Как найти точки координат прямоугольного треугольника

Задача 4.1. Определить прямоугольные координаты вершин треугольника.

Для решения задачи каждому студенту необходимо иметь ксерокопию карты, на которой преподавателем построен треугольник с вершинами АВС. Прежде чем приступить к решению задачи необходимо определить масштаб карты (длина стороны квадрата равна 1 км). Необходимо выделить квадрат километровой сетки, в котором находится вершина треугольника и выписать координаты его юго-западного угла. На рис. 10 для точки А Хюз=6067 км, Yюз=4311 км.

Рис. 10. Фрагмент карты с нанесенным преподавателем треугольником

Из точки А опускают перпендикуляры на стороны квадрата километровой сетки. С помощью измерителя и масштабной линейки определяют длины перпендикуляров относительно южной и западной стороны квадрата. То есть измеряют приращения координат. Для контроля вычисляют ΔХ’,ΔY’. Очевидно, что при отсутствии погрешности в измерениях должны выполнятся условия:

;

.

Практически таких равенств не получается из-за случайных и систематических погрешностей измерений (деформация бумаги, не точность установки игл измерителей в вершины, погрешности построения поперечного масштаба и т.д.). Однако, величина неравенства не должна превышать 0,3 мм в масштабе карты. Если условие выполняется, то окончательные координаты точки А можно вычислить по формулам.

;

.

Данные формулы и рекомендуется использовать при решении задачи 4.1. результаты измерений записывают в таблицы 1 и 2.

В случае если точка расположена не в полном квадрате, как например точка В, С на рис. х. выполнить контроль измерений невозможно. Так как на карте возможно измерить лишь одну величину ΔХ’ или ΔХ’, ΔY или ΔY’.

В таком случае значения координат точки А будут равны:

;

;

;

.

Недостатком изложенного способа является его бесконтрольность. Здесь любая грубая ошибка в измерении остается незамеченной. Поэтому на практике измеряют не только отрезки ∆Х_А и ∆Y_A, но и продолжения их до северной и восточной сторон километровой сетки, т.е., ∆Х_А ‘ и ∆Y_A‘. где D – длина стороны квадрата километровой сетки.

В качестве примера в этих таблицах приведены результаты измерения координат вершин треугольника АВС ( рис. 10).

Таблица 1.Абсциссы точек А, В, С.

Точка	Xю.з, км	∆X, км	∆Х´, км	Х, км
А	0.698	0,298	6067.700
В	0.578	0.422	6067.578
С	0.390	——	6068.390

Таблица 2. Ординаты точек А, В, С.

Точка	Yю.з, км	∆Y, км	∆Y´, км	Y, км
А	4311	0.780	0.219	4311.780
В	4310	—-	0,172	4310,828
С	4311	0.164	0.832	4311.164

Задача 4.2. По измеренным в задаче 4.1 прямоугольным координатам вычислить длины сторон треугольника и сравнить их с непосредственно измеренными.

Задача распадается на 2 части. В первой части необходимо вычислить длины сторон по известной в математике формуле:

(10),

вычисленные расстояния записать в таблицу 4 с числом значащих цифр, соответствующих точности масштаба карты.

Вторая часть задачи заключается в непосредственном измерении длин сторон треугольника с помощью измерителя и построенного поперечного масштаба.

Результаты измерений также записать в таблицу 3. Найти расхождения между вычисленными и измеренными длинами сторон треугольника и дать анализ их соответствия точности масштаба карты. Перечислить причины возникновения этих расхождений.

Таблица 3. Значения длин сторон треугольника, полученные при вычислениях и измерениях

Линия	Приращения координат	Длины вычисленные, м	Длины измеренные, м	Расхож-дения, м
∆Y, км	∆X, км
AB	-0,122	-0,952	-8
BC	0,812	0,336	-4
AC	0,690	-0,616	-2

Вопросы для самоконтроля

1. В чем сущность зональной системы прямоугольных координат?

2. Что принято за ось ординат и абсцисс в зональной системе координат?

3. В чем смысл преобразования ординаты?

4. Как определить номер зоны данного листа карты?

5. Какие погрешности влияют на точность измерения координат (длин линий) по карте?

6. Как определить длину отрезка, зная прямоугольные координаты его концов?

7. Как построить на карте точку по известным прямоугольным координатам?

Ориентирование

Ориентировать линию или карту – значит определить ее расположение относительно географического (истинного), осевого или магнитного меридианов [[5]].

Дирекционный угол– это горизонтальный угол, отсчитываемый от северного направления осевого меридиана или линии параллельной ему по ходу часовой стрелки до направления данной линии. Дирекционный угол измеряется в пределах 0° ≤ α ≤ 360°.Существует связь между прямыми и обратными дирекционными углами: α_ВА=α_АВ±180°.

Истинным азимутомназывается горизонтальный угол ориентирования, отсчитываемый от северного направления географического меридиана, отсчитываемый по ходу часовой стрелки до линии местности.Азимут истинный измеряется в пределах 0° ≤ А_И ≤ 360°.Существует связь между прямыми и обратными дирекционными углами: А_ИВА=А_ИАВ±180°.

Трудность ориентирования по азимуту истинному связана с изменением величины азимута от протяженности длины линии и широты точки, в которой он измеряется. Это вызвано тем, что меридианы не параллельны друг другу.

Отмеченные недостатки азимутов, как углов ориентирования, отсутствуют при ориентировании линий относительно осевого меридиана, так как положение осевого меридиана в пределах зоны постоянно.

Дирекционные углы отличаются от азимутов на величину гауссова сближения меридианов. А_И=α+γ

Гауссовым сближением меридианов (γ)называется угол между проекциями смежных меридианов на плоскости. Это угол образованный истинным и осевым меридианами.

Рис. 11. Схема расположения меридианов

Гауссово сближение меридианов может быть восточным или западным в зависимости от положения точки относительно осевого меридиана (рис. 11). Для восточной половины зоны сближение меридианов считается положительным, для западной – отрицательным. На топографической карте ниже южной рамки всегда указывается гауссово сближение меридианов для средней части листа.

Азимут магнитный – это горизонтальный угол, отсчитываемый от северного направления магнитного меридиана или линии параллельной ему по ходу часовой стрелки до направления данной линии.

Ориентирование линий относительно магнитного меридиана является наиболее простым в практическом исполнении, так как положение магнитного меридиана на местности даёт направление магнитной стрелки. Но такого рода ориентирование не находит широкого применения в массовых геодезических работах. Это обусловлено изменением величины склонения магнитной стрелки в зависимости от места и времени. Так, Европейской части России, восточное склонение колеблется от 0° (в районе Калининграда) до 20° (в районе Нарьян-Мара).

Склонение магнитной стрелки– это угол между северными направлениями истинного и магнитного меридиана (рис. 12). Cклонение магнитной стрелки может быть восточным и западным (рис. 12). Восточному склонению приписывают знак (+), западному (-). Это обусловлено положением магнитного меридиана относительно географического (истинного). Склонение претерпевает вековые, годовые и суточные изменения.

Вековые изменения склонения продолжительностью около четырех веков имеют амплитуду в несколько десятков градусов. Амплитуда годовых колебаний в Европейской части России в отдельных местах достигает 5°, а суточная – 15´. При этом изменение не имеют математически выраженных закономерностей, поэтому учет их представляет определенные трудности.

Рис. 12. Склонение магнитной стрелки

Кроме того, величина склонения изменяет свое значение под влиянием магнитных возмущений и магнитных бурь, связанных с полярным сиянием, солнечной активностью. В районах магнитной аномалии, а также вблизи линий электропередач положение магнитного меридиана становится неопределенным.

Все отмеченное выше не позволяет нанести на карту линии магнитных меридианов, а следовательно и измерить по карте магнитный азимут. В тоже время ниже южной рамки топографической карты всегда указывается склонение магнитной стрелки (δ) на дату составления карты, а также годовое изменение склонения. Это позволяет вычислить величину склонения на текущее время, а следовательно и значения истинного азимута.

Ориентирование по магнитному меридиану находит широкое применение в лесоустроительных работах и при картографировании небольших участков земной поверхности (менее 1км²). Поэтому часто возникает необходимость перехода от измеренных дирекционных углов или истинных азимутов к магнитным азимутам линий. Связь между ними определяется по формулам или графически (рис. 13):

Рис. 13. Связь между магнитными азимутами, дирекционными углами и истинными азимутами

В практике, кроме непосредственно измеренных углов ориентирования, часто используют их производные – румбы (рис. 14).

Румбом линииназывается угол между ближайшим (северным или южным) направлением меридиана и заданной линией. Направление относительно сторон света указывают названием соответствующей четверти, перед градусной величиной румба. Например: СВ: 45°00´, ЮЗ: 15°00´ и т.д.

Румбы могут быть истинными, дирекционными или магнитными в зависимости от названия меридиана, от которого он измеряется. Зависимости румба от угла ориентирования сохраняются, т.е. в формулах вместо α может стоять А_И, А_М.

Связь между румбами и основными углами ориентирования легко установить по рис.13 или таблице 6.

Рис. 14. Связь дирекционных углов и румбов

Таблица 4. Связь между румбами и дирекционными углами

Как найти координаты третьей вершины?

Прошу помочь в нахождении формул.

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 21852 просмотра

Оценить 5 комментариев

Хорошо учился бы в школе, вопросов бы не задавал.

Рад, что предоставил вам возможность почувствовать себя образованнее.

«Если задать вопрос на американском форуме, вам 40 человек дадут подробный ответ на вопрос.
Если спросить на израильском форуме, вам в ответ зададут 40 вопросов.
А если спросить на русском форуме, вам 40 человек расскажут почему ты мудак и вопрос твой мудацкий» ©

Человек же просто спросил.

В таком случае уж начните с определений:

— какая перед Вами стоит задача;
— какой инструментарий Вам доступен;
— способны ли Вы найти сумму квадратов катетов.

В противном случае не совсем понятно на каком уровне Вам отвечать: дать ссылку на готовую библиотеку или научить пользоваться калькулятором.

Раз так, то пляшем от картинки:

Один из вариантов решения Вашей задачи: предположим, что центр системы координат совпадает с точкой A, таким образом Cx=b*cos(g+t), Cy=b*sin(g+t)

Угол g вычисляем по теореме косинусов или синусов, смотря что Вам идеологически ближе (теорему см. по фиолетовой ссылке).
Синус угла t будет равен By/c.

Следует обратить внимание на периодичность функций, не забывать про различия промеж градусами и радианами, поглядывать сюда и сюда а так же иметь в виду особенные случаи про которые в условии ничего не сказано.

Не так давно уважаемый тов. timyrik20 написал хабрапост на интересующую Вас тему.

Человек же просто спросил.

Человеку прям сразу и ответили. Вполне исчерпывающе, как на уровень хабра.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Алгоритм:

1. Найти угловой коэффициент АВ.
2. Найти угловой коэффициент АС.
3. Зная координаты А и угловой коэффициент АС, составить уравнение АС.

Дальше есть по крайней мере два варианта решения, оцени какой тебе проще:

1 вариант:

4. Составить уравнение окружности с центром в точке А и радиусом, равным АС.
5. Решая совместно уравнение по пункту 3 и 4, найти координаты точек С, которые могут быть как с одной, так и с другой стороны стороны АВ.

2 вариант:

4. Задавшись произвольными буквенными координатами X и Y точки С составляем два уравнения:
первое: принадлежность точки С прямой АС
равенство расстояния АС заданной величине.
5. Решая совместно полученную систему, получаете опять же два значения координат точки С

Будут вопросы – пиши в агент.

P.S. Кстати, в данной задаче величина АВ не нужна. Зная координаты А и в, ее можно вычислить. А так вводя параметр АВ, нужно проверять соответствует ли эта величина фактическому расстоянию между точками.

I want to locate precisely the 3rd coordinate of a right angled triangle.
I have:

1. the length of three sides
2. The three angles
3. The other two coordinates of the triangle

The triangle can lie in any orientation in 2D coordinate system.

The three sides, angles and coordinates could be different in the piece of experiment and I am not working with any fix pair of values… I am actually dealing with multiple pairs of all above mentioned values.

I need a reliable and accurate way of finding the 3rd coordinate. Currently I have this formula but it calculated two pairs of coordinates (forming a butterfly) instead of the triangle.

Edit 2:

In the diagram that I mentioned and to which a (potential) solution has been presented, I have a confusion/connected question (because I believe this could be the cause of the problem).

Question:

Can $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ be any pair of the right angles triangle? or does $(x_1, y_1)$ must the coordinates of the right angle and $(x_2, y_2)$ for the base vertex?

Currently I get this:

As you can see, the coordinate I am trying to get is draw way-off the border of the circle. The coordinate should be found on the border of the circles and not that far away in space.

As you might have guessed that I am trying to draw tangents between each circle. I have worked out rest of the code but the coordinate is being calculated incorrectly and thus the right angled triangle is formed incorrectly..

Edit (ignore this heading please):

I want to find only ONE triangle instead of the four possibilities.

http://awaismunir.net/universal/tangents/3rd-third-vertext-calculate-right-angled-triangle.gif

Note:

I have already reviewed these urls:

Calculate coordinates of 3rd point (vertex) of a scalene triangle if angles and sides are known.

and

How to find the third coordinate of a right triangle given 2 coordinates and lengths of each side

Kindly help.

Thanks!

Steve