Как найти точки экстремума двух переменных онлайн

Как найти точки экстремума двух переменных онлайн

Экстремум функции двух переменных

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения в онлайн режиме наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных (см. пример). Решение оформляется в формате Word.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Для функции трех переменных можно использовать матрицу Гессе.

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.

1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.

2. Решают систему уравнений:

и таким образом находят критические точки функции.

3. Находят частные производные второго порядка:

4. Вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках M(x0;y0).

5. Делаю вывод о наличии экстремумов:

а) если AC – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;

б) если AC – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;

в) если AC – B2 < 0, то экстремума нет;

г) если AC – B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

Пример №1. Найти экстремумы функции f(x,y)=x3+xy2+x2+y2 и определить по критерию Сильвестра их тип.

Решение.

1. Найдем первые частные производные.





2. Решим систему уравнений.

3x2+2x+y2=0

2xy+2y=0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = -1

y2+1=0

Данная система уравнений не имеет решения.

б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:





или





или

Откуда x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0

Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0

Количество критических точек равно 2: M1(-2/3;0), M2(0;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.







4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M1(-2/3;0)







AC – B2 = -4/3 < 0, то глобального экстремума нет.

Вычисляем значения для точки M2(0;0)







AC – B2 = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M2(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Вывод: В точке M2(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Пример №2. Исследовать функцию на экстремум классическим методом: Z=8x2+2xy-5x+6.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник
bold{mathrm{Basic}} bold{alphabetagamma} bold{mathrm{ABGamma}} bold{sincos} bold{gedivrightarrow} bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} bold{sumspaceintspaceproduct} bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx}
ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square}
left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec
alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu
nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega
A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M
N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega
sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech
arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech
begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge
(square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil
overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset
vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete
int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod
lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x}
(2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5)
(1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1)
mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить}
arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div
arccos cos ln 4 5 6 times
arctan tan log 1 2 3 –
pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

  • extreme:f(x,y)=3x^{2}y+y^{3}−3x^{2}−3y^{2}+2

  • extreme:f(x,y)=x^{2}+y^{2}

Описание

Шаг за шагом найдите экстремальные и седловые точки функций с несколькими переменными

multi-var-function-extreme-points-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

  • The Art of Convergence Tests

    Infinite series can be very useful for computation and problem solving but it is often one of the most difficult…

    Read More

    • Введите Задачу

    Сохранить в блокнот!

    Войти

    Источник

    Ключевые слова: калькулятор экстремумов, найти экстремум функции двух переменных, частные производные первого и второго порядков, стационарные точки, калькулятор частных производных.

    Пример 1. Исследовать на экстремум функцию:

    Алгоритм решения следующий:

    1) находим частные производные первого порядка:

    Примечание: найти частные производные онлайн  (первого и второго порядка) можно с помощью калькулятора.

    2). Решаем систему уравнений:

    и таким образом находим стационарные точки функции.

    Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками.

    Для данного примера  получаем систему уравнений:

    стационарная точка: (-1;1)

    3) Находим вторые частные производные

    Вычисляем значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 стационарных точках M(x0;y0).

    Для данного примера, получаем

    4) Делаем вывод о наличии экстремумов:
    а) если AC – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;
    б) если AC – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;
    в) если AC – B2 < 0, то экстремума нет;
    г) если AC – B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

    Тогда в точке    x=-1, y=1

    Следовательно в точке x=-1, y=1 функция имеет локальный минимум

    Ответ: min{z}=0

    Проверить правильность решения можно с помощью калькулятора “экстремум функции”.

    Источник

    Экстремум функции двух переменных

    Как найти?

    Постановка задачи

    Найти экстремум функции двух переменных $ z = z(x,y) $

    План решения

    Экстремумы функции двух переменных возможны в стационарных точках функции. Стационарными точками называются точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, в которых первые частные производные функции равны нулю: $ z(x,y) = 0 $

    Для нахождения стационарных точек (подозрительных на экстремум) составляем систему:

    $$ begin{cases} z’_x = 0 \ z’_y = 0 end{cases} $$

    Решая систему получаем точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, каждую из которых нужно проверить на экстремум.

    Проверку осуществляется с помощью подстановки точек в выражение, называемое достаточным условием существования экстремума:

    $$ A = z”_{xx} cdot z”_{yy} – (z”_{xy})^2 $$

    Если в точке $ M(x_1,y_1) $:

    1. $ A>0 $ и $ z”_{xx} > 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка минимума
    2. $ A >0 $ и $ z”_{xx} < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка максимума
    3. $ A < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ не является точкой экстремума
    4. $ A = 0 $, то требуется дополнительное исследование (по определению)

    Итак, необходимо выполнить действия:

    1. Найти частные производные первого порядка. Приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Получить точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
    2. Найти частные производные второго порядка в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
    3. Используя достаточное условие существования экстремума делаем вывод о наличии экстремума в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $

    Примеры решений

    Пример 1
    Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^2 -xy +y^2 $
    Решение

    Находим частные производные первого порядка:

    $$ z’_x = 2x – y $$ $$ z’_y = -x + 2y $$

    Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему двух уравнений:

    $$ begin{cases} 2x-y = 0 \ -x + 2y = 0 end{cases} $$

    Решив систему получаем стационарную точку (подозрительные на экстремум):

    $$ M (0,0) $$

    Далее вычисляем значения частных производных второго порядка в точке $ M $:

    $$ z”_{xx} Big |_M = 2 $$ $$ z”_{yy} Big |_M= 2 $$ $$ z”_{xy} Big |_M = -1 $$

    Подставляя найденные значения в достаточное условие экстремума функции, проводим исследование знаков:

    $$ A = Big |_M = z”_{xx} Big |_M cdot z”_{yy} Big |_M – (z”_{xy} Big |_M)^2 = 2 cdot 2 – (-1)^2 = 3 $$

    Так как получили $ A > 0 $ и $ z”_{xx} > 0 $, то получается $ M(0,0) $ точка минимума.

    Наименьшее значение находится в минимуме и равно:

    $$ z_{min} (0,0) = 0^2 – 0 cdot 0 + 0^2 = 0 $$

    Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
    Ответ
    В точке $ M(0,0) $ находится минимум функции; $ z_{min} = 0 $
    Пример 2
    Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^3 + y^3 – 15xy $
    Решение

    Составляем систему уравнений из частных производных первого порядка:

    $$ begin{cases} z’_x = 3x^2 – 15y = 0 \ z’_y = 3y^2 – 15x =0 end{cases} $$

    Получаем стационарные точки $ M_1(0,0) $ и $ M_2(5,5) $, которые необходимо проверить через достаточное условие экстремума.

    Вычисляем значение частных прозводных второго порядка в точке $ M_1 $:

    $$ z”_{xx} Big |_{M_1} = 6x Big |_{M_1} = 0 $$

    $$ z”_{yy} Big |_{M_1} = 6y Big |_{M_2} = 6y Big |_{M_2} = 0 $$

    $$ z”_{xy} Big |_{M_1} = -15 $$

    Подставляем данные значения в формулу достаточного условия экстремума:

    $$ A Big |_{M_1} = 0 cdot 0 – (-15)^2 = -225 $$

    Так как $ A < 0 $, то в точке $ M_1(0,0) $ экстремума нет.

    Получаем значения частных производных 2 порядка в $ M_2 $:

    $$ z”_{xx} Big |_{M_2} = 6x Big |_{M_2} = 6 cdot 5 = 30 $$

    $$ z”_{yy} Big |_{M_2} = 6y Big |_{M_2} = 6 cdot 5 = 30 $$

    $$ z”_{xy} Big |_{M_2} = -15 $$

    Вычисляем значение выражения достаточного условия экстремума:

    $$ A = 30 cdot 30 – (-15)^2 = 900 – 225 = 675 $$

    Получили $ A > 0 $ и $ z”_{xx} > 0 $, то значит, $ M_2(5,5) $ точка минимума.

    Наименьшее значение функции $ z = x^3 + y^3 – 15xy $ равно:

    $$ z_{min} |_{M_2} = 5^3 + 5^3 – 15 cdot 5 cdot 5 = 125 + 125 – 375 = -125 $$
    Ответ
    В $ M_1 (0,0) $ экстремума нет, в $ M_2(5,5) $ минимум функции $ z_{min}=-125 $ 
    Источник

    The calculator will try to find the maxima and minima of the two- or three-variable function, subject to the given constraints, using the method of Lagrange multipliers, with steps shown.

    Related calculator:

    Critical Points, Extrema, and Saddle Points Calculator

    Your Input

    Find the maximum and minimum values of $$$f{left(x,y right)} = 3 x + 4 y$$$ subject to the constraint $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

    Solution

    Attention! This calculator doesn’t check the conditions for applying the method of Lagrange multipliers. Use it at your own risk: the answer may be incorrect.

    Rewrite the constraint $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ as $$$x^{2} + y^{2} – 25 = 0$$$.

    Form the Lagrangian: $$$L{left(x,y,lambda right)} = left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} – 25right)$$$.

    Find all the first-order partial derivatives:

    $$$frac{partial}{partial x} left(left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} – 25right)right) = 2 lambda x + 3$$$ (for steps, see partial derivative calculator).

    $$$frac{partial}{partial y} left(left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} – 25right)right) = 2 lambda y + 4$$$ (for steps, see partial derivative calculator).

    $$$frac{partial}{partial lambda} left(left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} – 25right)right) = x^{2} + y^{2} – 25$$$ (for steps, see partial derivative calculator).

    Next, solve the system $$$begin{cases} frac{partial L}{partial x} = 0 \ frac{partial L}{partial y} = 0 \ frac{partial L}{partial lambda} = 0 end{cases}$$$, or $$$begin{cases} 2 lambda x + 3 = 0 \ 2 lambda y + 4 = 0 \ x^{2} + y^{2} – 25 = 0 end{cases}$$$.

    The system has the following real solutions: $$$left(x, yright) = left(-3, -4right)$$$, $$$left(x, yright) = left(3, 4right)$$$.

    $$$f{left(-3,-4 right)} = -25$$$

    $$$f{left(3,4 right)} = 25$$$

    Thus, the minimum value is $$$-25$$$, and the maximum value is $$$25$$$.

    Answer

    Maximum

    $$$25$$$A at $$$left(x, yright) = left(3, 4right)$$$A.

    Minimum

    $$$-25$$$A at $$$left(x, yright) = left(-3, -4right)$$$A.

    Источник

    Добавить комментарий