Как найти точки где производная отрицательна

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Версия для печати и копирования в MS Word

1

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 8 правая круглая скобка . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.


2

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.


3

Задания Д2 № 6423

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5;5 правая круглая скобка . Определите количество целых точек, в которых производная функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка  отрицательна.


4

Задания Д2 № 6871

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 1; 12 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


5

Задания Д2 № 6873

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 7; 7 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


6

Задания Д2 № 6875

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


7

Задания Д2 № 6881

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 6; 5 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


8

Задания Д2 № 6897

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 10; 3 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


9

Задания Д2 № 6899

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определенной на интервале  левая круглая скобка минус 2, 10 правая круглая скобка . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.


10

Задания Д2 № 6903

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 7; 6 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


11

Задания Д2 № 6907

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


12

Задания Д2 № 6909

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 7 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


13

Задания Д2 № 6919

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


14

Задания Д2 № 6927

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 1; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


15

Задания Д2 № 6931

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 11; 3 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


16

Задания Д2 № 6933

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 3; 8 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


17

Задания Д2 № 6937

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


18

Задания Д2 № 6939

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 2; 12 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


19

Задания Д2 № 6943

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 9 правая круглая скобка . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.


20

Задания Д2 № 6949

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


21

Задания Д2 № 6955

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 1; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


22

Задания Д2 № 6957

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 1; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


23

Задания Д2 № 6959

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 7 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


24

Задания Д2 № 6963

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 8 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


25

Задания Д2 № 6967

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 11; 2 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


26

Задания Д2 № 6969

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 3 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


27

Задания Д2 № 6973

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 3; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


28

Задания Д2 № 6977

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 3 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


29

Задания Д2 № 6983

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 3; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


30

Задания Д2 № 6989

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 6 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


31

Задания Д2 № 6991

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 3; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


32

Задания Д2 № 6993

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 6 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


33

Задания Д2 № 6995

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 4 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


34

Задания Д2 № 7003

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 5; 6 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


35

Задания Д2 № 7005

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 12; 2 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


36

Задания Д2 № 7011

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 2; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


37

Задания Д2 № 7017

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 9; 5 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


38

Задания Д2 № 7019

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 4 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


39

Задания Д2 № 7021

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 2; 9 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


40

Задания Д2 № 7025

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 4 правая круглая скобка . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.


41

Задания Д2 № 7029

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 8 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


42

Задания Д2 № 7031

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 10; 4 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


43

Задания Д2 № 7037

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 10; 4 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


44

Задания Д2 № 7039

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 6; 5 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


45

Задания Д2 № 7041

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 5 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


46

Задания Д2 № 7043

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 7 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


47

Задания Д2 № 7047

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 8 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


48

Задания Д2 № 7049

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 10; 4 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


49

Задания Д2 № 7059

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 10; 2 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


50

Задания Д2 № 7061

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 8; 4 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


51

Задания Д2 № 7063

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 6; 5 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


52

Задания Д2 № 7067

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 10; 2 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.


53

Задания Д2 № 7073

На рисунке изображен график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,

определенной на интервале  левая круглая скобка минус 4; 10 правая круглая скобка .

Определите количество целых точек,

в которых производная функции

отрицательна.

09
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Применение производной к исследованию функции

2013-08-09
2023-04-30


 Cледующая таблица  будет весьма полезна при работе с данной темой.

вниманиеПожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции f(x) или ее производной f'(x)!

Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции f'(x) и нули. Никакие «холмики» и «впадины», как в случае f(x) не интересуют нас в принципе!


Задача 1. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-4;10). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x)  отрицательна.

76т

Решение: + показать


Задача 2. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

Решение:+ показать


Задача 3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)  параллельна прямой y=-3x-11  или совпадает с ней.

Решение: + показать


Задача 4. На рисунке изображен график функции  y=f(x), определенной на интервале (-4;9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x)  равна 0.

ув

Решение: + показать


Задача 5. На рисунке изображён график функции f(x)  и одиннадцать точек на оси абсцисс:x_1,;x_2,;x_3,;...x_{11}. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

76е

Решение: + показать


Задача 6. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

ы

Решение: + показать


Задача 7На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать


Задача 8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

неп

Решение: + показать


Задача 9. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [-5;-1]  f(x) принимает наибольшее значение.

Решение: + показать


Задача 10. На рисунке изображен график y=f'(x)  — производной функции f(x), определенной на интервале (-10;14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-8;13].

6

 Решение: + показать


Задача 11. На рисунке изображен график функции y=f(x)  и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

e3w

Решение: + показать


Задача 12. Функция y=f(x)  определена на промежутке (- 4; 5). На рисунке изображен график её производной. Найдите точку x_0, в которой функция y=f(x)  принимает наименьшее значение, если f(-1)<f(3).

Решение: + показать


Задача 13. Функция f(x) определена и непрерывна на полуинтервале [-4;5) На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать


тест

Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»

Автор: egeMax |

комментариев 29

Печать страницы

На этой странице вы узнаете

  • Где проходит граница между теплом и холодом? 
  • Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
  • Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции. 

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

  • производная положительна на промежутках возрастания функции;
  • производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у

Где проходит граница между теплом и холодом? 

Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной. 

Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах. 

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

  • В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
  • На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
  • На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

  • В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума
  • На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
  • На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?

Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет. 

Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой. 

Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются. 

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

Было Взяли производную Стало
Функция и производная f(x) f'(x) f'(x)
Функция и первообразная F(x) F'(x) f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной. 

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4]. 

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную? 

Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток. 

Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная. 

Так мы можем отследить следующую цепочку: кофейное дерево → кофейные зерна → кофе. И эта цепочка наглядно иллюстрирует связь первообразной, функции и ее производной.

Фактчек

  • Графики функции, производной и первообразной связаны между собой. 
  • В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
  • На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
  • На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х
  • Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

  1. На промежутках убывания функции.
  2. На промежутках возрастания функции.
  3. В точках экстремума.
  4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

  1. На промежутках возрастания функции.
  2. На промежутках убывания функции.
  3. В точках экстремума.
  4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

  1. Точка максимума функции.
  2. Точка минимума функции.
  3. Любая произвольная точка на функции.
  4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

  1. F(x) = f'(x)
  2. F(x) = f(x)
  3. F'(x) = f'(x)
  4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

Рассмотрим задания из №6 ЕГЭ, в которых по графику функции требуется определить точки, в которых производная положительна либо отрицательна.

№1

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2 ,x3, x4, … , x8. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответе укажите количество найденных точек.

tochki-v-kotoryh-proizvodnaya-polozhitelna

Решение:

Производная функции f'(x) положительна там, где функция y=f(x) возрастает:

f'(x)>0, если f(x) возрастает.

Выделяем промежутки возрастания функции y=f(x) и определяем количество точек, принадлежащих этим промежуткам.

Промежуткам возрастания функции y=f(x) принадлежат три точки:  x2, x5 и x6.

Значит, производная функции в этих трёх точках положительна:

f'(x2)>0,

f'(x5)>0,

f'(x6)>0.

Ответ: 3.

№2

ochki-v-kotoryh-proizvodnaya-otricatelnaНа рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс: x1, x2 ,x3, x4 …x8, x9. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Решение:

Производная функции f'(x) отрицательна там, где функция y=f(x) убывает:

f'(x)<0, если f(x) убывает.

Выделяем промежутки убывания функции y=f(x) и определяем количество точек, принадлежащих этим промежуткам.

Промежуткам убывания функции y=f(x) принадлежат четыре точки:  x3, x4, x7 и x8. Значит, производная в этих четырёх точках отрицательна:

f'(x3)<0, f'(x4)<0, f'(x7)<0, f'(x8)<0.

Ответ: 4.

№3

kolichestvo-celyh-tochek-proizvodnaya-polozhitelnaНа рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение:

Производная функции f'(x) положительна там, где функция y=f(x) возрастает.

Выделяем промежутки возрастания.

Целые точки, входящие в промежутки возрастания: -5; -4; -3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Всего девять точек.

Ответ: 9.

Добавить комментарий