Как найти тип точек разрыва

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

• первый род;
• второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

• Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

• Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.
• Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Содержание:

• Определение точки разрыва
• Точка разрыва первого рода
• Точка разрыва второго рода
• Точка устранимого разрыва
• Примеры решения задач

Определение точки разрыва

Точка разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва

Примеры решения задач

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)=f(x0)

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Устранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limx→x0-0f(x)≠limx→x0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х0, когда какой-либо из пределов слева limx→x0-0f(x) или справа limx→x0+0f(x) не существует или бесконечен.

Рассмотрим
некоторую функцию f(x),
непрерывную в окрестности точки х₀,
за исключением может быть самой этой
точки. Из определения точки разрыва
функции следует, что х = х₀является
точкой разрыва, если функция не определена
в этой точке, или не является в ней
непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность
функции может быть односторонней.
Поясним это следующим образом.

Если
односторонний предел (см. выше)
,
то функция называется непрерывной
справа.

х₀

Если
односторонний предел (см. выше)
,
то функция называется непрерывной
слева.

х₀

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва функцииf(x), если
f(x) не определена в точке х₀или не
является непрерывной в этой точке.

Определение.Точка х₀называетсяточкой
разрыва 1- го рода, если в этой точке
функцияf(x)
имеет конечные, но не равные друг другу
левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения
не требуется, чтобы функция была
определена в точке х = х₀, достаточно
того, что она определена слева и справа
от нее.

Из определения можно сделать вывод, что
в точке разрыва 1 – го рода функция может
иметь только конечный скачок. В некоторых
частных случаях точку разрыва 1 – го
рода еще иногда называют устранимой
точкой разрыва, но подробнее об этом
поговорим ниже.

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 2 – го рода,
если в этой точке функцияf(x)
не имеет хотя бы одного из односторонних
пределов или хотя бы один из них
бесконечен.

Пример.Функция Дирихле (Дирихле
Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик,
член- корреспондент Петербургской АН
1837г)

не является
непрерывной в любой точке х₀.

Пример.Функцияf(x)
=
имеет в точке х₀= 0 точку разрыва
2 – го рода, т.к.

.

Пример.f(x) =

Функция не
определена в точке х = 0, но имеет в ней
конечный предел
,
т.е. в точке х = 0 функция имеет точку
разрыва 1 – го рода. Это – устранимая
точка разрыва, т.к. если доопределить
функцию:

График этой
функции:

Пример.f(x) =
=

y

1

0 x

-1

Эта функция
также обозначается sign(x)
– знак х. В точке х = 0 функция не определена.
Т.к. левый и правый пределы функции
различны, то точка разрыва – 1 – го рода.
Если доопределить функцию в точке х =
0, положивf(0) = 1, то функция
будет непрерывна справа, если положитьf(0) = -1, то функция будет
непрерывной слева, если положитьf(x)
равное какому- либо числу, отличному от
1 или –1, то функция не будет непрерывна
ни слева, ни справа, но во всех случаях
тем не менее будет иметь в точке х = 0
разрыв 1 – го рода. В этом примере точка
разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом,
для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода
была устранимой, необходимо, чтобы
односторонние пределы справа и слева
были конечны и равны, а функция была бы
в этой точке не определена.

§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение.Функцияf(x)
называетсянепрерывной на интервале
(отрезке), если она непрерывна в любой
точке интервала (отрезка).

При этом не
требуется непрерывность функции на
концах отрезка или интервала, необходима
только односторонняя непрерывность на
концах отрезка или интервала.

Свойства
функций, непрерывных на отрезке.

Свойство
1:(Первая теорема Вейерштрасса
(Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий
математик)). Функция, непрерывная на
отрезке, ограничена на этом отрезке,
т.е. на отрезке [a,b]
выполняется условие –M£f(x)£M.

Доказательство этого свойства основано
на том, что функция, непрерывная в точке
х₀, ограничена в некоторой ее
окрестности, а если разбивать отрезок
[a,b] на
бесконечное количество отрезков, которые
“стягиваются” к точке х₀, то
образуется некоторая окрестность точки
х₀.

Свойство 2:Функция, непрерывная
на отрезке [a,b],
принимает на нем наибольшее и наименьшее
значения.

Т.е. существуют такие значения х₁и х₂, чтоf(x₁)
=m,f(x₂)
=M, причем

m£f(x)£M

Отметим эти наибольшие и наименьшие
значения функция может принимать на
отрезке и несколько раз (например –
f(x) =sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим
значением функции на отрезке называется
колебанием функции на отрезке.

Свойство 3:(Вторая теорема
Больцано – Коши). Функция, непрерывная
на отрезке [a,b],
принимает на этом отрезке все значения
между двумя произвольными величинами.

Свойство 4:Если функцияf(x)
непрерывна в точке х = х₀, то
существует некоторая окрестность точки
х₀, в которой функция сохраняет
знак.

Свойство 5:(Первая теорема
Больцано (1781-1848) – Коши). Если функцияf(x)- непрерывная
на отрезке [a,b]
и имеет на концах отрезка значения
противоположных знаков, то существует
такая точка внутри этого отрезка, гдеf(x) = 0.

Т.е. если
sign(f(a)) ¹
sign(f(b)), то $
х₀:
f(x₀)
= 0.

Определение.Функцияf(x)
называетсяравномерно непрерывнойна отрезке [a,b],
если для любогоe>0
существуетD>0 такое,
что для любых точек х₁Î[a,b]
иx₂Î[a,b]
таких, что

ïх₂– х₁ï<D

верно
неравенство ïf(x₂)
–f(x₁)ï<e

Отличие
равномерной непрерывности от “обычной”
в том, что для любого eсуществует своеD, не
зависящее от х, а при “обычной”
непрерывностиDзависит отeи х.

Свойство
6:Теорема Кантора (Кантор Георг
(1845-1918)- немецкий математик). Функция,
непрерывная на отрезке, равномерно
непрерывна на нем.

(Это свойство
справедливо только для отрезков, а не
для интервалов и полуинтервалов.)

Пример.

Функция
непрерывна на интервале (0, а), но не
является на нем равномерно непрерывной,
т.к. существует такое числоD>0
такое, что существуют значения х₁и х₂такие, чтоïf(x₁)
–f(x₂)ï>e,e- любое
число при условии, что х₁и х₂близки к нулю.

Свойство
7:Если функцияf(x)
определена, монотонна и непрерывна на
некотором промежутке, то и обратная ей
функция х =g(y)
тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример.Исследовать на непрерывность функцию
и определить тип точек разрыва, если
они есть.

в точке х = -1
функция непрерывна в точке х = 1
точка разрыва 1 – го рода

у

3

2

-4
-1 0 1 х

Пример.Исследовать на непрерывность
функцию и определить тип точек разрыва,
если они есть.

в точке х = 0
функция непрерывна в точке х = 1
точка разрыва 1 – го рода

у

2

1

-p-p/2 0 1x

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. По стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке

2. Точка называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции f(x) в точке

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

Пример №32

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения При х=0 функция

не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как то х=0 – точка устранимого разрыва.

Если положить f(0)=0, то функция будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения и х=2 – точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то х=2 -точка разрыва второго рода.

Пример №33

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции – вся числовая прямая: Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Исследуем точку

Так как – точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен

Исследуем точку

Поскольку то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех

Построим график функции.

——

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка  будет точкой разрыва функции  если выполняется одно из условий:

1. функция в точке  не определена;
2. не существует предела функции в точке  или он равен бесконечности;
3. предел функции в точке  не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений  только справа или слева от точки  Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Обозначают:

Точку  называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку  называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке  — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку  называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Пример №522

Найдите точки разрыва функции  и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является  Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

 Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому  — точка разрыва второго рода.

Пример №523

Исследуйте функцию  на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов  функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой  то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Если  слева, то функция имеет вид

  а при  справа  Следовательно,  — точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая  называется вертикальной асимптотой кривой, если при  (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Например, ось  является вертикальной асимптотой для графиков функций  (см. рис. 17, б) и  (см. рис. 33).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №524

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Решение:

Поскольку функция не определена в точке  то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Следовательно,  вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если  — вертикальная асимптота функции  — точка разрыва второго рода.

Пример №525

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве 

а) Функция  не определена в точке  следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку  является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.

б) Функция  не определена в точке  эта точка является точкой разрыва. Поскольку  то  является точкой разрыва второго рода.

Пример №526

Заданные функции до определить в точке  так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Решение:

а) Имеем  Положив  получим, что  т.е. функция непрерывна в точке  Итак, 

б) Вычислим предел заданной функции в точке  Имеем:

Если теперь за значение функции в точке  взять число  , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак, 

Пример №527

Имеет ли уравнение  хотя бы один действительный корень на отрезке 

Рассмотрим функцию  Эта функция непрерывна на отрезке  и на его концах приобретает различные по знаку значения:  Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка  в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №528

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая 

Решение:

1) Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке  Поскольку  то прямая  — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Горизонтальных асимптот нет.