Как найти tgb в прямоугольном треугольнике

Как найти tgb в прямоугольном треугольнике

Расчёт углов по катетам

Прямоугольный треугольник это треугольник у которого один из углов равен 90 градусов.

Прямой угол это угол 90 градусов.

Гипотенуза это противолежащая прямому углу сторона, самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Катеты это стороны прямоугольного треугольника прилежащие к прямому углу.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

Тангенсом прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Все формулы прямоугольного треугольника – примеры расчетов

Формулы

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 :

2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:

6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:

7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:

8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:

11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:

12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):

13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:

15. Медиана, проведенная к гипотенузе:

16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:

Тангенс в прямоугольном треугольнике

Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти тангенс? От чего зависит значение тангенса?

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для угла A треугольника ABC

Поэтому тангенс угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC,

Соответственно, тангенс угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к BC:

Таким образом, тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое при делении длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.

Так как длины катетов — положительные числа, то и тангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.

Тангенс угла треугольника зависит от величины угла, но не зависит от катетов (важно лишь их отношение).

Если в треугольнике изменить длины катетов, не меняя угол, то величина тангенса не изменится.

[spoiler title=”источники:”]

http://nauka.club/matematika/geometriya/formuly-pryamougolnogo-treugolnika.html

Тангенс в прямоугольном треугольнике

[/spoiler]

Источник

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
  2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3} −
ctgvarphi − sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Отсюда

BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

a^2+4=17a^2;

16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

BC = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

Рассмотрим triangle BHC:

{cos B= }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

{CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

Рассмотрим triangle BHC : {cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

тогда {cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B }= 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ; cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

{16x}^2= {20}^2,

x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15, AB=25.

2-й способ.

triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

{(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим triangle АВС:

По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

Решение:

Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

АН = АВ — НВ = 2 – displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник
Определение тангенса угла

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: тангенс угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к ближнему катету.

1.png

В случае с рисунком, описанным выше: tg⁡α=abtgalpha=frac{a}{b}

Тангенс можно найти напрямую пользуясь данной формулой, а можно и через тригонометрические тождества. Разберем подробнее задачи.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см6text{ см} и 8 см8text{ см}. Найдите тангенс угла, близлежащего к меньшей стороне.

Решение

a=8a=8
b=6b=6

tg⁡α=ab=86≈1.33tgalpha=frac{a}{b}=frac{8}{6}approx1.33

Ответ

1.331.33

Формулу:

tg⁡α=abtgalpha=frac{a}{b}

Можно записать в следующем виде:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡αtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}

Проверим истинность данного выражения. Подставим вместо синуса и косинуса их определения:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=acbc=abtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{b}

Получили первичное равенство, значит выражение для тангенса через отношение синуса к косинусу верно.

Решим задачу, пользуясь этой формулой.

Задача 2

По условию задачи известен косинус угла, равный 32frac{sqrt{3}}{2} и синус того же угла, равный 12frac{1}{2}. Найдите тангенс данного угла.

Решение

cos⁡α=32cosalpha=frac{sqrt{3}}{2}

sin⁡α=12sinalpha=frac{1}{2}

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=1232=13tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{1}{sqrt{3}}

Ответ

13frac{1}{sqrt{3}}

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с тангенсом:

1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат косинуса.

Задача 3

Известен квадрат косинуса угла в прямоугольном треугольнике, равный 0.80.8. Нужно найти тангенс этого угла.

Решение

cos⁡2α=0.8cos^2alpha=0.8

1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}

1+tg⁡2α=10.81+tg^2alpha=frac{1}{0.8}

1+tg⁡2α=1.251+tg^2alpha=1.25

tg⁡2α=0.25tg^2alpha=0.25

tg⁡α=0.25tgalpha=sqrt{0.25}

tg⁡α=0.5tgalpha=0.5

Ответ

0.50.5

У вас есть трудности с вычислением тангенса? Можете заказать задачу по математике у наших экспертов!

Тест по теме “Вычисление тангенса”

Источник

Геометрические фигуры завораживают количеством своих свойств и функций, таких как тангенс в прямоугольном треугольнике. Это происходит в основном из-за двух факторов. 

Во-первых, нам уже известен один из углов, который равен 90 градусам. Во-вторых, есть много свойств с применением прямоугольников. А из двух прямоугольных треугольников как раз получается именно такая фигура.

Из этого вытекает многое, но сегодня мы поговорим об одном очень интересном свойстве такого треугольника, как тангенс. В данной статье мы подробно рассмотрим определение тангенса, узнаем, как его можно найти и как его можно использовать. 

Если вы уже что-то слышали про отношения одной из сторон к гипотенузе, то здесь все просто. Если же нет – то ниже дано краткое объяснение.

Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике

Синусом угла в треугольнике называют отношение противолежащей данному углу стороны к гипотенузе треугольника, а косинусом – прилежащего к гипотенузе. 

Тангенс угла

И если мы поделим синус угла на косинус, то получим тангенс (обозначается как tg), а если косинус на синус – то котангенс. Здесь все очень просто, главное знать катеты и гипотенузу треугольника.

Формулы тангенса синуса косинуса

Также бывают и тригонометрические тангенсы на окружности со своими графиками, разностью показателей числа π, но в данной статье мы их не рассматриваем, так как к треугольнику они имеют лишь косвенное отношение.

Таблица тангенсов углов от 0° до 360°

Ниже представлена таблица значений, которая пригодится для быстрого нахождения необходимых значений. 

270

В качестве альтернативы предлагаем либо искать значения онлайн, либо запоминать их. Самым же эффективным способом математики считают вывод этих значений, но это будет удобно далеко не для всех.

Примеры вычислений тангенса в прямоугольном треугольнике

Существует довольно много способов и несложных формул для нахождения тангенса в прямоугольном треугольнике. Мы же рассмотрим только некоторые из них.

300

Все способы упираются в нахождение сторон, поэтому здесь секрет прост – если вы знаете значения всех сторон, то тангенс угла A в треугольнике находится по следующему правилу: tgA = BC : AC, что означает, что tg A равен отношению противолежащей стороны углу к прилежайщей.

271

Легче всего найти тангенс именно острого угла. Если даже это не угол прямоугольного треугольника, то дополнить его до прямоугольного не составит труда.

Это то, на чем построена сама сущность тангенса, но если нужно найти стороны, то это уже точно задача не про тангенсы.

Источник

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = – 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Источник

Добавить комментарий