Как найти точки экстремума алгоритм

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).
• Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х² -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t² − 48t + 15, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

Алгоритм нахождения экстремумов функции и интервалов ее монотонности с помощью первой производной

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f ‘(x).

3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f ‘(x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x₀ есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f ‘(x)f ‘(x)0, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x₀, знак производной не меняется, то в точке x₀ функция экстремума не имеет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

7. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

____________________________________________________________________________

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x³–3x² и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R. Найдем производную: f ‘(x)=3x²–6x.

2) Из уравнения 3x²–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x₁=0 и x₂=2.

3) Так как при переходе через точку x₁=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x₂ =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x₂ = 2 у функции минимум.

5) Составим таблицу:

x	(;0]	0	[0; 2]	2	[2; +)
f ‘(x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	fmax(0) = 0	↓	fmin(2) = – 4	↑

6) Таким образом, данная функция в промежутке отx 0 возрастает, в промежутке от 0 x 2 убывает, а в промежутке от 2 x опять возрастает.

Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

функция возрастает (;0] и [2; +), функция убывает [0; 2].

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R, кроме

2) Найдем производную: f ‘(x)= .

3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна для всех R, кроме . Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области определения.

4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках:

x x2 и 2x + .

Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (;-2) , (-2; 2) и (2; +).

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена если , т.е. на интервалах (-; -3) и (3; +).

2) На каждом из этих интервалов функция имеет производную .

3) Заметим, что производная не обращается в ноль на интервалах (-; -3) и (3; +), значит, точек экстремума нет.

4) Так как для любых x 3 и для x ; -3) и возрастает на промежутке (3; +). Функция не определена на отрезке [-3; 3].

Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (-; -3), возрастает (3; +).

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) = и найти ее промежутки монотонности.

1) Функция определена, если , т.е. на промежутке [-5; 5].

2) Найдем производную функции .

3) при х = 0, значит 0 – критическая точка.

4) Так как при переходе через точку x =0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

5) Таким образом, данная функция в промежутке от -5 x 0 возрастает, в промежутке от 0 x 5 убывает.

Ответ: (0; 5) – точка максимума; функция возрастает [-5;0] и функция убывает [0; 5].

Приложение

Схематическое изображение графиков функций, рассмотренных в примерах 1-4.

Пример 1. Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

п.1. Алгоритм решения задач на поиск экстремума

Точка максимума (x=5, f_{max}=5cdot (10-5)=25)
Т.е., 10 нужно разбить на две пятерки, которые дадут максимальное возможное произведение 25.
Ответ: 5 и 5, максимальное произведение 25

п.2. Примеры

Пример 1. Какое число в сумме со своим квадратом дает наименьшее значение?
Пусть (x) – данное число.
По условию: (f(x)=x+x^2rightarrow min)
Исследуем полученную функцию на экстремум:
(f'(x)=(x+x^2)’=1+2x)
(f'(x)=0) при (x=-frac12)
По условию значение (xin mathbb{R}).

Точка минимума (x=-frac12, f_{min}=-frac12+left(-frac12right)^2=-frac12+frac14=-frac14)
Ответ: число (left(-frac12right)), минимальная сумма (left(-frac14right))

Пример 2. Какой из прямоугольников, вписанных в круг радиусом R, имеет наибольшую площадь?

Мы получили площадь как функцию от угла: (S(alpha)=2R^2 sin⁡alpha)
Исследуем полученную функцию на экстремум:
(S'(alpha)=2R^2 cosalpha)
(S'(alpha)=0) при (cos⁡alpha=0Rightarrow alpha=fracpi 2) – прямой угол.

Пример 3. Какой из прямоугольников, вписанных в круг радиусом R, имеет наибольший периметр?

Сторона BC: begin{gather*} BC^2=OB^2+OC^2-2OBcdot OCcdot cos(180^{circ}-alpha)=\ =R^2+R^2+2R^2cosalpha=2R^2(1+cosalpha)=2R^2cdot 2cos^2fracalpha 2=4R^2cos^2fracalpha 2\ BC=2Rcosfracalpha 2 end{gather*} Периметр: begin{gather*} P(alpha)=2(AB+BC)=2left(2Rsinfracalpha 2+2Rcosfracalpha 2right)=4Rleft(sinfracalpha 2+cosfracalpha 2right), 0ltfracalpha 2ltfracpi 2 end{gather*} Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} P'(alpha)=4Rleft(frac12 cosfracalpha 2-frac12 sinfracalpha 2right)=2Rleft(cosfracalpha 2-sinfracalpha 2right)\ P'(alpha)=0Rightarrow cosfracalpha 2-sinfracalpha 2=0Rightarrow sinfracalpha 2=cosfracalpha 2 |: cosfracalpha 2\ tgfracalpha 2=1Rightarrow fracalpha 2=fracpi 4=Rightarrow alpha = fracpi 2 – text{прямой угол} end{gather*}

Пример 5*. Найдите наибольшей объем конуса с образующей a.

Объем как функция угла при основании: (V(alpha)=frac{pi a^3}{3}cos^2alpha sinalpha)
Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} V'(alpha)=frac{pi a^3}{3}((cos^2alpha)’sinalpha+cos^2alpha sin’alpha)=frac{pi a^3}{3}(-2cosalphacdot sin^2alpha+cos^3alpha)=\ =frac{pi a^3}{3}cosalpha(cos^2alpha-2sin^2alpha)=frac{pi a^3}{3}cosalpha(cos^2alpha-2(1-cos^2alpha))=\ =frac{pi a^3}{3}cosalpha(3cos^2alpha-2) end{gather*} Решаем уравнение (V'(alpha)=0Rightarrow cosalpha(3cos^2alpha-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} cosalpha=0\ 3cos^2alpha-2=0 end{array} right. )
(cosalpha=0) дает (alpha=fracpi 2) – это корень не подходит.
Решаем второе уравнение: (3cos^2alpha-2=0Rightarrow cos^2alpha=frac23Rightarrow cosalpha=pmsqrt{frac23})
Для (0ltalphaltfracpi 2) выбираем положительное значение (cosalpha=sqrt{frac23})
Тогда (sinalpha=sqrt{1-cos^2alpha}=sqrt{1-frac23}=frac{1}{sqrt{3}})

Пример 6. В данный конус вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение высоты конуса к высоте этого цилиндра.

Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} S'(r)=frac{2H}{R}(Rr-r^2)’=frac{2H}{R}(R-2r)\ S'(r)=0 text{при} r=frac R2 end{gather*} По условию (0lt rlt R)

Точка максимума (r=frac R2)
Искомое отношение в точке максимума: $$ frac Hh=frac{R}{R-r}=frac{R}{R-frac R2}=2 $$
Ответ: 2

Пример 7*. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

Выразим площадь трапеции через угол.
Найдем диагональ AC по формуле косинусов: begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2ABcdot BCcdot cosalpha=d^2+d^2-2d^2cosalpha=2d^2(1-cosalpha)=\ =2d^2cdot 2sin^2fracalpha 2=4d^2sin^2fracalpha 2\ AC=sqrt{4d^2sin^2fracalpha 2}=2dsinfracalpha 2 end{gather*} Заметим, что (angle ACD=angle BCD-angle BCA=alpha-left(90^circ-fracalpha 2right)=frac{3alpha}{2}-90^circ)
Площадь трапеции: begin{gather*} S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=frac12 ABcdot BCcdot sinalpha+frac12 ACcdot CDcdot sinangle ACD=\ =frac12left(d^2sinalpha+2dsinfracalpha 2cdot 2cdot sinleft(frac{3alpha}{2}-90^circright)right)=frac{d^2}{2}left(sinalpha+2sinfracalpha 2 sinleft(frac{3alpha}{2}-90^circright)right)=\ =frac{d^2}{2}left(sinalpha-2sinfracalpha 2 cosfrac{3alpha}{2}right)=frac{d^2}{2}left(sinalpha-sinleft(fracalpha 2+frac{3alpha}{2}right)+sinleft(fracalpha 2-frac{3alpha}{2}right)right)=\ =frac{d^2}{2}(sinalpha-(sin2alpha-sinalpha))=frac{d^2}{4}(2sinalpha-sin2alpha)=\ =frac{d^2}{4}(2sinalpha-2sinalpha cosalpha)=frac{d^2}{2}sinalpha(1-cosalpha) end{gather*} Полученная функция: $$ S(alpha)=frac{d^2}{2}sinalpha(1-cosalpha) $$ Исследуем на экстремум: begin{gather*} S'(alpha)=frac{d^2}{2}(sin’aalpha(1-cosalpha)+sinalpha(1-cosalpha)’)=\ =frac{d^2}{2}(cosalpha(1-cosalpha)+sin^2alpha)=frac{d^2}{2}(cosalpha-cos^2alpha+1-cos^2alpha)=\ =frac{d^2}{2}(1+cosalpha-2cos^2alpha) end{gather*} Решаем уравнение begin{gather*} S'(alpha)=0Rightarrow 1+cosalpha-2cos^2alpha=0\ 2cos^2alpha-cosalpha-1=0 end{gather*} Замена: (t=cosalpha, |t|leq 1) begin{gather*} 2t^2-t-1=0Rightarrow (2t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} t=-frac12\ t=1 end{array} right. end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной. По условию (0lt alphaltpi). begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosalpha=-frac12\ cosalpha=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} a=frac{2pi}{3}\ a=0 – text{не подходит} end{array} right. end{gather*}

Точка максимума (alpha=frac{2pi}{3})
Максимальная площадь поперечного сечения $$ S_{max}=frac{d^2}{2}sinfrac{2pi}{3}left(1-cosfrac{2pi}{3}right)=frac{d^2}{2}cdot frac{sqrt{3}}{2}cdotleft(1+frac12right)=frac{3sqrt{3}}{8}d^2 $$ Желоб нужно делать с углом (frac{2pi}{3} (120^circ))
Ответ: (frac{2pi}{3})