Как найти точки экстремума функции при условии

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=psi(x)$, то подставив $y=psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=fleft(x,psi(x)right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$ (параметр $lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

$$
left { begin{aligned}
& frac{partial F}{partial x}=0;\
& frac{partial F}{partial y}=0;\
& varphi (x,y)=0.
end{aligned} right.
$$

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F < 0$, то условный максимум.

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: $varphi_{x}^{‘}dx+varphi_{y}^{‘}dy=0$, $dy=-frac{varphi_{x}^{‘}}{varphi_{y}^{‘}}dx$, поэтому в любой стационарной точке имеем:

$$d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxleft( -frac{varphi_{x}^{‘}}{varphi_{y}^{‘}}dxright)+F_{yy}^{”}left( -frac{varphi_{x}^{‘}}{varphi_{y}^{‘}}dxright)^2=\
=-frac{dx^2}{left(varphi_{y}^{‘} right)^2}cdotleft( -(varphi_{y}^{‘})^2 F_{xx}^{”}+2varphi_{x}^{‘}varphi_{y}^{‘}F_{xy}^{”}-(varphi_{x}^{‘})^2 F_{yy}^{”} right)$$

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

$$
H=left| begin{array} {ccc}
0 & varphi_{x}^{‘} & varphi_{y}^{‘}\
varphi_{x}^{‘} & normred{F_{xx}^{”}} & normred{F_{xy}^{”}} \
varphi_{y}^{‘} & normred{F_{xy}^{”}} & normred{F_{yy}^{”}} end{array} right|
$$

Красным цветом выделены элементы определителя $left| begin{array} {cc} F_{xx}^{”} & F_{xy}^{”} \ F_{xy}^{”} & F_{yy}^{”} end{array} right|$, который является гессианом функции Лагранжа. Если $H > 0$, то $d^2F < 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F > 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показатьскрыть

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

1. Составить функцию Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$
2. Решить систему $
   left { begin{aligned}
   & frac{partial F}{partial x}=0;\
   & frac{partial F}{partial y}=0;\
   & varphi (x,y)=0.
   end{aligned} right.$
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
   • Составить определитель $H$ и выяснить его знак
   • С учетом уравнения связи вычислить знак $d^2F$

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных

Допустим, мы имеем функцию $n$ переменных $z=f(x_1,x_2,ldots,x_n)$ и $m$ уравнений связи ($n > m$):

$$varphi_1(x_1,x_2,ldots,x_n)=0; ; varphi_2(x_1,x_2,ldots,x_n)=0,ldots,varphi_m(x_1,x_2,ldots,x_n)=0.$$

Обозначив множители Лагранжа как $lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,ldots,x_n,lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m)=f+lambda_1varphi_1+lambda_2varphi_2+ldots+lambda_mvarphi_m$$

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

$$left{begin{aligned}
& frac{partial F}{partial x_i}=0; (i=overline{1,n})\
& varphi_j=0; (j=overline{1,m})
end{aligned} right.$$

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F < 0$, – то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Определитель матрицы

$$left| begin{array} {ccccc} frac{partial^2F}{partial x_{1}^{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{1}partial x_{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{1}partial x_{3}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{1}partial x_{n}}\
frac{partial^2F}{partial x_{2}partial x_1} & frac{partial^2F}{partial x_{2}^{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{2}partial x_{3}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{2}partial x_{n}}\
frac{partial^2F}{partial x_{3} partial x_{1}} & frac{partial^2F}{partial x_{3}partial x_{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{3}^{2}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{3}partial x_{n}}\
ldots & ldots & ldots &ldots & ldots\
frac{partial^2F}{partial x_{n}partial x_{1}} & frac{partial^2F}{partial x_{n}partial x_{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{n}partial x_{3}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{n}^{2}}\
end{array} right|,$$

выделенной в матрице $L$ красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило:

• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},; H_{2m+2},ldots,H_{m+n}$ матрицы $L$ совпадают с знаком $(-1)^m$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,ldots,x_n)$.
• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},; H_{2m+2},ldots,H_{m+n}$ чередуются, причём знак минора $H_{2m+1}$ совпадает с знаком числа $(-1)^{m+1}$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,ldots,x_n)$.

Пример №1

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=x+3y$ при условии $x^2+y^2=10$.

Решение

Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости $z=x+3y$ для точек ее пересечения с цилиндром $x^2+y^2=10$.

Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию $z(x,y)=x+3y$ несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.

Обозначив $varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, составим функцию Лагранжа:

$$
F(x,y)=z(x,y)+lambda varphi(x,y)=x+3y+lambda(x^2+y^2-10);\
frac{partial F}{partial x}=1+2lambda x; frac{partial F}{partial y}=3+2lambda y.
$$

Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:

$$
left { begin{aligned}
& 1+2lambda x=0;\
& 3+2lambda y=0;\
& x^2+y^2-10=0.
end{aligned} right.
$$

Если предположить $lambda=0$, то первое уравнение станет таким: $1=0$. Полученное противоречие говорит о том, что $lambdaneq 0$. При условии $lambdaneq 0$ из первого и второго уравнений имеем: $x=-frac{1}{2lambda}$, $y=-frac{3}{2lambda}$. Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:

$$

left( -frac{1}{2lambda} right)^2+left( -frac{3}{2lambda} right)^2-10=0;\
frac{1}{4lambda^2}+frac{9}{4lambda^2}=10; lambda^2=frac{1}{4}; left[ begin{aligned} & lambda_1=-frac{1}{2};\ & lambda_2=frac{1}{2}. end{aligned} right.\
begin{aligned}
& lambda_1=-frac{1}{2}; ; x_1=-frac{1}{2lambda_1}=1; ; y_1=-frac{3}{2lambda_1}=3;\
& lambda_2=frac{1}{2}; ; x_2=-frac{1}{2lambda_2}=-1; ; y_2=-frac{3}{2lambda_2}=-3.end{aligned}
$$

Итак, система имеет два решения: $x_1=1;; y_1=3;; lambda_1=-frac{1}{2}$ и $x_2=-1;; y_2=-3;; lambda_2=frac{1}{2}$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. Для этого вычислим определитель $H$ в каждой из точек.

$$
varphi_{x}^{‘}=2x;; varphi_{y}^{‘}=2y;; F_{xx}^{”}=2lambda;; F_{xy}^{”}=0;; F_{yy}^{”}=2lambda.\

H=left| begin{array} {ccc} 0 & varphi_{x}^{‘} & varphi_{y}^{‘}\ varphi_{x}^{‘} & F_{xx}^{”} & F_{xy}^{”} \ varphi_{y}^{‘} & F_{xy}^{”} & F_{yy}^{”} end{array} right|=
left| begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\ 2x & 2lambda & 0 \ 2y & 0 & 2lambda end{array} right|=
8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end{array} right|
$$

В точке $M_1(1;3)$ получим:

$$H=8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end{array} right|=
8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\ 1 & -1/2 & 0 \ 3 & 0 & -1/2 end{array} right|=40 > 0.$$

Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_{max}=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:

$$H=8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end{array} right|=
8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \ -3 & 0 & 1/2 end{array} right|=-40$$

Так как $H < 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{min}=z(-1;-3)=-10$.

Отмечу, что вместо вычисления значения определителя $H$ в каждой точке, гораздо удобнее раскрыть его в общем виде. Дабы не загромождать текст подробностями, этот способ скрою под примечание.

Запись определителя $H$ в общем виде. показатьскрыть

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

$$
d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=2lambda left( dx^2+dy^2right)
$$

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $left( dx right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $lambda_1=-frac{1}{2}$ получим $d^2F < 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Ответ: в точке $(-1;-3)$ функция имеет условный минимум, $z_{min}=-10$. В точке $(1;3)$ функция имеет условный максимум, $z_{max}=10$.

Пример №2

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условии $x+y=0$.

Решение

Первый способ (метод множителей Лагранжа)

Обозначив $varphi(x,y)=x+y$ составим функцию Лагранжа:

$$F(x,y)=z(x,y)+lambda varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+lambda(x+y).$$

$$
frac{partial F}{partial x}=8x-y+lambda; ; frac{partial F}{partial y}=9y^2-x+lambda.\

left { begin{aligned} & 8x-y+lambda=0;\ & 9y^2-x+lambda=0; \ & x+y=0. end{aligned} right.

$$

Решив систему, получим: $x_1=0$, $y_1=0$, $lambda_1=0$ и $x_2=frac{10}{9}$, $y_2=-frac{10}{9}$, $lambda_2=-10$. Имеем две стационарные точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 left(frac{10}{9};-frac{10}{9} right)$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя $H$.

$$
H=left| begin{array} {ccc} 0 & varphi_{x}^{‘} & varphi_{y}^{‘}\ varphi_{x}^{‘} & F_{xx}^{”} & F_{xy}^{”} \ varphi_{y}^{‘} & F_{xy}^{”} & F_{yy}^{”} end{array} right|=
left| begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\ 1 & 8 & -1 \ 1 & -1 & 18y end{array} right|=-10-18y
$$

В точке $M_1(0;0)$ $H=-10-18cdot 0=-10 < 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{min}=0$. В точке $M_2left(frac{10}{9};-frac{10}{9}right)$ $H=10 > 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_{max}=frac{500}{243}$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

$$
d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2
$$

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$
d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2
$$

Так как $ d^2F Bigr|_{M_1}=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 < 0$, т.е. $M_2left(frac{10}{9}; -frac{10}{9} right)$ – точка условного максимума.

Второй способ

Из уравнения связи $x+y=0$ получим: $y=-x$. Подставив $y=-x$ в функцию $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получим некоторую функцию переменной $x$. Обозначим эту функцию как $u(x)$:

$$
u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2.
$$

Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

$$
u_{x}^{‘}=-9x^2+10x;\
-9x^2+10x=0; ; xcdot(-9x+10)=0;\
x_1=0; ; y_1=-x_1=0;\
x_2=frac{10}{9}; ; y_2=-x_2=-frac{10}{9}.
$$

Получили точки $M_1(0;0)$ и $M_2left(frac{10}{9}; -frac{10}{9}right)$. Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак $u_{xx}^{”}$ в каждой стационарной точке или проверяя смену знака $u_{x}^{‘}$ в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом. Например, проверим знак $u_{xx}^{”}$:

$$u_{xx}^{”}=-18x+10;\
u_{xx}^{”}(M_1)=10;;u_{xx}^{”}(M_2)=-10.$$

Так как $u_{xx}^{”}(M_1)>0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_{min}=u(0)=0$. Так как $u_{xx}^{”}(M_2)<0$, то $M_2$ – точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{max}=uleft(frac{10}{9}right)=frac{500}{243}$.

Значения функции $u(x)$ при заданном условии связи совпадают с значениями функции $z(x,y)$, т.е. найденные экстремумы функции $u(x)$ и есть искомые условные экстремумы функции $z(x,y)$.

Ответ: в точке $(0;0)$ функция имеет условный минимум, $z_{min}=0$. В точке $left(frac{10}{9}; -frac{10}{9} right)$ функция имеет условный максимум, $z_{max}=frac{500}{243}$.

Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака $d^2F$.

Пример №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5xy-4$, если переменные $x$ и $y$ положительны и удовлетворяют уравнению связи $frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0$.

Решение

Составим функцию Лагранжа: $F=5xy-4+lambda left( frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1 right)$. Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

$$
F_{x}^{‘}=5y+frac{lambda x}{4}; ; F_{y}^{‘}=5x+lambda y.\

left { begin{aligned}
& 5y+frac{lambda x}{4}=0;\
& 5x+lambda y=0;\
& frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0;\
& x > 0; ; y > 0.
end{aligned} right.
$$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; ; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $lambda=-frac{5x}{y}$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-frac{5x}{y}cdot frac{x}{4}=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $frac{4y^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

$$
F_{xx}^{”}=frac{lambda}{4}; ; F_{xy}^{”}=5; ; F_{yy}^{”}=lambda.
$$

Так как $frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0$, то:

$$
dleft( frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1right)=0; ; dleft( frac{x^2}{8} right)+dleft( frac{y^2}{2} right)=0; ; frac{x}{4}dx+ydy=0; ; dy=-frac{xdx}{4y}.
$$

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $lambda=-10$, получив при этом:

$$
F_{xx}^{”}=frac{-5}{2}; ; F_{xy}^{”}=-10; ; dy=-frac{dx}{2}.\

d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=-frac{5}{2}dx^2+10dxcdot left(-frac{dx}{2} right)-10cdot left(-frac{dx}{2} right)^2=\
=-frac{5}{2}dx^2-5dx^2-frac{5}{2}dx^2=-10dx^2.

$$

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

$$
d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=frac{lambda}{4}dx^2+10cdot dxcdot frac{-xdx}{4y} +lambdacdot left(-frac{xdx}{4y} right)^2=\
=frac{lambda}{4}dx^2-frac{5x}{2y}dx^2+lambda cdot frac{x^2dx^2}{16y^2}=left( frac{lambda}{4}-frac{5x}{2y}+frac{lambda cdot x^2}{16y^2} right)cdot dx^2
$$

Подставляя $x=2$, $y=1$, $lambda=-10$, получим:

$$
d^2 F=left( frac{-10}{4}-frac{10}{2}-frac{10 cdot 4}{16} right)cdot dx^2=-10dx^2.
$$

Так как $d^2F=-10cdot dx^2 < 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{max}=10-4=6$.

Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_{max}=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.

Условный экстремум

Лекция
№ 11

Условный экстремум

Пусть на открытом
множестве

заданы функции
,
,
,
.
Обозначим

– множество точек, координаты которых
удовлетворяют уравнениям:

, ,. (*)

Уравнения (*)
называют ограничениями или уравнениями
связи.

Определение.
Точка

называется точкой условного
строгого максимума,
если

выполняется неравенство
.

Если

выполняется неравенство
,
то точку

называют точкой условного
строгого минимума.

Методы нахождения
точек условного экстремума.

1. Метод исключения.
   Рассмотрим уравнения связи
   ,
   .
   Если уравнения связи удается разрешить
   относительно каких-то
   
   переменных:
   ,
   ,,,
   то исследование функции на условный
   экстремум сводится к исследованию на
   обычный экстремум функции
   
   переменных.

Пример 1. Найти
экстремум функции

при условии, что

и

удовлетворяют уравнению связи
.

Решение. Разрешим
уравнение связи относительно переменной
:
.
Подставив выражение для

в функцию, получим
.
Исследуем на экстремум функцию одной
переменной.

, .

Следовательно,

точка минимума функции. Исходная функция
в точке

имеет условный минимум.

Пример 2. Найти
условные экстремумы функции

относительно уравнений связи
,
.

Решение. Разрешим
уравнения связи относительно переменных

и
:
,
.

Подставив найденные
значения

и

в выражения для
,
сведем задачу к исследованию на обычный
(безусловный) экстремум функции
. .
Стационарные точки

и
.

, , .
Следовательно, в точке

функция имеет максимум
,
а в точке

– минимум
.

Исходная функция
при заданных ограничениях имеет один
условный максимум

и один условный минимум
.

1. Метод неопределенных
   множителей Лагранжа.

Пусть

и


непрерывно дифференцируемы в окрестности
точки

и ранг матрицы Якоби

в этой точке равен
.

Функцию

называют функцией Лагранжа. Коэффициенты

– неопределенные множители Лагранжа.

Необходимые
условия существования условного
экстремума.

Для того, чтобы
точка

являлась точкой условного экстремума
функции

при связях

необходимо, чтобы её координаты при
некоторых значениях

удовлетворяли системе уравнений

,

т.е.

– стационарная точка функции Лагранжа
и её координаты удовлетворяют уравнениям
связи.

Достаточные
условия существования условного
экстремума.

Пусть

и


дважды непрерывно дифференцируемы в
окрестности точки
,
в которой выполняются необходимые
условия существования условного
экстремума функции

при ограничениях

.

Если при выполнении
условий

,

(1)

второй дифференциал

является положительно (отрицательно)
определенной квадратичной формой, то
функция

в точке

имеет условный минимум (максимум).

Если при условиях
(1)

является неопределенной квадратичной
формой, то в точке

условного экстремума нет.

Пример
3. Найти
экстремум функции

при условии, что переменные

и

удовлетворяют уравнению
.

Пример 4.
Найти условный экстремум функции

относительно
уравнения связи
.

Решение. Функции

и

дважды непрерывно дифференцируемы.
Матрица Якоби
,
.

Строим функцию
Лагранжа
.

Необходимые
условия:

В точках

и

может быть условный экстремум.

Достаточные
условия:

, , .
,
.

В точках

и

и

связаны соотношением
,
поэтому

и
.

Точке

соответствует

поэтому

и в точке

условный максимум.

Точке

соответствует

поэтому

и в точке

условный минимум.

Наибольшее и
наименьшее значение функции.

Hаибольшим
значением функции

в области

называется число
,
если

и для всех точек

этой области выполняется неравенство
.

Наименьшим
значением функции

в области

называется число
,
если

и для всех точек

этой области выполняется неравенство
.

Теорема
Вейерштрасса.
Для функции, непрерывной на ограниченном
замкнутом множестве, существует на этом
множестве точка, в которой функция
принимает наибольшее значение и точка,
в которой функция принимает наименьшее
значение.

Функция,
дифференцируемая в ограниченной области
и непрерывная на её границе, достигает
своего наибольшего и наименьшего
значений либо в стационарных точках,
либо в граничных точках области.

Пример 4.
Определить
наибольшее и наименьшее значения функции

в области D:
,
,
.

Решение.
Указанная область есть треугольник
(рис. 1). Стационарных точек функция не
имеет, так как
,
.

Исследуем функцию
на границах области. Граница состоит
из трех отрезков [ОА],
[АВ],
[ОВ].
На отрезке


,
значит, для точек этого отрезка
,
.

Таким образом,
задача свелась к нахождению наименьшего
и наибольшего значений функции

на отрезке
.
Так как
,
то функция принимает эти значения на
концах отрезка, т. е. в точках

и
.
Находим
,
.

Аналогично, для
отрезка


задача
сводится к отысканию наибольшего и
наименьшего значений функции

на отрезке
.
Они реализуются на концах отрезка, т.
е. в точках

и
,
так как
.
Находим
.

Отрезок

определяется уравнением

или

при
.
Для этого отрезка имеем

или

и
,
т. е. наибольшее и наименьшее значения
функция принимает на концах отрезка
,
в точках

и
.
Сравнивая все полученные значения,
заключаем, что

, .

Пример 5.
Положительное число

требуется разбить на три неотрицательных
слагаемых так, чтобы их произведение
было наибольшим.

Решение. Обозначим
слагаемые
,

и
.
Ищем максимум функции
.
По смыслу задачи функция рассматривается
внутри замкнутого треугольника
,
,
.

.
Внутренняя стационарная точка
.

, , .

Матрица Гессе в
стационарной точке
.
Так как
,
а
,
то в точке

функция достигает максимума
.

Поскольку на
контуре треугольника
,
то этот максимум будет наибольшим
значением.

Пример 6. (КИМ
ЕГЭ 2006) Три числа, принадлежащих
соответственно отрезкам
,

и
,
являются первыми членами арифметической
прогрессии. Найдите, какие значения
может принимать величина
,
где

– первый член, а

– разность прогрессии.

Решение.
Из условия
задачи имеем:
.
Рассмотрим функцию
,
определенную на шестиугольнике
.
,
Стационарная точка

не принадлежит шестиугольнику
.

Найдем координаты
вершин шестиугольника:
,
,
,
,
,
.
Вычислим значения функции в вершинах:
,
,
,
,
.

Значит, функция
может принимать значения из отрезка
.

5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 27 сентября 2021 года; проверки требуют 2 правки.

Усло́вный экстре́мум — максимальное или минимальное значение, которое функция, определённая на множестве и принимающая вещественные значения, достигает в предположении, что значения некоторых других функций с той же областью определения подчинены определённым ограничительным условиям (если такие дополнительные условия отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме)^[1].

В частности, множество может быть подмножеством арифметического векторного пространства а упомянутые ограничительные условия, в свою очередь, могут быть заданы в виде равенств или неравенств. Ниже рассматриваются классическая задача на условный экстремум, в которой все условия заданы в виде равенств, а также задача Лагранжа — одна из классических задач вариационного исчисления^[1].

Постановка классической задачи на условный экстремум[править | править код]

Пусть  — открытое множество, и на нём заданы функции    Пусть

Уравнения

называют уравнениями связей (терминология заимствована из механики).

Пусть на определена также функция   Точка называется точкой условного экстремума данной функции относительно уравнений связей если она является точкой обычного (безусловного) экстремума функции на множестве   (модификация определения экстремума сводится к тому, что в нём вместо окрестностей в , то есть , рассматриваются окрестности в , то есть )^[2].

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума[править | править код]

Теорема[править | править код]

Предположим, что все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции непрерывно дифференцируемы, и пусть  — точка условного экстремума функции при выполнении уравнений связей   Тогда в этой точке градиенты   являются линейно зависимыми, т. e.    но   ^[3].

Числа называются множителями Лагранжа и определены с точностью до умножения на произвольную ненулевую константу. Наибольший интерес представляет случай, когда   (тогда, умножив все на подходящую ненулевую константу, можно сделать множитель равным и, таким образом, вообще исключить его из рассмотрения). В такой ситуации вместо только что сформулированной теоремы пользуются следующим следствием из неё^[4].

Следствие[править | править код]

Если  — точка условного экстремума функции относительно уравнений связей и в ней градиенты   линейно независимы, то  такие, что в данной точке    В координатном виде это векторное равенство эквивалентно выполнению равенств

где  ^[3].

Равенствам можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что для чисел данные равенства выполняются, и объединим их в столбец   Составим функцию Лагранжа:

где  — уже произвольные числа. Тогда при точка является стационарной точкой функции Лагранжа, а равенства могут быть записаны в виде

эти соотношения и являются условиями стационарности точки   Добавляя к ним уравнения связей  получаем уравнений относительно неизвестных ^[5][6].

Пример.  Найдём стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность   Здесь         Составив функцию Лагранжа

и записав условия её стационарности в точке условного экстремума

находим:    и    (прямоугольник максимальной площади оказался квадратом)^[6].

Достаточное условие условного экстремума[править | править код]

Если равенства при выполнены и при этом (дополнительно предполагается, что в точке все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции двукратно непрерывно дифференцируемы)  представляет собой отрицательно (положительно) определённую квадратичную форму переменных   то является точкой строгого условного максимума функции (строгого условного минимума для положительно определенной формы). Если же рассматриваемая квадратичная форма не является знакоопределённой, тогда условного экстремума нет^[7].

Задача Лагранжа[править | править код]

Данная задача относится к вариационному исчислению и является одним из возможных обобщений классической задачи на условный экстремум. В задаче Лагранжа требуется найти непрерывно дифференцируемую функцию   заданную на отрезке   и доставляющую экстремум (максимум или минимум) функционалу

(точкой обозначена операция дифференцирования по )  при фиксированных граничных условиях      и выполнении уравнений связей

где  ^[8][9].

В данной задаче также применим метод множителей Лагранжа. Предполагая уравнения связей независимыми, вводят в рассмотрение неизвестных функций   и сводят исходную задачу к задаче безусловной оптимизации, заменяя подынтегральную функцию функцией

в качестве аналога равенств (т. e. в роли необходимых условий экстремума) теперь выступают уравнения Эйлера — Лагранжа, имеющие в рассматриваемом случае вид

где   Из этих обыкновенных дифференциальных уравнений, дополненных уравнениями связей, находят (с учётом имеющихся граничных условий)  неизвестных функций  ^[10].

См. также[править | править код]

• Метод множителей Лагранжа
• Экстремум

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. . Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 432 с.
• Корн Г., Корн Т. . Справочник по математике для научных работников и инженеров. 4-е изд. — М.: Наука, 1978. — 832 с.
• Кудрявцев Л. Д. . Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Высшая школа, 1981. — 584 с.