Как найти tga если известен sina

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac{y}{x}=dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), а отношение ( dfrac{x}{y}=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов ( alpha ), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ).

Например: ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ) является справедливой для углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2}+pi z ), а ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — для угла ( alpha ), отличного от ( pi z ), ( z ) — является целым числом.

Видео

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.  

• Тождество записывается в следующем виде: tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

1. По определению: tg α = y/x ctg α = x/y
2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
3. Преобразовываем выражение, подставляем  и , получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Какие, какие числа?🤯

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α.

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1, а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin2α+cos2α=1, можно разделить соответствующие стороны на cos2α и получить tg2α+1=1cos2α, где значение cos2α не должно равняться нулю. При делении на sin2α получим тождество 1+ctg2α=1sin2α, где значение sin2α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество tg2α+1=1cos2α верно при всех значениях угла α, не принадлежащих π2+π·z, а 1+ctg2α=1sin2α при значениях α, не принадлежащих промежутку π·z.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги