теория

В молекулярно-кинетической теории устанавливается следующее соотношение между средней кинетической энергией E→ поступательного движения молекул и абсолютной температурой T: 

E→=32kT.

Внутренняя энергия 1 моля идеального газа эквивалентна произведению E→ на число АвогадроNА: 

U=32kNAT=32RT.

При условии изменения температуры на величину ΔT внутренняя энергия изменяется на величину:

U=32R∆T=CV∆T.

Коэффициент пропорциональности между ΔU и ΔT эквивалентен теплоемкости CV в условиях постоянного давления: 

CV=32R=12,47 ДЖ/моль·К.

Данное выражение подтверждается экспериментами с газами, которые состоят из одноатомных молекул вроде гелия, неона или аргона. При этом для двухатомных (водород, азот) и многоатомных (углекислый газ) газов такое соотношение не согласуется с полученными в результате опытов данными. Причина этого расхождения заключается в том, что для двух- и многоатомных молекул средняя кинетическая энергия должна включать энергию как поступательного, так и вращательного их движения.

Рисунок 3.10.3. Модель двухатомной молекулы. Точка O совпадает с центром масс молекулы.

Рисунок 3.10.3 иллюстрирует модель двухатомной молекулы. Молекула имеет возможность производить пять независимых типов движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и два вращения относительно осей X и Y.

Опытным путем выяснено, что вращение относительно оси Z, на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких значениях температуры. В условиях обычных температур вращение вокруг оси Z не происходит.

Каждое независимое движение в молекуле носит название степени свободы.

Выходит, что одноатомная молекула обладает 3 поступательными степенями свободы, «жесткая» двухатомная молекула 5 степенями, то есть 3 поступательными и 2 вращательными, а многоатомная молекула 6 степенями свободы, из которых 3 приходятся на поступательные и 3 на вращательные.

Из данной теоремы следует, что для молярных теплоемкостей газа Cp и CV и их отношения
γ справедлива запись в следующем виде: 

CV=i2R, Cp=Cv+R=i+22R, γ=CpCV=i+2i,

где i представляет собой количество степеней свободы газа.

Для газа, состоящего из одноатомных молекул (i=3)

CV=32R, Cp=Cv+R=52R, γ=CpCV=53=1,66.

Для газа, состоящего из двухатомных молекул (i=5)

CV=52R, Cp=Cv+R=72R, γ=CpCV=75=1,4.

Для газа, состоящего из многоатомных молекул (i=6)

CV=3R, Cp=Cv+R=4R, γ=CpCV=43=1,33.

В обычных условиях экспериментально измеренные теплоемкости многих газов неплохо согласуются с приведенными выражениями, но в целом классическая теория теплоемкости газов вполне удовлетворительной не является. Существует колоссальное число примеров со значительной разницей между результатами эксперимента и теорией. Данный факт объясняется тем, что классическая теория не может полностью учесть, связанную с внутренними движениями в молекуле энергию.

Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы может быть применена и по отношению к тепловому движению частиц в твердом теле. Входящие в состав кристаллической решетки атомы колеблются около положений равновесия. Энергия данных колебаний представляет собой внутреннюю энергию твердого тела. Каждый конкретный атом может колебаться в кристаллической решетке в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Выходит, что каждый атом имеет 3 колебательные степени свободы. При условии гармонических колебаний средняя кинетическая энергия эквивалентна средней потенциальной энергии. По этой причине в соответствии с теоремой о равномерном распределении на каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия kT, а на один атом – 3kT. 

Опыт показывает, что молярная теплоемкость у многих твердых тел (химических элементов) при обычных температурах на самом деле близка к 3R. При этом, в условиях низких температур заметны довольно сильные расхождения между теорией и экспериментом. Таким образом, гипотеза о равномерном распределении энергии по степеням свободы может считаться лишь приближением. Заметная в опыте зависимость теплоемкости от температуры объясняется только при условии использования квантовых представлений.

Перевод термодинамической системы (например, порции идеального газа) из состояния `1` в состояние `2` можно осуществить разными способами. На рис. 12 показаны графики двух возможных процессов (`1-“а”-2` и `1-“в”-2`), позволяющих осуществить такой перевод. Изменение внутренней энергии системы в том и в другом случае одинаково (оно определяется положениями точек `1` и `2` на -диаграмме), а работа, совершённая системой над окружающими телами, различна (площадь фигур под графиками процессов `1-“а”-2` и `1-“в”-2` разная, площадь под графиком процесса `1-“в”-2` больше).

Следовательно, и количество теплоты, затраченное на перевод системы из состояния `1` в `2` ( $$ Q=Delta U+{A}^{text{‘}}$$ ), будет разным.

Численное значение теплоёмкости тела показывает, какое количество теплоты потребуется для изменения температуры всего тела на `1` градус по шкале Цельсия (Кельвина).

При расчётах чаще пользуются удельной теплоёмкостью (теплоёмкостью `1` кг вещества).

Получим соотношение между удельной и молярной теплоёмкостями:

Теперь найдём молярную теплоёмкость идеального газа при изобарном и при изохорном процессах.

При изобарном процессе присутствуют и $$ Delta U$$, и $$ {A}^{text{‘}}$$, следовательно:

$$ {c}_{p}={displaystyle frac{Q}{nu · Delta T}}={displaystyle frac{Delta U+Atext{‘}}{nu · Delta T}}={displaystyle frac{Delta U}{nu  Delta T}}+{displaystyle frac{Atext{‘}}{nu  Delta T}}={displaystyle frac{frac{i}{2}nu R Delta T}{nu  Delta T}}+{displaystyle frac{nu R Delta T}{nu  Delta T}}={displaystyle frac{iR}{2}}+R=R{displaystyle frac{i+2}{2}}$$,

При изохорном процессе работа не совершается, $$ {A}^{text{‘}}=0$$, следовательно:

$$ {c}_{V}={displaystyle frac{Q}{nu  Delta T}}={displaystyle frac{Delta U+{A}^{text{‘}}}{nu  Delta T}}={displaystyle frac{Delta U}{nu  Delta T}}={displaystyle frac{frac{i}{2}nu R Delta T}{nu  Delta T}}={displaystyle frac{iR}{2}}$$

Соотношение между $$ {c}_{V}$$ и $$ {c}_{р}$$ можно записать в двух формах:

Т. к. мы уже знаем, чему равно число степеней свободы у разных молекул, то можем вычислить и значения $$ {с}_{р}$$ и $$ gamma $$:

	формула	Одноатомные `(i = 3)`	Двухатомные  `(i = 5)`
`c_p`	`R((i+2)/2)`	`5/2 R`	`20,775  “Дж”/(“моль”*”К”)`	`7/2 R`	`29,085  “Дж”/(“моль”*”К”)`
`gamma`	`(i+2)/i`	`5/3`	`1,66667`	`7/5`	`1,4`

Воздух представляет собой смесь газов, преимущественно двухатомных азота и кислорода, потому для него эксперименты дают значение $$ gamma  approx  mathrm{1,4}$$.

Для твёрдых тел теплоёмкости $$ {с}_{р}$$ и $$ {c}_{V}$$ будут почти одинаковыми. Это можно показать следующим образом. По определению $$ C={displaystyle frac{Delta Q}{ Delta T}}$$, но $$  Delta Q= Delta U+pDelta V$$, тогда

$$ {C}_{p}={displaystyle frac{Delta U+pDelta V}{ Delta T}}={displaystyle frac{Delta U}{ Delta T}}+{displaystyle frac{pDelta V}{ Delta T}}={C}_{V}+{displaystyle frac{pDelta V}{ Delta T}}$$.

При нагревании твёрдых или жидких тел изменение объёма составляет около $$ {10}^{-6}$$ первоначального объёма, поэтому вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым, что и позволяет говорить о равенстве $$ {c}_{p}={c}_{V}$$. 

Для газов $$ frac{ Delta V}{V}$$ на два порядка больше, чем для твёрдых или жидких тел, потому пренебрегать вторым слагаемым нельзя, более того, оно будет составлять заметную долю теплоёмкости $$ {c}_{p}$$.

Работа (A)	Работа — физическая величина, характеризующая способ передачи энергии термодинамической системе (газу), при котором изменяются внешние параметры (например, объём (V)).  Работа газа (A) над внешними телами при малом изменении объёма (V) и/или при изобарном процессе вычисляется по формуле: (boxed{A = pDelta V > 0}).  ((1)) Работа внешних сил над газом (A’) вычисляется по формуле: (boxed{A’ = -A = -pDelta V < 0}).  ((2)) В общем случае работа газа (или работа внешних сил) вычисляется как площадь заштрихованной фигуры в координатах ((p), (V)): для изобарного процесса — площадь прямоугольника (рис. (1)), для любого другого процесса — площадь криволинейной фигуры (рис. (2)). Рис. (1). График изобарного процесса Рис. (2). График изотермического процесса
Количество теплоты (Q)	Количество теплоты — физическая величина, характеризующая способ передачи энергии термодинамической системе (газу), при котором не изменяются внешние параметры (например, объём (V)).  Количество теплоты (Q > 0), если энергия сообщается термодинамической системе (газу) без изменения внешних параметров (например, объёма (V)). Если термодинамическая система не обменивается с внешними телами энергией в форме теплоты, то она называется адиабатной: (Q = 0). Работа (A) [Дж] и количество теплоты (Q) [Дж] — физические величины, которые характеризуют процесс изменения энергии термодинамической системы
Теплоёмкость	Теплоёмкость — физическая величина, определяющая количество теплоты (Q), которое изменяет температуру термодинамической системы на (1) К: (boxed{C = frac{Q}{Delta T}}), (C = [frac{Дж}{К}]).  ((3)) Удельная теплоёмкость: (boxed{c = frac{Q}{mDelta T}}), (c = [frac{Дж}{кг · К}]).  ((4)) Молярная теплоёмкость: (boxed{C_M = frac{Q}{nu Delta T}}), (C_M = [frac{Дж}{моль · К}]).  ((5)) Уравнение Майера: (boxed{C_p — C_V = R}) ((nu = 1)),  ((6)) где (R) — универсальная газовая постоянная; (boxed{C_p = frac{Q_p}{nu Delta T}}) — молярная теплоёмкость при изобарном процессе, (boxed{C_V = frac{Q_V}{nu Delta T}}) — молярная теплоёмкость при изохорном процессе