Как найти теплоту полученную газом

 Связь между
молярной (C_m)
и удельной (с) теплоемкостями газа

C_m=cM,
где М
— молярная
масса газа.

 Молярные
теплоемкости*
при
постоянном объеме и постоянном давлении
соответственно равны

C_v=iR/2;
C_p=(i+2)R/2

где i
— число
степеней свободы; R
— молярная
газовая постоян­ная.

 Удельные
теплоемкости при постоянной объеме и
постоянном давлении соответственно
равны

,

.

 Уравнение Майера

Cр—С_v=R.

 Показатель
адиабаты

,
или
,
или.

 Внутренняя
энергия идеального газа

U=N<>
или U=vC_vT,

где <>—средняя
кинетическая энергия молекулы;
N—число
молекул газа;
v
— количество
вещества.

 Работа, связанная
с изменением объема газа, в общем случае
вычисляется по формуле

,

где V₁
— начальный
объем газа; V₂
— его
конечный объем.

Работа газа:

а) при изобарном
процессе (p=const)

A=p(V₂
–
V₁);

б) при изотермическом
процессе (T=const)

;

*
Здесь и далее
в целях упрощения записи в индексах
обозначений молярной теплоемкости при
постоянном давлении и постоянном объеме
букву «m»
будем опускать.

в) при адиабатном
процессе

,
или
,

где T₁
— начальная
температура газа; T₂
— его
конечная темпера­тура.

 Уравнение Пуассона
(уравнение газового состояния при
адиа­батном процессе)

.

 Связь между
начальным и конечным значениями
параметров состояний газа при адиабатном
процессе:

.

 Первое начало
термодинамики в общем случае записывается
в виде

Q=U+A,

где Q
– количество теплоты, сообщённое газу;
U—изменение
его внутренней энергии; А
—
работа, совершаемая газом против внешних
сил.

Первое начало
термодинамики:

а) при изобарном
процессе

б) при изохорном
процессе (A=0)

;

в) при изотермическом
процессе (U=0)

,

г) при адиабатном
процессе (Q=0)

.

 Термический
коэффициент полезного действия (КПД)
цикла
в
общем случае

,

где Q₁—количество
теплоты, полученное рабочим телом
(газом) от нагревателя; Q₂—количество
теплоты, переданное рабочим телом
охладителю.

КПД цикла Карно

,
или

,

где T₁
— температура
нагревателя; T₂
— температура
охладителя.

 Изменение энтропии

где A
и B
— пределы
интегрирования, соответствующие
начально­му и конечному состояниям
системы. Так как процесс равновесный,
то
интегрирование проводится по любому
пути.

 Формула Больцмана

S=klnW,

где
S — энтропия
системы;
W
—
термодинамическая вероятность ее
состояния; k
—
постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Пример
1. Вычислить
удельные теплоемкости неона и водорода
при постоянных объеме (с_v)
и давлении (c_p),
принимая эти газы за идеальные.

Решение.
Удельные теплоемкости идеальных газов
выра­жаются формулами

; (1)

. (2)

Для неона (одноатомный
газ) i₁=3,
M₁=2010^-з
кг/моль.

Подставив в формулы
(1) и
(2) значения
i₁,
M₁
и R
и произведя вычисления, найдем:

с_v1=
624
Дж/(кгК);
с_p1=1,04
кДж/(кгК).

Для водорода
(двухатомный газ) i₂=5,
M₂=210^-3
кг/моль.

Вычисление по
формулам
(1) и
(2) дает
следующие значения удельных теплоемкостей
водорода:

с_v2=10,4
кДж/(кгK);
с_p2=14,6
кДж/(кгK).

Пример
2. Вычислить
удельные теплоемкости с_v
и с_p
смеси неона и водорода. Массовые доли
газов соответственно равны ₁=0,8
и ₂=0,2.
Значения удельных теплоемкостей газов
взять из примера
1.

Решение.
Удельную теплоемкость смеси при
постоянном объеме с_v
найдем из следующих рассуждений. Теплоту,
необходи­мую для нагревания смеси на
T,
выразим двумя соотношениями:

Q=с_v(m₁+m₂)T
(1)

где с_v
— удельная
теплоемкость смеси; m₁
— масса
неона; m₂
— масса
водорода, и

Q=(с_v1m₁+
с_v2m₂)T (2)

где с_v1
и с_v2
— удельные
теплоемкости неона и водорода
соответст­венно.

Приравняв правые
части выражений
(1) и
(2) и разделив
обе части полученного равенства на
T,
найдем

с_v(m₁+m₂)=
с_v1m₁+
с_v2m₂,

откуда

Отношения
₁=m₁/(m₁+m₂)
и ₁=m₂/(m₁+m₂)
выражают мас­совые доли соответственно
неона и водорода. С учетом этих обозна­чений
последняя формула, примет вид

с_v=с_v1₁+
с_v2₂.

Подставив в эту
формулу числовые значения величин,
найдем

с_v=2,58
кДж/(кгК).

Рассуждая
таким
же
образок, получим формулу для вычисления
удельной теплоёмкости смеси при
постоянном давлении:

c_p=с_p1₁+
с_p2₂

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

c_p=3,73
кДж/(кгК).

Пример
3. Определить
количество теплоты, поглощаемой
водоро­дом массой m=0,2
кг при нагревании его от температуры
t₁=0°С
до температуры t₂=100
°С при постоянном давлении. Найти также
изменение внутренней энергии газа и
совершаемую им работу.

Решение.
Количество теплоты Q,
поглощаемое газом при изобарном
нагревании, определяется по формуле

Q=mc_pT,
(1)

где m
— масса
нагреваемого газа; c_p
— его
удельная теплоемкость при постоянном
давлении; T
— изменение температуры газа.

Как известно,
.
Подставив это выражение c_p
в формулу
(1), получим

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

Q=291
кДж.

Внутренняя энергия
выражается формулой
,
сле­довательно, изменение внутренней
энергии

.

После подстановки
в эту формулу числовых значений величин
и вычислений получим U=208
кДж.

Работу расширения газа
определим по формуле, выражающей первое
начало термодинамики: Q=U+A,
откуда

A=Q – U.

Подставив значения
Q и U,
найдем

А
=83 кДж.

Пример
4. Кислород
занимает объем V₁=1
м³
и находится под давлением р₁=200
кПа. Газ нагрели сначала при по­стоянном
давлении до объема V₂=3
м²,
a
затем при постоянном объеме до давления
Рис
11.1 р₂=500
кПа. Построить график процесса и найти:
1) изменение
U
внутренней энер­гии газа; 2)
совершенную им работу A;
3) количество
теплоты
Q,
переданное
газу.

Решение.
Построим график процесса (рис.
11.1). На
графике точками
1, 2, 3
обозначены состояния газа, характеризуемые
пара­метрами (р₁,
V₁,
T₁),
(р₁,
V₂,
T₂),
(р₂,
V₂,
T₃).

1.
Изменение внутренней энергии газа при
переходе его из со­стояния
1 в состояние
3 выражается
формулой

U=c_vmT,

где c_v
— удельная
теплоемкость газа при постоянном объеме;
m
— масса
газа; T
— разность
температур, соответствующих конечному
3 и
начальному 1 состояниям, т. е. T=T₃—
T₁.
Так как

;

где М
— молярная
масса газа, то

.
(1)

Температуры T₁
и T₃
выразим из уравнения Менделеева
— Кла­пейрона
():

С учетом этого
равенство
(1) перепишем
в виде

U=(i/2)(p₂V₂–p₁V₁).

Подставим сюда
значения величин (учтем, что для кислорода,
как двухатомного газа, i=5)
и произведем вычисления:

U=3,25
МДж.

2.
Полная работа, совершаемая газом, равна
A=A₁+A₂,
где A₁
— работа
на участке
1—2; A₂
— работа
на участке
2—3,

На участке
1—2 давление
постоянно (p=const).
Работа в этом случае выражается формулой
A₁=p₁V=p₁(V₂—V₁).
На участке _2—3
объем газа не изменяется и, следовательно,
работа газа на этом участке равна нулю
(A₂=0).
Таким образом,

A=A₁=p₁(V₂—V₁).

Подставив в эту
формулу значения физических величин,
произ­ведем вычисления:

A=0,4
МДж

3.
Согласно первому началу термодинамики,
количество теплоты Q,
переданное газу, равно сумме ра­боты
A,
совершенной газом, и изме­нению U
внутренней энергии:

Q=A+U,
или
Q=3,65 МДж.

Пример
5. Идеальный
двухатом­ный газ, содержащий количество
ве­щества v=l
моль, находится под дав­лением p₁=250кПа
и занимает объем V₁==10
л. Сначала газ изохорно на­гревают до
температуры T₂=400
К. Далее, изотермически расширяя, до­водят
его до первоначального давле­ния.
После этого путем изобарного сжатия
возвращают газ в начальное состояние.
Определить термический КПД 
цикла.

Решение.
Для наглядности построим сначала график
цикла, который состоит из изохоры,
изотермы и изобары. В координатах р,
Vэтот
цикл имеет вид. представленный на рис.
11.2. Характерные
точки цикла обозначим
1, 2, 3.

Термический КПД
любого цикла определяется выражением

=(Q₁
– Q₂)/Q₁,
или =l
– Q₂/Q₁,
(1) где
Q₁
—
количество теплоты, полученное газом
за цикл от нагре­вателя; Q₂
— количество теплоты, отданное газом
за цикл охлади­телю.

Заметим, что разность
количеств теплоты Q₁
– Q₂
равна работе A,
совершаемой газом за цикл.
Эта
работа на графике в координа­тах р,
V (рис.
11.2)
изображается площадью цикла (площадь
цикла заштрихована).

Рабочее вещество
(газ) получает количество теплоты
Q₁
на двух участках: Q_1-2
на участке
1—2 (изохорный
процесс) и Q_2-3
на участке
2—3
(изотермический процесс). Таким образом,

Q₁=Q_1-2+Q_2-3.

Количество теплоты,
полученное газом при изохорном процессе,
равно

Q_1-2=C_vv(T₂
–
T₁),

где C_v
— молярная
теплоемкость газа при постоянном объеме;
v
— количестве вещества. Температуру T₁
начального состояния газа найдем,
воспользовавшись уравнением Клапейрона
— Менде­леева:

T₁=p₁V₁/(vR).

Подставив числовые
значения и произведя вычисления, получим

Количество теплоты,
полученное газом при изотермическом
про­цессе, равно

Q_2-3=vRT₂ln(V₂/V₁),

где V₂
—
объем, занимаемый газом при температуре
T₂
и давлении p₁
(точка
3 на графике).

На участке
3—1 газ
отдает количество теплоты Q₂,
равное

Q₂=Q_3-1=C_pv(T₂
–T₁),
где C_p
— молярная
теплоемкость газа при изобарном процессе.

Подставим найденные
значения
Q₁
и Q₂
в формулу
(1):

В полученном
выражении заменим отношение объемов
V₂/V₁,
со­гласно закону Гей-Люссака, отношением
температур (V₂/V₁=T₂/T₁)
и выразим C_v
и C_p
через число степеней свободы молекулы
[C_v=iR/2,
C_p=(i+2)R/2].
Тогда после сокращения на
v
и R/2
получим

.

Подставив значения
i,
T₁,
T₂
и R
и произведя вычисления, най­дем

Пример 6.
В цилиндре под поршнем находится водород
массой m=0,02
кг при температуре T₁=300K.
Водород начал расширяться адиабатно,
увеличив свой объем в пять раз, а затем
был сжат изо­термически, причем объем
газа уменьшился в пять раз. Найти
тем­пературу Т₂,
в конце адиабатного расширения и работу
А,
совершен­ную газом. Изобразить процесс
графически.

Решение.
Температуры и объемы газа, совершающего
адиа­батный процесс, связаны между
собой соотношением

,

где —
показатель адиабаты (для водорода как
двухатомного газа =1,4).

Отсюда получаем
выражение для конечной температуры T₂:

.

Подставляя числовые
значения заданных величин, находим

.

Прологарифмируем
обе части полученного выражения:

lgT₂=lg300+0,4(lgl
– lg5)=2,477+0,4( -0,699)=2,477—0,280=2,197.

Зная lgT₂,
по таблицам антилогарифмов находим
искомое зна­чение T₂:

T₂=157
К.

Работа A₁
газа при адиабатном расширении
определяется по формуле

.

Подставив сюда
числовые значения величин, после
вычисления получим

Работа A₂
газа при изотермическом сжатии выражается
форму­лой

A₂=RT₂(m/M)ln(V₂/V₁).

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

A₂=
-21 кДж.

Знак минус показывает,
что при сжатии газа работа совершена
внешними силами.

Общая работа,
совершенная газом при рассмотренных
процессах, А=A₁+A₂=29,8кДж
+ (-21 кДж)=8,8 кДж.

График процесса
приведен на рис.
11.3.

Пример
7. Нагреватель
тепловой машины, работающей по обра­тимому
циклу Карно, имеет температуру
t₁==200°С.
Определить температуру Т₂,
охладителя, если при получении от
нагревателя количества теплоты Q₁=
1 Дж машина
совершает работу A=0,4
Дж? Потери на трение и теплоотдачу не
учитывать.

Решение.Температуру охладителя найдем, использовав
выражение для термического КПД ма­шины,
работающей по циклу Карно,=(T₁—
T₂)/T₁.
Отсюда

T₂=
T₁(1-).

(1)

Термический КПД
тепловой машины выражает отношение
количества тепло­ты, которое превращено
в механичес­кою работу A,
к количеству теплоты Q₁,
которое получено рабочим телом тепло­вой
машины из внешней среды (от нагре­вателя),
т. е. =A/Q₁.
Подставив это выражение в формулу
(1), найдем

T₂=
T₁(1-A/Q).
(2)

Учтя, что T₁=473
К, после вычисления по формуле
(2) получим
T₂=284
К.

Пример
8. Найти
изменение S
энтропии при нагревании воды массой
m=100
г от температуры t₁=0°C
до температуры
t₂=100
°С и последующем превращении воды в пар
той же температуры.

Решение.
Найдем отдельно изменение энтропии S’
при нагревании воды и изменение энтропии
S”
при превращении ее в пар. Полное изменение
энтропии выразится суммой S’
и S”.

Как известно,
изменение энтропии выражается общей
формулой

(1)

При бесконечно
малом изменении dT
температуры нагреваемого тела
затрачивается количество теплоты
dQ=mcdT,
где m
— масса
тела; с
— его
удельная теплоемкость. Подставив
выражение dQ
в равенство
(1), найдем
формулу для вычисления изменения
энтро­пии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак
интеграла постоянные величины и
произведем интегрирование, тогда получим

S’=mcln(T₂/T₁).

После вычислений
найдем S’=132
Дж/К.

При вычислении по
формуле
(1) изменения
энтропии во время превращения воды в
пар той же температуры постоянная
температуpa
T
‘выносится
за знак интеграла. Вычислив интеграл,
найдем

(2)

где Q
—
количество теплоты, переданное при
превращении нагре­той воды в пар той
же температуры.

Подставив в равенство
(2) выражение
количества теплоты Q=m,
где 
— удельная
теплота парообразования, получим

(3)

Произведя вычисления
по формуле
(3), найдем

S”=605
Дж/К.

Полное изменение
энтропии при нагревании воды и последую­щем
превращении ее в пар S=S’+S”=737
Дж/К.

Пример
9. Определить
изменение S
энтропии при изотермиче­ском расширении
кислорода массой m=10
г от объема V₁=25
л до объема V₂=100
л.

Решение.
Так как процесс изотермический, то в
общем выражении энтропии

температуру выносят за знак интеграла.
Выполнив это, получим

(1)

Количество теплоты
Q, полученное
газом, найдем по первому началу
термодинамики: Q=U+A.
Для изотермического процесса U=0,
следовательно,

Q=A,
(2) а
работа А для этого процесса определяется
по формуле

A=(m/M)RT
ln(V₂/V₁).

(3)

С учетом
(2) и
(3) равенство
(1) примет
вид

S=(m/M)R
ln(V₂/V₁).
(4)

Подставив в
(4) числовые
значения и произведя вычисления, по­лучим

S=(1010^-3/(3210^-3))
8,31
ln(10010^-3/(2510^-3))
Дж/К=3,60
Дж/К.

Первое начало термодинамики (первый закон термодинамики) представляет собой закон сохранения энергии в тепловых процессах.

Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия идеального газа изменяется двумя способами: за счет теплопередачи или при совершении работы.

±ΔU=±Q±A‘

Пояснение:

• +∆U — внутренняя энергия газа увеличивается.
• –∆U — внутренняя энергия газа уменьшается.
• +Q — газ нагревают (газу передают количество теплоты).
• –Q — газ охлаждается (газ отдает тепло окружающей среде).
• +A’ — газ сжимает внешняя сила.
• –A’ — газ расширяется, совершая работу.

Внимание! Знак перед работой показывает, как процесс совершения работы влияет на изменение внутренней энергии газа.

Пример №1. В некотором процессе внутренняя энергия газа уменьшилась на 300 Дж, а газ совершил работу 500 Дж. Какое количество теплоты было сообщено газу?

Чтобы рассчитать количество теплоты, сообщенное газу, нужно найти разность между изменением внутренней энергии и работой, совершенным газом. Для этого нужно правильно определить их знаки. Так как внутренняя энергия уменьшилась, она отрицательна. Но работа положительна. Поэтому газу было сообщено следующее количество теплоты:

Q = A – U = 500 – 300 = 200 (Дж)

Зависимость физических величин

Выясним, от чего зависят величины, входящие в формулу первого начала термодинамики. Изменение внутренней энергии идеального газа зависит от изменения температуры:

ΔU=32νRΔT

Работа идеального газа зависит от изменения его объема:

A‘=pΔV

Первое начало термодинамики для изопроцессов

Изотермический процесс (T = const)	ΔU=0, Q=A‘
Изохорный процесс (V = const)	A‘=0, ΔU=Q
Изобарное расширение газа (p = const)	ΔU=Q−pΔV ΔU=Q−νRΔT
Адиабатный (система не получает тепло извне и не отдает его окружающей среде, или Q = 0)	Q=0, ΔU=A‘

Пример №2. Идеальный одноатомный газ находится в сосуде с жесткими стенками объемом 0,6 куб. м. При нагревании его внутренняя энергия увеличилась на 18 кДж. На сколько возросло давление газа?

18 кДж = 18000 Дж

Внутреннюю энергию газа можно определить по формуле:

ΔU=32νRΔT

Отсюда изменение температуры равно:

ΔT=2ΔU3νR

Уравнение состояния идеального газа для 1 и 2 состояния:

p1V=νRT1

p2V=νRT2

Отсюда давления равны:

p1=νRT1V

p2=νRT2V

Разность давлений:

p2−p1=νRT2V−νRT1V=νRVΔT=νRV·2ΔU3νR=2ΔU3V

p2−p1=2·180003·0,6=20000 (Па)=20 (кПа)

Графические задачи на первое начало термодинамики

Рассмотрим графический способ решения задачи на первое начало термодинамики на конкретном примере.

Задача: Один моль идеального одноатомного газа сначала изотермически расширился (T₁ = 300 К). Затем газ охладили, понизив давление в 3 раза (см. рисунок). Какое количество теплоты отдал газ на участке 2–3?

Порядок решения:

1. Определить температуры для всех указанных точек, учитывая графики процессов, масштаб и условие задачи.

T₁ = T₂ = 300 К; T₃ = 100 К

2. Определить, к какому изопроцессу относится тот участок графика, о котором спрашивают в задаче.

Участок 2–3 на графике — это изохорный процесс, так как давление остается постоянным.

3. Записать для него первое начало термодинамики.

В данном процессе:

ΔU=Q

4. Учитывая характер изменения величин, правильно расставить знаки: −ΔU=−Q.

5. Подставляя в первое начало термодинамики формулы для расчета изменения внутренней энергии и работы газа, решить задачу.

Формула изменения внутренней энергии газа:

ΔU=32νRΔT

Формула работы газа:

A‘=pΔV

Так как процесс изохорный, работа газа равна нулю. Поэтому количество теплоты, отданное газом на участке 2–3, равно изменению внутренней энергии газа:

Изменение внутренней энергии равно:

Q23=32νRΔT23=32·1·8,31·200=2493 (Дж)

Алиса Никитина | Просмотров: 3.9k

В случае, если результатом теплообмена становится передача телу некоего количества теплоты Q, то его температура и внутренняя энергия претерпевают изменения.

В большом количестве ситуаций удобной для использования является молярная теплоемкость C: 

C=M·c, где M представляет собой молярную массу вещества.

Теплоемкость, полученная таким способом, не является однозначной характеристикой вещества. Исходя из первого закона термодинамики, можно сказать, что изменение внутренней энергии тела зависимо не только от количества полученной теплоты, но и от величины совершенной телом работы. В разных условиях осуществления процесса теплопередачи тело может совершать различную работу. Таким образом, переданное телу одинаковое количество теплоты способно провоцировать изменения его внутренней энергии и, соответственно, температуры.

Подобной неоднозначностью при определении теплоемкости характеризуются только газообразные вещества. Объем в процессе нагрева практически не меняет своей величины, что сводит работу расширения к нулю. По этой причине вся полученная телом теплота уходит на изменение его внутренней энергии. Газ в процессе теплопередачи может значительно менять свой объем и совершать работу, чем отличается от твердых тел и жидкостей. Таким образом, теплоемкость газообразного вещества имеет зависимость от характера термодинамического процесса.

Изопроцессы в газах

При условии постоянного объема газ не совершает работы: A=0. Исходя из первого закона термодинамики для 1 моля газа, можно сказать, что справедливым является следующее выражение: 

QV=CV∆T=∆U.

Изменение величины ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению значения ΔT его температуры.

В условиях процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики дает такую формулу: 

Qp=∆U+p(V2-V1)=CV∆T+pV.

В котором ΔV является изменением объема 1 моля идеального газа при изменении его температуры на ΔT. Таким образом, можно заявить, что: 

Cp=Qp∆T=CV+p∆V∆T.

Из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 моля, может выражаться отношение ΔVΔT: 

pV=R.

В котором R представляет собой универсальную газовую постоянную. При условии постоянства давления p=const, можно записать следующее:p∆V=R∆T или ∆V∆T=Rp.

В процессе с неизменным давлением молярная теплоемкость Cp газа всегда превышает молярную теплоемкость CV в процессе с не подверженным изменениям объемом, что демонстрируется на рисунке 3.10.1.

Рисунок 3.10.1. Два возможных процесса нагревания газа на ΔT=T2 –T1. При p=const газ совершает работу A=p1(V2 – V1). Поэтому Cp>CV.

Между двумя изотермами, обладающими температурами T1 и T2 на диаграмме (p, V) реальны различные варианты перехода. Так как для всех подобных переходов изменение величины температуры ΔT=T2 –T1 является одним и тем же, выходит, что изменение значения
ΔU внутренней энергии тоже одинаково. С другой стороны, совершенные при этом работы A и количества теплоты Q, полученные в результате теплообмена, выйдут разными для различных путей перехода. Из этого следует, что газа имеет относительно приближенное к бесконечности число теплоемкостей. Cp и CV представляют собой частные, однако, очень важные для теории газов, значения теплоемкостей.

Рисунок 3.10.2. Модель теплоемкости идеального газа.

Термодинамические процессы, в которых теплоемкость газа не подвергается изменениям, носят название политропических.

Каждый изопроцесс являются политропическим. В изотермическом процессе ΔT=0, из-за чего CT=∞. В адиабатическом процессе ΔQ=0, выходит, что Cад=0.

Стоит обратить внимание на то, что «теплоемкость» и «количество теплоты» являются крайне неудачными терминами, доставшимися современной науке в качестве наследства теории теплорода, которая господствовала в XVIII веке.

Данная теория представляла теплоту в виде содержащегося в телах особого невесомого вещества. Считалось, что оно не подвержено уничтожению и не может быть созданным. Явление нагрева объясняли повышением, а охлаждение – понижением содержания в телах теплорода. Однако теория теплорода оказалась несостоятельной, так как не смогла дать ответа на вопрос, почему одинаковое изменение внутренней энергии тела возможно получить, приводя ему разное количество теплоты в зависимости от совершаемой им работы. По этой причине утверждение, что в данном теле содержится некоторый запас теплорода лишено смысла.

Молекулярно-кинетическая теория

В молекулярно-кинетической теории устанавливается следующее соотношение между средней кинетической энергией E→ поступательного движения молекул и абсолютной температурой T: 

E→=32kT.

Внутренняя энергия 1 моля идеального газа эквивалентна произведению E→ на число АвогадроNА: 

U=32kNAT=32RT.

При условии изменения температуры на величину ΔT внутренняя энергия изменяется на величину:

U=32R∆T=CV∆T.

Коэффициент пропорциональности между ΔU и ΔT эквивалентен теплоемкости CV в условиях постоянного давления: 

CV=32R=12,47 ДЖ/моль·К.

Данное выражение подтверждается экспериментами с газами, которые состоят из одноатомных молекул вроде гелия, неона или аргона. При этом для двухатомных (водород, азот) и многоатомных (углекислый газ) газов такое соотношение не согласуется с полученными в результате опытов данными. Причина этого расхождения заключается в том, что для двух- и многоатомных молекул средняя кинетическая энергия должна включать энергию как поступательного, так и вращательного их движения.

Рисунок 3.10.3. Модель двухатомной молекулы. Точка O совпадает с центром масс молекулы.

Рисунок 3.10.3 иллюстрирует модель двухатомной молекулы. Молекула имеет возможность производить пять независимых типов движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и два вращения относительно осей X и Y.

Опытным путем выяснено, что вращение относительно оси Z, на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких значениях температуры. В условиях обычных температур вращение вокруг оси Z не происходит.

Каждое независимое движение в молекуле носит название степени свободы.

Выходит, что одноатомная молекула обладает 3 поступательными степенями свободы, «жесткая» двухатомная молекула 5 степенями, то есть 3 поступательными и 2 вращательными, а многоатомная молекула 6 степенями свободы, из которых 3 приходятся на поступательные и 3 на вращательные.

Из данной теоремы следует, что для молярных теплоемкостей газа Cp и CV и их отношения
γ справедлива запись в следующем виде: 

CV=i2R, Cp=Cv+R=i+22R, γ=CpCV=i+2i,

где i представляет собой количество степеней свободы газа.

Для газа, состоящего из одноатомных молекул (i=3)

CV=32R, Cp=Cv+R=52R, γ=CpCV=53=1,66.

Для газа, состоящего из двухатомных молекул (i=5)

CV=52R, Cp=Cv+R=72R, γ=CpCV=75=1,4.

Для газа, состоящего из многоатомных молекул (i=6)

CV=3R, Cp=Cv+R=4R, γ=CpCV=43=1,33.

В обычных условиях экспериментально измеренные теплоемкости многих газов неплохо согласуются с приведенными выражениями, но в целом классическая теория теплоемкости газов вполне удовлетворительной не является. Существует колоссальное число примеров со значительной разницей между результатами эксперимента и теорией. Данный факт объясняется тем, что классическая теория не может полностью учесть, связанную с внутренними движениями в молекуле энергию.

Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы может быть применена и по отношению к тепловому движению частиц в твердом теле. Входящие в состав кристаллической решетки атомы колеблются около положений равновесия. Энергия данных колебаний представляет собой внутреннюю энергию твердого тела. Каждый конкретный атом может колебаться в кристаллической решетке в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Выходит, что каждый атом имеет 3 колебательные степени свободы. При условии гармонических колебаний средняя кинетическая энергия эквивалентна средней потенциальной энергии. По этой причине в соответствии с теоремой о равномерном распределении на каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия kT, а на один атом – 3kT. 

Опыт показывает, что молярная теплоемкость у многих твердых тел (химических элементов) при обычных температурах на самом деле близка к 3R. При этом, в условиях низких температур заметны довольно сильные расхождения между теорией и экспериментом. Таким образом, гипотеза о равномерном распределении энергии по степеням свободы может считаться лишь приближением. Заметная в опыте зависимость теплоемкости от температуры объясняется только при условии использования квантовых представлений.

Физическая дисциплина «Термодинамика», имеющая дословный перевод с греческого как θέρμη — «тепло», δύναμις — «сила», занимается изучением общих характеристик макросистем и обращения энергии внутри них. Эту науку относят к феноменологическому типу, хотя опирается она на факты, полученные опытным путем.

Термодинамическая система, рассматриваемая в данном ракурсе, имеет конкретные характеристики, не применимые к единичным атомам и молекулам. К ним относят температуру, энергию, объем, концентрацию растворов, давление.

Определение таких параметров происходит по формулам термодинамики.

Основные формулы термодинамики

Особенностью термодинамики является то, что ее постулаты не касаются взаимодействия отдельных единиц (атомов, молекул), как в молекулярной физике. Предметом изучения предстают общие взаимопревращения энергии, образование теплоты, теплопередача и совершение работы.

Исходя из этого, выделяют основные формулы термодинамики, к которым относятся:

1. Уравнение Менделеева-Клайперона: (PV=(m/M)*RT). Его смысл — в изменениях трех входящих величин, которые направлены на характеристику состояния идеального газа.
2. Количество вещества, обозначаемое буквой (ν). (nu=N/NA=m/mu)

   Величина, выражающая, сколько одинаковых структурных компонентов (единиц) находится в веществе.

3. Закон Дальтона: давление смеси газов на стенку сосуда равно сумме давлений каждого входящего в смесь элемента: (p=p1+p2+…pn.)
4. Главное уравнение МКТ (молекулярно-кинетической теории): (p=2n/3<varepsilon>n=N/V). Выражает математическое соотношение таких параметров, как давление газа и микропараметров: массы молекул, их скорости движения, концентрации.
5. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа. Для обозначения применяется (E_k),  выражается через формулу: (E_k=E_{моля}/NA=3/2ast RT/NA). Ее мерой является абсолютная температура идеального газа, поскольку потенциальная энергия (вследствие взаимодействия молекул друг с другом) равна нулю. Зная, что R/N_A=k, получается формула: (E_k=3/2ast kT).
6. Давление идеального газа прямо пропорционально концентрации и его температуре: (P=nkT.)
7. Скорость молекул определяется по формулам:
   (V=surd(2kT/m_o)=surd(2RT/mu)) — наиболее вероятная;
   (<V>=surd(8kT/pi m_o)=surd(8RT/pimu)) — среднеарифметическая;
   (<Vкв>surd(3kT/m_o)=surd(3RT/mu)) — средняя квадратичная.
8. Сумма кинетических энергий всех молекул определяет внутреннюю энергию всего идеального газа. Математически выражение выглядит так: (U=i/2ast(m/mu)ast RT.)
9. Формула для определения работы, которую совершает идеальный газ при расширении:( A=P(V_2-V_1).)
10. Формула первого закона термодинамики: (Q=Delta U+A.)
11. Для определения удельной теплоемкости вещества применяется математическое выражение: (С=Delta Q/mdT.)
12. Кроме удельной теплоемкости, существует понятие молярной теплоемкости. Для ее определения применяется формула: (C=cmu). Для изохорного процесса правильная формула принимает вид: (C_v=1/2ast R), для изобарного: (C_p=((i+2)/2)ast R).

Первое начало термодинамики

Согласно первому закону термодинамики, (Q) (количество внутренней теплоты), которое получил газ извне, расходуется на совершение работы (А) и изменение внутренней энергии (U). Формула закона: (Q=Delta U+A).

На практике газ может быть нагрет либо охлажден. Однако в данном случае рассматривается изотермический процесс, в котором один из характеризующих параметров остается неизменным.

Если процесс изотермичен, в химии включается закон Бойля-Мариота. В нем говорится, что давление газа соотносится к изначальному объему, при стабильной температуре, обратно пропорционально.

(Q=A)

Когда процесс происходит при неизменном объеме, говорят об изохорности. Здесь вступает в действие закон Шарля. В обозначенных условиях то тепло, которое поступило к газу, расходуется на изменение внутренней энергии. Другими словами, (P) пропорционально (T).

(Q=Delta U)

Протекание процессов в идеальном газе при неизменном давлении носит характер изобарного. Здесь действует закон Гей-Люссака, который выражается уравнением:

(Q=Delta U=pDelta V)

Полная формулировка закона гласит: полученное тепло при изобарном процессе расходуется на совершение работы газом, а также изменяет его внутреннюю энергию.

Часть процессов происходят изолированно от внешней среды. Газ не получает дополнительной энергии. Такая ситуация носит название адиабатной и математически записывается: (Q=0). Работа (А) в таком случае выражается: (A=-Delta U.)

Уравнение идеального газа в термодинамике

Молекулы идеального газа постоянно движутся. От того насколько велика скорость их движения, зависит общее состояние газа, а также величина его воздействия, например, на стенки сосуда. Поэтому одним из основных уравнений термодинамики является Клайперона-Менделеева:

(PV=(m/M)ast RT)

В уравнении (m) — единица массы газа, (M) — его молекулярная масса, (R) — универсальная величина, называемая газовой постоянной. Ее значение = 8,3144598. Измеряется в Дж/(моль*кг).

В основе термодинамики лежат и другие газовые постоянные, например, число Авогадро, постоянная Больцмана. Таким образом, (R=kNA.)

Из уравнения Клайперона-Менделеева можно также вычислить массу. Она будет равна произведению плотности на объем: (m=rho V).

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Решение части задач зависит от знания особенностей взаимосвязи между давлением газа и характеристикой кинетической энергии его молекул. Математическое выражение такой зависимости носит название основного уравнения МКТ:

(p=2/3ast nE)

В данном выражении кинетическая энергия обозначена буквой (Е), а концентрация молекул — (n). Каждую из этих величин физики можно найти исходя из соответствующих формул, после чего уравнение для молекулярно-кинетической теории (МКТ) приобретает вид:

(p=nkT)

Формула теплоемкости и главная формула КПД в термодинамике

Когда теплообмен проявляется передачей телу определенного количества теплоты, его энергия, как и температура, меняются.

То количество теплоты, обозначаемое (Q), которое понадобится для того, чтобы 1 кг определенного вещества нагреется на 1 К, носит определение теплоемкости вещества и обозначается с.

Математическое выражение относительно переданного количества теплоты выглядит формулой:

(Q=cm(t_2-t_1)=cmDelta t)

Измеряется величина в Дж/(кг∙К).

При t2⟩t1, количество теплоты со знаком плюс, следовательно, вещество нагревается. Если наоборот, то Q — со знаком минус, и вещество остывает.

В физике, характеризуя свойства вещества, говорят о его теплоемкости. Это имеет значение, например, при выборе стройматериалов или сырья для изготовления нагревательных приборов. Теплоемкость равна произведению массы на удельную теплоемкость данного тела:

(C=cm)

Учитывая, что в величине теплоемкости уже отражена масса, то сокращенная формула для определения (Q) выглядит так:

 (Q=C(t_2-t_1))

С другой стороны, то количество теплоты, которое отдает источник, можно высчитать по формуле: 

(Q=Pt.)

В выражении буквой (P) обозначается мощность нагревателя, а (t) — время их контакта.

Конструкция, состоящая из нагревателя, тела-реципиента теплоты и охладителя, носит название тепловой машины. В качестве примера рассматривается двигатель внутреннего сгорания. Как и любой механизм, она имеет такую характеристику, как КПД — коэффициент полезного действия. Для его расчета применяется формула:

(eta=(Q_н-Q_x)/Q_н)

Внутренняя энергия одноатомного и двухатомного идеального газа

Характерной особенностью идеального газа является отсутствие у его составляющих частей потенциальной энергии. Вся внутренняя энергия — это сумма кинетических энергий всех молекул. Она является величиной, прямо пропорциональной температуре идеального газа:

(mw2/2=alpha T)

В этом уравнении:

(alpha T=3Rmu/2Nmu)

Исходя из приведенных формул, величина кинетической энергии поступательного движения идеального газа должна определяться исходя из выражения:

(mv2/2=(3Rmu/2Nmu)ast T)

Поступательное движение характеризуется тремя степенями свободы. На каждую из них приходится одна треть общей кинетической энергии.

Двух- и более атомные молекулы газа характеризуются степенями свободы, касающимися вращательного движения.

Если обозначить число молекул в одном киломоле за (Nμ), то внутренняя энергия идеального газа будет измеряться по формуле:

(Umu=1/2(Rmu Ti))

В формуле (i) — число степеней свобод.

Если газ одноатомный, (i=3), двуатомный — 5, трех- и более — 6.

Задачи на термодинамику характеризуют распространенные физические процессы, поэтому часть включаются в программы экзаменов. Если для их решения не хватает времени, можно обратиться за помощью в Феникс.Хелп. На профильном сайте вам помогут справиться с любой, даже запутанной задачей, экономя ваши время и силы.