Как определить вид треугольника по координатам
Опубликовано 13.06.2017 по предмету Геометрия от Гость >>
Ответ оставил Гость
1) Для начала, чтобы определить вид треугольника, надо найти длины его сторон. Как это делается?
Допустим, для стороны AB:
Тогда |AB|=√8 ед.
В данном случае не важно берём ли мы A(x1;y1) или (x2;y2), поскольку в квадрате всё равно минус уйдёт, но, запомните, если вы находите не длину вектора, а его координаты, то очень важно, что буква, которая стоит второй, от её координат будут отниматься координаты первой.
То есть: AB(x2-x1;y2-y1), где A(x1;y1), B(x2;y2)
BA(x2-x1;y2-y1), где A(x2;y2), B(x1;y1)
Это крайне важно, так как тут уже значения будут разные, если не запомнить этого.
Но это просто между слов — сейчас нам это не надо.
Как мы нашли |AB|, так мы находим BC и AC:
ед
ед
Первое, что мы видим, что AB≠BC≠AC, то есть треугольник не равнобедренный и не равносторонний.
Теперь стоит проверить на последнюю теорему — теорему Пифагора, если это равнобедренный треугольник, то его диагональ длиннее двух его сторон, то есть ею должна быть сторона BC.
Теорема Пифагора:
c²=a² + b², где у нас в данном случае c=|BC|, a=|AB|, b=|AC|
Проверяем:
|BC|²=|AB|²+|AC|²
√10²=√8² + √2²
10=8+2
10=10
Итак, теорема работает, значит перед нами прямоугольный треугольник.
2) Площадь прямоугольного треугольника это половина произведения его катетов:
это будет равно 2 ед² (√8*2=√16=4 и делим на 2)
3) Формула нахождения центра вписанной окружности следующая:
Не стоит говорить, как такую формулу выводить, просто нужно её запомнить.
Тогда:
Что примерно равно 0,54 ед (коль мой калькулятор мне не лжёт).
4)R=c/2
Такова формула радиуса описанной окружности, то есть R=0,5√10 ед
Если где-то чего-то недостаточно из объяснения, то пишите в лс — распишу ещё подробней.
2.9. Типовая задача с треугольником
Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.
Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:
Задача 95
Даны вершины треугольника . Требуется:
1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
8) найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать: 
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.
Вперёд без страха и сомнений:
1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум точкам.
Составим уравнение стороны по точкам :
Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.
Теперь найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент:
Самостоятельно разбираемся со сторонами и сверяемся, что получилось:
2) Найдём длину стороны . Используем соответствующую формулу для точек :
Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка 🙂
3) Найдём . Это Задача 31, повторим: 
Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого он есть.
Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла между прямыми, так как они всегда дают острый угол.
4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь! 
Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор . Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :
5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали: 
Из уравнения стороны снимаем вектор нормали . Уравнение высоты составим по точке и направляющему вектору :
Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.
Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты составим по точке и угловому коэффициенту :
Длину высоты можно найти двумя способами.
Существует окольный путь:
6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:
7) Уравнение медианы составим в два шага:
а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка. Известны концы , и тогда середина:
б) Уравнение медианы составим по точкам : 
– для проверки подставим координаты точек .
8) Найдём точку пересечения высоты и медианы:
в
Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:
9) Биссектриса делит угол пополам: 
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .
Таким образом, . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да, параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки известны и понеслась нелёгкая:
Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу и избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разбираемся со второй координатой:
И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам по формуле :
обратите внимание на технику упрощений:
Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)
10) Найдём центр тяжести треугольника.
Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу?
Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство: 
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо отношение
Нам известны концы отрезка – точки и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:
Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные неравенства:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: 
Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к Задаче 90.
Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .
И, наконец, для составим многочлен , в который подставим координаты точки : .
Таким образом, получаем третье неравенство: .
Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:
Какой можно сделать вывод?
Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.
Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =)
Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 9) B(0 ; 6) C(4 ; 2) решите пожалуйста (на базе 9 класса)геометрия?
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 9) B(0 ; 6) C(4 ; 2) решите пожалуйста (на базе 9 класса)геометрия.
Найдем длины сторон треугольника АВС$|overline|=sqrt=3sqrt\ |overline|=sqrt=5sqrt\ |overline|=sqrt=4sqrt$В любом треугольнике по крайней мере два острых угла.
Для определения вида треугольника достаточно найти наибольший угол.
Против большей стороны — наибольший угол.
Вид треугольника — прямоугольный.
Определить вид треугольника ABC, если A(1, 4), B(6, 0), C(8, 4)?
Определить вид треугольника ABC, если A(1, 4), B(6, 0), C(8, 4).
Помогите решить задачу по геометрии 7 класс?
Помогите решить задачу по геометрии 7 класс!
Дан треугольник ABC, AN и CM — биссектрисы, AN = CM, AM = CN.
Определите вид треугольника ABC.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ ПРОШУ?
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ ПРОШУ.
В треугольнике ABC внешний и внутренний углы при вершине C равны.
Определите, какая из сторон треугольника ABC является наибольшей.
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 7 ; — 4), B(5 ; — 3 ; 2), C(1 ; 3 ; — 10)?
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 7 ; — 4), B(5 ; — 3 ; 2), C(1 ; 3 ; — 10).
Определите вид треугольника ABC , если A(3 ; 9 ), B(0 ; 6) , С(4 ; 2)?
Определите вид треугольника ABC , если A(3 ; 9 ), B(0 ; 6) , С(4 ; 2).
Ну пожалуйста решите надо найти неизвестные углы треугольника ABC?
Ну пожалуйста решите надо найти неизвестные углы треугольника ABC.
Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника?
Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника.
Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника.
A(−8 ; −1), B(−5 ; −5) и C(−2 ; −1).
Темой проведённой через вершину в треугольника ABC параллельно стороне AC образует со сторонами BA и BC равные углы Определите вид треугольника ABC?
Темой проведённой через вершину в треугольника ABC параллельно стороне AC образует со сторонами BA и BC равные углы Определите вид треугольника ABC.
Помагите пожалуйста плиз.
Точки M, N и K — середины средних линий треугольника ABC ?
Точки M, N и K — середины средних линий треугольника ABC .
Найти периметр треугольника MNK, если периметр треугольника ABC равен 48см
В треугольнике ABC проведена средняя линия MN?
В треугольнике ABC проведена средняя линия MN.
Периметр треугольника AMN = 25 см.
Определи периметр треугольника ABC.
На этой странице сайта размещен вопрос Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 9) B(0 ; 6) C(4 ; 2) решите пожалуйста (на базе 9 класса)геометрия? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
Б — да, ответствующие углы раны, В — да, сумма соседних углов = 180 градусов а — нет . Накрест лежащие углы не равны г — нет, сумма соседних углов не равна 180 градусов.
Помойму 30 но это не точно.
Нет, не всегда теоремы равенства треугольников знаешь .
Получ. Они образуют перпендикуляр.
Давайте я попробую помочь. : ).
1. нехай АВС — рівнобедрений трикутник ; АС = 4 см, АВ = 11см ; ВС = АВ = 11 см(АВС рівнобедрений), тоді Р = АВ + ВС + АС = 11 + 11 + 4 = 26(см) 2. Нехай АВС — рівнобедрений трикутник ; АС = 8см, Р = 26см ; у рівнобедреному трикутнику бічні сторони ..
Короче, вот тебе решение с чертежом. Я сама пыталась решить, но ничо не поняла) ответ скорее всего удалят.
Рисунка не будет, ибо там рисовать нечего. Обычный треугольник АВС только с продолженной стороной АС, там и будет угол в 150° Дано : ΔАВС — равносторонний. ∠С(внешний) = 150° Найти : ∠В Решение : 1)∠С = 180° — 150° = 30° (смежные углы) 2)∠А = ∠С = ..
431. Определите вид треугольника ABC, если: а) A (9; 3; —5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) A (3; 7; -4), В (5; -3; 2), С (1; 3; — 10); в) A (5; -5; -1),В(5; -3; -1), С (4; -3;0); г) A (-5; 2; 0), В ( — 4; 3; 0), С (-5; 2; -2).
Если a=b=c, то треугольник ABC — равносторонний. Если:
с=b ≠ a, то треугольник равнобедренный, если нет одинаковых сторон: с ≠ b ≠ а, то есть если а > b ≥ с, то следует проверить, выполняется ли теорема Пифагора. Если да, то ΔABC — прямоугольный.
AB=ВС=АС, треугольник равносторонний.
Проверим, выполняется ли равенство:
— верно. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
Проверим, выполняется ли равенство
6=4+2 — выполняется. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный равносторонний.
Следовательно, треугольник ABC —
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №431
к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора.».
Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.Часть 1
Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии.
Немного истории
Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 100 процентов.
В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне. Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам).
Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли».
Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью.
Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics.mccme. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии.
Вступление
«Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др. Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть либо ответ на какой-то вопрос, либо какой-то геометрический объект».
Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов.
Немного теории о векторах
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления. 
Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(a, b) = |a||b|cos∠(a, b) 
Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то скалярное произведение (a, b) = x1x2 + y1y2.
Косое произведение векторов
Псевдоскалярным или косым произведением векторов на плоскости называется число
[a, b] = |a||b|sinθ
где — угол вращения (против часовой стрелки) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают [a, b] = 0.
Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то косое произведение [a, b] = x1y2 — x2y1.
Геометрически косое произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. 
Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения.
А теперь займемся практикой
Начнем с треугольников 
Задача №1
Задача очень простая, а именно: по введенным трем числам a, b, c определить существует ли треугольник с такими сторонами.
Решение
Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Оказывается, нет! Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника.
Задача №2
Задача является очень похожей на предыдущую с той разницей, что треугольник задан не сторонами, а координатами вершин.
Решение
С первого взгляда решение кажется очевидным: вычислить стороны треугольника и свести задачу к предыдущей. Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x1, y1), B(x2, y2) вычисляется по формуле √(x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 то при извлечении корня возможна потеря точности, что плохо скажется на проверке неравенства треугольника. Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой. 
Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели.
Задача №3
Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.
Решение
Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника.
Из курса геометрии известно, что напротив большей стороны лежит больший угол (он нам и нужен). Поэтому если мы выясним чему равен больший угол, то поймем тип треугольника:
- Угол больше 90° – треугольник тупоугольный
- Угол меньше 90°– треугольник остроугольный
- Угол равен 90°– треугольник прямоугольный
Воспользуемся теоремой косинусов: 
Очевидно, что если косинус угла больше нуля то угол меньше 90°, если он равен нулю, то угол равен 90°, если он меньше нуля, то угол больше 90°. Однако немного поразмыслив можно понять, что вычислять косинус угла не обязательно, необходимо учесть лишь его знак:
- Если cosα > 0, то a 2 2 + c 2 – треугольник остроугольный
- Если cosα = 0, то a 2 = b 2 + c 2 – треугольник прямоугольный
- Если cosα 2 > b 2 + c 2 – треугольник тупоугольный
где a – большая сторона.
Задача №4
Задача аналогична предыдущей задаче, только треугольник задан не своими сторонами, а координатами вершин.
Решение
Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника.
Задача №5
По данным сторонам треугольника найти его площадь.
Решение
Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона. 
Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы?
Задача №6
Вычислить площадь треугольника заданного координатами своих вершин.
Решение
Не будем говорить о решении, которое сводится к предыдущей задачи, а попробуем воспользоваться геометрическим смыслом косового произведения. Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма.
Для векторов a(x1, y1), b(x2, y2)
S = (x1y2 — x2y1) / 2 — ориентированная площадь треугольника
Задача №7
Дана точка и треугольник заданный координатами своих вершин. Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника.
Решение
У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного.
Метод площадей
Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри.
Вычислять площади треугольников, естественно, надо через косое произведение векторов. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях.
Проверка полуплоскостей
Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника. 
В первом примере сторона AB разводит вершину C и точку K по разным полуплоскостям, поэтому точка лежит снаружи.
Задача №8
Вычисление площади многоугольника заданного координатами своих вершин.
Решение
Под многоугольником будем подразумевать простой многоугольник, то есть без самопересечений. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым.
Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников.
Метод трапеций
Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника.
S = SA1 A2 B2 B1 + SA2 A3 B3 B2 + SA3 A4 B5 B3 + SA4 A5 B6 B5 + SA5 A6 B4 B6 + SA6 A1 B1 B4
Площади трапеций считаем по известной формуле: полусумма оснований на высоту
SA1 A2 B2 B1 = 0.5 * (A1B1 + A2B2) *(B2 — B1)
Поскольку полученная площадь является ориентированной, необходимо вычислить ее модуль.
Метод треугольников
Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть.
Задача №9
Многоугольник задан координатами своих вершин в порядке его обхода. Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым.
Решение
Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. 
Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений [Ai Ai+1, Ai+1 Ai+2] либо положительны, либо отрицательны. Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки.
Задача №10
Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).
Решение
Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица. 
Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно. Так же мы можем вычислить количество целых точек лежащих на границе многоугольника, поэтому в формуле Пика остается лишь одна искомая неизвестная которую мы можем найти.
Рассмотрим пример: 
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точек лежит строго внутри многоугольника
Вот так вот решается эта задачка!
Вот и все! Надеюсь, Вам понравилась статья, и я напишу ее вторую часть.
Как определить вид треугольника
Онлайн калькулятор поможет узнать по сторонам, является ли треугольник прямоугольным, равнобедренным, равносторонним или разносторонним.
Как определить, что треугольник прямоугольный: по Теорема Пифагора — сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы c 2 = a 2 + b 2
Как определить, что треугольник равнобедренный: один из признаков равнобедренного треугольника – две стороны равны.
Как определить, что треугольник равносторонний: все стороны равны.
Принято выделять три типа треугольников:
тупоугольные – один из углов более 90 градусов,
прямоугольные – один из угол равен 90 градусов,
остроугольные – все углы менее 90 градусов.
Это классификация по типу углов.
[spoiler title=”источники:”]
http://habr.com/ru/post/147691/
http://allcalc.ru/node/1051
[/spoiler]
как по координатам вершин треугольника определить его тип?
Знаток
(490),
закрыт
11 лет назад
Николас
Гуру
(3896)
11 лет назад
Это смотря в каком классе?
Можно векторно, можно рисунком, а можно и дискретную математику подключить.
Но тип установить можно.
Димас
Мастер
(1144)
11 лет назад
Нужно найти расстояния между вершинами этого треугольника по формуле: 1) если равны хотя бы два расстояния, то треугольник равнобедренный, если все три, то он ещё и равносторонний. , 2) если ни одно из расстояний не равно, то треугольник разностороронний. 3) далее нужно определить прямоугольный он или нет. для этого надо найти, возможно ли, что квадрат одного расстояния равен сумме квадратов двух других расстояний (Теорема Пифагора).
Сравним длины сторон треугольника. Для этого по формуле расстояния между двумя точками
найдем
Если a=b=c, то треугольник ABC — равносторонний. Если:
с=b ≠ a, то треугольник равнобедренный, если нет одинаковых сторон: с ≠ b ≠ а, то есть если а > b ≥ с, то следует проверить, выполняется ли теорема Пифагора. Если да, то ΔABC — прямоугольный.
а)
AB=ВС=АС, треугольник равносторонний.
б)
Проверим, выполняется ли равенство:
— верно. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
в)
Проверим, выполняется ли равенство
6=4+2 — выполняется. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный равносторонний.
г)
Проверим:
Следовательно, треугольник ABC —
прямоугольный равносторонний.
Как определить вид треугольника по координатам точек
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №431
к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора.».
Если a=b=c, то треугольник ABC — равносторонний. Если:
с=b ≠ a, то треугольник равнобедренный, если нет одинаковых сторон: с ≠ b ≠ а, то есть если а > b ≥ с, то следует проверить, выполняется ли теорема Пифагора. Если да, то ΔABC — прямоугольный.
AB=ВС=АС, треугольник равносторонний.
Проверим, выполняется ли равенство:
— верно. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
Проверим, выполняется ли равенство
6=4+2 — выполняется. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный равносторонний.
Онлайн калькулятор поможет узнать по сторонам, является ли треугольник прямоугольным, равнобедренным, равносторонним или разносторонним.
Как определить, что треугольник прямоугольный: по Теорема Пифагора — сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы c 2 = a 2 + b 2
Как определить, что треугольник равнобедренный: один из признаков равнобедренного треугольника — две стороны равны.
Как определить, что треугольник равносторонний: все стороны равны.
Принято выделять три типа треугольников:
тупоугольные — один из углов более 90 градусов,
прямоугольные — один из угол равен 90 градусов,
остроугольные — все углы менее 90 градусов.
Это классификация по типу углов.
Теорема о неравенстве треугольника: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. То есть
если с — большая сторона и
если а + b > c, то треугольник существует и
если a² + b² > c², то треугольник остроугольный,
если a² + b² 4, следовательно
треугольник остроугольный, разносторонний.
