Как найти tga в точке x

Содержание:

• Что такое тангенс
• Что такое функция тангенса: формула
• Свойства функции
• Как построить график
• Примеры решения задач

Что такое тангенс

Тангенсом какого-либо острого угла (alpha (tg alpha)) называют величину, выражающую отношение противоположного катета (а) к прилегающему катету (b) в треугольнике с углом 90°, то есть: (tg alpha = frac{a}{b}) 

Понятие тангенса угла можно проиллюстрировать таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Источник: microexcel.ru

Что такое функция тангенса: формула

При решении задач можно нередко встретить примеры с тригонометрическими функциями, в том числе, функцией тангенса. Эта функция обладает специфическими свойствами, которые значительно упрощают вычисления. Запись имеет следующий вид:

(у = tg х)

Здесь х обозначает аргумент тригонометрической функции и играет роль независимой переменной, а у определяет непосредственно функцию, то есть зависимую переменную.

Свойства функции

С помощью знаний свойств функций в тригонометрии достаточно просто решать самые сложные и громоздкие примеры. Перечислим закономерности, характерные для функции тангенса:

1. Функция тангенса определяется в области ((xnefracpi2+pi k)), то есть на множестве, в состав которого включены действительные числа, за исключением точек, характеризующихся нулевым значением для косинуса.
2. Функция на графике не имеет ограничений в верхней и нижней части, поэтому ее область значений можно записать как (yinmathbb{R}).
3. Функция тангенса является нечетной, что целесообразно записать в виде соотношения (tg(-x)=-tgx).
4. Тригонометрическая функция тангенса является периодической, а ее период составляет pi. Таким образом:(tg(x+pi k)=tgx) .
5. Стремление функции (к +infty) можно наблюдать при сближении с левой стороны с точками (x=fracpi2+pi k). Приближение к точке, обозначенной за a, слева формулируют таким образом: (xrightarrow) (a-0 lim_{xrightarrowfracpi2+pi k-0} tgx=+infty) .
6. Стремление функции (к -infty) можно наблюдать при сближении с правой стороны с точками (x=fracpi2+pi k). Приближение к точке, обозначенной за а, справа следует зафиксировать как (xrightarrow) (a+0 lim_{xrightarrowfracpi2+pi k+0} tgx=-infty).
7. Нули рассматриваемой функции (y_{0}=0) определены точками (x_0=pi k).
8. Возрастание функции можно наблюдать на всей области, где она определена.
9. Функция разрывается в точках (x=fracpi2+pi k), которые пересечены вертикальными асимптотами. На отрезках между ними функция не прерывается, то есть (left(-fracpi2+pi k; fracpi2+pi kright).)
10. Функция не обладает максимальными и минимальными значениями.

Как построить график

Как и любую другую тригонометрическую функцию, тангенс достаточно просто изобразить в системе координат. Графическое изображение функции тангенса в обобщенном виде представлено на рисунке ниже:

Источник: microexcel.ru

Построить график функции тангенса несложно. Нужно лишь последовательно выполнять действия согласно стандартному алгоритму:

• определить контрольные точки для построения;
• начертить плавную кривую линию на плоскости координат;
• для выбранного промежутка построить значения, которые расположены симметрично по отношению к началу координат;
• так как для значений функции характерны повторы с некоторым периодом, то целесообразно скопировать график для каждого из промежутков области определения;
• в результате получен график под названием тангенсоида.

Примеры решения задач

Решение

Зная, что функция тангенса не может быть определена в точках при нулевом значении косинуса, запишем справедливое соотношение и выполним необходимые преобразования:

(cos left( 2x+frac{pi }{3} right)=0)

(2x+frac{pi }{3}ne frac{pi }{2}+pi n,nin Z)

(xne frac{pi }{12}+frac{pi n}{2},nin Z)

В результате получена область, в которой определена функция из условия задания:

(D(y)=left( -frac{pi }{12}+frac{pi n}{2},frac{pi }{12}+frac{pi n}{2} right),nin Z)

Ответ: (D(y):xin left( -frac{pi }{12}+frac{pi n}{2},frac{pi }{12}+frac{pi n}{2} right),nin Z) 

Решение

Выполним преобразования исходного соотношения. В результате получим:

(sin 2x=sqrt{3}cos 2x)

После деления всех частей записи на выражение (cos 2x) соотношение изменится таким образом:

(text{tg}2x=sqrt{3})

При этом ОДЗ для полученного выражения примет следующий вид:

(left( -frac{pi }{4}+frac{pi n}{2},frac{pi }{4}+frac{pi n}{2} right),nin Z.)

Далее целесообразно приступить к решению уравнения:

(2=frac{pi }{3}+pi n,nin Z)

(x=frac{pi }{6}+frac{pi n}{2},nin Z)

Заметим, что корни, которые получились по итогам расчетов, соответствуют ОДЗ. Можно записать ответ.

Ответ: (x=frac{pi }{6}+frac{pi n}{2},nin Z)