Как найти терцию от ноты

Как показывает опыт, для многих начинающих пианистов особую сложность представляет построение каких-либо аккордов, основные из которых — трезвучия. А ведь именно на трезвучиях строится  аккомпанемент к любой композиции.  Вот и расскажу я вам как строить минорные и мажорные трезвучия

Но сначала про интервалы

Есть такое понятие – интервал, буквально означающее «расстояние» или «промежуток». Ну да, вспомните на автобусных остановках «Интервал движения 5 минут». Вот в музыке под словом «интервал» тоже подразумевается расстояние от одного звука до другого. Простых интервалов – 8. Я не буду сейчас затрагивать все и углубляться в дебри теории музыки, а расскажу только про те, которые нам нужны для построения наших трезвучий.

Итак, нам нужны терции, интервал, включающий в себя три ступени. А если сказать проще – терция – это нотка через одну. Помните звукоряд?

до ре ми фа соль ля си до ре ми фа соль ля си до…… и т. д.

Так вот, чтобы построить терцию от любой ноты, надо «прыгнуть» через одну. К примеру, берем ноту «до», терция от нее будет «до – ми», или «до – ля», если строим интервал вниз. От любой другой ноты – «ре-фа», «ми – соль», «фа-ля» и т. д. В нотах это выглядит так:

Пока просто, не так ли? Но вот в чем оказия – есть еще черные клавиши, и они тоже участвуют в построении интервалов и аккордов. Называются диезами или бемолями. Ниже две терции от ноты «до»

Обратите внимание – оба интервала называются терциями, потому что оба содержат три ступени (до, ре, ми или ноты через одну – до-ми), а различаются они только знаком. Большая терция – «до-ми», а малая – «до-ми бемоль». Поиграйте их на пианино, послушайте и попытайтесь найти отличия в звучании. А чтобы отличить визуально, посчитайте внутри клавиши – и черные и белые. Внутри большой терции вмещаются три клавиши. Не верите? На рисунок посмотрите внимательно. А внутри малой терции – две.

Для примера дам вам еще пару терций.

Вот  и все отличие большой и малой терции. В музыкальных школах учат считать полутона –  большая терция содержит 2 тона, а малая – полтора. Как показывает многолетний опыт, куда проще посчитать клавиши внутри и определить, какая эта терция.

Итак, чтобы построить терцию, надо:

• найти ноты через одну;
• посчитать внутри клавиши и определить, какая терция у нас получилась;
• если получилась не та, то исправляем ее – или расширяем, переползая на соседнюю клавишу выше, или сужаем, соответственно, переползаем на клавишу ниже.

Когда вы научитесь строить терции, вам не составит труда построить любое трезвучие. Почему? А потому, что трезвучие состоит из двух терций.

Строим мажорное трезвучие

Мажорное трезвучие строится по формуле – сначала большая терция, а затем – малая.

Для примера возьмем трезвучие от ноты до и начинаем его изучать. Сначала от до построили терцию «До-ми», посчитали внутри клавиши, их три (до диез, ре, ре диез), значит терция большая. Но «до-ми» — еще не трезвучие, теперь надо от ми построить малую терцию – «ми-соль». Посчитали внутри клавиши – их две (фа, фа диез). То есть, трезвучие которое мы построили от ноты «до» является мажорным, потому что сначала была большая терция, а потом – малая.

Строим минорное трезвучие

Допустим нам надо построить от той же «до» минорное трезвучие. Чтобы вы долго не мучились, скажу сразу – крайние ноты трогать не будем, то есть «до» и «соль» оставляем на месте. А вот ноту «ми» надо изменить. Это будет выглядеть так.

 Давайте проанализируем. До – ми бемоль – терция малая, потому что внутри вмещаются две клавиши (до диез, ре). А ми бемоль – соль – терция большая, потому что внутри три клавиши (ми, фа, фа диез).

Поиграйте оба трезвучия – и мажорное и минорное, чтобы вы умели их отличать на слух. Ну а в видео уроке я расскажу то, что вы сейчас прочитали – как строить большие и малые терции и мажорные и минорные трезвучия. Ведь это – основа любого аккомпанемента.

Интервалы в музыке – это расстояние между двумя звуками, и еще это созвучие двух нот. Вот такое простое определение можно дать этому понятию. На уроках сольфеджио интервалы поют и слушают, чтобы потом узнавать их в музыкальных произведениях, но сначала нужно научиться строить их от разных нот.

Простых интервалов всего восемь штук, они обозначаются обычными цифрами от 1 до 8, а называются особыми латинскими словами:

1 – прима
2 – секунда
3 – терция
4 – кварта
5 – квинта
6 – секста
7 – септима
8 – октава

Что означают эти названия? В переводе с латинского языка прима – первый, секунда – второй, терция – третий и т.д.

Интересные факты про названия интервалов

Многие из названий интервалов вам уже, наверное, не раз приходилось слышать, даже если разговор не касался музыки. Например, слово «прима» есть в словосочетании «примадонна» (так называют первую, то есть главную артистку-певицу театра).

Слово «секунда» очень напоминает английское числительное «second» (то есть второй), а название шестого интервала «секста» похоже на английское «six» (шесть).

Интересными с этой точки зрения являются интервалы «септима» и «октава». Помните, как по-английски сказать «сентябрь» и «октябрь»? Это «September» и «October»! То есть эти названия месяцев имеют те же корни, что и названия интервалов. «Но ведь септима – это семь, а октава – восемь, а указанные месяцы по счету в году девятый и десятый», – скажете вы, и будете совершенно правы. Дело в том, что были времена, когда каждый новый год отсчитывали не от января, как сейчас, а от марта – первого весеннего месяца. Если посчитать так, то все становится на свои места: сентябрь будет седьмым месяцем, а октябрь – восьмым.

Мы еще не сказали ни слова о кварте и терции. С терцией все понятно – ее просто нужно запомнить, но особо наблюдательные, вероятно, заметят, что если прочитать слово «терция», пропуская каждую вторую букву, то получится обыкновенное «три».

В русском языке есть слова, похожие на «кварту»: это, например, квартира или квартал. Что такое «квартал»? Это слово имеет два значения: 1) деление года на 4 равных части; 2) участок городской застройки, который с четырех сторон окружен улицами. Так или иначе здесь фигурирует число 4, и, если запомнить эту ассоциацию, то кварту ни за что не перепутаешь с каким-нибудь другим интервалом.

Как строить интервалы от разных нот вверх и вниз?

Интервалы состоят из двух нот, которые могут быть расположены близко или далеко по отношению друг к другу. И о том, на каком расстоянии они находятся, нам говорит число интервала, которым оно обозначено (от 1 до 8).

 Вы знаете, что каждый звук в музыке – это ступень большой музыкальной лестницы. Так вот число интервала показывает, сколько нужно пройти ступенек, чтобы от первого звука интервала добраться до второго. Чем больше число, тем шире интервал, и тем дальше его звуки друг от друга находятся.

Обратимся к конкретным интервалам:

Прима – обозначается числом 1, что говорит нам: два звука находятся на одной и той же ступени. Значит, прима – это обыкновенное повторение звука, шаг на месте: до и еще раз до, или ре и ре, ми-ми и т.д.

Секунда – обозначается двойкой, потому что этот интервал охватывает уже две ступени: один звук находится на какой-либо ноте, а второй на соседней, то есть второй по счету ступени. Например: до и ре, ре и ми, ми и фа и т.д.

Терция – охватывает три ступени. Второй звук находится по отношению к первому на расстоянии трех ступеней, если идти подряд по музыкальной лестнице. Примеры терций: до и ми, ре и фа, ми и соль и т.д.

Кварта – теперь интервал расширяется до четырех ступеней, то есть первый звук находится на первой ступени, а второй звук – на четвертной. Например: до и фа, ре и соль и т.д. Поясним еще раз, что считать ступеньки можно начинать от любой ноты: хоть от до, хоть от ре – выбираем то, что нам нужно.

Квинта – обозначение числом 5 говорит о том, что ширина интервала – 5 ступеней. Например: до и соль, ре и ля, ми и си и т.д.

Секста и септима – числа 6 и 7, которыми они обозначаются, указывают на то, что нужно отсчитать шесть или семь ступеней, чтобы получить сексту или септиму. Примеры секст: до и ля, ре и си, ми и до. Примеры септим (все вверх по лестнице): до и си, ре и до, ми и ре.

Октава – последний интервал, такой же легкий, как и прима. Это тоже повторение звука, только на другой высоте. Например: до первой октавы и до второй октавы, ре и ре, ми и ми и т.д.

А теперь давайте выстроим все интервалы по порядку от ноты ДО и ноты, например, СОЛЬ. Примеры можно послушать. Сделайте это!

Интервалы от ноты ДО вверх

Интервалы от ноты СОЛЬ вверх

ВАЖНО! Считать ступеньки и строить интервалы можно не только вверх, но и вниз. Посмотрите на рисунок: здесь все восемь интервалов построены вниз от нот ДО и ЛЯ.

Интервалы от ноты ДО вниз

Интервалы от ноты ЛЯ вниз

Упражнения : играем интервалы на фортепиано

При изучении интервалов одинаково полезны и взрослым, и детям упражнения на фортепиано или на нарисованной клавиатуре. Фортепиано или синтезатор со звуком, конечно, лучше, потому что цель изучения интервалов на сольфеджио – запомнить не название интервала, не ноты, которые его составляют (хотя это тоже важно), а звучание.

Поэтому если нет подходящего инструмента под рукой, то можно воспользоваться виртуальной клавиатурой или приложением «Пианино» на телефоне (планшете). Важно, чтобы вы работали не в немом режиме, а со звуком (желательно).

Упражнение 1. Играем примы

Примы играть легко, ведь прима – это повторение одной и той же ноты два раза. Значит, нужно просто два раза ударить по любой клавише и уже получится интервал. Прима – очень важный интервал, который встречается во многих песнях, поэтому никогда не нужно забывать о нем (забывают обычно потому, что он легкий).

Упражнение 2. Играем секунды

Секунду всегда образуют две соседние ступени, две ноты, которые находятся рядом. И на клавиатуре пианино, чтобы сыграть секунду, тоже нужно взять две соседние клавиши. Играйте секунды от разных нот – вверх и вниз, запоминайте звучание, можете также параллельно заниматься сольфеджио, то есть пропевать ноты, которые играете.

Упражнение 3. Играем терции

Терция – любимый интервал маленького В.А. Моцарта – гения мировой музыки. Известно, что в детстве Моцарт-малыш подходил к клавесину отца (инструмент – предшественник фортепиано), клавиши он не видел (по росту), но дотягивался до них ручками. Моцарт играл всякие созвучия, но больше всего радовался, когда ему удавалось «поймать» терцию – так красиво и мелодично звучит этот интервал.

Попробуйте поиграть терции и вы. Возьмите терцию «ДО-МИ» и запомните это расстояние: звуки расположены на клавиатуре через одну клавишу (через одну ступеньку). Играйте терции вверх и вниз от разных нот. Играйте звуки терций одновременно или поочередно, то есть вразбивку.

Упражнение 4. Играем кварты и квинты

Кварты и квинты – это интервалы, которые звучат воинственно, призывно и очень торжественно. Недаром с кварты начинается наш российский гимн. Возьмите кварту «ДО-ФА» и квинту «ДО-СОЛЬ», сравните их по звучанию, запомните расстояние.  Играйте кварты и квинты от разных нот. Постарайтесь научиться мгновенно находить эти интервалы глазами на клавиатуре.

Упражнение 5. Играем сексты

Сексты, как и терции, тоже очень мелодичные и красивые по звучанию. Чтобы быстро сыграть сексту можно мысленно представить себе квинту (ее число 5) и добавить к ней еще одну ступеньку (чтобы было 6). Сыграйте сексты вверх «ДО-ЛЯ», «РЕ-СИ» и от всех других нот и вниз «ДО-МИ», «РЕ-ФА» и т.д.

Упражнение 6. Играем октавы

Октава – это повторение звука в следующей октаве. Вот такое вот парадоксальное и смешное определение можно дать этому интервалу. Найдите на клавиатуре две одинаковых ноты, которые расположены максимально близко: две ДО (одна в первой октаве, вторая – во второй), или две РЕ. Это и будут октавы. То есть октава – это расстояние от одного звука до его повторения музыкальной лестнице. Октавы нужно видеть сразу. Потренируйтесь.

Упражнение 7. Играем септимы

Чуть не пропустили седьмой интервал – септиму. Хотим поделиться с вами одной хитростью. Известно, что число октавы – 8, а септимы – 7. Значит, чтобы получить септиму, нужно всего-то вычесть одну ступеньку из октавы. Это способ быстрого построения септимы, чтобы не считать каждый раз семь ступеней «от печки».

Например: нам нужна септима от РЕ. Представим себе октаву – РЕ-РЕ, а теперь спустим верхний звук на одну ступеньку: получаем септиму РЕ-ДО!

Еще пример: построим септиму от МИ вниз. Отложили вниз октаву – МИ-МИ, а теперь, внимание, нижний звук поднимем на ступень вверх и получим септиму МИ-ФА вниз. А почему мы поднимали нижний звук, а не опускали? Потому что интервалы, построенные вниз, это как отражение в зеркале, и все действия потому нужно делать наоборот.

Дорогие друзья, если вы выполнили предлагаемые упражнения, то вы просто молодцы! Вы многое постигли, но это только начало, первое знакомство с интервалами. Интервалы в таком виде обычно проходят в 1-2 классах музыкальных школ, а потом все становится немного сложнее. И мы приглашаем вас отправиться за новыми знаниями вместе с нами.

В следующих выпусках вы узнаете, о том, что такое количественная и качественная величина интервала, что такое обращения и как можно получить уменьшенные и увеличенные интервалы. До новых встреч!

Что такое терция простыми словами?

Терция – это интервал в музыке, ширина которого составляет 3 шага. Обозначается терция цифрой три (3).

Задать вопрос репетитору

Записывайтесь на пробный бесплатный урок по гитаре

На пробном занятии вы можете познакомиться не только с тем что такое терция, но и изучить другие аспекты музыкальной грамоты и сольфеджио.

Оставить заявку на обучение гитаре

Задать вопрос преподавателю, проконсультроваться по любому гитарному вопросу

Сегодня я расскажу о том, что такое чистые музыкальные интервалы, почему невозможна абсолютная их чистота и на какие компромиссы музыкантам приходилось идти из-за этого. [Cпойлер]И до сих пор приходится! Кто верит во вселенскую гармонию, лучше не читайте, тлен гарантирован )

Любую музыкальную ноту можно выразить цифрой — частотой колебания в герцах. А интервал между двумя нотами — соотношением двух частот. Например, нота на октаву выше данной всегда имеет частоту в 2 раза больше. Поэтому октава — это соотношение 2:1 или множитель 2.

Когда я буду говорить «интервал между двумя нотами равен 5:4», я буду иметь в виду, что частота более высокой ноты в 5:4 (или 1,25) раз выше, чем частота нижней ноты.

Имеет значение именно соотношение («во сколько раз выше»), а не разница частот («на сколько герц больше»). Например, между 100 и 200 Гц такой же интервал, как между 300 и 600 Гц, — октава (2:1).

Чтобы сложить два интервала, мы перемножаем их соотношения. «На октаву выше» значит «в 2 раза выше по частоте», поэтому на две октавы выше — в 4 раза выше, на три октавы — в 8 раз выше, и так далее.

—

Интервалы, которые выражаются простым соотношением (то есть дробью, у которой и числитель и знаменатель — небольшие целые числа), называются чистыми интервалами.

Основные чистые интервалы:

2:1 — октава
3:2 — квинта
4:3 — кварта
5:4 — большая терция
6:5 — малая терция.

Если интервал между нотами чистый, то эти ноты очень хорошо «сливаются» вместе. Музыканты издавна стремились к таким созвучиям.

Этому есть физическое объяснение. Любая нота состоит из гармоник — колебаний, кратных друг другу по частоте. Если соотношение между нотами простое, то часть гармоник у этих двух нот будут совпадать и полностью сливаться друг с другом.

Например, возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на октаву выше (300*2=600 Гц) и выделим у них общие гармоники:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400,…
600, 1200, 1800, 2400,…

Теперь возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на чистую квинту выше:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400, 2700,…
450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700,…

На спектрограмме эти совпадающие гармоники хорошо видно (для сравнения я взял негармоничную пару — 300 и 520 Гц):

Кроме того, гармоники любой отдельной ноты содержат в себе чистые интервалы. Например, третья гармоника любой ноты в ³/₂ раза выше по частоте, чем вторая гармоника этой же ноты. Так что чистые интервалы происходят из базовых физических свойств звука.

Самый простой из чистых интервалов — это октава: ²/₁. Она обладает важным свойством — если взять две ноты с разницей в октаву, то ВСЕ гармоники верхней ноты будут совпадать с чётными гармониками нижней (пример – в предыдущей сноске). Такие ноты максимально «сливаются» вместе и воспринимаются как одна. Поэтому они и назваются одинаково (До и следующая До). Сравните одну и ту же мелодию сыгранную большими терциями, квинтами и октавами, и всё станет понятно:

В посте я буду говорить про разные квинты, терции, и т.д. Но величина октавы будет всегда одна — ²/₁.

—

Когда одновременно звучат колебания близкой частоты (например, 200 и 202 Гц), между ними возникают так называемые биения — звук «плавает» или «дрожит» оттого что колебания медленно сдвигаются по фазе относительно друг друга.

Поэтому если интервал между двумя нотами не совсем чистый, но близок к чистому, то биения возникнут между некоторыми гармониками этих нот. Для примера — квинта, которая немного больше чистой:

200, 400,

600, 800, 1000, 1200,…
302, 604, 906, 1208,…

Чем сильнее интервал отклоняется от чистого, тем чаще биения и тем «нестабильнее» он звучит.

—

Ещё интервалы измеряют в центах. Цент — это очень маленький интервал: 1,0005777895… (корень 1200-й степени из 2х). Это одна сотая современного полутона. Он понадобится, чтобы оценить мелкие различия между интервалами.

Вот пример, который поможет ощутить масштабы цента:

—

Последнее примечание: из интервалов я буду говорить только о секундах, терциях и квинтах, потому что интервалы, которые являются обращениями друг друга, ведут себя совершенно аналогично. Например, если в каком-то строю терция C-E получается немного больше, чем чистая терция, то секста E-C — ровно настолько же меньше. И так далее: с квартами дела обстоят так же, как с квинтами, а с септимами — так же, как с секундами.

Невозможность совершенства

Если посмотреть на таблицу частот разных нот, видно, что чистых интервалов там практически нет. Между нотами A3 и A4 одна октава разницы (220 Гц * 2=440 Гц). А, скажем, нота E4, которая на квинту выше A3, имеет частоту не 330 Гц (220 Гц * ³/₂), а немного меньше.

Всё дело в том, что с чистыми интервалами есть проблема: они в очень многих случаях НЕ СХОДЯТСЯ друг с другом.

Например, возьмём ноту До (C), прибавим к ней две октавы и одну большую терцию. То есть два раза удвоим частоту, а потом умножим на ⁵/₄.

Получилась нота Ми (E) через две октавы.

Теперь отложим от той же самой До четыре квинты вверх. То есть, четыре раза умножим частоту на ³/₂. Получилась та же самая нота Ми.

Или не та же самая?

В первом случае частота Ми ровно в 5 раз выше, чем До: 2*2*⁵/₄=5.
А во втором — в ⁸¹/₁₆ раз выше (³/₂*³/₂*³/₂*³/₂=⁸¹/₁₆). То есть в 5,0625 раз выше.

Получается, что две октавы плюс чистая большая терция не равны четырём чистым квинтам, из-за чего невозможно определить правильную частоту Ми относительно До. И таких расхождений много¹.

—

Ещё пример: простая мелодия, которая начинается с До и движется так: квинта вверх, кварта вниз, квинта вверх, кварта вниз, большая терция вниз — вернулись в ту же До.

НО! Если все эти интервалы чистые, то До в конце мелодии получается выше, чем До, которая была в начале! А именно — в ⁸¹/₈₀ раз выше: ³/₂*³/₄*³/₂*³/₄*⁴/₅=⁸¹/₈₀, и не равно 1. Повторим эту мелодию ещё раз, начав с новой До — и До станет выше почти на полтона. Вот, послушайте (в конце я для наглядности повторяю изначальную До):

Чтобы этого сдвига не происходило, придётся, например, пожертвовать чистотой большой терции и немного её увеличить.

А вот здесь, с 4:15, очень наглядно показывают этот сдвиг на примере аккордов.

—

Из всего этого ясно, что для построения нотной системы неизбежно придётся идти на какие-то компромиссы. Например, чтобы в предпоследнем примере получались не разные Ми, а одинаковые, придётся либо сделать квинту немного меньше, чем ³/₂, либо сделать большую терцию немного больше, чем ⁵/₄, либо сделать понемножку и то и другое. Именно это и происходило, когда музыканты пытались найти компромисс. В одни исторические периоды предпочтение отдавали чистой квинте, в другие — чистой терции.

Вот теперь можно рассказать про несколько исторических строёв.

Пифагоров строй

Начнём с того, что строй этот создал не Пифагор. Насколько я понимаю, строй оформился в период поздней античности, а название получил потому что был основан на идеях пифагорейцев, которым очень нравилась идея гармонии чисел.

Пифагоров строй — это звукоряд, построенный на двух самых простых соотношениях — октаве и чистой квинте. Берём основную ноту, откладываем от неё вверх и вниз цепочку квинт и таким образом находим частоты для всех остальных нот.

Начнём, например, с До. Прибавим к ней чистую квинту и получим Соль, частота которой в ³/₂ раза выше До. Прибавим к этой Соль чистую квинту — получим Ре, частота которой в ³/₂ выше, чем у Соль, и в ⁹/₄ раз выше, чем у исходной До (³/₂*³/₂). Дальше — Ля, с частотой в ²⁷/₈ выше исходной До, и так далее.

В обратную сторону от До тоже можно откладывать квинты. Получится Фа, с множителем ²/₃, Си-бемоль с множителем ⁴/₉, и так далее.

На верхней клавиатуре изображены несколько первых шагов процесса:

На нижней клавиатуре полученные ноты собраны в одну октаву с До. Например, Ре (⁹/₄), которая получилась из двух квинт, мы понизили на октаву (=поделили на 2), и получилась Ре, которая на тон выше исходной До: ⁹/₈. Ля тоже понизим на октаву — получится ²⁷/₁₆. Ми понизим на две октавы, Фа повысим на октаву, и так далее.

Если начать с Ре и отложить от неё по три квинты в обе стороны, получится 7 нот (F-C-G-D-A-E-B), составляющих До-мажор. Переместим их в одну октаву и получим такие соотношения:

Если продолжить процесс дальше и отложить от Ре по шесть квинт в обе стороны, то получится такой ряд нот:

Получилось 13 нот, причём ноты Ab и G# получились разными: соотношение ¹⁰²⁴/₇₂₉ близко, но не равно ⁷²⁹/₅₁₂ (1,40466…<1,423828…).

Так проявляется ещё одна проблема чистых интервалов: 7 чистых октав не равны 12 чистым квинтам. 7 октав — это ¹²⁸/₁. А 12 чистых квинт — это ⁵³¹⁴⁴¹/₄₀₉₆, то есть 129,746…

Наша пифагорова G# ровно на 12 квинт выше, чем Ab, поэтому когда мы их приводим в одну октаву, получается не одна нота а две близких.

Разница между ними называется Пифагоровой коммой. Это небольшой интервал, примерно 23,46 цента, то есть чуть меньше четверти нынешнего полутона.

Нам нужно 12 нот, поэтому отбросим Ab и оставим G#.

Можно, конечно, ввести в наш строй обе ноты — Ab и G#, но это во-первых, непрактично на многих инструментах², а во вторых, не решит проблему полностью. Например, мы не сможем сыграть чистую квинту от G#, потому что ноты D# у нас нет, а если играть вместо неё Eb, квинта будет не чистая, а опять же уменьшенная на пифагорову комму.

А если продолжать добавлять ноты, то придётся строить инструмент с такой, например, клавиатурой:

Если играть в До-мажоре или каких-то близких тональностях, достаточно будет среднего ряда клавиш. А вот чистую квинту от G# придётся играть так: G# на средней клавиатуре и D# на верхней. И вообще: в тональностях, в которых много «чёрных клавиш» часть нот придётся брать на одной клавиатуре, часть на другой.

И теперь одна квинта из двенадцати не чистая, а на пифагорову комму меньше чистой.

Эту квинту назвали «волчьей» квинтой. «Биения», которые возникают в «волчьей» квинте, напомнили кому-то волчий вой, отсюда название.

Одна плохая квинта из двенадцати — ещё не беда (в конце концов, мы можем избегать игры в тональностях, в которых эта квинта встречается — а это половина всех тональностей). Беда в том, что ВСЕ интервалы в пифагоровом строе получены из квинт, а значит — любой интервал, в котором участвует волчья квинта, уменьшается или увеличивается на пифагорову комму. Например, большая секунда получается из двух квинт, поэтому из 12-ти больших секунд 10 штук получаются чистыми, а две (C#-D# и G#-A#) — уменьшены на пифагорову комму. Септимы D#-C# и A#-G#, соответственно, увеличены на пифагорову комму. С другими интервалами такая же беда, только там изменённых интервалов получится ещё больше. Например, большая терция строится из четырёх квинт, поэтому из 12-ти больших терций 8 будут «обычного» размера, а 4 штуки — на пифагорову комму меньше.

—

Ещё одна проблема с пифагоровым строем — терции в нём серьёзно отличаются от чистых. Пифагорова большая терция — это «четыре чистых квинты минус две октавы». То есть, ³/₂*³/₂*³/₂*³/₂:4. Получается ⁸¹/₆₄, а это заметно больше, чем чистая большая терция ⁵/₄ (1,265625 > 1,25).

То же самое с малой терцией. Пифагорова малая терция — это «две октавы минус три чистые квинты», или ²/₃*²/₃*²/₃*4. Получается³²/₂₇, и это заметно меньше, чем чистая малая терция ⁶/₅ (1,185185… < 1,2).

Интервал, на который они отличаются, называется синтонической коммой. Её размер — 81:80 или 21.51… цент (примерно одна пятая нынешнего полутона). С этой коммой мы уже встречались в начале текста — именно настолько повышалась До в мелодии, состоящей из чистых интервалов — и встретимся ещё.

Пифагоровы терции звучат для нас вполне норм, потому что они близки к нашим нынешним терциям (которые тоже совсем нечистые, но мы привыкли). Но средневековым музыкантам это было не норм, поэтому терция в то время не использовалась как основа гармонии.

Пифагоров строй использовали примерно до 15 века. Потом его стали модифицировать, чтобы как-то поправить ситуацию с терциями.

Среднетоновый строй на 1/4 коммы

В 16 веке появился новый строй — среднетоновый на 1/4 коммы. Он устроен так же как пифагоров, только размер всех квинт уменьшен ровно настолько, чтобы большая терция стала чистой.

Вот как это работает. Пифагорова большая терция создаётся с помощью четырёх квинт: строим цепочку квинт С-G-D-A-E, понижаем полученную E на две октавы, и получаем терцию C-E, которая, как я показывал выше, не чистая, а на синтоническую комму больше чистой. Если уменьшить каждую квинту на 1/4 синтонической коммы, то терция, полученная из четырёх квинт, уменьшится на одну синтоническую комму, а значит, станет равна чистой терции. При этом квинта перестала быть чистой, но и не сильно пострадала — уменьшилась всего на 5 центов.

Все остальные интервалы тоже получены из квинты, поэтому их размеры тоже изменились. Одним это пошло на пользу, другим — нет. Например, малая терция стала почти чистой (всего на 6 центов меньше чистой), большая секунда стала на 11 центов меньше чистой, и так далее. Но в целом интервалы получились приемлемые.

К сожалению, проблемы с «волчьей квинтой» и прочими волчьими интервалами здесь ещё хуже, чем в пифагоровом строе. В пифагоровом строе «волчья квинта» на пифагорову комму меньше чистой, а в среднетоновом — на полторы пифагоровы коммы больше. Поэтому одна квинта из двенадцати у нас получается безобразно, на 35 центов, увеличенной. Две большие секунды из двенадцати получаются безобразно увеличенными (на 30 центов больше чистой). 9 из 12-ти малых терций почти чистые, зато остальные три — на 47(!!) центов уменьшены. 8 из 12-ти больших терций совершенно чистые, зато остальные на 41(!) цент увеличены.

В итоге, при игре в тональностях, недалеко отходящих от основной ноты, мы получаем совершенно чистые большие терции и приемлемо чистые остальные интервалы. А вот в каком-нибудь Фа-диез мажоре будет много фальшивящих интервалов.

Одна и та же последовательность аккордов в разных тональностях. Начинаем с базового До мажора и сдвигаемся каждый раз на тон выше. Где-то в середине — там, где аккорды максимально далеки от базовой тональности — можно услышать некую фальшь.

Среднетоновый строй на 1/4 коммы был основным строем в европейской музыке до начала 18-го века, а на многих органах — до середины 19-го века.

Натуральный строй

Другая идея, которая возникла в конце 16 века — построить такой звукоряд, чтобы интервалы были максимально чистыми хотя бы в пределах одной тональности.

Возьмём ноту F и прибавим к ней чистую большую терцию, получив ноту A. К этой A прибавим чистую малую терцию и получим C. Продолжим чередовать большие и малые терции пока не получится 7 нот:

Чистая большая терция и чистая малая терция дают в сумме чистую квинту (⁵/₄*⁶/₅=³/₂; хоть где-то эти чистые интервалы сходятся!), поэтому квинты F-C, A-E, C-G, E-B и G-D здесь получились чистые.

Соберём эти ноты в одну октаву и получим звукоряд До-мажор — CDEFGABC, в котором почти все интервалы чистые. Чистыми получились все большие терции (CE, FA и GB) и три из четырёх малых терций (E-G, A-C и B-D). Однако, полного совершенства не получилось даже здесь: квинта D-A и малая терция D-F на пифагорову комму меньше, чем чистые.

Кроме того, получились две разных больших секунды. Одна — C-D, F-G и A-B — такая же как в пифагоровом строе (9:8 или 204 цента). Вторая — D-E и G-A — на пифагорову комму меньше (10:9 или 182 цента). Малые секунды E-F и B-C одинаковые — 15:16 (112 центов).

Итак, у нас есть 7 «белых» нот, интервалы между которыми чисты настолько, насколько это возможно. Добавим к ним 5 оставшихся «чёрных» нот (например, вычтем квинту из F и получим Bb, и так далее).

Получился строй, в котором интервалы в «исходной» тональности (До-мажор) и близких к ней тональностях — в основном чистые. Но если фальши убавилось в одном месте, её должно прибавиться где-то ещё, поэтому интервалы в далёких от До-Мажора тональностях будут сильно фальшивить.

Сейчас в чистом строю играют только музыканты, аутентично исполняющие древнюю музыку. А с другой стороны, инструменты, у которых высота нот не фиксированная (вокал, безладовые струнные, часть духовых), на практике часто склоняются к чистым интервалам. Например, певцы, поющие терцию, могут подстраиваться друг под друга так, чтобы исчезли «биения».

Все терции и квинты в натуральном До мажоре.

«Хорошо темперированные» строи

В конце 17-начале 18 века появились строи, разработанные так, чтобы можно было играть во всех или почти всех тональностях с минимальной «лажей» в интервалах. Идея была в том, чтобы понижать не все квинты, как в среднетоновом строе, а выборочно понижать часть из них.

Этих строёв было множество. Например, в одной из темпераций Веркмейстера пять квинт (C-G, D-A, E-B, F#-C#, and Bb-F) уменьшены на 1/3 коммы, две квинты (G#-D# и Eb-Bb) увеличены на 1/3 коммы, а остальные квинты — чистые.

В «хорошо темперированных» строях одни интервалы получаются чистыми, другие — почти чистыми, и лишь некоторые отклоняются сильно. В итоге стало возможно играть во всех тональностях без сильной фальши. Тональности получились разными — в одних было больше отклонений от чистых интервалов, чем в других, и распределение этих отклонений получалось разное. Если в нынешнем, равномерно темперированном строе перенести музыку в другую тональность, то она прозвучит точно так же (в том смысле, что соотношения между всеми нотами останутся такими же). А в «хорошо темперированном» строе от этого изменится «оттенок» музыки, потому что интервалы будут немного другими.

Здесь нельзя не упомянуть «Хорошо темперированный клавир» — сборник произведений Баха, вышедший в 1722 году. Он состоит из произведений во всех 24-х тональностях (12 мажорных и 12 минорных). Название, скорее всего, отсылает к «хорошо темперированным» строям, тем более что и состав сборника как бы говорит: наконец-то появился строй, в котором можно играть во всех тональностях!

Бах был недоволен общепринятым тогда среднетоновым строем и настраивал свои инструменты как-то по своему. Неизвестно, какую именно темперацию он использовал. Некоторые музыковеды даже полагают, что строй Баха каким-то образом зашифрован в тринадцати петлях, нарисованных им на заглавии сборника:

Равномерно темперированный строй

Идея разбить октаву на 12 равных частей высказывалась с древних времён. Это решает проблему с несходящимся квинтовым кругом, делает все интервалы одинаковыми, а все тональности равноправными. Однако на практике её применять не спешили. Во первых, терции в этом строе почти такие же нечистые, как и в пифагоровом. Во-вторых, для расчётов соотношений между нотами нужна продвинутая математика — ведь всё основано на корне 12-й степени из двух. В-третьих, в эпоху «хорошо темперированных строёв» композиторам очень нравилось то, что у разных тональностей разный «оттенок» и характер.

В течение 19 века многие композиторы (например, Бетховен) начали широко применять в музыке модуляции в далёкие тональности, и идея о равноправности тональностей становилась всё более привлекательной.

Итак, берём октаву (²/₁) и разбиваем её на 12 равных интервалов — полутонов, из которых будем составлять все остальные интервалы (большая терция — это 4 полутона, чистая квинта — 7 полутонов, и так далее). Каждый полутон равняется корню 12-й степени из двух (2^1/₁₂) — примерно 1.059463. Теперь между двумя соседними нотами ВСЕГДА интервал в 100 центов. Все терции одинаковы по размеру, все квинты одинаковые, и так далее.

В этом строю нет ни одного чистого интервала кроме октавы — все остальные определяются не то чтобы непростыми дробями (как в пифагоровом строе), а вообще иррациональными отношениями. Очень близки к чистым оказались квинта (выше чистой всего на 2 цента), и большая секунда (ниже чистой всего на 4 цента). А вот терциям не повезло. Малая терция получилась на 16 центов меньше чистой, а большая — на 14 центов больше. Это серьёзная разница, приводящая к заметным биениям:

Тем не менее к 20 веку практически все музыканты перешли на этот строй (а лютни и гитары на нём всегда и были). Равноправие тональностей и полное отсутствие «волчьих» интервалов оказалось важнее, чем нечистые терции.

В следующей части поста — ещё аудиопримеры и таблицы с интервалами.

—

¹ – Например:
Три чистые большие терции не равны октаве, а меньше: ⁵/₄*⁵/₄*⁵/₄=1,953125.
Четыре чистые малые терции не равны октаве, а больше: ⁶/₅*⁶/₅*⁶/₅*⁶/₅=2,0736
Шесть чистых тонов не равны октаве, а больше: ⁹/₈*⁹/₈*⁹/₈*⁹/₈*⁹/₈*⁹/₈=2,027286529541015625.

² — тем не менее были попытки решить проблему хотя бы частично и существовали инструменты, на которых одна, две или три из чёрных клавиш в каждой октаве раздвоены — например, Ля-бемоль и Соль-диез.

Например, вот этот клавесин, с 14 клавишами на октаву:

Или этот, с 19-ю клавишами на октаву: