Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).
Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.
Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.
Ответ: (11.)
Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
2
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
3
Задания Д2 № 6423
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
4
Задания Д2 № 6871
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
5
Задания Д2 № 6873
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
6
Задания Д2 № 6875
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
7
Задания Д2 № 6881
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
8
Задания Д2 № 6897
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
9
Задания Д2 № 6899
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
10
Задания Д2 № 6903
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
11
Задания Д2 № 6907
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
12
Задания Д2 № 6909
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
13
Задания Д2 № 6919
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
14
Задания Д2 № 6927
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
15
Задания Д2 № 6931
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
16
Задания Д2 № 6933
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
17
Задания Д2 № 6937
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
18
Задания Д2 № 6939
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
19
Задания Д2 № 6943
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
20
Задания Д2 № 6949
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
21
Задания Д2 № 6955
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
22
Задания Д2 № 6957
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
23
Задания Д2 № 6959
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
24
Задания Д2 № 6963
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
25
Задания Д2 № 6967
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
26
Задания Д2 № 6969
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
27
Задания Д2 № 6973
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
28
Задания Д2 № 6977
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
29
Задания Д2 № 6983
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
30
Задания Д2 № 6989
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
31
Задания Д2 № 6991
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
32
Задания Д2 № 6993
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
33
Задания Д2 № 6995
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
34
Задания Д2 № 7003
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
35
Задания Д2 № 7005
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
36
Задания Д2 № 7011
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
37
Задания Д2 № 7017
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
38
Задания Д2 № 7019
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
39
Задания Д2 № 7021
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
40
Задания Д2 № 7025
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
41
Задания Д2 № 7029
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
42
Задания Д2 № 7031
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
43
Задания Д2 № 7037
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
44
Задания Д2 № 7039
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
45
Задания Д2 № 7041
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
46
Задания Д2 № 7043
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
47
Задания Д2 № 7047
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
48
Задания Д2 № 7049
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
49
Задания Д2 № 7059
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
50
Задания Д2 № 7061
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
51
Задания Д2 № 7063
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
52
Задания Д2 № 7067
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
53
Задания Д2 № 7073
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
09
Авг 2013
Категория: 07 Производная, ПО
07. Применение производной к исследованию функции
2013-08-09
2023-04-30
Cледующая таблица будет весьма полезна при работе с данной темой.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной
Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины», как в случае не интересуют нас в принципе!
Задача 1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение: + показать
Задача 2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:+ показать
Задача 3. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение: + показать
Задача 4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Решение: + показать
Задача 5. На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение: + показать
Задача 6. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .
Решение: + показать
Задача 7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
Задача 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение: + показать
Задача 9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
Решение: + показать
Задача 10. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .
Решение: + показать
Задача 11. На рисунке изображен график функции и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: + показать
Задача 12. Функция определена на промежутке На рисунке изображен график её производной. Найдите точку в которой функция принимает наименьшее значение, если
Решение: + показать
Задача 13. Функция определена и непрерывна на полуинтервале На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»
Автор: egeMax |
комментариев 29
Печать страницы
На этой странице вы узнаете
- Где проходит граница между теплом и холодом?
- Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
- Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?
Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье.
Связь графика функции и производной
Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям.
Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.
Возьмем график произвольной функции.
Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».
Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным.
В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт.
Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума.
Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке.
Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.
В точках экстремума производная равна 0.
Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х.
Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан
y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х.
Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график.
Вспомним, что:
- производная положительна на промежутках возрастания функции;
- производная отрицательна на промежутках убывания функции.
Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются.
Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.
Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.
Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах.
Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней.
Подведем итоги:
- В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
- На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
- На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной.
Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:
- В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума.
- На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать.
- На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать.
Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания.
Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки.
В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.
Ответ: 2
Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).
Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2.
Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.
Ответ: -2
Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.
Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.
Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются.
Связь графика функции и первообразной
Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?
Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию.
F'(x) = f(x)
Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются.
В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу.
Было | Взяли производную | Стало | |
Функция и производная | f(x) | f'(x) | f'(x) |
Функция и первообразная | F(x) | F'(x) | f(x) |
Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.
При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x).
Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным.
В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.
Ответ: 3.
Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4].
Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума.
Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0.
Ответ: 9
Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.
Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.
Так мы можем отследить следующую цепочку: кофейное дерево → кофейные зерна → кофе. И эта цепочка наглядно иллюстрирует связь первообразной, функции и ее производной.
Фактчек
- Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.
- В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
- На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
- На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
- Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной.
Проверь себя
Задание 1.
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?
- На промежутках убывания функции.
- На промежутках возрастания функции.
- В точках экстремума.
- Невозможно определить по графику.
Задание 2.
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?
- На промежутках возрастания функции.
- На промежутках убывания функции.
- В точках экстремума.
- Невозможно определить по графику.
Задание 3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)?
- Точка максимума функции.
- Точка минимума функции.
- Любая произвольная точка на функции.
- Невозможно определить по графику.
Задание 4.
Выберите верный вариант:
- F(x) = f'(x)
- F(x) = f(x)
- F'(x) = f'(x)
- F'(x) = f(x)
Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4
Рассмотрим задания из №6 ЕГЭ, в которых по графику функции требуется определить точки, в которых производная положительна либо отрицательна.
№1
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2 ,x3, x4, … , x8. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответе укажите количество найденных точек.
Решение:
Производная функции f'(x) положительна там, где функция y=f(x) возрастает:
f'(x)>0, если f(x) возрастает.
Выделяем промежутки возрастания функции y=f(x) и определяем количество точек, принадлежащих этим промежуткам.
Промежуткам возрастания функции y=f(x) принадлежат три точки: x2, x5 и x6.
Значит, производная функции в этих трёх точках положительна:
f'(x2)>0,
f'(x5)>0,
f'(x6)>0.
Ответ: 3.
№2
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс: x1, x2 ,x3, x4 …x8, x9. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение:
Производная функции f'(x) отрицательна там, где функция y=f(x) убывает:
f'(x)<0, если f(x) убывает.
Выделяем промежутки убывания функции y=f(x) и определяем количество точек, принадлежащих этим промежуткам.
Промежуткам убывания функции y=f(x) принадлежат четыре точки: x3, x4, x7 и x8. Значит, производная в этих четырёх точках отрицательна:
f'(x3)<0, f'(x4)<0, f'(x7)<0, f'(x8)<0.
Ответ: 4.
№3
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение:
Производная функции f'(x) положительна там, где функция y=f(x) возрастает.
Выделяем промежутки возрастания.
Целые точки, входящие в промежутки возрастания: -5; -4; -3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Всего девять точек.
Ответ: 9.