Как найти точки экстремума для первообразной

На этой странице вы узнаете

• Где проходит граница между теплом и холодом? 
• Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
• Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции. 

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х. 

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х. 

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

• производная положительна на промежутках возрастания функции;
• производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у. 

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

• В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума. 
• На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
• На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

	Было	Взяли производную	Стало
Функция и производная	f(x)	f'(x)	f'(x)
Функция и первообразная	F(x)	F'(x)	f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной. 

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4]. 

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Фактчек

• Графики функции, производной и первообразной связаны между собой. 
• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 
• Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

1. На промежутках убывания функции.
2. На промежутках возрастания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

1. На промежутках возрастания функции.
2. На промежутках убывания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

1. Точка максимума функции.
2. Точка минимума функции.
3. Любая произвольная точка на функции.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

1. F(x) = f'(x)
2. F(x) = f(x)
3. F'(x) = f'(x)
4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ
Представим исходный интеграл, как сумму табличных интегралов и найдем функцию:
EQ i(;;f(t3;3)+t2)dt=i(;;f(t3;3))dx+i(;;t2)dt = EQ f(t4;12)+f(t3;3)+C

Подставим значения интеграла 0 и X, получим функцию
F(x) = EQ f(x4+4 x3;12)
Найдем точки экстремума
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f’0(x*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) < 0
то точка x* – локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
EQ yʹ = f(x3;3)+x2
или
EQ yʹ = f(x2·(x+3);3)
Приравниваем ее к нулю:
EQ f(x3;3)+x2 = 0
x1 = 0
x2 = -3
Вычисляем значения функции
f(0) = 0
EQ f(-3) = -f(9;4)

Решение:

EQ fmin = -f(9;4), fmax = 0
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
yʺ = x2+2·x
или
yʺ = x·(x+2)
Вычисляем:
yʺ(0) = 0=0 – значит точка x = 0 точка перегиба функции.
yʺ(-3) = 3>0 – значит точка x = -3 точка минимума функции.

Найдем точки перегиба
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
EQ fʹ(x) = f(x3;3)+x2 или EQ fʹ(x)=f(x2·(x+3);3)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x2·(x+3) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -3

EQ (-∞ ;-3) EQ (-3; 0) EQ (0; +∞)
f ‘(x) < 0 f ‘(x) > 0 f ‘(x) > 0
функция убывает
функция возрастает
функция возрастает

В окрестности точки x = -3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -3 – точка минимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
EQ fʺ(x) = f(x2;3)+f(2·x·(x+3);3) или fʺ(x) = x·(x+2)
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
x·(x+2) = 0
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
x2 = -2

EQ (-∞ ;-2) EQ (-2; 0) EQ (0; +∞)
f ”(x) > 0 f ”(x) < 0 f ”(x) > 0
функция вогнута
функция выпукла
функция вогнута

математический-анализ – Найти точки экстремума функции

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Вопрос 23 Метод наименьших квадратов

Предположим,
что есть N-наблюдений,
в рез-те происходит замер x,y.Результатом
получим: (x1,y1),
(x2,y2),…,(xn,yn).
Предполагая, что между x
и y
существует зависимость y=f(x),
необходимо найти значение параметров
ф-и f,
при которых она лучше согласуется с
экспериментальными данными.
y=f(x)-эмпирическая.

(x;f(x))
; f(x1)-y1=
δ1.
Согласно МНК, параметры f(x)
следует выбирать так, чтобы сумма
кв.ошибок была минимальной.

F(x)=ax+b;
F(x)=ax²+bx+c;
f(x)=a/x+b.
Выбрав одну их них, можно подобрать
параметры с помощью МНК:

F(x)=ax+b

Задача
заключается в нахождении коэффициентов
линейной зависимости, при которых
функция двух переменных а и b
принимает наименьшее значение. То
есть, при данных а и b
сумма квадратов отклонений экспериментальных
данных от найденной прямой будет
наименьшей. В этом вся суть метода
наименьших квадратов.

24 Вопрос Неопределенный интеграл, свойства

y=f(x);
F(x)-первообразная,
если ее производная совпадает с f(x).
F(x)=x²
F(x)=x³/3.
Если y=f(x)
и известна F(x),
то можно даказать Ф(x)=F(x)+C,
где С=const:
Ф`(x)=F(x)+C=
F`(x)+C`=
F`(x)=f(x):
Ф(x)-первообразная
для f(x)=>если
имеется y=f(x),
для которой есть F(x),
то для этой функции существует целый
класс первообразных F(x)+C.
Множество F(x)+C
– неопределенный интеграл для f(x):
∫f(x)*

25.Методы интегрирования неопред. Интеграла.

1. Непосредственное интегрирование.

Несомненно,
основным методом нахождения первообразной
функции является непосредственное
интегрирование с использованием таблицы
первообразных и свойств неопределенного
интеграла. Все другие методы используются
лишь для приведения исходного интеграла
к табличному виду.

Пример.

Найдите
множество первообразных функции 
.

Решение.

Запишем
функцию в виде 
.

Так
как интеграл суммы функций равен сумме
интегралов, то

 

Числовой
коэффициент можно вынести за знак
интеграла:

 

Первый
из интегралов приведен к табличному
виду, поэтому из таблицы первообразных
для показательной функции имеем 
.

Для
нахождения второго интеграла 
 воспользуемся
таблицей первообразных для степенной
функции 
 и
правилом 

То
есть, 
.
Следовательно, 

 

где 
. 

2.Интегрирование по частям

Данный
метод основан на правиле дифференц.
Произвед. 2-х функций и используется в
том случае, когда подынтегральная
функция как правило представлена в
виде произвед. 2-х функций.

Пусть u(x) и v(x) являются
дифференцируемыми функциями. Дифференциал
произведения функций u и vопределяется
формулой

Проинтегрировав
обе части этого выражения, получим

или,
переставляя члены,

Это
и есть формула
интегрирования по частям

.  Основные
случаи, когда применяется данный способ
интегрирования:

   1)
подинтегральная функция содержит
произведение многочлена от x на
показательную функцию от x или
произведение многочлена
от x на sin(x) илиcos(x),
или произведение многочлена
от x на ln(x);

   2)
подинтегральная функция представляет
собой одну из обратных тригонометрических
функций arcsin(x), arccjs(x) и
т.д.;

   3)
подинтегральная функция есть произведение
показательной функции
на sin(x) или cos(x).

 Пример: необходимо
найти интеграл

Положим u
= x, dv = sin(x)dx.
Тогда du
= dx, v = -cos(x).
Отсюда

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #